精品解析：北京市汇文中学2024-2025学年九年级上学期开学测数学试题

初三年级 数学学科 开学测 一、（选择题（本题共30分，每小题3分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】不是最简二次根式； 不是最简二次根式； 是最简二次根式； 不是最简二次根式； 故选． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 小明同学在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，下表给出与的一些对应值：根据小明的数据，可以得出该品牌38码鞋子的长度为（ ） 码数x 26 30 34 42 长度y 18 20 22 26 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用．根据待定系数求出一次函数解析式，然后再将代入函数解析式，求出y的值即可． 【详解】解：设与的一次函数解析式为， 点，在该函数图象上， ∴， 解得， 即与的函数解析式为， 当时，， 故选：A． 3. 如图，在中，D，E分别是，的中点，交CB的延长线于点F．若，，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形中位线定理，掌握线段垂直平分线性质和三角形中位线定理是解题的关键．根据D是的中点，，可以得到，进而求出，再由三角形中位线定理，即可求出． 【详解】解： D是的中点，，， 是的垂直平分线， , ，， ， D，E分别是，的中点， 是的中位线， ． 故选：A． 4. 某校篮球社团共有30名球员，如表是该社团成员的年龄分布统计表，对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 频数（单位：名） 8 12 A. 平均数，中位数 B. 众数，中位数 C. 众数，方差 D. 平均数，方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布表及统计量的选择．由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案． 【详解】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为， 则总人数为：， 故该组数据的众数为14岁，中位数为：岁， 即对于不同的，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数； 故选：B． 5. 已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示：则当时，的取值范围是（ ） 0 1 2 1 1 6 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数性质解答即可． 【详解】解：设，将点、、代入得： ，解得， ， 抛物线的顶点为，开口向上， 当时，， 当时，， 当时，； 故选：C． 6. 已知，则以a，b，c为三边长的三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理．先求出a，b，c的值，再根据勾股定理逆定理判断． 【详解】解：∵， ∴，，， 解得，，． 可知， 所以a，b，c为边长的三角形是直角三角形． 故选：B． 7. 一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可； 【详解】解：由题意得： 解得：且 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，同时要满足该方程的二次项系数不为；熟练运用根的判别式是解题关键． 8. 对任意两个实数a，b定义两种运算：，，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，． 那么等于（ ）． A. B. 3 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，无理数的大小比较，理解新定义是比较两数的大小是解题的关键．根据新定义先计算，进而计算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ； 故选A 9. 矩形纸片两邻边的长分别为a，b（），连接它的一条对角线，用四张这样的矩形纸片按如图所示的方式拼成正方形，其边长为．图中正方形，正方形和正方形的面积之和为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，完全平方公式， 首先根据勾股定理得到，然后利用正方形，正方形和正方形的面积之和为：代入求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴正方形，正方形和正方形的面积之和为： ． 故选：C． 10. 如图1，在中，，，，是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接．如图2所示的图象中，是该图象的最低点．下列四组变量中，与之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（ ） A. 点与的距离为，点与的距离为 B. 点与的距离为，点与的距离为 C. 点与的距离为，点与的距离为 D. 点与的距离为，点与的距离为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图象． 先由勾股定理得到，如图所示，连接，过点作于，由等面积法得到，则；再证明四边形是矩形，得到；则当时，最小，即此时最小，即的最小值为；得到点与的距离为，点与的距离为，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ， 如图所示，连接，过点作于， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∴当时，最小，即此时最小， ∴的最小值为， ∴由函数图象可知点D与E的距离为y，点P与B的距离为x， 故选：D． 二、填空题（本题共20分，每小题2分） 11. 计算：______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．利用二次根式的乘法法则，将两个二次根式相乘转化为被开方数相乘的算术平方根，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：6． 12. 