精品解析：山西省晋中市太谷区职业中学校（艺术系）2023-2024学年高一下学期期末数学试题

太谷区职业中学校 2023—2024学年高一第二学期期末考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 2. 已知向量与不共线，且，若三点共线，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. －3 3. 某位教师年的家庭总收入为元，各种用途占比统计如下面的折线图.年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知年的就医费用比年增加了元，则该教师年的家庭总收入为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 4. 已知为平面向量，，则夹角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则. A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 7. 已知数据的平均数为2，方差为1，则数据相对于原数据（ ） A. 一样稳定 B. 变得稳定 C. 变得不稳定 D. 稳定性不可以判断 8. 在中，角的对边分别为，若,，则角（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 的共轭复数的虚部为 B. 为纯虚数 C. 的模为 D. 若在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为 10. 已知袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率不为的是（ ） A. 颜色相同 B. 颜色不全相同 C. 颜色全不相同 D. 无红球 11. 把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，下列各组事件不是独立事件的组数为（ ） A. {掷出偶数点}，{掷出奇数点} B. {掷出偶数点}，{掷出3点} C. {掷出偶数点}，{掷出3的倍数点} D. {掷出偶数点}，{掷出的点数小于4} 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上） 12. 样本数据的分位数是_____________ 13. 已知直线，平面，，，，那么与平面的关系用符号语言表示是__________ 14. 某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分，却记了50分，乙得70分却记了100分，更正后平均分和方差分别是________和________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记内角的对边分别为，已知， （1）求； （2）若的面积为，求c． 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，平面，，，求证： （1）平面； （2）平面平面. 17. 全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.为普及相关知识，争创全国文明城市，某市组织了文明城市知识竞赛，现随机抽取了甲、乙两个单位各5名职工的成绩（单位：分）如下表： 甲单位 87 88 91 91 93 乙单位 85 89 91 92 93 （1）根据上表中的数据，分别求出甲、乙两个单位5名职工的成绩的平均数和方差，并比较哪个单位的职工对文明城市知识掌握得更好； （2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2人，求抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率. 18. 面对病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A、B、C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是、、 ．求： （1）他们都研制出疫苗的概率； （2）他们都失败的概率； （3）只有一个机构研制出疫苗的概率； （4）至多有一个机构研制出疫苗的概率． 19. 某高校在2020年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩（满分200分），按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示． 组号 分组 频数 频率 第一组 5 0.050 第二组 35 ② 第三组 20 0.200 第四组 ① 0.300 第五组 10 0.100 合计 100 1.00 （1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再完成上述频率分布直方图； （2）利用频率分布直方图，估计该高校自主招生考试笔试成绩的众数、中位数. （3）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试； （4）在（3）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取3名学生接受考官面试，求第4组至少有1名学生被考官面试的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太谷区职业中学校 2023—2024学年高一第二学期期末考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的模长公式进行计算. 【详解】，. 故选：C. 2. 已知向量与不共线，且，若三点共线，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. －3 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线定理，求解的值. 【详解】三点共线， ，则， . 故选：C. 3. 某位教师年的家庭总收入为元，各种用途占比统计如下面的折线图.年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知年的就医费用比年增加了元，则该教师年的家庭总收入为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】先根据折线图求出年的就医费用，进而求出年的就医费用，再利用条形图求出年的家庭总收入. 【详解】由已知得，年的就医费用为 (元)， 故年的就医费用为 (元)， 所以该教师年的家庭总收入为 (元)． 故选：D. 4. 已知为平面向量，，则夹角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知先求向量的坐标，再由两向量的内积公式即可求解. 【详解】设，由已知得， 得，解得，所以 设的夹角为，则. 故选：C． 5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的木线长为， 而它们的侧面积相等，所以， 即，解得， 故圆锥的体积为. 故选：B. 6. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则. A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与平面平行、直线与平面垂直的性质及判定定理对给定的四个命题逐个判定即可选定选项. 【详解】对于①，当时，不成立，故①错误； 对于②，由，又，所以成立，故②正确； 对于③，当相交时，满足条件，此时显然不成立，故③错误； 对于④，由，又，所以成立，故④正确. 故选：D. 7. 已知数据的平均数为2，方差为1，则数据相对于原数据（ ） A. 一样稳定 B. 变得稳定 C. 变得不稳定 D. 稳定性不可以判断 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数与方差的变化情况即可判断. 【详解】解法一（对应人教版）： 由题意知，数据的平均数为2，方差为1， 故； 数据的方差， 所以相对于原数据变得不稳定． 故选：C． 解法二（对应高教版）： 由题意知，数据的平均数为2，方差为1， 故； 数据的方差， 所以相对于原数据变得不稳定． 故选：C． 8. 在中，角的对边分别为，若,，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦和角公式和诱导公式化简，再根据正弦定理进行边角转化，求解出的值，从而计算角. 【详解】在中，角的对边分别为， ， ， ，即， ，， 由正弦定理得， ，， 则，， 又，. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 的共轭复数的虚部为 B. 为纯虚数 C. 的模为 D. 若在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知复数相等，应用复数的四则运算得，结合各选项的描述即可判断正误. 【详解】， A：，虚部为，错误； B：，正确； C：，所以，正确； D：，由，其对应的复数为，正确. 