第二章 专题提升四 追及相遇问题-【金版教程】2024-2025学年新教材高中物理必修第一册创新导学案word（人教版2019）

物理　必修 第一册 RJ 专题提升四　追及相遇问题 1．追及相遇问题 当两个物体在同一直线上一前一后运动时，随着速度的变化，两个物体之间的距离会不断变化(例如后面车辆追赶前面车辆)，速度相同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者相遇的情况，这类问题称为追及相遇问题。 注：本专题只讨论涉及匀变速直线运动和匀速直线运动的追及相遇问题。 2．追及相遇问题的分析思路 讨论追及相遇问题，实质是分析两个物体能否在同一时刻到达相同的位置。其一般分析思路是： (1)对两物体的运动过程分析，判断两物体间距离随二者速度变化的趋势。 (2)找出两物体间距离变化的临界状态。两个物体速度相等时，往往是两物体间距离变化的临界状态。 (3)画出临界状态时两个物体运动的位移的关系示意图。 (4)根据匀变速直线运动的规律列运动方程，根据临界条件“两个物体速度相等”、临界状态时两个物体运动的位移关系示意图，列辅助方程。 (5)联立方程求解，并对结果进行分析。 3．追及相遇问题的常见解题方法 (1)物理分析法 根据题目分析两个物体的运动，找出临界状态，画出两物体运动位移的关系示意图，列运动方程，以及“两个物体速度相等”的临界条件方程、临界状态时两个物体的位移关系方程，联立求解，并对计算结果分析说明。 (2)函数分析法 设两物体的运动时间均为t，根据运动规律对两物体分别列出位移与时间的关系式，结合两物体的位移关系，得到两物体间的距离差Δx关于时间t的二次函数关系式Δx＝f(t)。 根据Δx＝f(t)，用二次函数求极值的方法可以求得最大距离或最小距离；令Δx＝0(表示两个物体相遇)，根据这个一元二次方程根的判别式，也可以分析两物体相遇的情况： ①若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次； ②若Δ＝0，有一个解，说明能刚好追上或相遇； ③若Δ＜0，无解，说明追不上或不能相遇。 注意：利用数学分析法解出方程Δx＝0后，需要分析解是否符合物理实际情况。 (3)图像分析法 在同一个v­t坐标系中画出两个物体运动速度随时间变化的关系，利用v­t图像与t轴所围面积表示位移，可以更加直观地分析追及相遇问题。两物体从同一位置开始运动的追及相遇问题，最适合用v­t图像来分析。 一、初速度小者追初速度大者 例1　一辆汽车在十字路口等候红绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自＝6 m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车。试求： (1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前，经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ (2)什么时候汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？ [规范解答]　(1)解法一(物理分析法)：汽车与自行车的速度相等时两车相距最远，如图所示，设此时经过的时间为t1，两车间的距离为Δx，则有 v汽＝v自＝at1 所以t1＝＝2 s Δx＝x自－x汽＝v自t1－at＝6 m。 解法二(函数分析法)：设汽车在追上自行车之前，经过时间t两车相距Δx，则 Δx＝x自－x汽＝v自t－at2 代入已知数据得Δx＝6t－t2 由二次函数求极值的条件知：t＝2 s时，Δx有最大值6 m 所以经过t＝2 s后，两车相距最远，此时距离为Δx＝6 m。 解法三(图像分析法)：自行车和汽车的v­t图像如图所示，由图像可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有 t1＝＝＝2 s Δx＝＝＝6 m。 (2)解法一(物理分析法)：当两车位移相同时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2， 则有v自t2＝at 解得t2＝＝＝4 s 此时汽车的速度v1′＝at2＝12 m/s。 解法二(图像分析法)：由前面画出的v­t图像可以看出，在t1时刻之后，当由图线v自、v汽和t＝t2构成的三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等时，汽车与自行车的位移相同，即汽车与自行车相遇，所以t2＝2t1＝4 s，v1′＝at2＝3 m/s2×4 s＝12 m/s。 [答案]　(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s 初速度小者追初速度大者的运动分析 运动示意图 说明：开始时，甲、乙两物体的距离是x0，设t0时刻两物体速度相等时，甲物体比乙物体多运动位移Δx 常见运动及其v­t图像 匀加速追匀速 匀速追匀减速 匀加速追匀减速 运动分析 (1)t＝t0以前，甲、乙两物体间距逐渐增大 (2)t＝t0时，v1＝v2，两物体间距最大，为x0＋Δx (3)t＝t0以后，甲、乙两物体间距逐渐减小，乙能追上甲且只能相遇一次 [跟进训练1]　甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标。在描述两车运动的v­t图像中(如图所示)，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20 s的运动情况。关于两车之间的位移关系，下列说法正确的是(　　) A．在0～10 s内两车逐渐靠近 B．在10～20 s内两车逐渐远离 C．在5～15 s这段时间两车运动的位移相等 D．在t＝10 s时两车在公路上相遇 答案：C 解析：甲车做速度为5 m/s的匀速直线运动，乙车做初速度为10 m/s的匀减速直线运动。在t＝10 s时，两车的速度相同，在此之前，甲车的速度小于乙车的速度，两车的距离越来越大；在此之后，甲车的速度大于乙车的速度，两车的距离又逐渐减小，结合v­t图线与t轴所围面积表示位移可知，0～20 s这段时间两图线与时间轴所围面积相等，则两车运动的位移相等，则在t＝20 s时两车相遇，故A、B、D错误。在v­t图像中，图线与时间轴所围面积表示物体的位移，则5～15 s这段时间，两图线与时间轴所围成的面积相等，故两车运动的位移相等，C正确。 [跟进训练2]　运动员将足球以12 m/s的速度踢出，足球沿草地做加速度大小为2 m/s2的匀减速直线运动，踢出的同时运动员以恒定速度8 m/s去追足球，求： (1)经过多长时间运动员与足球的距离最大？ (2)运动员追上足球所需时间。 答案：(1)2 s　(2)4 s 解析：(1)当运动员与足球的速度相等时，二者的距离最大。设足球的初速度为v0，运动员的速度为v2，经过时间t1运动员与足球的距离最大，则有v1＝v0－at1 v1＝v2 联立解得t1＝2 s。 (2)假设运动员追上足球时足球还没有停止，且运动员经时间t追上足球，则有v0t－at2＝v2t 代入数据解得t＝4 s(t＝0舍去) 此时足球的速度为v1′＝v0－at＝4 m/s，还未停止运动，假设成立，故运动员追上足球所需时间为4 s。 [名师点拨]　若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动。 二、初速度大者追初速度小者 例2　一辆客车从静止开始以a＝1 m/s2做匀加速直线运动的同时，在车的后面s＝20 m处有一人骑自行车以6 m/s的速度匀速追赶这辆车，判断人能否追上这辆客车？若不能，二者间的最小距离为多少？ [规范解答]　画出人与车的位移关系示意图如图所示 解法一(物理分析法)：当车的速度与人的速度相等时，相距最近，此时若追不上，以后永远追不上。设经过时间t人的速度与车的速度相等，则有v车＝at，v人＝6 m/s 且v车＝v人 联立可解得t＝＝＝6 s 则时间t内人与车的位移分别为 x人＝v人t＝6 m/s×6 s＝36 m x车＝at2＝×1 m/s2×(6 s)2＝18 m 显然x车＋x0＝38 m＞x人，人追不上车 人与车的最小距离为Δx＝x车＋x0－x人＝18 m＋20 m－36 m＝2 m。 解法二(函数分析法)：车与人的位移分别为 x车＝at2，x人＝v人t 车与人的距离Δx＝x车＋x0－x人 联立并代入数据得Δx＝t2－6t＋20 若人能追上车，则Δx＝t2－6t＋20＝0有解 该一元二次方程根的判别式Δ＝(－6)2－4×20×<0，则人不能追上车 根据二次函数的知识可知，对于函数 Δx＝t2－6t＋20 当t＝－＝6 s时，Δx有最小值，解得最小值Δxmin＝2 m 即人与车的最小距离为2 m。 [答案]　追不上　2 m 1．