第四章 专题提升十一 动力学中的临界问题-【金版教程】2024-2025学年新教材高中物理必修第一册创新导学案word（人教版2019）

物理　必修 第一册 RJ 专题提升十一　动力学中的临界问题 1．什么是动力学临界问题 在物体速度、加速度等物理条件变化的过程中，往往会存在某些特定状态，此时物理状态将发生突变，对应的某些物理量也将发生突变或达到极值(例如恰好滑动、刚好不脱离、绳子恰好不断裂等)，这种状态即动力学问题的临界状态，此时相应物理量的值为临界值或极值。找出动力学系统的各个临界状态和求出对应临界值，即动力学临界问题。 临界状态一般比较隐蔽，在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件。 2．临界问题的常见类型及临界条件 临界状态 临界条件 两物体由相对静止开始相对滑动 静摩擦力达到最大值 两物体接触或分离 (1)加速度相同 (2)两物体相互间弹力FN＝0 绳子断裂 绳子实际张力等于绳子所能承受的最大张力 绳子松弛 绳子张力FT＝0 3.解决临界问题的三个思路 极限法 把物理问题(或过程)推向极端情况(例如使物体的加速度非常大)，分析在极端情况下可能出现的状态，从而找出临界条件，解决问题 假设法 有些物理问题没有明显的临界线索，一般用假设法，即假设出现某种临界状态(如假设两物体间恰好不发生相对滑动)，分析物体的受力情况或运动情况与题设是否相同，然后再根据实际情况处理 数学法 将物理量间的关系用代数式表达出来，结合已知量的取值范围和其他物理条件，根据代数表达式解出临界值 一、相对静止、相对滑动的临界问题 例1　(多选)如图所示，长方体物块A叠放在长方体小车B上，B置于光滑水平面上。A、B质量分别为mA＝m，mB＝2m，A、B之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现对B施加一水平力F，则(　　) A．当F>μmg时，A相对B滑动 B．当F＝1.5μmg时，B的加速度为0.25μg C．当F>3μmg时，A相对B滑动 D．A的最大加速度为μg [规范解答]　当A、B刚要发生相对滑动时，A、B之间的摩擦力为Ffmax＝μmg，对A分析，根据牛顿第二定律有μmg＝ma，解得A的最大加速度a＝μg，对整体分析，根据牛顿第二定律有F合＝3ma＝3μmg；当F>3μmg时，A、B发生相对滑动，故A错误，C、D正确；当F＝1.5μmg时，A、B一起运动，对整体，根据牛顿第二定律有1.5μmg＝3ma′，解得a′＝0.5μg，故B错误。 [答案]　CD [跟进训练]　(多选)如图所示，一质量M＝3 kg、倾角为α＝45°的斜面体放在光滑水平地面上，斜面体上有一质量为m＝1 kg的各面光滑的楔形物体。用一水平向左的恒力F作用在斜面体上，系统恰好保持相对静止地向左运动。重力加速度为g＝10 m/s2，下列判断正确的是(　　) A．系统做匀速直线运动 B．F＝40 N C．斜面体对楔形物体的作用力为5 N D．增大力F到某一值，楔形物体将相对斜面体沿斜面向上运动 答案：BD 解析：由题意可知楔形物体和斜面体保持相对静止一起向左运动，则两者加速度相同，设为a，对楔形物体和斜面体整体受力分析如图甲所示，根据牛顿第二定律有F＝(M＋m)a，可知系统做匀加速直线运动，对楔形物体受力分析如图乙所示，由牛顿第二定律有mgtan45°＝ma，可得F＝40 N，a＝10 m/s2，故A错误，B正确；斜面体对楔形物体的作用力FN2＝＝10 N，故C错误；外力F增大，则斜面体加速度增大，将斜面体的加速度沿斜面方向和垂直斜面方向分解，又斜面体与楔形物体在垂直斜面方向运动状态一致，则斜面体对楔形物体的支持力也增大，则支持力在竖直方向的分力将会大于重力，楔形物体将会相对斜面体沿斜面向上运动，故D正确。 二、接触与脱离的临界问题 例2　如图所示，在水平向右运动的小车上，固定有一倾角为α的光滑斜面，质量为m的小球被平行于斜面的细绳系住并静止在斜面上，当小车加速度发生变化时，为使小球相对于小车仍保持静止，求小车加速度的允许范围。 [规范解答]　解法一(数学法)：如图所示，对小球进行受力分析，有： 水平方向：FTcosα－FNsinα＝ma① 竖直方向：FTsinα＋FNcosα－mg＝0② 由②式知，当FT最小为0时，FN有最大值，当FN最小为0时，FT有最大值，分别对应两种临界状态。 结合①②可知， 当FN＝0时，加速度a1＝ 当FT＝0时，加速度a2＝－gtanα 负号表示加速度方向与速度方向相反，小车向右做减速运动。 故小车加速度的允许范围为：向右时最大为，向左时最大为gtanα。 解法二(极限法)：小车加速度的方向可能向右，也可能向左。 (1)当小车加速度向右时，若加速度足够大，小球将脱离斜面。设小球恰好不离开斜面时小车向右的加速度为a1，则此时斜面对小球的支持力FN＝0，设细绳对小球的拉力为FT，则 水平方向：FTcosα＝ma1 竖直方向：FTsinα＝mg 解得a1＝。 (2)当小车加速度向左时，若加速度足够大，小球将相对斜面向上运动。设小球恰好与斜面保持相对静止时小车向左的加速度为a2，则此时FT＝0， 水平方向：FNsinα＝ma2 竖直方向：FNcosα＝mg 解得a2＝gtanα。 故小车加速度的允许范围为：向右时最大为，向左时最大为gtanα。 [答案]　向右时最大为，向左时最大为gtanα 挖掘临界条件是解题的关键，本题中小车向右运动时，小球相对小车静止的一种临界情况是小球恰好不离开斜面，斜面弹力刚好为零；另一种临界情况是绳子刚好没有弹力，绳子对小球的拉力为零。应用数学法和极限法比较可知，极限法较简单。对于假设法的运用，常见于滑块—木板类(上下叠放连接体)问题。 例3　(2024·北京市西城区北京四中高一上学期校考期末)(多选)如图，A、B两个物体相互接触，但并不粘合，静止放置在光滑水平面上，已知mA＝4 kg，mB＝6 kg。从t＝0开始，推力FA和拉力FB分别作用于A、B上，FA、FB随时间的变化规律为：FA＝(8－2t) N，FB＝(2＋2t) N。则(　　) A．t＝0时，A物体的加速度为2 m/s2 B．t＝0时，A、B之间的相互作用力为4 N C．t＝3 s时，A、B的速度均为3 m/s D．A、B分离时的速度为2 m/s [规范解答]　由题意知，A物体所受推力逐渐减小，B物体所受拉力逐渐增大，A、B间的相互作用力逐渐减小，当二者之间的相互作用力恰好为0时开始分离，此时二者的加速度相同，根据牛顿第二定律有＝，即＝，解得t＝2 s，由于FA＋FB＝10 N，故分离前A、B两物体一起向右做匀加速运动，加速度大小为a＝＝1 m/s2，则t＝2 s，A、B分离时的速度为v＝at＝2 m/s，故A错误，D正确；设t＝0时A、B之间的相互作用力为F，对B根据牛顿第二定律可得F＋FB＝mBa，解得F＝4 N，故B正确；t＝2 s二者分离后，B的加速度增大，A的加速度减小，则t＝3 s时A、B的速度不相等，故C错误。 [答案]　BD 三、绳子断裂或松弛的临界问题 例4　如图所示，两细绳与水平车顶夹角分别为60°和30°，物体质量为m，当小车以大小为2g的加速度向右做匀加速直线运动时，求绳1和绳2的拉力大小。(g为重力加速度) [规范解答]　绳1和绳2的拉力与小车的加速度大小有关。当小车向右的加速度大到一定值时物体会“飘”起来，导致绳2松弛，没有拉力。 假设绳2的拉力恰为0，即FT2为0，则有 FT1cos30°＝ma′， FT1sin30°＝mg， 解得a′＝g， 因为小车的加速度大于g， 所以物体已“飘”起来， 绳2的拉力FT2′＝0， 绳1的拉力FT1′＝＝mg。 [答案]　mg　0 课后课时作业 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★★ 对应考点/知识点 相对滑动的临界问题 相对静止的临界条件相关问题综合分析 胡克定律、相互分离的临界问题综合分析 绳子松弛的临界问题分析 相对滑动的临界问题分析 结合F­t图像的相互分离的临界问题的综合分析 斜面上物体相对静止的临界问题分析 相对滑动的临界问题与相互接触与脱离的临界问题的综合分析 题型一　相对静止、相对滑动的临界问题 1．质量为m1的数学书和质量为m2的物理书叠放在桌面上，数学书和桌面之间的动摩擦因数为μ1，物理书和数学书之间的动摩擦因数为μ2，欲将数学书从物理书下抽出，则要用的力至少为(　　) A．(μ1＋μ2)(m1＋m2)g B．(m1＋m2)g＋μ1m2g C．(μ1＋μ2)m2g D．(μ1m1＋μ2m2)g 答案：A 解析：当数学书刚好从物理书下抽出时，物理书与数学书刚好相对滑动，两者加速度相等，对物理书由牛顿第二定律有μ2m2g＝m2a，对整体，有F－μ1(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a，联立得F＝(μ1＋μ2)(m1＋m2)g，故A正确，B、C、D错误。 2．(多选)如图，在倾角为α＝30°的固定斜面上，有一个质量为1 kg的长木板，木板上站着一只质量为2 kg的猫，木板恰好静止在斜面上。某时刻猫突然沿木板以相对于地面2 m/s2的加速度向上奔跑。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且猫在板上静止和运动时对木板的压力相同，重力加速度g取10 m/s2，斜面足够长，则下列说法正确的是(　　) A．猫在木板上奔跑时，猫对木板的摩擦力大小为4 N B．猫在木板上奔跑时，木板的加速度大小为4 m/s2 C．猫在木板上奔跑时，木板对猫的作用力竖直向上 D．猫离开木板后，木板将向下做匀速直线运动 答案：BD 解析：用M、m分别表示猫和木板的质量，原来系统恰好静止时，由平衡条件得(M＋m)·gsinα＝μ(M＋m)gcosα，得木板与斜面间的动摩擦因数μ＝tanα，当猫向上做匀加速运动时，设猫与板间摩擦力大小为f，对猫由牛顿第二定律有f－Mgsinα＝Ma，对木板分析，以沿斜面向下为正方向，根据牛顿第二定律有mgsinα＋f－μ(M＋m)gcosα＝ma′，代入题中条件可得f＝14 N，a′＝4 m/s2，故A错误，B正确；猫向上做匀加速运动，所受合力沿斜面向上，又因为猫只受重力及木板作用力，且重力竖直向下，则木板对猫的作用力(支持力与摩擦力的合力)必然斜向右上方，故C错误；猫离开木板时，木板已经有向下的速度，设猫离开后木板的加速度为a0，根据牛顿第二定律有mgsinα－μmgcosα＝ma0，可解得其加速度a0＝0，所以木板沿斜面向下做匀速直线运动，故D正确。 题型二　接触与脱离的临界问题 3．(多选)如图所示，劲度系数为k的轻弹簧下端系一个质量为m的小球A，小球被水平挡板P托住使弹簧长度恰为自然长度(小球与挡板不粘连)，然后使挡板P以恒定的加速度a(a＜g)开始竖直向下做匀加速直线运动，则(　　) A．小球与挡板分离的时间为t＝ B．小球与挡板分离的时间为t＝ C．小球从开始运动直到最低点的过程中，小球速度最大时弹簧的伸长量x＝ D．小球从开始运动直到最低点的过程中，小球速度最大时弹簧的伸长量x＝ 答案：BC 解析：小球与挡板分离的临界条件为：小球与挡板加速度相同，且两者之间相互作用力为0，从开始运动到两者分离，设挡板的位移为x0，对小球，由牛顿第二定律得mg－kx0＝ma，由匀变速直线运动的位移与时间的关系式得x0＝at2，联立解得t＝，故A错误，B正确；小球速度最大时所受合力为零，即mg－kx＝0，故弹簧的伸长量x＝，C正确，D错误。 [名师点拨]　动力学系统临界问题的分析方法 (1)与共点力平衡的临界问题的分析类似，关键仍然是找出临界状态下的物理条件(例如本题中“分离”的临界条件为：①小球与挡板间的弹力恰好为0；②小球的加速度仍为a)。 (2)找出临界条件后，就可以根据牛顿第二定律、运动学公式列式求解。 题型三　绳子松弛或断裂的临界问题 4．一个质量为m的小球B，用两根等长的细绳1、2分别固定在车厢的A、C两点，如图所示。已知两绳拉直时，两绳与车厢前壁的夹角均为45°，当车以加速度a＝g(重力加速度为g)向左做匀加速直线运动时，求1、2两绳拉力的大小。 答案：mg　0 解析：设当细绳2刚好拉直而无张力时，车的加速度向左且大小为a0， 由牛顿第二定律得 F1cos45°＝mg，F1sin45°＝ma0 可得a0＝g。 因a＝g＜a0，故细绳2松弛，拉力为零 设此时细绳1与车厢前壁夹角为θ， 有F1′cosθ＝mg，F1′sinθ＝ma 得细绳1上的拉力F1′＝mg。 5．(多选)如图所示，A、B两物块的质量分别为2m和m，静止叠放在水平地面上，A、B间的动摩擦因数为μ，B与地面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。现对B施加一水平拉力F，则(　　) A．当F＜2μmg时，A、B相对地面静止 B．当F＝μmg时，A的加速度为μg C．当F＞3μmg时，A相对B滑动 D．无论F为何值，A的加速度都不会超过μg 答案：BD 解析：A、B之间的最大静摩擦力为fmax＝μmAg＝2μmg，A、B恰好发生相对滑动时A的加速度为a0＝＝μg，B与地面间的最大静摩擦力为fmax′＝μ(mA＋mB)g＝μmg，故A、B恰好发生相对滑动时有F0－fmax′＝(m＋2m)a0，解得F0＝μmg＋3ma0＝μmg。当F＜2μmg时，A、B之间不会发生相对滑动，B与地面间可能会发生相对滑动，A错误；当F＝μmg＜μmg时，A、B间不会发生相对滑动，对A、B整体由牛顿第二定律有a＝＝＝μg，故B正确；当μmg＞F＞3μmg时，A、B间不会发生相对滑动，C错误；B对A的最大摩擦力为2μmg，无论F为何值，A的加速度不会超过μg，D正确。 6．(多选)如图甲所示，质量均为1 kg的物体A、B接触但不粘连，放置在光滑水平桌面上，一轻质弹簧一端固定在墙壁上，另一端拴接物体A。压缩弹簧至某一位置(在弹性限度以内)后静止释放A、B，同时给物体B施加水平向右的力F的作用使之做匀加速直线运动，F与作用时间t的关系如图乙所示，则下列说法正确的是(　　) A．物体A、B分离时，弹簧刚好为原长状态 B．物体A、B分离时，物体B的速度为0.4 m/s C．F刚开始作用时，弹簧压缩量为4 cm D．