故选：BCD. 10. 已知袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率不为的是（ ） A. 颜色相同 B. 颜色不全相同 C. 颜色全不相同 D. 无红球 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出各选项的概率即可判断. 【详解】有放回地取球3次，共种可能结果， A选项，颜色相同的结果有3种，其概率为； B选项，颜色不全相同的结果有种，其概率为； C选项，颜色全不相同的结果有6种，其概率为； D选项，无红球的结果有8种，其概率为. 故选：ACD. 11. 把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，下列各组事件不是独立事件的组数为（ ） A. {掷出偶数点}，{掷出奇数点} B. {掷出偶数点}，{掷出3点} C. {掷出偶数点}，{掷出3的倍数点} D. {掷出偶数点}，{掷出的点数小于4} 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对立事件的定义及概率的求法即可得解. 【详解】对于A，∵， 且，∴事件M与事件N不独立； 对于B，∵，且，∴事件M与事件N不独立； 对于C，∵，且，∴事件M与事件N独立； 对于D，∵，且，∴事件M与事件N不独立． 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上） 12. 样本数据的分位数是_____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数的求法即可得解. 【详解】依题意，样本共6个数，， 将这组数据按照从小到底的顺序排列为， 故这组样本数据的 分位数是. 故答案为：. 13. 已知直线，平面，，，，那么与平面的关系用符号语言表示是__________ 【答案】 【解析】 【分析】先判断直线与平面的位置关系，再用符号表示即可得解. 【详解】∵，，∴. 故答案为：. 14. 某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分，却记了50分，乙得70分却记了100分，更正后平均分和方差分别是________和________. 【答案】 ①. 70 ②. 人教版：50；高教版： 【解析】 【分析】由数据可知平均分不变，结合方差公式，写出更正前和更正后的方差表达式，即可求出更正后的方差. 【详解】解法一（对应人教版）： 因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变70； 设更正后的方差为， 由题意得，， 而更正前有：， 两式相减，得，解得. 故答案为：70；50. 解法二（对应高教版）： 因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变70； 设更正后的方差为， 由题意得，，而更正前有： ， 两式相减，得，解得. 故答案为：70；. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记内角的对边分别为，已知， （1）求； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理解三角形即可求解. （2）根据正弦定理及三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而+， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，平面，，，求证： （1）平面； （2）平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据平面证明，再根据线面平行的判断定理证明平面； （2）根据平面平面证明平面，从而证明，结合勾股定理和面面垂直的判定定理进行证明. 【小问1详解】 平面，平面，平面平面， ， 又平面，平面 平面. 【小问2详解】 ，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面，， ，，即， 又，平面，平面，平面， 平面，平面平面. 17. 全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.为普及相关知识，争创全国文明城市，某市组织了文明城市知识竞赛，现随机抽取了甲、乙两个单位各5名职工的成绩（单位：分）如下表： 甲单位 87 88 91 91 93 乙单位 85 89 91 92 93 （1）根据上表中的数据，分别求出甲、乙两个单位5名职工的成绩的平均数和方差，并比较哪个单位的职工对文明城市知识掌握得更好； （2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2人，求抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率. 【答案】（1）90，90，人教版：，，高教版：，，甲单位的职工比乙单位的职工对文明城市知识掌握得更好 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平均数公式和方差公式易得答案； （2）用枚举法和古典概型的概率公式易得答案. 【小问1详解】 ， ， 人教版：， ， 高教版：， ， 显然，， 可知甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位的职工比乙单位的职工对文明城市知识掌握得更好. 【小问2详解】 从乙单位5名职工中随机抽取2名，他们的成绩组成的所有基本事件（用数对表示）为 ，共10个. 记“抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4”为事件A， 则事件A包含的基本事件为，共5个. 由古典概型计算公式可知. 18. 面对病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A、B、C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是、、 ．求： （1）他们都研制出疫苗的概率； （2）他们都失败的概率； （3）只有一个机构研制出疫苗的概率； （4）至多有一个机构研制出疫苗的概率． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用即可得到答案； （2）利用即可求解； （3）利用计算概率即可得到答案； （4）至多有一个机构研制出疫苗的概率为，由此求出答案即可. 【小问1详解】 设“机构在一定时期研制出疫苗”为事件，“机构在一定时期研制出疫苗”为事件，“机构在一定时期研制出疫苗”为事件， 他们都研制出疫苗， ； 【小问2详解】 他们都失败， ； 【小问3详解】 只有一个机构研制出疫苗， ； 【小问4详解】 至多有一个机构研制出疫苗， . 19. 某高校在2020年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩（满分200分），按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示． 组号 分组 频数 频率 第一组 5 0.050 第二组 35 ② 第三组 20 0.200 第四组 ① 0.300 第五组 10 0.100 合计 100 1.00 （1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再完成上述频率分布直方图； （2）利用频率分布直方图，估计该高校自主招生考试笔试成绩的众数、中位数. （3）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试； （4）在（3）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取3名学生接受考官面试，求第4组至少有1名学生被考官面试的概率． 【答案】（1），，直方图见解析 （2）众数：，中位数： （3）2人、3人、1人 （4） 【解析】 【分析】（1）由题意结合图表求出频数和频率； （2）根据众数和中位数的定义求解； （3）根据分层抽样的概念求出每组分别有多少学生； （4）列出基本事件求解即可. 【小问1详解】 由题可知，第4组的频数为，第2组的频率为． 频率分布直方图如图： 【小问2详解】 出现次数最多的分数是，则众数为. 因为第1、2组的频率和为， 第1、2、3组的频率和为， 所以中位数在第3组，设中位数为m, 则. 【小问3详解】 因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生， 每组分别为第3组：人； 第4组：； 第5组：人. 所以第3、4、5组分别抽取2人、3人、1人． 【小问4详解】 设第3组的2位同学为A，B，第4组的3位同学为a，b，c，第5组的1位同学为d， 则从6位同学中抽3位同学有20个基本事件， 如下：， 其中第4组的3位同学a，b，c中至少有1位同学入选的基本事件有19个； 所以第4组的3位同学a，b，c中至少有1位同学入选的概率为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $