6.3 向心加速度(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程物理必修第二册同步学习指导(人教版2019)

042 3.向心加速度 核心素养 考试重点 物理观念 建立向心加速度的方向和大小的推导方法微元法的物理观念。 培养学生思维能力和分析问题的能力，培养学生探究问题的热情，乐于 科学思维 学习的品质。 向心加速度 科学探究 体验向心加速度的导出过程，领会推导过程中用到的数学方法。 的推导。 科学态度 科学态度与责任：通过向心加速度的方向及公式的学习，培养学生认识 与责任 未知世界要有敢于猜想的勇气和严谨的科学态度。 [提示] 探究点匀速圆周运动的加速度 加速度的方向和合力 的方向一致，其大小 ●新知导学 可以根据牛顿第二定 情境： 律推导，战根据加速 度定义式来证明。 [规律方法] (1)圈周运动的 性质 不论向心加速度a,的 大小是否变化，a。的 方向是时刻改变的， 探究：通过学习圆周运动和向心力知道：做匀速圆周运动的物体所受合 所以国周运动的向心 力提供向心力，合力指向圆心，那么物体的加速度指向如何？行星绕太阳做 加速度时刻发生改 变，图周运动一定是 匀速圆周运动，行星的加速度方向如何？摩天轮做匀速圆周运动，摩天轮的 非匀变速曲线运动。 加速度方向如何？加速度的大小又该怎么计算呢？ [提示] “匀速圆周运动中· 的“匀速”应理解为 ●基础梳理 “匀速奉”。 一、向心加速度的定义 (2)变速圆周运动 的向心加速度 1.定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向 ,这个加 做变速圆周运动的物 速度叫作向心加速度。 体，加速度一般情况 下不指向圆心，该加 2公式：根据牛顿第二定律F=m和向心力表达式F,=m亡，可得向心 速度有两个分量：一 是向心加速度，二是 加速度的大小an= 或a. 切向加速度。问心 加速度表示速度方向 3.方向：沿半径方向指向 时刻与线速度方向 变化的快慢，切向加 二、向心加速度的方向及意义 速废表示速度大小变 1.物理意义 化的快慢。所以变 速圆周运动中，向心 描述线速度改变的 ,只表示线速度的 变化的快慢，不 加速度的方向也总是 表示其 变化的快慢。 指向图心。 043 2.方向 总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向 00 时刻改变。 三、向心加速度的公式和应用 1.公式 对于变速圆周运动， -=2r= r=4nnr=4mfr=oe。 4π 如图所示，物体加速 度的方向不再指向圆 2.对向心加速度表达式的理解 心，但其中一个分加 速度的方向指向圆 向心加速度的几种表达式 心，为向心加速度， a=4斑f八对应频幸) a,对应线速度) 仍清足公式总号 向心加速度a。》 ωr,其作用仍然是 Q=4xnr对应转速) 的表达式 a=rw《对应角速度) 改变速度的方向。 Q=①W推导公式J T产灯对应周期) 无论是匀速圆周运 动，还是变速圆周运 动都有问心加速度， [判断正误] 且方向都指向图心。 (1)做匀速圆周运动的物体的加速度总指向圆心。 【思考]从公式a=号 (2)匀速圆周运动是加速度不变的运动。 ( 看，线速度一定时，向 (3)可以用公式口=求变速圆周运动中的加速度。 ( 心加速度与圆周运动 的半径成反比；从公 (4)根据an=w2r知向心加速度a.与半径r成正比。 式a。=@r看，角速度 一定时，向心加速度 (5)根据a,=知向心加速度a,与半径r成反比。 与半径成正比。 自行车的大齿轮、小 ●重难解读 齿轮、后轮的半径不 一样，它们的边缘有 向心加速度的注意要点 三个点A、B、C,如图 (1)向心加速度是矢量，方向总是指向圆心，始终与速度方向垂直，故向 所示。其中哪两点向 心加速度的关系适用 心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。向心加速度的大小表示速 于“向心加速度与半 度方向改变的快慢。 径成正比”，哪两点适 (2)向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算。包括 用于“向心加速度与 半径成反比”？给出 非匀速圆周运动。但a。