弹簧的劲度系数为50 N/m 答案：BD 解析：物体A、B分离瞬间，两者间的相互作用力为零，但加速度仍相同，即A有水平向右的加速度，故弹簧处于压缩状态，A错误；物体A、B分离后，B加速度不变，力F不变，由图乙可知，t＝0.2 s A、B分离，B受到的力F＝2 N，则其加速度为a＝＝2 m/s2，分离前A、B一起向右做匀加速直线运动，加速度为a，故A、B分离时，两者的速度均为v＝at＝0.4 m/s，B正确；t＝0时，F＝0，弹簧弹力等于两物体所受的合力，设弹簧的压缩量为x1，可得kx1＝2ma，运动t＝0.2 s后，弹簧压缩量为x2＝x1－at2，此时A在水平方向上只受弹簧弹力，由牛顿第二定律可得kx2＝ma，联立解得k＝50 N/m，x1＝0.08 m＝8 cm，C错误，D正确。 7．如图所示，一块质量m＝2 kg的木块放置在质量M＝6 kg、倾角θ＝37°的粗糙斜面体上，木块与斜面体间的动摩擦因数μ＝0.8，二者静止在光滑水平面上。现对斜面体施加一个水平向左的作用力F，若要保证木块和斜面体不发生相对滑动，求F的大小范围。(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8) 答案：0≤F≤310 N 解析：由于μ＞tanθ，即μmgcosθ>mgsinθ，故当F＝0时，木块静止在斜面上，即F的最小值为0。 根据题意可知，当木块相对斜面恰不向上滑动时，F有最大值Fm 此时对整体和木块分别进行受力分析，如图甲、乙： 对整体：Fm＝(m＋M)a， 对木块： 水平方向有Ffcosθ＋FNsinθ＝ma， 竖直方向有FNcosθ＝mg＋Ffsinθ， 又Ff＝μFN， 联立以上各式，代入数据解得Fm＝310 N。 故F的大小范围为0≤F≤310 N。 8．(2024·辽宁省沈阳市高一上学期统考期末)如图所示，平板小车上固定一竖直杆，小物块通过一根恰好伸直的细线与杆相连，细线与杆间的夹角θ＝37°。已知物块的质量m＝2 kg，物块与平板车间的动摩擦因数为μ＝0.4，设滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。当物块随小车一起向右做匀加速直线运动时，下列说法正确的是(　　) A．加速度越大，细线对物块的拉力越大 B．当加速度a＝3 m/s2时，细线对物块的拉力大小为10 N C．当加速度a＝7 m/s2时，细线对物块的拉力大小为10 N D．当加速度a＝10 m/s2时，细线对物块的拉力大小为20 N 答案：D 解析：由题意可知，初始时细线拉力为零，当物块随小车一起向右做匀加速运动，加速度较小时，由静摩擦力提供物块的加速度，当加速度较大，以致静摩擦力无法单独提供加速度时，细线拉力开始增大，当最大静摩擦力提供加速度时，根据牛顿第二定律有fm＝μmg＝ma，得a＝4 m/s2，则当加速度a＝3 m/s2时，细线对物块的拉力大小为0，A、B错误；物块与平板车脱离的临界条件是物块与平板车间恰好没有相互作用力，只由细线拉力的分力提供物块的加速度，设物块恰好和平板车脱离时的加速度为a0，由牛顿第二定律有mgtan37°＝ma0，解得a0＝7.5 m/s2，当加速度a＝7 m/s2时，设平板车对物块的支持力为N，细线对物块的拉力大小为F，根据牛顿第二定律有Fsin37°－μN＝ma，又Fcos37°＋N＝mg，解得F＝ N，C错误；当加速度a＝10 m/s2时，物块与平板车脱离，设细线与竖直方向夹角为α，细线对物块的拉力大小为F′，则F′cosα＝mg，F′sinα＝ma，解得F′＝20 N，D正确。 12 学科网（北京）股份有限公司 $$