第二章 专题提升三 匀变速直线运动的推论-【金版教程】2024-2025学年新教材高中物理必修第一册创新导学案word（人教版2019）

物理　必修 第一册 RJ 专题提升三　匀变速直线运动的推论 提升1　初速度为零的匀变速直线运动的比例关系 初速度为零的匀变速直线运动的常用比例关系 (1)按时间等分(设相等的时间间隔为T) ①1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比，由v＝at可推得：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。 ②前1T内、前2T内、前3T内、…、前nT内位移之比，由x＝at2可推得：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2。 ③第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比，由xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1，xⅢ＝x3－x2，…，xN＝xn－xn－1，可推得：xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。 (2)按位移等分(设相等的位移为x0) ①通过x0、2x0、3x0、…、nx0所用时间之比，由x＝at2得t＝，可推得：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶。 ②通过第一个x0、第二个x0、第三个x0、…、第n个x0所用时间之比，由tⅠ＝t1，tⅡ＝t2－t1，tⅢ＝t3－t2，…，tN＝tn－tn－1，可推得：tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tN＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)。 ③x0末、2x0末、3x0末、…、nx0末的瞬时速度之比，由v2＝2ax，可得v＝，可推得：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶。 例1(多选)某物体从足够高处开始做自由落体运动，已知重力加速度g＝10 m/s2，下列说法中正确的有(　　) A．物体下落第1 s末、第2 s末、第3 s末的速度之比为1∶2∶3 B．物体下落第1 s末、第2 s末、第3 s末的位移之比为1∶3∶5 C．物体下落第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为1∶3∶5 D．物体下落前3 s内的位移为45 m [规范解答]　根据自由落体运动的速度与时间的关系式v＝gt可知，物体下落第1 s末、第2 s末、第3 s末的速度之比为1∶2∶3，故A正确；根据自由落体运动的位移与时间的关系式h＝gt2可知，物体下落第1 s末、第2 s末、第3 s末的位移之比为1∶4∶9，故B错误；物体在第n s内下落的高度Δhn＝gn2－g(n－1)2，可知物体下落第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为1∶3∶5，故C正确；根据自由落体运动的位移与时间的关系式h＝gt2可知，物体下落前3 s内的位移x3＝45 m，D正确。 [答案]　ACD (1)以上比例式只适用于初速度为零的匀加速直线运动。 (2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它逆向看成初速度为零的匀加速直线运动，应用比例关系可以快速解答问题。 [跟进训练1]　(多选)一竖直的墙壁上AE被分成四段相等的部分，物体由A点从静止释放做自由落体运动，如图所示，下列结论正确的是(　　) A．物体到达各点的速率vB∶vC∶vD∶vE＝1∶2∶3∶4 B．物体到达各点的速率vB∶vC∶vD∶vE＝1∶∶∶2 C．物体到达各点所用时间tB∶tC∶tD∶tE＝1∶∶∶2 D．