与：具有瞬时对应性。 解释。 类型一：匀速圆周运动的加速度方向 典题1：下列关于圆周运动的说法中正确的是 A.向心加速度的方向始终指向圆心 白行车的大齿轮、小齿轮与后轮 B.匀速圆周运动是匀变速曲线运动 C.在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的 D.在匀速圆周运动中，线速度和角速度是不变的 思维点拨：理解向心加速度的定义，清楚匀速圆周运动和非匀速圆周运 动的不同处。 ◆[规律方法] 044 图中B、C两点 跟踪训练1：如图所示，轻质细绳上端固定于天花板上，下 角速度相同，根 端拴一小球。小球在水平面内做匀速圆周运动，圆心为O,细绳 据a.=wr,问心加 速虔与半径成正比。 沿圆锥面旋转，这样就形成了圆锥摆。关于小球向心加速度的 A、B线速度相 40 方向，下列说法正确的是 ( 同，根据an=下， A.沿绳向上 B.指向圆心O 间心加速度与年径 成反比。 C.竖直向下 D.沿绳向下 [思考] [规律方法]向心加速 类型二：匀速圆周运动的加速度大小 度的大小与半径的 关系 典题2：如图所示，一球体绕轴0,02以角速度w匀速旋转， (1)当半径一定 A、B为球体表面上两点，下列说法正确的是 60g 时，向心加速度的大 A.A、B两点具有相同的角速度 小与角速度的平方成 30 正比，也与线速度的 B.A、B两点具有相同的线速度 平方成正比。随频 C.A、B两点的向心加速度的方向都指向球心 季的增大或周期的减 D.A、B两点的向心加速度大小之比为2：1 小而增大。 (2）当角速度一定 思维点拨：球体所有点的角速度都相同。 一[规律方法] 时，向心加速度与运 跟踪训练2：如图所示的皮带传动装置中，甲轮的轴和乙、丙两轮的轴均 幼卡径成正比。 为水平轴，其中，甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半。A、B、C (3）当线速瘦一定 时，向心加速度与运 三点分别是甲、乙、丙三轮边缘上的点，若传动中皮带不打滑，则 () 动牛径成反比。 (4）an与r的关系 0 图像：如图所示，由 A.A、B两，点的线速度大小之比为2：1 a,-r图像可以看 出，an与r成正比还 B.B、C两点的角速度之比为1：2 是反比，要看是ω恒 C.A、B两点的向心加速度大小之比为2：1 定还是v恒定。 D.A、C两点的向心加速度大小之比为1：4 类型三：向心加速度公式推展 典题3：（多选）如图所示的皮带传动装置中，轮A和B同轴，A、B、C分别是三 (u一定〉(0-定) 个轮边缘上的质点，且r=rc=2r,则下列说法正确的是 [规律方法]向心加速 度公式的应用技巧 一看 看图片，分清是反帝传 动模型还是同恤转动 A.转速之比nB:nc=1:2 B.周期之比Ta:Tc=1:2 模型 C.角速度之比山g:ωc=1:2 D.向心加速度之比a4:aa=2:1 思维点拨：找出各个物理量之间的关系式大小：=二=wr= 4n2 r 4T n'r=4T'fr=@e [规律方法] 045 跟踪训练3：如图所示，A、B是两个摩擦传动轮（不打滑），两轮半径大小 关系为R,=3R,则两轮边缘上的点 ( 二找 找肤系，找发速发，角 速度、牛径之问的关系 A.角速度之比wA:wm=3:1 三选 选公式.根据趣目特 B.周期之比T、:Tg=1:3 点选a,=wr或兰或 C.转速之比n4:nm=1:3 wD D.向心加速度之比a:ag=3:1 素养能力提升拓展整合·启智培优 向心加速度方向的推导 如图甲所示，一物体沿着圆周运动，在A、B两点的速度分别为，、，可以分四步确定物体运动 的加速度方向。 第一步，根据曲线运动的速度方向沿着切线方向，画出物体经过A、B两点时的速度方向，分别 用A表示，如图甲所示。 第二步，平移，至B点，如图乙所示 第三步，根据矢量运算法则，作出物体由A点到B点的速度变化量△，其方 △和 向由4的箭头位置指向的箭头位置，如图丙所示。由于物体做匀速圆周运 动，V4v的大小相等，所以△与1Dg构成等腰三角形。 第四步，假设由A点到B点的时间极短，在匀速圆周运动的速度大小一定 B 的情况下，A点到B点的距离将非常小，作出此时的△"，如图丁所示。 仔细观察图丁，可以发现，此时，△v与4：都几乎垂直，因此△知的方向几 r 乎沿着圆周的半径，指向圆心。