1.4.2 充要条件(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

练案[7] 第一章 1.4 [1.4.2 充要条件] A组·基础巩固 6.下列说法正确的是 __ 1.“1<x<2”是“x<2”的 ①x{}≠1是x≠1的必要条件 ②x>5是x>4的充分不必要条件; A.充分不必要条件 ③xy=0是x=0且y=0的充要条件; B.必要不充分条件 ④x<4是x<2的充分不必要条件 C.充要条件 7.已知p:x<8.a:x<a.且a是P的充分不必要 D. 既不充分也不必要条件 条件,则实数a的取值范围为 2.“x=1”是“x2-2x+1=0”的 _ 8.若p:x}+x-6=0是q:ax+1=0的必要不充$$ A.充要条件 分条件,目a0,则实数a的取值为 B.充分不必要条件 9.若集合A=$xlx-2l,B=$xlx<b,beR, C.必要不充分条件 试写出: D.既不充分也不必要条件 (1)AUB=R的一个充要条件; 3.已知xeR.则|xlx<-11是{×>或x<-1的 (2)AUB=R的一个必要不充分条件; _ (3)AUB=R的一个充分不必要条件 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设A.B.C是三个集合,则“AOB=AOC”是 “B-C”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.在△ABC中.AB+AC^*}=BC*是△ABC为直角 三角形的 ( 、 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 -201一 10.求关于x的方程ax}+x+1=0至少有一个负 C组·拓展提升 实根的充要条件 $$5.已知集合A=xla-1<x<2a+3 ,B=$ x l-2<x<4 ,全集V=R (1)当a=2时,求AOB.(.A)O(C. B): (2)若xEA是xEB成立的充分不必要条件, 求实数a的取值范围 B组·综合运用 16. 请在①充分不必要条件,②必要不充分条件 _ 11.下列说法正确的是 ③充要条件这三个条件中任选一个,补充在 A.已知a,beR,则“a>b+l”是“lal>b+1” 下面横线处,若问题中的实数m存在,求出m 的取值范围;若不存在,说明理由 的必要不充分条件 已知集合A=xl-2<x<6,B=xl1-m$$ B.设p:1<x<2:a:2x>1.则p是y成立的必 <x<1+m.m>0,若xEA是xEB成立的 要不充分条件 条件,判断实数m是否存在? C.“a>0”是“a+1>0”的充分不必要条件 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解 D.若“x=-1”是“x<a”的必要不充分条件, 答计分. 则实数a的最大值为1 12.(多选)不等式1<lxl<4成立的充分不必要 _ 条件为 ) A.-4<x<-1 B.1<x<4 C.-4<x<-1或1<x<4 D. -4<x<4 13.命题“对所有的xexll<x<2,x2-a<0” 为真命题的一个充分不必要条件是 __ A.a>4 B.a<4 C.>5 D.a<5 14.设m=N,一元二次方程x2-4x+m=0有$$ 整数根的充要条件是n= -202-条件.对于(2)，P→4，但？≠P,所以P是9的充分不必要条 件，对于(3)，p今4，但一p,所以P是g的必要不充分条件 ①当a>0时，由B车4，得子>2，解得0<a<2 对于(4)，显然p一9，所以P是q的充要条件。 ②当4<0时，显然不满足题意. 题型探究提技能 综上，实数a的取值范围为al0<a<2 例1：(1)B(2)见解析 跟踪训练3：(1)mlm>2(2)|ala≥1 【解析】(1)因为A={xlx=3站，keN,B={xx=6:,:N 【解析】(1)由题意，P:-1<x<3,9:-1<x<m+1,因为9 =xlx=3×2:,∈N,所以B军A,所以“xEA“是“x∈B”的 是p的必要不充分条件，即xl-1<x<3手x-1<x<m 必要不充分条件 +1,则m+1>3,解得m>2,即实数m的取值范国是m1m (2)①周为1x=y时，x=±y,不一定有x2=y,而x=y3时 >2|. 一定有x=y,必有x=yl,所以P是q的必要不充分条件 (2)由x2<x,得x(x-1)<0,得0<x<1,由x-a≤0，得x≤ ②由三角形中大边对大角，大角对大边的性质可知甲是9的 a.设A=x0<x<1|,B=xlx≤a,p是g的充分不必要 充要条件 条件，∴AB,a≥l,故实数a的取值范国是ala≥l, ③若A二B,则一定有AUB=B,反之，若AUB=B,则一定有 随堂检测重反馈 ACB,故P是q的充要条件 L.B由a2-2,得a=±b,当a=-b时，a2+≠2ad由a2+ ④若两三角形全等，则面积一定相等，若两三角形而积相等 6=2ab,得(a-b)2=0,所以a=h.