初速度大者追初速度小者的运动分析 运动示意图 说明：开始时，甲、乙两物体的距离是x0，设t0时刻两物体速度相等时，乙物体比甲物体多运动位移Δx 常见 运动 及其 v­t 图像 匀减速追匀速 匀速追匀加速 匀减速追匀加速 运动分析 Δx<x0以前，甲、乙两物体间的距离逐渐减小 (1)若Δx＝x0，则乙恰能追上甲，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件 (2)若Δx<x0，则乙不能追上甲，此时两物体有最小距离，为x0－Δx (3)若Δx>x0，则相遇两次，设t1时刻Δx′＝x0，两物体第一次相遇，则必有t2时刻两物体第二次相遇，且t2－t0＝t0－t1 2．追及相遇问题的解题技巧 抓住“一个条件”和“两个关系”。 一个 条件 速度相等是两物体距离最大或最小、恰好追上或恰好追不上的临界条件 两个 关系 通过画运动草图，找到两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口 [跟进训练3]　汽车以20 m/s的速度在平直公路上行驶时，刹车后40 s停下来。现在同一平直公路上以20 m/s的速度行驶时发现前方200 m处有一货车以6 m/s的速度同向匀速行驶，司机立即刹车，则： (1)求汽车刹车时的加速度大小； (2)是否发生撞车事故？若发生撞车事故，在何时发生？若没有撞车，两车最近距离为多少？ 答案：(1)0.5 m/s2　(2)不会相撞　4 m 解析：(1)设汽车开始刹车时的速度为vA，则vA＝20 m/s，刹车t＝40 s后停下，则汽车刹车时的加速度大小a＝＝0.5 m/s2。 (2)设货车速度为vB，则汽车减速到与货车速度相同所用的时间t0＝＝28 s 此时间内汽车运动的位移 x1＝＝364 m 货车运动的位移为x2＝vBt0＝168 m 两车位移之差Δx＝x1－x2＝196 m＜200 m，所以两车不会相撞，即不会发生撞车事故 速度相等时，两车相距最近，最近距离 Δs＝x0－Δx＝200 m－196 m＝4 m。 课后课时作业 题号 1 2 3 4 5 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★ 对应考点/知识点 初速度小者追初速度大者v­t图像的定性分析 初速度小者追初速度大者最大距离的计算 初速度小者追初速度大者相遇时间的计算(刹车问题) 初速度小者追初速度大者相遇时间、最大距离的计算 初速度大者追初速度小者能否追上的分析计算 题号 6 7 8 9 10 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对应考点/知识点 初速度大者追初速度小者恰好追不上时的计算 初速度大者追初速度小者最近距离的计算 已知相遇时刻，根据v­t图像分析计算两物体的位置 相遇次数的判断 有最大速度限制的追及相遇问题 题型一　初速度小者追初速度大者 1．(2024·福建省宁德市高一上统考期末)(多选)和谐号动车与复兴号动车车头平齐，相继从同一站点由静止出发，沿同一方向做直线运动。两车的速度—时间图像如图所示，下列说法正确的是(　　) A．0～140 s，复兴号动车与和谐号动车车头的距离变大 B．0～140 s，复兴号动车与和谐号动车车头的距离变小 C．复兴号动车追上和谐号动车前，t＝140 s时，两车车头相距最远 D．当t＝140 s时，复兴号动车再次与和谐号动车车头平齐 答案：AC 解析：和谐号动车与复兴号动车相继从同一站点由静止出发，由题图可知，0～140 s内，和谐号动车的速度一直比复兴号动车的速度大，则复兴号动车与和谐号动车车头的距离变大，A正确，B错误；t＝140 s时，两车速度相同，两车车头相距最远，t＝140 s以后，复兴号动车的速度一直比和谐号动车的速度大，两者间距逐渐减小，复兴号动车甚至反超和谐号动车，故C正确，D错误。 2．甲、乙两物体在同一条直线上同时同地沿同一方向运动，甲的初速度为6 m/s，由于摩擦做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2；乙做初速度为零、加速度为1 m/s2的匀加速直线运动。乙追上甲之前两物体的最大距离是(　　) A．3 m B．6 m C．9 m D．14 m 答案：B 解析：当甲、乙的速度相等时，二者距离最大，设经过时间t二者速度相等，由a乙t＝v甲－a甲t，解得t＝＝2 s，在这2 s内，甲的位移x甲＝v甲t－a甲t2＝6 m/s×2 s－×2 m/s2×(2 s)2＝8 m，乙的位移x乙＝a乙t2＝×1 m/s2×(2 s)2＝2 m，二者间的最大距离Δx＝x甲－x乙＝6 m，故选B。 3．(2023·河北省邢台市高一上期末教学质量检测)如图所示，A、B两物体(均可视为质点)相距8 m，此时物体A以大小为4 m/s的速度向右做匀速直线运动，物体B向右做初速度大小为10 m/s、加速度大小为2.5 m/s2的匀减速直线运动，速度减为0后保持静止，则从此时开始，物体A追上物体B所用的时间为(　　) A．