由于加速度a与△的方向是一致的，所以从运 动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。 除去课本上的向心加速度推导外还有另一种向心加速度的大小推导： 如图所示： a="g-"-4 △t 、A组成的三角形与△AB0相似，则有A=”→A=AB AB r a,=Ae=v AB △1r△1 当0时=0=4→设亚=*咖-号 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[7]径相等的情况下,用质量相同的小球做实验,故选A。 cos6--③,代入①可得:a-,可知小球的角速度与绳子 (2)标尺露出的格子数与小球所受的向心力大小成正比,右边 标尺露出的红白相间的等分格子数为左边的2倍,有F。: 的长度无关,保持h不变,增大/.不变,保持/不变,增大. F. =1:2,左边小球的轨道半径为右边小球的2倍,即r: h变小。故选A。 10. BC 由于小球所受的拉力始终与其速度方向垂直,不改变 速度大小,故A错误;由,=ar可知,v不变,r变大,则角速度 知左边塔轮与右边塔轮转动的角速度大小之比为1:2 3.C 雪撬运动时所受的摩擦力为滑动摩擦力,其方向与雪撬运 则向心力变小,故C正确;细绳对小球的拉力F=m 动方向相反,可知与圆孤相切;又因为雪撬做匀速圆周运动 #不 所受合力充当向心力,合力方向指向圆心,故C正确 变,r变大,则F变小,故D错误。故选BC 4.B 水平路面对轿车的弹力方向竖直向上,故A错误;在竖直 11.BC 摩托车做匀速圆周运动,合外力完全提供向心力,F。= 方向重力和支持力相互平衡,轿车做圆周运动靠水平路面对 mgtane.V=.,可知侧壁对摩托车的支持力与高度t无 车轮的静摩擦力提供向心力,轿车受到的重力、支持力和摩擦 c0sf 力的合力不为零,故B正确,C、D错误。 关,根据牛顿第三定律可知摩托车对侧壁的压力不变,A错 5.A 设细绳与竖直方向的夹角为a,绳长为L.小球受到的重力和 误;根据牛顿第二定律可知mgtan9=m 细绳的拉力的合力提供向心力,则有mgtana-4n'mlsing. grtanθ,高度^越大,r越大,摩托车运动的线速度越大,B 解得1=2g Lcos",Lcosa为悬点到球所在平面的距离,由 正确;根据牛顿第二定律可知mgtanθ=m 题图可知A球的大于B球的,故A球的周期较大,故A正确 □r B.C.D错误。 6. BC 悬线碰到钉子前后,悬线的拉力始终与小球的运动方向 正确;摩托车的向心力大小为mgtan8.大小不变,D错误。 故选BC。 垂直,小球的线速度大小不变,故A错误;悬线碰到钉子后,小 (3)37. 解析:(1)杆处于静止状态时,对小球受力分析,由平衡条件 得mg·sin37*=kx(L-0.5L).解得弹赞的劲度系数l 2倍,故B.C对,D错。 .6mg 能力提升练 51 7. D 随矿泉水瓶转动的水做圆周运动时,需要合外力提供向心 (2)当弹赞处于原长时,弹赞弹力为零,小球只受重力和杆的支 力,当水受到的合外力不足以提供需要的向心力时,水将做离 持力,它们的合力提供向心力,有mgtan37=moLcos37,解 #0~## 心运动,逐渐离开矿泉水瓶的中心,所以水面的中心处将凹 些,而四周将高一些。所以四个图中,A、B、C与实际不符,只 有D是正确的,故选D 8.A 当以最大速度转弯时,最大静摩擦力提供向心力,此时有; 量为x.则在竖直方向有F.cos37*-xsin37*=mg f.=jmng=mK;雨天车轮与路面的动摩擦因数为n=0.4. 在水平方向有Fsin37*+kxcos37*=m(L+x)cos37* 解得:=21. 有_:mg=m 所以弹长度C'3L “联立解得,一 3.向心加速度 t1ng=m V 过探究点 km/h,故A正确,B.C、D错误。 9.A 对小球受力分析如图,设绳子的拉力为F,绳子与竖直方 过基础梳理 向之间的夹角为e,小球所受重力和绳子的拉力的合力提供了 一、1.圆心2.r3.圆心 垂直 向心力,得:mgtanθ=mo{r.其中r=lsinθ,则:mgtan6= 二、1.快慢 方向 大小 [判断正误] (1)(2)x (3)x(4)x (5)x -222- 提示:(2)数匀速圆周运动的物体的加速度总是指向圆心,所 练案[7] 以其方向不断变化。(3)变速周运动中,向心加速度a.= 基础巩固练 1. B P、0两质点同轴转动,角速度相等,根据;=ar,由于P质 (4)a.还与有关系。(5)a.还与r^有关系。 点的半径小于0质点的半径,则P的线速度小于0的线速 类型一 度,故A错误;根据a三7.结合上述可知,由于P质点的半 典题1:A 向心加速度的方向始终指向圆心,选项A正确;匀速 径小于0质点的半径,则P的向心加速度小于0的向心加速 圆周运动的加速度方向是不断变化的,加速度不是恒量,则不 度,故B正确;手柄以恒定的角速度转动时,即质点均在做匀 是匀变速曲线运动,选项B、C错误;在匀速圆周运动中,角速 速圆周运动,P质点受到重力与辄胪对P的作用力,根据 度是不变的,线速度的方向不断变化,则线速度不断变化,选 F. =mor.可知,由于合力提供向心力,合力方向时刻变化, 项D错误。故选A。 即P质点所受外力的合力大小不变、方向变化,重力大小与方 跟踪训练1:B 由题可知,小球所受重力和绳子拉力的合力提 向不变,根据力的合成法则,可知,糖对P的作用力大小与 供向心力,方向指向圆心;向心加速度的方向与向心力方向相 方向均发生变化,故C、D错误。故选B 同,均指向圆心。故选B 2.D 0、P分别是大、小齿轮边缘上的点,两者线速度相同,根 类型二 典题2:A A、B为球体表面上两点,角速度 与球体绕轴0.0.旋转的角速度相同,A 3.故D正确,A、B、C错误。故选D。 正确:如图所示,A以P为圆心做匀速圆 1 300 周运动,B以0为圆心做匀速圆周运动 3.C 由题意得R.:R.=2:3.圆盘A和B边缘上各点线速度 因此,A、B两点的向心加速度方向分别指 相等,由.R.=R.解得.:=3:2.物块1和2的半 向P、0.C错误;设球的半径为R.则A运 径之比为r.:r。=1:2.根据a=a{r,得物块1和物块2的向 心加速度之比为a.:a=r.:r。=9:8.故选C sin 60* 所以在30{匀速转动到60{的过程中,两点都做半径相同的匀 一sn30v3.B错误:} 速圆周运动,故两点的线速度、角速度、加速度和路程都相等 跟踪训练2:D 传动中皮带不打滑,则A.B两点的线速度大小 故选D. 相等,故A错误;B、C两点绕同一轴转动,故B、C两点的角速 5.A A、B两点绕竖直轴转动,具有相同的角速度,根据题意可 度相等,故B错误;由于A、B两点的线速度大小相等,半径之 知r.<r,根据a=or可知a.<a,故选A 6.B 将运动员和自行车看作一个整体,受到重力,支持力、摩擦 力作用,向心力是按照力的作用效果命名的力,不是物体受到 大小之比为1:2.故C错误;由于B、C两点的角速度相等,由 的力,故A错误;运动员骑自行车在倾斜赛道上做匀速则周运 aR可知B、C两点的向心加速度大小之比为1:2.所以 动,合力指向圆心,提供匀速圆周运动需要的向心力,所以F= A.C两点的向心加速度大小之比为1:4.故D正确。 m.,故B正确;若运动员加速,有向上运动的趋势,但不一定 类型三 典题3:BD 因为BC是同缘转动,则线速度相等,根据r=2nrn. 沿斜面上滑,故C错误;若运动员减速,有沿斜面向下运动的 可得转速之比n:a.-2:1.根据r-2m,可得周期之比 趋势,但不一定沿斜面下滑,故D错误。故选B 能力提升练 T. :T.=1:2.根据-,可知角速度之比:=2:1. 7.B 蛋糕一周均匀“点”上15个奶油,共有15个奶油间隔,所 以圆盘转动的周期约为7=15x4s=60s.故A错误;圆盘 选项B正确,A、C错误;因AB是同轴转动,则角速度相等,则 动的角速度大小为-2-.代入数据得=0rad/s,故B正 根据a={r.可知,向心加速度之比a.:a:=2:1选项D正 确。故选BD 确;蛋糕边缘的奶油线速度大小约为。=aR,代入数据得,= 跟踪训练3:C 两轮边缘的线速度大小相等,即v.=r;线速 度、角速度、半径关系为v-or-2-R=2rnR,向心加速度为 a=,半径关系为R=3R。联立可解得:on=1:3. 2 8.C 吊臂上V.V两点是同轴转动.转动角速度相同.周期也根 7.:7 =3:1.n:n.=1:3,a:a=1:3.故选C 同,故B、D错误;根据公式。=ro.可得.V两点线速度之比 -223-