1.5全等三角形性质及判定 知识点梳理+专项练习2024-2025学年 浙教版数学 八年级上册

全等三角形性质及判定考点总结 一、全等的概念与性质 全等 图形 （1）能够完全重合的两个图形就是全等图形 （2）平移、旋转、对称前后的图形是一组全等图形 四边形四边形 全等 多边形 （1）相互重合的顶点为对应点，相互重合的边为对应边，相互重合的角为对应角 （2）对应边、对应角分别相等 全等三角形 的性质 （1）对应边相等 （2）对应角相等 （3）对应边上的高相等 （4）周长、面积相等 易错点： 1.利用全等的性质时注意不要找错对应边或对应角 【知识点一 全等图形】 例题1、下列图形中，与右图全等的是（ ） A B C D 例题2、图中所示的是两个全等的五边形，，，指出它们的对应顶点和对应边与对应角，并说出图中标的，，，，各字母所表示的值． 练习1、下列图形是全等图形的是（ ） A B C D 练习2、用两个全等的直角三角形（非等腰直角三角形）拼成凸四边形，拼法共有（ ） A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 练习3、如图，，若的周长为，的长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【知识点二 全等三角形的性质】 例题1、下列说法中正确的是（ ） A.全等三角形的高相等 B.全等三角形的中线相等 C.全等三角形的角平分线相等 D.全等三角形对应角的平分线相等 例题2、已知下图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 例题3、如果，的周长为13，，，则的长（ ） A.13 B.3 C.4 D.6 练习1、下列命题中，真命题的个数是（ ） ①全等三角形的周长相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形的面积相等；④面积相等的两个三角形全等 A.4 B.3 C.2 D.1 练习2、已知，的周长为，则________，=________，________ 练习3、如图，，，，求的度数与的长． 【知识点三 全等三角形的判定】 一．全等三角形的判定方法： 边边边定理（SSS） 三边对应相等的两个三角形全等 即：如果，那么△ABC≌△DEF（SSS） 边角边定理（SAS） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 即：如果 ，那么△ABC≌△DEF（SAS） 角边角定理（ASA） 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 即：如果 ，那么△ABC≌△DEF（ASA） 角角边定理（AAS） 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 即：如果，那么△ABC≌△DEF（AAS） 二．思路点拨 边边角（SSA） 不能证明两个三角形全等 常见全等图形 一线三等角模型 判定三角形全等的基本思路： 【判定一】边边边判定（SSS） 例题1、如图，AB=AC，AD=AE，BE=CD，则图中全等的三角形有几对？分别把它们表示出来． 练习1、已知：如图，在四边形中，，，求证：． 【判定二】边角边判定（SAS） 例题1、已知：如图，E为BC上一点，AC∥BD，，． 求证： A D B E C 例题2、如图，已知，，，． 求证：（1）；（2） 练习1、如图，已知△ABC中，厘米，，厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为____________厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等 练习2、如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2。求证：△ABD≌ACE。 【判定三】角边角判定（ASA） 例题1、已知：如图，C是线段AB的中点，，． 求证：． A B C D E 例题2、已知：如图，∠AOD=∠BOC，∠A=∠C，O是AC的中点。求证：△AOB≌△COD 练习1、如图，正方形的边在正方形的边上，三点在一条直线上，且正方形边长分别为2和3，在上截取，连结。观察猜想与之间的大小关系，并说明理由。 【判定四】角角边判定（AAS） 例题1、如图，于点D，于点E，AD与BE相交于点F，且． 求证：． 练习1．如图，点B，E，C，F在一条直线上，∠A＝∠D，∠ACB＝∠F，BE＝CF．求证：AB∥DE． 例题2、如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F求证：EF＝CF－AE A B C F D E 练习1．E、F、G分别是正方形ABCD的BC、CD、AB边上的点，，．求证：． 练习2．如图(1)，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在A、E的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E. 图(1) 图(2) 图(3) (1)试说明:BD=DE+CE. (2)若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD<CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？写结论，并说明理由. (3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?写出结论，可不说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 【培优拓展题】 【例1】 如图，是的外角的平分线上的点（不与重合），求证：. 【例2】 如图，在线段、上有一点，使得 ，，求证：. 【例3】 如图所示，在中，，的角平分线相交于。求证：. 【例4】 已知：如图，中，，是上一点，于，交于，且有．求证：. 【例5】 已知：如图，在中，，是的平分线。求证：. 【例6】 已知：如图，过的顶点，在内任引一射线，过作此射线的垂线。设为的中点。 求证：. 【例7】 已知：如图，四点在同一直线上，请你从下面四项中选出三个作为条件，其余一个作为结论，构成一个真命题，并进行证明．①,②③，④ 【例8】 将两个全等的直角三角形和按图①方式摆放，其中，点落在上，所在直线交所在直线于点． （1）求证：； （2）若将图①中的绕点按顺时针方式旋转角，且，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中的结论是否仍然成立； （3）若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其他条件不变，如图③．你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时与之间的关系，并说明理由． 图① 图② 图③ 课堂检测 1、已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．求证：△ABE≌△ACF． 2、如图，C为线段AB上一点，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．求证：△ACD≌△BEC． 3、已知：如图，AC=EC，E、A、D在同一条直线上，∠1=∠2=∠3．试说明：△ABC≌△EDC． 4、如图，在中，，。为延长线上一点，点在上，，连接和。求证：。 5、直线经过的顶点，．分别是直线上两点，且． （1）若直线经过的内部，且在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若则 （填“”，“”或“”）； ②如图②，若，若使①中的结论任然成立，则与应满足的关系式 （2）如图3，若直线经过的外部，，请探究与三条线段的数量关系，并给予证明． 图① 图② 图③ 作业题 基础篇 1、在下列各组图形中，是全等的图形是（ ） A B C D 2、如图，四边形与四边形全等，则__________°，__________°，__________， __________． 3、如图，锐角中，、分别是、边上的点，，，且，、交于点．若，求的大小． 4、如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（　　） A.PO B.PQ C.MO D.MQ 5、一个三角形的三边为，另一个三角形的三边为，若这两个三角形全等，则=________ 6、如图，已知△ABC≌△BCD，则AB的对应边是_______，AC的对应边是_______，的对应角是_______ 7、如图，，，，求的度数． 8、如图，在四边形中，，，求证：． 9、已知：如图，AB，CD交于点O，E，F为AB上两点，OA=OB，OE=OF，∠A=∠B，∠ACE=∠BDF．求证：△ACE≌△BDF． 10、已知：D是AC上一点，，， 求证：． C D A E B 11、如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P． （1）求证：△ABM≌△BCN； （2）求∠APN的度数． 12、如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等． 14、如图已知：，，，试判断直线AD、BC的位置关系并加以证明． 提高篇 15、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D． 求证：△BEC≌△CDA． 13、已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ． 16、在中，，，直线经过点C，且于，于 （1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①≌；②； （2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． $$