7 s B．8 s C．9 s D．10 s 答案：A 解析：根据题意，物体B运动的时间为tB＝＝＝4 s，该时间内物体B发生的位移为xB＝vBtB－at＝20 m，物体A发生的位移为xA＝vAtB＝16 m，因xA<xB＋x，故B停下时，A未追上B，此后B静止，A继续匀速运动，则A再运动t′＝＝3 s追上B，则从开始到物体A追上物体B所用时间为t＝tB＋t′＝7 s，故选A。 4．平直公路上有甲、乙两辆汽车，甲以0.5 m/s2的加速度由静止开始匀加速行驶，乙在甲的前方200 m处以5 m/s的速度做同方向的匀速运动，求： (1)甲何时追上乙？甲追上乙时的速度为多大？此时甲离出发点多远？ (2)在追赶过程中，甲、乙之间何时有最大距离？这个距离为多少？ 答案：(1)40 s　20 m/s　400 m (2)10 s末　225 m 解析：(1)设甲经过时间t追上乙，则有 x甲＝a甲t2，x乙＝v乙t 根据追及条件，有x甲＝x乙＋200 m 代入数值，解得t＝40 s和t＝－20 s(舍去) 这时甲的速度 v甲＝a甲t＝0.5 m/s2×40 s＝20 m/s 甲离出发点的位移 x甲＝a甲t2＝×0.5 m/s2×(40 s)2＝400 m。 (2)在追赶过程中当v甲＝v乙时，甲、乙之间的距离达到最大值，设所用时间为t′， 由a甲t′＝v乙，得t′＝10 s 即甲在10 s末离乙的距离最大 t′时间内，甲的位移x甲′＝a甲t′2 乙的位移x乙′＝v乙t′ 则最大距离xmax＝x0＋x乙′－x甲′ 解得xmax＝225 m。 题型二　初速度大者追初速度小者 5．一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距公共汽车25 m处时，绿灯亮了，公共汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则(　　) A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 m B．人不能追上公共汽车，人、公共汽车最近距离为7 m C．人能追上公共汽车，追上公共汽车前人共跑了43 m D．人不能追上公共汽车，且公共汽车开动后，人、公共汽车距离越来越远 答案：B 解析：公共汽车加速到6.0 m/s时所用时间t＝＝6 s，该时间内，人运动距离为x1＝vt＝36 m，公共汽车运动距离为x2＝at2＝18 m，公共汽车开动时两者间距离s＝25 m，由于x2＋s－x1＝7 m＞0，所以人不能追上公共汽车，且人、公共汽车最近距离为7 m，由以上分析知，公共汽车开动后，人、公共汽车之间的距离先减小后增大，A、C、D错误，B正确。 6．(2024·河南省驻马店市高一上统考期末)甲、乙两辆汽车在一条平直的单行道上同向行驶，乙车在前，速度大小为v2，甲车在后，速度大小为v1，且v1>v2。当两车相距L时，甲车感觉到危险，以加速度大小a开始刹车，同时鸣笛示意乙车，但乙车始终未有反应。两车恰好不相撞，则a为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：两车恰好不相撞，则甲车追上乙车时，两车速度大小相等，设甲车刹车t时间后追上乙车，则甲车运动的位移为x甲＝v1t－at2，乙车运动的位移为x乙＝v2t，两车t时间内的位移满足关系x甲＝x乙＋L，且此时v1－at＝v2，联立解得a＝，故选A。 7．(2024·湖北省荆门市高一上统考期末)如图所示，甲、乙两辆汽车在一条平直公路上做匀速直线运动，甲车在前，速度大小为v1＝10 m/s，乙车在后，速度大小为v2＝30 m/s，t1＝0时刻甲车在乙车前方x0＝100 m处，求： (1)经多长时间乙车追上甲车？ (2)为防止发生追尾事故，t2＝0.5 s时刻乙车采取制动措施，做加速度大小为a＝5 m/s2的匀减速直线运动，则甲、乙两车相距最近时的距离是多少？ 答案：(1)5 s　(2)50 m 解析：(1)设历时tx乙车追上甲车，该时间内甲车位移为x甲＝v1tx 乙车位移为x乙＝v2tx 根据位移关系有x甲＋x0＝x乙 代入数据解得tx＝5 s。 (2)设乙车减速后历时tx′与甲车速度相等， 有v1＝v2－atx′ 当两车速度相等时，甲车位移为 x1＝v1(Δt＋tx′) 其中Δt＝t2－t1＝0.5 s 乙车位移为x2＝v2Δt＋v2tx′－atx′2 则两车相距最近时的距离为Δx＝x0＋x1－x2 联立并代入数据解得Δx＝50 m。 8．(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v­t图像如图所示。已知两车在t＝3 s时并排行驶，则(　　) A．在t＝1 s时，甲车在乙车后 B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m处 C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m 答案：BD 解析：由题图知，甲车做初速度为零的匀加速直线运动，其加速度a甲＝10 m/s2，乙车做初速度v0＝10 m/s、加速度a乙＝5 m/s2的匀加速直线运动。3 s内甲、乙车的位移分别为x甲＝a甲t＝45 m，x乙＝v0t3＋a乙t＝52.5 m，由于t＝3 s时两车并排行驶，说明t＝0时甲车在乙车前，Δx＝x乙－x甲＝7.5 m，B正确；t＝1 s时，甲车的位移为x甲′＝a甲t＝5 m，乙车的位移为x乙′＝v0t2＋a乙t＝12.5 m，由于甲车的初始位置超前乙车7.5 m，且x乙′－x甲′＝7.5 m，则t＝1 s时两车并排行驶，A、C错误；甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为x乙－x乙′＝52.5 m－12.5 m＝40 m，D正确。 9．(2023·四川省绵阳市高一上期末)(多选)在同一平直路面上有a和b两辆汽车，观察者看到a车经过自己身边时，正匀速向前运动，此时，b车从静止开始向前匀加速启动，下列说法正确的是(　　) A．若此时b车也刚好在观察者身边，则b车和a车只能相遇一次 B．若此时b车在观察者后面，则a车和b车可能不会相遇 C．若此时b车在观察者前面，则a车和b车可能相遇两次 D．若此时b车在观察者前面，则a车和b车可能只相遇一次 答案：ACD 解析：若此时b车也刚好在观察者身边，则b车从启动到速度与a车相等这一过程，a车速度大，会在b车前面，当b车速度与a车相同时，两车间的距离最大，之后b车速度大于a车速度，两车之间间距逐渐减小，两车会相遇一次，之后b车速度依旧大于a车速度，不会出现第二次相遇，故A正确。若此时b车在观察者后面，由于b车一直在加速，a车匀速，则与A项分析一致，两车共速时相距最远，之后b车速度大于a车速度，必然相遇一次，且只能相遇一次，故B错误。若此时b车在观察者前面，则b车从启动到速度与a车相等这一过程，a车速度大，两车会先靠近，此过程两车可能相遇也可能不相遇。若相遇且相遇时速度相同，则a车和b车只相遇一次；若相遇且相遇时a车速度大，则b车被超越，根据A、B项中分析可知之后两车会再次相遇；若两车共速时a车还在b车后面，则两车不会相遇。即若此时b车在观察者前面，两车可能不会相遇，可能相遇一次，也可能相遇两次，故C、D正确。 10．一辆值勤的警车停在公路边，当交警发现从他旁边以v1＝36 km/h的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定立即前去追赶，经过t0＝5.5 s后警车发动起来，并以a＝2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度不能超过vm＝90 km/h。问： (1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？ (2)警车发动后最快要多长时间才能追上货车？ 答案：(1)75 m　(2)12 s 解析：(1)货车的速度为 v1＝36 km/h＝10 m/s 警车最大的行驶速度为 vm＝90 km/h＝25 m/s 警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时，它们间的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等，则v1＝at1 此时货车的位移x货＝v1(t0＋t1) 警车的位移x警＝at 两车间的最大距离Δx＝x货－x警 联立并代入数据解得Δx＝75 m。 (2)设警车发动后经过t2时间达到最大速度，有vm＝at2 此时货车的位移x货′＝v1(t0＋t2) 警车的位移x警′＝at 代入数据，解得x货′＝155 m，x警′＝125 m 因为x货′＞x警′，故此时警车尚未追上货车，且此时两车间距离Δx′＝x货′－x警′＝30 m 警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过Δt时间追赶上货车，则有 Δx′＝vmΔt－v1Δt 所以警车发动后最快追上货车的时间为 t＝t2＋Δt 代入数据解得t＝12 s。 13 学科网（北京）股份有限公司 $$