物体到达各点所用时间tB∶tC∶tD∶tE＝1∶2∶3∶4 答案：BC 解析：由匀变速直线运动速度与位移的关系式知v2＝2gh，物体到达各点的速率vB∶vC∶vD∶vE＝1∶∶∶2，A错误，B正确；由自由落体运动的位移与时间的关系式h＝gt2知，物体到达各点所用时间tB∶tC∶tD∶tE＝1∶∶∶2，C正确，D错误。 提升2　位移差公式Δx＝aT2 1．一个重要推论：Δx＝aT2 (1)内容：做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间T内的位移差是个恒量，且Δx＝aT2。 (2)证明：如图所示，物体做匀变速直线运动，初速度为v0，T为连续相等的时间间隔，x1、x2、x3、…、xn为连续相等时间间隔内的位移。 第一个时间T内的位移 x1＝v0T＋aT2 第二个时间T内的位移 x2＝(v0＋aT)T＋aT2 第三个时间T内的位移 x3＝(v0＋a·2T)T＋aT2 …… 第n个时间T内的位移 xn＝[v0＋a·(n－1)T]T＋aT2 所以有Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2。 2．Δx＝aT2的推论：根据Δx＝aT2，可以证明，对于不相邻的两段位移：xm－xn＝(m－n)aT2。 3．Δx＝aT2的应用 (1)判断物体是否做匀变速直线运动 如果对于任意时间T，Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1都成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。 (2)求加速度 利用Δx＝aT2，可求得a＝。 4．根据Δx＝aT2计算纸带的加速度 物体做匀变速直线运动时，打点计时器打出的纸带如图。图中x1、x2、…、x6是相邻的时间间隔T内计数点间的位移。根据Δx＝aT2计算加速度时，为了减小偶然误差，应使用尽可能多的数据。 可以把图中的6段位移看成连续的两段位移，其中xⅠ＝x1＋x2＋x3，xⅡ＝x4＋x5＋x6，则相等的时间间隔T′＝3T。 由xⅡ－xⅠ＝aT′2可得：a＝ ＝。 以上表达式中，给出的数据全部使用了，可以最大限度减小偶然误差。 说明：将a＝变形，可得a＝＝，所以上式实际是使用了全部测量数据、并多次测量求平均值来减小误差的。 例2有一个做匀变速直线运动的物体，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和64 m，连续相等的时间为4 s，求物体在这8 s内运动的初速度和加速度大小。 [规范解答]　画出物体运动的示意图，如图所示，物体从A到B再到C各用时4 s，AB＝24 m，BC＝64 m。 解法一(常规解法)：设物体的加速度为a， 则x1＝vAT＋aT2 x2＝－ 将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入两式求得vA＝1 m/s，a＝2.5 m/s2。 解法二(用平均速度求解)： 1＝＝＝6 m/s 2＝＝＝16 m/s 又2＝1＋aT 代入数据解得a＝2.5 m/s2 再由x1＝vAT＋aT2 求得vA＝1 m/s。 解法三(用推论Δx＝aT2求解)： 由x2－x1＝aT2 代入数据解得a＝2.5 m/s2 再代入x1＝vAT＋aT2 可求得vA＝1 m/s。 [答案]　1 m/s　2.5 m/s2 [跟进训练2]　(多选)如图所示，物体做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为0.2 s，则下列说法正确的是(　　) A．物体的加速度为20 m/s2 B．物体的加速度为25 m/s2 C．CD＝4 m D．CD＝5 m 答案：BC 解析：由匀变速直线运动相邻相等的时间内位移之差为常数，即Δx＝aT2，可得物体的加速度大小为a＝＝＝25 m/s2，故A错误，B正确；根据Δx＝CD－BC＝BC－AB＝1 m，可知CD＝BC＋Δx＝3 m＋1 m＝4 m，故C正确，D错误。 例3　如图是“测量匀变速直线运动的加速度”实验中得到的一条纸带(相邻两计数点间还有一个点没有画出)，已知打点计时器采用的是频率为50 Hz的交流电。 (1)相邻两个计数点之间的时间间隔t＝________ s。 (2)打点计时器打计数点3时，小车的速度大小是v＝________ m/s。(计算结果保留两位有效数字) (3)小车的加速度大小为a＝________ m/s2。(计算结果保留两位有效数字) [规范解答]　(1)打点计时器的电源频率是50 Hz，故打点周期为0.02 s，又因为相邻两计数点间还有一个点没有画出，所以相邻两个计数点之间的时间间隔为t＝2×0.02 s＝0.04 s。 (2)根据匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于该段时间的平均速度，可知打点计时器打计数点3时，小车的速度大小为v3＝＝＝0.64 m/s。 (3)根据匀变速直线运动的推论公式Δx＝aT2可以求出加速度的大小：a＝＝＝3.0 m/s2。 [答案]　(1)0.04　(2)0.64　(3)3.0 利用纸带计算加速度的两种方法 (1)根据匀变速直线运动的中间时刻速度公式v＝，计算出纸带上各点的瞬时速度，画出v­t图像，由图像的斜率可求得加速度。 (2)根据Δx＝aT2直接计算纸带的加速度，需注意运用此方法应选用尽可能多的数据。 [跟进训练3]　某同学用如图1所示装置测量重力加速度，已知打点频率为50 Hz。 (1)实验时下面步骤的先后顺序是________。 A．释放纸带 B．接通打点计时器电源 (2)打出的纸带如图2所示，可以判断实验时重物连接在纸带的________(填“左”或“右”)端。 (3)已知纸带上记录的点为打点计时器打出的点，所测得的重力加速度大小为________ m/s2。(结果保留三位有效数字) (4)若当地的重力加速度数值为9.8 m/s2，请列出测量值与当地重力加速度的值有差异的一个原因：__________________________。 答案：(1)BA　(2)左　(3)9.75 (4)重物受到空气阻力(或限位孔与纸带间存在摩擦阻力) 解析：(1)根据打点计时器的使用步骤，应先接通电源，后释放纸带，故顺序为：BA。 (2)纸带与重物相连的那端最先打点，点的分布比较密集些，所以重物连接在纸带的左端。 (3)由于A与C间、C与E间均还有1个点，所以A与C间、C与E间的时间间隔均为T＝0.04 s，根据匀变速直线运动的推论公式Δx＝aT2可以求出重力加速度的大小g＝＝＝9.75 m/s2。 (4)因为实验过程中重物受到空气阻力和限位孔与纸带间存在摩擦阻力作用，所以所求加速度的值偏小。 课后课时作业 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ 对应考点/知识点 连续相等时间内的位移比例 按时间等分的末速度比例、位移比例、连续相等时间内的位移比例 连续相等位移的时间比例 连续相等时间内的位移比例的应用 按位移等分的时间比例、末速度比例 根据Δx＝aT2计算相等时间内的位移 根据xm－xn＝(m－n)aT2计算加速度 题号 8 9 10 11 12 13 难度 ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对应考点/知识点 根据Δx＝aT2计算纸带的加速度的数据处理 根据Δx＝aT2计算加速度及相等时间内的位移 隐含连续相等时间条件的位移比例求解 初速度为零的匀变速直线运动的比例关系、Δx＝aT2 根据Δx＝aT2计算奇数段位移的加速度 Δx＝aT2与加速度定义式的综合应用 题型一　初速度为零的匀变速直线运动的比例关系 1．汽车刹车后做匀减速直线运动，经过3 s停止运动，那么汽车在先后连续相等的三个1 s内通过的位移之比x1∶x2∶x3为(　　) A．1∶2∶3 B．5∶3∶1 C．1∶4∶9 D．3∶2∶1 答案：B 解析：将汽车刹车过程逆向看作初速度为零的匀加速直线运动，根据x＝at2知，停止前1 s内、停止前2 s内、停止前3 s内的位移之比为1∶4∶9，则初速度为零的匀加速直线运动连续三个1 s内的位移之比为1∶3∶5，可知汽车在先后连续相等的三个1 s内通过的位移之比x1∶x2∶x3为5∶3∶1，B正确。 2．物体由静止开始做匀加速直线运动，3 s末速度为3 m/s，则下列说法正确的是(　　) A．2 s末、3 s末的速度之比为4∶9 B．第7 s末的速度为49 m/s C．前1 s内和前3 s内的位移之比为1∶9 D．