已知一组数据的方差：，那么的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差和算术平均数的定义．由题意知，这组数据分别为4、6、5、、，且平均数为5，再根据算术平均数的定义可得答案． 【详解】解：由题意知，这组数据分别为4、6、5、、，且平均数为5， ， 解得：， 故答案为：10 13. 在平面直角坐标系中，对于的每一个值，一次函数的值都大于函数的值，那么m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据题意得出一次函数的图象与函数的图象互相平行即可求解． 【详解】解：∵对于的每一个值，一次函数的值都大于函数的值， ∴一次函数的图象与函数的图象互相平行， ∴， 故答案为：． 14. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质，则，设，则，再根据勾股定理，即可． 【详解】由题意得，， 设， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，折叠的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用，折叠的性质． 15. 在平面直角坐标系中，将直线向下平移1个单位长度，得到直线，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可． 【详解】解：将直线向下平移1个单位长度得， ∵， ∴，解得， 故答案为：2． 16. 如图，在中，，分别以边为直径画半圆．记两个月牙形图案和面积之和（图中阴影部分）为，的面积为，则________（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，圆面积公式等．根据题意设，分别表示出两个阴影面积和，再表示出的面积，后比较大小即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点，轴于点，以为边作菱形，若点在轴上，则点的坐标为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，分两种情况：①点在原点的右侧；②点在原点的左侧，并结合平移的性质即可得解．解题的关键是掌握菱形的性质及勾股定理． 【详解】解：∵点，轴， ∴，，， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ①点在原点的右侧，如图， ∵，点在轴上， ∴， ∵，，，， 则线段向下平移个单位再向右平移个单位与线段重合，其中点是点的对应点，点是点的对应点， ∴； ②点在原点的左侧，如图， ∵，点在轴上， ∴， ∵，，，， 则线段向下平移个单位再向左平移个单位与线段重合，其中点是点的对应点，点是点的对应点， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 18. 对于二次函数，当时，随的增大而减小，那么的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，理解二次函数图像的性质是解题的关键．根据题意知抛物线开口向下，只有抛物线的对称轴小于或等于时，满足当时，随的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：二次函数，开口向下，对称轴为直线， 时，满足当时，随的增大而减小， 故答案为：． 19. 对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，．现对82进行如下操作： ，这样对82只需进行3次操作后变为1．类似地，对625只需进行______次操作后变为1． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，新定义．根据程序图一步一步计算即可得出答案． 【详解】解：第一次，， 第二次，， 第三次，， 第四次，， ∴对625只需进行四次操作后变为1． 故答案为：四． 20. 磁力棋的棋盘为的正方形网格，每个小正方形网格的边长为1．磁力珠（近似看成点）可放在网格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起．若两颗磁力珠不吸到一起，则它们之间的距离应不小于． 根据以上规则，回答下列问题： （1）如图，小颖在棋盘A，B，C三处放置了互不相吸的三颗磁力珠．若她想从中选择一个位置再放一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是____________； （2）棋盘最多可摆放____________颗互不相吸的磁力珠． 【答案】 ①. ②. 20 【解析】 【分析】此题考查了网格与勾股定理，正确掌握勾股定理的计算是解题的关键： （1）根据勾股定理计算到点A，B，C的距离即可判断； （2）根据题意画出图形即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴不符合要求； ∵， ∴符合要求， 故答案为； （2）如图所示，连接， 可以发现：四边形为边长为的正方形， 以为边长，在四边形基础上继续做正方形，格点处的点即为满足条件的磁力珠， 故答案为20． 三、解答题（21—26题每题6分，27—28题每题7分） 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点， 且与y轴交于点 C． （1）求该函数的解析式及点C的坐标； （2）当时， 对于x的每一个值， 函数的值大于函数的值，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）函数的解析式为，点C的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式， （1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当时，求出即可求解． （2）根据题意结合解出不等式结合，即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入函数解析式得， ，解得， ∴函数的解析式为：， 当时，， ∴点C的坐标为． 【小问2详解】 解：由题意得，， 即， 又， ∴， 解得：， ∴n的取值范围为． 22. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点M，连接，若，，求，的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）， 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由三角形中位线的性质得出，即可得出四边形是菱形； （2）由菱形的性质得出，，由勾股定理可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 是的中位线， ∴，， 在中，， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 23. 下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知：； 求作：菱形（点E在上，点D在上，点F在上）； 作法：①作的角平分线，交于点D； ②作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F； ③连接、． 所以四边形为所求的菱形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：平分， ． 是线段的垂直平分线， ， ， ， ，．（_____________）（填推理的依据） 四边形为平行四边形．（______________）（填推理的依据） ， 四边形为菱形．（_____________）（填推理的依据） 【答案】（1）见解析 （2）内错角相等，两直线平行；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一组两边相等的平行四边形是菱形 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，尺规作图等知识，解题的关键是： （1）根据题意直接作图即可； （2）由作图可得平分，是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，等边对等角以及角平分线的定义可得，利用平行线的判定可得，，进而可得四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，四边形即为所求， 【小问2详解】 证明：平分， ． 是线段的垂直平分线， ， ， ，．（内错角相等，两直线平行） 四边形为平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） ， 四边形为菱形．（有一组邻边相等的平行四边形是菱形） 故答案为：内错角相等，两直线平行；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 24. 某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： b．七年级学生的成绩在这一组的是： 80 82 84 85 86 87 87 87 87 87 89 c．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 84.2 m n 八年级 84.6 87.5 88 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值； （2）估计七、八两个年级成绩在的人数一共为______； （3）把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，把八年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，比较，的大小，并说明理由． 【答案】（1）86.5，87； （2）126； （3）解：，理由如下： ∵七年级抽取的20名学生的成绩在的有4人 ∴排名第5的学生的成绩中最高成绩， ∴ ∵八年级抽取的20名学生的成绩在的有6人 ∴排名第5的学生的成绩 ∴． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是解题的关键． （1）根据中位数和众数的概念求解即可； （2）根据样本估计总体的方法求解即可； （3）根据两个年级抽取的20名学生的成绩在的人数判断出，的大小，进而比较即可． 【小问1详解】 ∵一共抽取20名学生 ∴中位数为第10名学生和第11名学生成绩的平均数 ∴第10名学生和第11名学生成绩分别为86，87 ∴； 抽取的20名七年级学生的成绩中87出现的次数最多 ∴众数； 【小问2详解】 （人） ∴估计七、八两个年级成绩在的人数一共为126人； 【小问3详解】 略 25. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围； （2）若满足，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数之间的关系，解一元二次方程： （1）根据方程有两个不相等的实数根得到，列出不等式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到，根据，得到关于的方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意，得：， ∴， 解得：， ∵， ∴． 26. 对于函数（为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题， （1）当时，函数为；当时，函数为．用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示，观察函数图象可知：函数的图象关于______对称：对于函数，当______时，； （2）当时，函数为，对于函数，当时，的取值范围是______； （3）结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质． ①若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式； ②若点和都在函数的图象上，且，直接写出的取值范围（用含的式子表示）． 【答案】（1）y轴，或； （2）； （3）①向左平移个单位长度；②． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象性质、解不等式等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）结合图象可得，求解即可； （2）分别求出当时，的函数值，在结合图象即可得出答案； （3）①由再结合图象即可得出答案； ②由可得，的图象关于对称，点关于的对称点为再根据进而得出答案． 