1.5.1 全称量词与存在量词(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

练案[8] 第一章1.5[1.5.1全称量词与存在量词] A组·基础巩固 7.给出下列四个命题：①Hx∈R,x+3>0: 1.下列存在量词的命题中，是假命题的是 ②VxeN,x3≥1；③3xeZ,x3<1;④3xeQ, x2=3. A.3x∈Z,x2-2x-3=0 其中是真命题的是 (把所有真命题的 B.至少有一个x∈Z,使x能同时被2和3 序号都填上) 整除 8.下列存在量词命题是真命题的是 C.有的三角形没有外接圆 (填序号) ①有些不相似的三角形面积相等； D.3x∈R,x=x 2.下列四个命题： ②存在一实数，使x后++1<0： ③存在实数a,使函数y=ax+b的值随x的增 ①一切实数均有相反数：②3a∈N,使得方程 大而增大： ax+1=0无实数根：③梯形的对角线相等： ④有一个实数的倒数是它本身. ④有些三角形不是等腰三角形， 9.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词 其中，真命题的个数为 命题，并判断它们的真假， A.1 B.2 C.3 D.4 (1)存在两个正实数x,y,使x2+y2=0 3.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题 (2)有两个角是45°的三角形是等腰直角三 的是 角形. A.直角三角形的内角有一个是90° (3)能被5整除的整数末位数是0. B.至少有一个实数x,使x2≤0 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数，使二>2 4.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命 题是 A.3a,bER,a2+b2+2ab=(a+b)2 B.3a<0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b) C.Ha>0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b) D.Ya,bER,a2+b2+2ab=(a+b)2 5.下列存在量词命题是假命题的是 A.存在x∈Q,使2x-x3=0 B.存在xeR,使x2+x+1=0 C.有的整数是偶数 D.有的有理数没有倒数 6.能够说明“存在两个不相等的正数a,b,使得 a-b=ab”是真命题的一组有序数对(a,b)为 ·(答案不唯一) -203- 10.已知命题“了-3≤x≤2,3a+x-2=0”为真 14.已知命题p:Vxex≤}，-2x+a≥0，命 命题，求实数a的取值范围. 题q:x2+x+2a-1=0有实数根，若p为真命 题，g为假命题，则实数a的取值范围是 C组·拓展提升 15.根据下述事实，得到含有量词的全称量词命 题或存在量词命题为 13+23=(1+2)2, 13+23+33=(1+2+3)2 13+23+33+43=(1+2+3+4)2, 13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2, 16.若Vx∈R,函数y=m.x2+x-m-a的图象和 x轴恒有公共点，求实数a的取值范围. B组·综合运用 11.已知不等式x+3≥0的解集是A,则使命题 “Ha∈M,a主A"为真命题的集合M是 ( A.{ala≥-3 B.ala>-3 C.{ala≤-3 D.ala<-3 12.(多选)给出下列命题，其中真命题有() A.存在x<0,使Ix|>x B.对于一切xeZ,都有IxI∈N C.存在x<0,使|x|≤x D.已知a=2n,b=3n,则存在neN',使得 a=b 13.(多选)若集合A,B满足：3x∈B,x生A,则下 列关系可能成立的是 A.A手B B.A∩B≠☑ C.BA D.A∩B=☑ -204当a=0时,方程为2x-1=0,显然有实数根,满足题意 因此该命题是假命题 当a0时,A=4+4a>0.解得a-1.且a0. $0.由3a+x-2=0.得3-2=- 综上知,实数a的取值范围是ala-1. -3x2-2-x3. 跟踪训练3:(1)C(2)m0 .-2<3a-2<3,即0<a- 【解析】(1)依题意,方程x-23x+m=0有实数解,则A 故实数a的取值范因是{。0/a) =(-2/3)-4m>0,所以m3,故选C (2)当xeR时,x>0,若“VxeR,mx=0”是真命题,则有m 11.D因为x+3>0.所以A=xlx-3ì.又因为对VaeM. =0. 都有a2A,所以a<-3.