所以“a2=6"是“a2+b (只需高和底边的乘积相等即可)，却不一定有两三角形全 =2b"的必要不充分条件，故选B 等，故P是q的充分不必要条件. 2.B因为“x<a”是“x≥3或x≤-1"的充分不必要条件，放m 跟踪训练1：(1)D(2)A ≤-1. 【解析】(1)a2+6>0,则，b不同时为零：，b中至少有 3.mm>2}因为“x>2”是“x>m”的必要不充分条件.所以 个不为零，则a2+62>0. xx>m是x|x>2的真子集，所以m>2, (2)如图所示，甲是乙的必要条件，乙 4.m=-2函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称，则 三甲.又，丙是乙的充分条件，但不是乙的 必要条件，∴两曰乙，但乙台丙.综上，有丙 -号=1，即m三-2：反之，若m=-2.则y=-2x+1的图 →乙一甲，甲中丙，即丙是甲的充分条件，因 象关于直线x=【对称 但不是甲的必要条件 例2：设P:ac<0,q:关于x的方程ar2+br+e=0有一正根和 练案[7] 负根。 1.A设A=xI1<x<2,B=x|x≤2，A军B.故“1<x<2"”是 (1)充分性(P→q): “x≤2”的充分不必要条件 若ac<0成立，则关于x的方程a+x+c=0的判别式4=2.A若x=1,则x2-2x+1=0:若x2-2x+1=0,即(x-1)2= 6-4c>0,且两根之积二<0，所以关于x的方程a+bx+ 0,则x=1故“x=1“是“2-2x+1=0”的充要条件 c=0有一正根和一负根成立，即充分性成立 3.A{xx<-1{xx> 2或x<-1所以1xx<-1" (2)必要性(g=p): 若关于x的方程x°+bx+e=0有一正根和一负根成立，则两 是>或x<-的分不必要条件，故选八 根之积二<0， 4.B由AnB=AnC,若A=O,则不一定有B=C,反之，由B =C,一定可得AnB=AnC.所以“AnB=AnC"是“B=C 所以ae<0成立，即必要性成立. 的必要不充分条件 由(1)(2)可得，一元二次方程2+bx+c=0有一正根和一 5.A当B=90°或C=90°时，△ABC为直角三角形，但不能推 负根的充要条件是c<0. 出AB+AC=BC,故选A. 跟踪训练2：(1)充分性（由a2++2=山+a0+c=△ABC为6.②④由2≠1→x≠1x≠1中x2+1,即x+1是x41的充 等边三角形)： 分不必要条件，故①不正确.②正确.③中，由y=0≠x=0 因为a2+b2+c2=ab+ae+bc.所以2a2+2b2+2c2=2ab+2ae 且y=0.则不正确.④正确. +2. 7.a<8因为P:x<8,g:x<a,且g是P的充分而不必要条件， 即(a-b)2+(a-e)2+(b-e)2=0 所以a<8, 所以a=ba=c,b=e,即a=b=e,故△ABC为等边三角形： (2)必要性（由△ABC为等边三角形→a2+B+e2=ab+ae+ 8或 p:x2+x-6=0,即x=2或x=-3.q:r+1=0,4 bc）: 因为△ABC为等边三角形，所以a=b=c, 0.即x=-十由题意知p力9，g→p,所以有-。=2或 所以a2+b2+c2=32,ab+e+c=3a2,故a2+62+c2=ab+ 1 ac be. =-3.解得a=-或a=子综上可知，a=-号 综上可知，命题得证 例3：设P对应的集合为A=1xx-2>0,即A=xx>2. 或 q对应的集合为B=x1x-4>0川 9.集合A=xlx>-21,B=xlx≤b,b后R, ra>0. (1)若AUB=R.则b≥-2， (1)因为P是g的充分不必要条件，所以A=B,即4 故AUB=R的一个充要条件是b≥-2. <2 (2)由(1)知AUB=R的充要条件是b≥-2 解得a>2,故实数a的取值范围为1ala>2。 所以AUB=R的一个必要不充分条件可以是b≥-3. (2)因为P是q的必要不充分条件，所以B军 (3)由(1)知AUB=R的充要条件是b≥-2： 317 所以AUB=R的一个充分不必要条件可以是b≥-1， m>0, 10.①当a=0时，解得x=-1,满足条件： 则有{1-m≥-2，解得0<m≤3 ②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则 1+m≤6， a<0: 所以，实数m的取值范围是0<m≤3。 若方程有两个负的实根。 若选择条件③，即xEA是x∈B成立的充要条件，则集合A等于 120, 集合B, 则必须满足 <0 即0<a≤行 则有：62方程组无部 a 所以，不存在满足条件的实数m 4=1-4a≥0 1.5 全称量词与存在量词 综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤子 反之，若a≤则方程至少有一个负的实根 1.5.1 全称量词与存在量词 教材梳理 明要点 因此，关于x的方程2+x+1=0至少有一个负实根的充 新知初探 要条件是a≤子 知识点 1.全称H2.全称量词3.xeM.p(x) 11.C因为1a|≥a.所以若a>b+1,则1a1>b+1.充分性成 知识点二 立，故A错误：因为x11<x<2x2x>1},所以p是g成 1.存在32.存在量词3.3xeM.p(x) 立的充分不必要条件，故B错误；因为ala>0至ala+1 预习自测 >01,所以“a>0”是“a+1>0”的充分不必要条件，故C正 :1.C①③是全称量词命题 确：若“x=-1”是“x<a”的必要不充分条件，则1xlx<a云 2.①②③④①23是全称量词命题：④是存在量词命题：⑤ |-1},则不存在这样的a,故D错误. 不是命题 12.AB由不等式1≤|x|≤4.解得-4≤x≤-1或1≤x≤4. 题型探究提技能 ∴.不等式1≤【xI≤4成立的充分不必要条件为A,B故选AB. 例1：(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显 13.C命题“x∈x1≤x≤2引，x2-a≤0”为真命题，可化为 然为全称量词命题 xex1≤x≤21，a≥x2恒成立，即只需a≥(x2)=4,即 (2)命题为存在量词命题， “Vx∈x1≤x≤2，x2-a≤0”为真命题的充要条件为a≥ (3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”，故 4,而要找的一个充分不必要条件即为集合1aa≥4的真子 为全称量词命题， 集，由选择项可知C符合题意 (4)命题是“过平面内任意两点有且只有一条直线”的简写. 14,3或4易得方程2-4x+m=0的根为x=4±16-4m 故为全称量词命题 2 跟踪训练1：(1)可以改为：所有的凸多边形的外角和等于360°， 2士√4-m,因为x是整数，即2±√4-m为整数，所以 故为全称量词命题 (2)可以改为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词 √4-m为整数，且m≤4.又meN”,所以m的值可取1,2， 命题 3,4,验证可得m=3或m=4符合题意，反之，当m=3或m (3)含存在量词“有些”，故为存在量词命题 =4时，可以推出一元二次方程x2一4x+m=0有整数根 (4)可改写为：存在一对整数x,y,使3x-2y=10成立故为 15.(1)当a=2时，A=1x|1≤x≤7引，则A∩B={x|1≤x≤41： 存在量词命题 CA={xlx<1或x>7,CB=1xlx<-2或x>4}, (C A)n(C B)=xlx<-2. 郎：()真命题，因为≥0，所以2+1≥1,2+1>2恒成立 (2):xeA是xeB成立的充分不必要条件，，A军B (2)真命题，例如a=0.B=1,符合题意 ①若A=☑.则a-1>2a+3,解得a<-4: (3)其命题，如数-2，-4等，既是偶数又是负数 ra-1≤2a+3. (4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为2，它的长 2若A≠☑，由4至B,得{a-1≥-2 度就不是有理数 24+3≤4， (5)假命题，因为该方程的判别式4=-31<0，故无实数解， 且a-1≥-2与2a+3≤4不同时取等号： 跟踪训练2：(1)全称量词命题.在平面直角坐标系中，任意有序 解得-1≤a≤分 实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的.所以 该命题是真命题 综上：a的取值范闹是a 11 a<-4或-1≤a≤2} (2)存在量词命题.存在一个实数零，它的绝对值不是正数， 所以该命题是真命题 16.若选择条件①，即xeA是x∈B成立的充分不必要条件，集 (3)存在量词命题.取x=0,y=-5时，3×0-4×(-5)=20 合A是集合B的真子集， 成立，所以该命题是真命题 rm>0. (4)全称量词命题.0的0次方无意义，所以该命题是假命题 则有1-m≤-2，且1-m≤-2与1+m≥6不同时取等号：解 例3：(1)当1≤x≤2时，1+m≤x+m≤2+m,因为一次函数y= 【1+m≥6， x+m的图象在x轴上方， 得m≥5，所以，实数m的取值范围是m≥5. 所以1+m>0.即m>-1,所以实数m的取值范丽是m|m> 若选择条件②，即xeA是xeB成立的必要不充分条件，集 -1, 合B是集合A的真子集， (2)由题意得，关于x的方程ax+2x-1=0有实数根， 318