【小问1详解】 解：由题意，结合图象可得，函数的图象关于y轴对称， 又令 ， 或， 故答案为：y轴，或； 【小问2详解】 解：函数的图象如图： 当时，， 当时，， 当时，， 结合图象可知，当时，y的取值范围为， 故答案为：； 【小问3详解】 解： 结合图象可得，若，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象； ∴的图象关于对称， ∴点关于的对称点为， ∵若点和都在函数的图象上，且 解得：． 27. 在正方形中，E是边上的一个动点（不与点B，C重合），连接，P为点B关于直线的对称点． （1）连接，作射线交射线于点F，依题意补全图1． ①若，求的大小（用含的式子表示）； ②用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明； （2）已知，连接，若，M，N是正方形的对角线上的两个动点，且，连接，，直接写出的最小值． 【答案】（1）补全图形见解析，①；②，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意补全图形，由轴对称的性质可得出，由正方形的性质可得出，，由三角形内角和定理即可得出 ②过点A作于点G，则，由等腰三角形三线合一的性质可得出，由①可知，，，即可求出，进一步可得出，由勾股定理可得出，由线段的和差关系可得出，变形即可得证． （2）由对称得，，结合等腰三角形的性质得点E为的中点，过点A作，且，则四边形为平行四边形，那么的最小值就等于，当点G，M，E三点共线时，取最小值，由题意得，过点G作交于点Q，作交延长线于点H，则四边形为矩形，有，，求得，对应有，，利用勾股定理求得，即可求得的最小值． 【小问1详解】 解：补全图形如下： ①∵点P与点B关于直线对称 ∴垂直平分，，且， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴ ②过点A作于点G，如下图：则 ∵， ∴， ∵， 由①可知，，， ∴ ∴， ∴ 在中，， ∴， 即． 【小问2详解】 由对称性得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则, ∴E为的中点， ∵， ∴， 过点A作，且， 则四边形为平行四边形， ∴，， ∴的最小值就等于， ∴当点G，M，E三点共线时，取最小值， ∵， ∴， 过点G作交于点Q，作交延长线于点H， 则四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 则的最小值为． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟悉正方形和等腰三角形的性质，作出辅助线和利用动态的思想找到对应的最小值． 28. 对于平面直角坐标系中的点与图形，给出如下的定义：在点与图形上各点连接的所有线段中，最短线段的长度称为点与图形的距离，特别的，当点在图形上时，点与图形的距离为零．如图1，点，点． （1）点与线段的距离为______；点与线段的距离为______； （2）若直线上的点与线段的距离为2，求出点的坐标； （3）如图2，将线段沿轴向上平移2个单位，得到线段，连接，若直线上存在点，使得点与四边形的距离小于或等于1，请直接写出的取值范围为______． 【答案】（1）；2 （2）点的坐标为或； （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合题、矩形的性质、点与图形的距离等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题． （1）根据点与图形的距离的定义即可解决问题； （2）画出图形，分两种情形分别解决问题即可； （3）如图2中，作直线于，延长交直线于，当时，，则有，可得．作直线于，延长交直线于，当时，，可得，解得，结合图形即可解决问题； 【小问1详解】 解：点与线段的距离为线段的长； 点与线段的距离为线段的长， 故答案为：；2； 【小问2详解】 解：如图1，点在直线上． 点，， 平行于轴， 当时，， ， ， 过作交的延长线于点， 直线与坐标轴分别交于点，， ， ，即和都是等腰直角三角形， ，， ， ， 点的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图2中， 作直线于点，延长交直线于点， 同理，是等腰直角三角形， 当时，此时， ∴， ， ， ． 作直线于点，延长交直线于点， 当时，同理，， ， ． 观察图象可知：满足条件的的范围为：． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级 数学学科 开学测 一、（选择题（本题共30分，每小题3分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 小明同学在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，下表给出与的一些对应值：根据小明的数据，可以得出该品牌38码鞋子的长度为（ ） 码数x 26 30 34 42 长度y 18 20 22 26 A. B. C. D. 3. 如图，在中，D，E分别是，的中点，交CB的延长线于点F．若，，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 4 4. 某校篮球社团共有30名球员，如表是该社团成员年龄分布统计表，对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 频数（单位：名） 8 12 A. 平均数，中位数 B. 众数，中位数 C. 众数，方差 D. 平均数，方差 5. 已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示：则当时，的取值范围是（ ） 0 1 2 1 1 6 A. B. C. D. 6. 已知，则以a，b，c为三边长的三角形是（ ） A 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形 7. 一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 8. 对任意两个实数a，b定义两种运算：，，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，． 那么等于（ ）． A. B. 3 C. 6 D. 9. 矩形纸片两邻边的长分别为a，b（），连接它的一条对角线，用四张这样的矩形纸片按如图所示的方式拼成正方形，其边长为．