第1 s内和第2 s内的位移之比为1∶4 答案：C 解析：物体做初速度为零的匀加速直线运动，根据v＝at知，第1 s末、第2 s末、第3 s末、…、第n s末的速度之比为1∶2∶3∶…∶n，又3 s末速度为3 m/s，则第7 s末的速度为7 m/s，故A、B错误；根据x＝at2可知物体在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移之比为1∶4∶9，在第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为1∶(4－1)∶(9－4)＝1∶3∶5，故C正确，D错误。 3．(2024·宁夏银川市宁夏育才中学高一上校考期末)物体从某一高度自由下落，第1 s内就通过了全程的一半，物体还要下落多长时间才会落地(　　) A．1 s B．1.5 s C. s D．(－1) s 答案：D 解析：根据自由落体运动规律h＝gt2得，物体从静止开始下落通过连续相等的两段位移所用时间之比为t1∶t2＝∶(－)，其中t1＝1 s，联立解得t2＝(－1) s，故D正确，A、B、C错误。 4．从静止开始做匀加速直线运动的物体第1 s内的位移大小为10 m，则第5 s内的位移大小为(　　) A．70 m B．90 m C．110 m D．250 m 答案：B 解析：根据初速度为零的匀变速直线运动的位移关系x＝at2，可知物体第1 s内、第2 s内、第3 s内、第4 s内、第5 s内的位移之比为1∶(22－1)∶(32－22)∶(42－32)∶(52－42)＝1∶3∶5∶7∶9，由于第1 s内的位移大小为10 m，故第5 s内的位移大小为x＝10 m×9＝90 m，故选B。 5．(多选)一列火车由等长的车厢连接而成，车厢间的间隙忽略不计，一小朋友站在地面上保持静止，且与第1节车厢前端对齐，火车从静止开始做匀加速直线运动，则火车(　　) A．前1、2、3节车厢经过小朋友的时间之比是1∶4∶9 B．前1、2、3节车厢经过小朋友的时间之比是1∶∶ C．第1、2、3节车厢尾经过小朋友瞬间的速度之比是1∶∶ D．第1、2、3节车厢尾经过小朋友瞬间的速度之比是1∶2∶3 答案：BC 解析：设1节车厢的长度为x，火车从静止开始做匀加速直线运动，根据初速度为零的匀变速直线运动位移与时间的关系式x＝at2可知，前1、2、3节车厢经过小朋友的时间之比是∶∶＝1∶∶，A错误，B正确；根据初速度为零的匀变速直线运动速度与位移关系式v2＝2ax可知，第1、2、3节车厢尾经过小朋友瞬间的速度之比是∶∶＝1∶∶，C正确，D错误。 题型二　位移差公式Δx＝aT2 6．一物体做匀加速直线运动，依次经过O、A、B、C四点，A、B间的距离为10 m，B、C间的距离为14 m，已知物体通过OA段、AB段、BC段所用的时间相等。则O与A的距离为(　　) A．8 m B．6 m C．4 m D．2 m 答案：B 解析：根据匀加速直线运动规律，连续相等的时间间隔T内物体的位移之差Δx＝aT2，则xBC－xAB＝xAB－xOA，所以xOA＝2xAB－xBC＝2×10 m－14 m＝6 m，B正确。 7．汽车刹车后的运动可以看作是匀减速直线运动，取开始刹车时刻t＝0，汽车运动方向为正方向。若刹车后的第1 s内的位移是9 m，第3 s内的位移是5 m(未停下)，则刹车后的加速度大小为(　　) A．1 m/s2 B．2 m/s2 C．4 m/s2 D．6 m/s2 答案：B 解析：根据匀变速直线运动连续相等时间间隔内位移之差有xm－xn＝(m－n)aT2(m>n)，有x3－x1＝(3－1)aT2，解得汽车刹车后的加速度a＝－2 m/s2，即加速度大小为2 m/s2，故B正确，A、C、D错误。 8．在“研究小车做匀变速直线运动”的实验中，电源频率为50 Hz，如图为一次记录小车运动情况的纸带，图中A、B、C、D、E、F、G为相邻的计数点，在相邻计数点之间还有4个点未画出。 (1)根据纸带可知，相邻计数点之间的时间间隔为________ s，打C点时小车的瞬时速度为vC＝________ m/s，小车运动的加速度a＝________ m/s2(后两空结果保留两位有效数字)。 (2)若电源的频率变为51 Hz而未被发觉，则测得的小车的速度值与真实值比较将偏________(选填“大”或“小”)。 答案：(1)0.1　0.20　0.50　(2)小 解析：(1)电源频率为50 Hz，则相邻两个计时点之间的时间间隔为0.02 s，由于相邻计数点之间还有4个点未画出，所以相邻计数点之间的时间间隔为t＝0.1 s；利用匀变速运动中间时刻的速度等于这段时间内的平均速度即可求得vC＝＝＝0.20 m/s，根据Δx＝aT2可得加速度为a＝，代入数据可得a＝0.50 m/s2。 (2)当电源的频率变为51 Hz时，打点的时间间隔减小，所以相邻计数点之间的时间间隔t减小，而此时还是以50 Hz对应的打点周期去计算，根据v＝可知测得的小车的速度值与真实值比较偏小。 9．一位同学在研究小球的自由落体运动时，用频闪照相机连续记录下小球的位置如图所示。已知闪光周期为 s，测得x1＝7.68 cm，x3＝12.00 cm，用上述数据通过计算可得小球运动的加速度约为________ m/s2，图中x2约为________ cm。(结果保留三位有效数字) 答案：9.72　9.84 解析：根据题图和逐差法可得x3－x1＝4at2，得a＝，代入数据解得a＝9.72 m/s2，由x2－x1＝2at2，解得x2＝9.84 cm。 10．质点从O点由静止开始做匀加速直线运动，依次通过A、B、C三点，已知通过OA、AB、BC所用时间之比为1∶2∶3，则OA、AB、BC的距离之比为(　　) A．1∶4∶9 B．1∶3∶5 C．1∶8∶27 D．1∶2∶3 答案：C 解析：初速度为零的匀加速直线运动，第1个T、第2个T、第3个T、…、第6个T内的位移之比为1∶3∶5∶7∶9∶11，所以xOA∶xAB∶xBC＝1∶(3＋5)∶(7＋9＋11)＝1∶8∶27，C正确。 11．(2024·山东省菏泽市高一上统考期末)(多选)真空中羽毛和钢球从同一高度同时自由下落，如图是用频闪相机得到的它们下落过程中的一张局部照片。已知频闪相机闪光的时间间隔为T，由照片提供的信息，下列说法正确的是(　　) A．一定满足关系x1∶x2∶x3＝1∶3∶5 B．一定满足关系x3－x2＝x2－x1 C．拍照当地的重力加速度g＝ D．羽毛下落到位置C时的速度大小为 答案：BD 解析：根据初速度为零的匀加速直线运动规律可知，只有A点为下落起始位置，才满足x1∶x2∶x3＝1∶3∶5，由于A点不一定为下落起始位置，则不一定满足关系x1∶x2∶x3＝1∶3∶5，故A错误；根据匀变速直线运动的推论有Δx＝gT2＝x2－x1＝x3－x2，即一定满足关系x3－x2＝x2－x1，解得拍照当地的重力加速度g＝，故B正确，C错误；根据匀变速直线运动在一段时间内中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度，可知羽毛下落到位置C时的速度大小为vC＝，故D正确。 12．某探究小组为了研究小车在桌面上的直线运动，用自制“滴水计时器”计量时间。实验前，将该计时器固定在小车旁，如图a所示。实验时，保持桌面水平，用手轻推一下小车。在小车运动过程中，滴水计时器等时间间隔地滴下小水滴，图b记录了桌面上连续的6个水滴的位置。(已知滴水计时器每30 s内共滴下46个小水滴) (1)由图b可知，小车在桌面上是________(填“从右向左”或“从左向右”)运动的。 (2)该小组同学根据图b的数据判断出小车做匀变速运动。小车运动到图b中A点位置时的速度大小为________ m/s，加速度大小为________ m/s2。(结果均保留两位有效数字) 答案：(1)从右向左　(2)0.19　0.039 解析：(1)小车运动时由于摩擦力的作用，速度逐渐减小，滴水计时器滴下相邻水滴的间距逐渐变小，因此小车从右向左运动。 (2)滴水的时间间隔T＝ s≈0.65 s，小车运动到A点位置时的瞬时速度vA＝＝≈0.19 m/s，根据逐差法，共有5组数据，舍去最小的一组数据，则加速度a＝＝ ≈－0.039 m/s2，因此加速度大小为0.039 m/s2。 [名师点拨]　用逐差法求匀变速直线运动的加速度时，若题目给的是奇数段数据，一般舍去开头或末尾最短的那一段，接着用偶数段的方法求解。 13．一质点做匀加速直线运动，速度变化Δv时发生位移x1，紧接着速度变化同样的Δv时发生位移x2。则该质点的加速度大小为(　　) A. B. C. D．(Δv)2 答案：B 解析：根据x2－x1＝aT2，a＝，联立可求得a＝，故B正确。 12 学科网（北京）股份有限公司 $$