故选D 随堂检测 重反情 12.AB 易知选项A、B为真命题;C中命题当x<0时,1xl>x. 1.B 所以C为假命题;D中,由于a-b=2n-3n=-n.'aeN 2.AB A是真命题,由x*=3得x=3,是无理数,所以选项A 时,-n<0..a-b=-n<0.所以对于任意的aeN,都有 为真命题;B是真命题,当x=1时,3x+1=4是整数;C是假 命题,如x=2时,1xl<3;D是假命题,如x-xz. a<b.即ab.故D为假命题. 13.ABD 当A=11.2,B=1.2.3|时,满足条件“x=B,x 3.存在量词命题 假 命题p是存在量词命题,因为方程x4 A".且有AB.AOB= 1.2 :②,则A.B正确:若BA.则 VxeB.都有xeA.与“teB.xA”矛盾,那么B不可能 2x+5=0的判别式2-4x5<0.即方程+2x+5=0无实 根,所以命题,是假命题. 是A的真子集,则C错误;当A= 1.2.B=3.4时满足条 4.1 ①由于Vx=B,都有x>0.因而有+2>2>0.即+2 件“习xeB,xA”且有A0B=,则D正确. >0.所以命题“Vx=R.”+2>0”是真命题.②由于0=N. ,14.a1若p是真命题,则-2x士+a=0,即a→1.若为假 当x=0时,x1不成立,所以命题“VxeN.x1”是假命 题.③当x=y=0时,+y=0,所以③是假命题. 练案[8] 15.Vn=N'且n2.1+2+3+...+n=(1+2+3+..+ 1.C 任意三角形都存在外接圆 n) 根据已知等式可得,对于任意neN且n>2,总有1 2.C 对于③,梯形的对角线不一定相等,如直角梯形的对角线 +2+3+...+n=(1+2+3+..+n),所以得到如下全 显然不相等,故为假命题,其余均为真命题. 称量词命题:Vn=N且n>2.1+2+3+...+n=(1+2 3.B A是全称量词命题;B既是存在量词命题又是真命题;C +3..+n). 中因为/3+(-③)-0.所以C是假命题;D中对于任意一个 16.(1)当m=0时,y=x-a与x轴恒有公共点,所以aeR 负数x,都有-<o.所以D是假命题.故选B. (2)当m0时,二次函数y=mx+x-m-a的图象和x轴 恒有公共点的充要条件是A=1+4(m+a)>0恒成立.即 4.D 全称量词命题含有量词“V”,故排除A.B.又等式a+b} 4m+4am+1=0恒成立. +2ab=(a+b)对于全体实数都成立.故选D. 设y.=4m}+4am+1,则可转化为此关于m的二次函数的图 象恒在n轴上方(或图象顶点在n轴上)的充要条件是A.= (4a)*-16<0.可得-1<a1. 立,所以存在xeR.使x*+x+1=0是假命题 6.(.3)当a--时,存在两个不相等的正数a. 综上所述,当m=0时,aER; 当m*0时,ae|al-1al. b,使得a-b=ab是真命题,故所求有序数对(a,b)为) 1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 教材梳理 3).又如(1.2)等,答案不唯一 明要点 新知初探 7.①③①由于Vx=R,都有x:*三0.因而有x+3>3>0.即x* 知识点一 +30.所以命题“VxeB.x”+3>0”是真命题;②由于0 xeM,一p(x) N.当x:=0时,x>1不成立,是假命题;③由于-1eZ,当x=知识点二 -1时,x<1成立,是真命题:④由于使=3成立的数只有 VxEM,-p(x) 土3,而它们都不是有理数,因此,没有任何一个有理数的平 预习自测 方等于3,是假命题. 1.存在一个能被2整除的整数不是偶数 原命题是全称量词命 8.①③④ ①为真命题,只要找出等底等高的两个三角形,面积 题,其否定是存在一个能被2整除的整数不是偶数 就相等,但不一定相似;②中,对任意x=R,x+x41=x4 2.B 量词“存在”改为“任意”,结论“它的平方是有理数”否定 后为“它的平方不是有理数”,故选B. 士)3→0.所以不存在实数xo,使+xo+1c0.故②为题型探究提技能 假命题;③中,当实数a大于0时,结论成立,为真命题;④中. 例1:(1)D(2)见解析 【解析】 如1的倒数是它本身,为真命题,故填①③④. (1)全称量词命题的否定是存在量词命题.VxeA. 9.(1)是存在量词命题,因为当x+y=0时,x=y=0,所以不 2=B的否定:x三A.2x廷B. 存在x,y为正实数,使x+y=0,故此命题是假命题. (2)①该命题的否定:存在一个平行四边形,它的对边不都平 (2)是全称量词命题,有两个角是45*的三角形,第三个角必 行,因为平行四边形的两组对边都平行,所以这是一个假 是直角,所以此三角形是等腰直角三角形,故此命题是真 命题. 命题. ②该命题的否定:习aeR,方程x?+ax+2=0没有实数根.当 (3)是全称量词命题,因为25能被5整除,但末位数不是0. a=0时,方程x^{}+2=0没有实数根,所以这是一个真命题. -319-