图中正方形，正方形和正方形的面积之和为（　　） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，，，是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接．如图2所示的图象中，是该图象的最低点．下列四组变量中，与之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（ ） A. 点与的距离为，点与的距离为 B. 点与的距离为，点与的距离为 C. 点与的距离为，点与的距离为 D. 点与的距离为，点与的距离为 二、填空题（本题共20分，每小题2分） 11. 计算：______． 12. 已知一组数据的方差：，那么的值为______． 13. 在平面直角坐标系中，对于的每一个值，一次函数的值都大于函数的值，那么m的值是______． 14. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为_____． 15. 在平面直角坐标系中，将直线向下平移1个单位长度，得到直线，则______． 16. 如图，在中，，分别以边为直径画半圆．记两个月牙形图案和面积之和（图中阴影部分）为，的面积为，则________（填“＞”，“＝”或“＜”）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点，轴于点，以为边作菱形，若点在轴上，则点的坐标为____________． 18. 对于二次函数，当时，随的增大而减小，那么的取值范围为______． 19. 对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，．现对82进行如下操作： ，这样对82只需进行3次操作后变为1．类似地，对625只需进行______次操作后变为1． 20. 磁力棋的棋盘为的正方形网格，每个小正方形网格的边长为1．磁力珠（近似看成点）可放在网格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起．若两颗磁力珠不吸到一起，则它们之间的距离应不小于． 根据以上规则，回答下列问题： （1）如图，小颖在棋盘A，B，C三处放置了互不相吸的三颗磁力珠．若她想从中选择一个位置再放一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是____________； （2）棋盘最多可摆放____________颗互不相吸的磁力珠． 三、解答题（21—26题每题6分，27—28题每题7分） 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点， 且与y轴交于点 C． （1）求该函数的解析式及点C的坐标； （2）当时， 对于x的每一个值， 函数的值大于函数的值，直接写出n的取值范围． 22. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点M，连接，若，，求，的长． 23. 下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知：； 求作：菱形（点E在上，点D在上，点F在上）； 作法：①作的角平分线，交于点D； ②作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F； ③连接、． 所以四边形为所求的菱形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：平分， ． 是线段的垂直平分线， ， ， ， ，．（_____________）（填推理的依据） 四边形为平行四边形．（______________）（填推理的依据） ， 四边形为菱形．（_____________）（填推理的依据） 24. 某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： b．七年级学生的成绩在这一组的是： 80 82 84 85 86 87 87 87 87 87 89 c．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 842 m n 八年级 84.6 87.5 88 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值； （2）估计七、八两个年级成绩在的人数一共为______； （3）把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，把八年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，比较，的大小，并说明理由． 25. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围； （2）若满足，求a的值． 26. 对于函数（为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题， （1）当时，函数为；当时，函数为．用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示，观察函数图象可知：函数的图象关于______对称：对于函数，当______时，； （2）当时，函数为，对于函数，当时，的取值范围是______； （3）结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质． ①若，写出由函数图象得到函数的图象的平移方式； ②若点和都在函数的图象上，且，直接写出的取值范围（用含的式子表示）． 27. 在正方形中，E是边上的一个动点（不与点B，C重合），连接，P为点B关于直线的对称点． （1）连接，作射线交射线于点F，依题意补全图1． ①若，求的大小（用含的式子表示）； ②用等式表示线段，和之间数量关系，并证明； （2）已知，连接，若，M，N是正方形的对角线上的两个动点，且，连接，，直接写出的最小值． 28. 对于平面直角坐标系中的点与图形，给出如下的定义：在点与图形上各点连接的所有线段中，最短线段的长度称为点与图形的距离，特别的，当点在图形上时，点与图形的距离为零．如图1，点，点． （1）点与线段的距离为______；点与线段的距离为______； （2）若直线上的点与线段的距离为2，求出点的坐标； （3）如图2，将线段沿轴向上平移2个单位，得到线段，连接，若直线上存在点，使得点与四边形的距离小于或等于1，请直接写出的取值范围为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $