第二章 专题提升二 匀变速直线运动的图像、公式-【金版教程】2024-2025学年新教材高中物理必修第一册创新导学案word（人教版2019）

物理　必修 第一册 RJ 专题提升二　匀变速直线运动的图像、公式 提升1　从v­t图像看位移　运动学图像 1．从v­t图像看位移 v­t图像中图线与t轴所围面积表示位移。此结论适用于任意形状的v­t图像。 (1)“面积”在t轴上方，为正值，表示位移沿正方向。如图中0～t1的位移x1>0。 (2)“面积”在t轴下方，为负值，表示位移沿负方向。如图中t1～t2的位移x2<0。 (3)总位移等于t轴上方“面积”与下方“面积”的代数和。如图中0～t2的总位移x＝|x1|－|x2|，若x>0，表示总位移沿正方向，若x<0，表示总位移沿负方向。 2．x­t图像与v­t图像的比较 项目 x­t图像 v­t图像 物理意义 反映的是位移随时间变化的规律 反映的是速度随时间变化的规律 截距 (1)纵轴截距表示t＝0时刻的位置 (2)横轴截距表示物体位置在原点的时刻 (1)纵轴截距表示t＝0时刻的速度 (2)横轴截距表示速度为零的时刻 斜率 描述速度：斜率的绝对值表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向 描述加速度：斜率的绝对值表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向 面积 无实际意义 描述位移：在横轴上方围成的面积为正，表示物体通过的位移为正；在横轴下方围成的面积为负，表示物体通过的位移为负 交点 两条图线的交点表示两物体此时刻位移相等 两条图线的交点表示两物体此时刻速度相等 折点 直线弯折，折点为速度的突变点 直线弯折，折点为加速度的突变点 线 (1)图像为倾斜直线表示物体做匀速直线运动 (2)图像为曲线表示物体做变速直线运动 (3)图像平行于时间轴表示物体静止 (1)图像为倾斜直线表示物体做匀变速直线运动 (2)图像为曲线表示物体做变加速直线运动 (3)图像平行于时间轴表示物体做匀速直线运动 例1(多选)一个物体自t＝0时开始做直线运动，其速度—时间图像如图所示。下列说法正确的是(　　) A．在0～4 s内，物体的位移为30 m B．在5～6 s内，物体的位移为5 m C．在0～6 s内，物体的位移为40 m D．在0～6 s内，物体的位移为30 m [规范解答]　在v­t图像中，图线与时间轴所围的面积表示位移，则由题图可知，在0～4 s内，物体的位移x04＝×10 m＝30 m，A正确；在5～6 s内，物体的位移x56＝×(－10) m＝－5 m，B错误；由题图可知，0～6 s内，物体的位移x＝×(2＋5)×10 m＋×(6－5)×(－10) m＝30 m，C错误，D正确。 [答案]　AD [跟进训练1]　(多选)物体甲的x­t图像和物体乙的v­t图像分别如图所示，则这两个物体的运动情况是(　　) A．甲在整个t＝6 s时间内来回运动，它通过的总位移为零 B．甲在整个t＝6 s时间内的运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m C．乙在整个t＝6 s时间内来回运动，它通过的总位移为零 D．乙在整个t＝6 s时间内的运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m 答案：BC 解析：根据位移—时间图线的斜率表示速度，可知甲在整个t＝6 s时间内一直沿正方向匀速运动，总位移为Δx＝2 m－(－2 m)＝4 m，A错误，B正确；物体乙的v­t图像中，速度的正负表示速度的方向，即表示物体的运动方向，速度先负后正，说明物体乙先沿负方向运动，后沿正方向运动，根据图线与时间轴所围成的面积表示位移，图线乙在t轴上方位移为正值，下方位移为负值，得知总位移为0，C正确，D错误。 提升2　匀变速直线运动的平均速度 1．匀变速直线运动的平均速度公式：＝v＝。 (1)意义：做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半。 (2)推导：设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t时刻的速度为v。 由x＝v0t＋at2得， 平均速度＝＝v0＋at① 由v＝v0＋at知， 时刻的速度v＝v0＋a·② 由①②得＝v 又v＝v＋a·③ 由②③得v＝ 所以＝v＝。 ＝适用于任何运动；＝及＝v仅适用于匀变速直线运动。 2．匀变速直线运动平均速度与位移的关系式 (1)公式：x＝t。 (2)推导：根据匀变速直线运动的平均速度公式＝及＝，可得匀变速直线运动位移与初、末速度的关系式x＝t。 (3)适用情况：如果匀变速直线运动问题不涉及加速度，用公式x＝t计算更方便。 例2　(多选)大型客机在跑道上从静止开始滑行做匀加速直线运动，客机滑行60 s时间后达到起飞速度75 m/s从而离开地面。则(　　) A．客机该过程滑行的平均速度是75 m/s B．客机该过程滑行的平均速度是37.5 m/s C．客机该过程滑行的距离为4500 m D．客机该过程滑行的距离为2250 m [规范解答]　根据匀变速直线运动的平均速度公式，可得客机该过程滑行的平均速度＝＝＝37.5 m/s，A错误，B正确；客机该过程滑行的距离为x＝t＝2250 m，C错误，D正确。 [答案]　BD 例3　一物体做匀加速直线运动，初速度为v0，末速度为v，位移为x。 (1)证明：这段位移中间位置的瞬时速度大小v＝； (2)若这段位移中间时刻的瞬时速度大小是v，请比较v和v的大小。 [规范解答]　(1)证明：对前一半位移有 v－v＝2a· 对后一半位移有v2－v＝2a· 两式联立可得v＝。 (2)解法一(定性分析法)：物体做匀加速直线运动，速度逐渐变大，则0～时间内的平均速度1小于～t时间内的平均速度2 根据x＝t，得0～时间内的位移x1小于～t时间内的位移x2 又x1＋x2＝x 则x1< 位移为x1时速度为v，位移为时速度为v 因匀加速直线运动的速度随位移逐渐变大，则v<v。 解法二(公式法)：这段位移中间时刻的瞬时速度大小是v＝ 根据v和v的表达式无法直接比较其大小，它们的二次方分别为 v＝ v＝＝ 二式相减，得 v－v＝＝ 又由匀加速直线运动的特性知v>v0，则 ＞0 所以v>v。 解法三(图像法)：在v­t图像中，图线与时间轴围成的面积表示位移。当物体做匀加速直线运动时，由图可知v>v。 [答案]　(1)见规范解答　(2)v>v 提升3　匀变速直线运动常用公式的选用 1．匀变速直线运动的四个常用公式 一般形式 特殊形式(v0＝0) 不涉及的物理量 速度与时间的关系式 v＝v0＋at v＝at X 位移与时间的关系式 x＝v0t＋at2 x＝at2 V 速度与位移的关系式 v2－v＝2ax v2＝2ax T 平均速度求位移公式 x＝t x＝t A 说明：以上四个公式中，只有v＝v0＋at和x＝v0t＋at2是独立的基本公式，其他公式都是根据这两个基本公式推导出来的。两个基本公式联立，如果消去时间t，即可得到公式v2－v＝2ax，如果消去加速度a，即可得到公式x＝t。 2．四个常用的运动学公式的选用技巧 运动学公式中常涉及v0、v、a、t、x五个物理量，根据已知量和待求量，恰当选择公式可达到事半功倍的效果： 题目的条件 优先选用的公式 无位移x，也不需要求位移 速度时间关系式：v＝v0＋at 无末速度v，也不需要求末速度 位移时间关系式：x＝v0t＋at2 无运动时间t，也不需要求运动时间 速度位移关系式：v2－v＝2ax 无加速度a，也不需要求加速度 平均速度求位移公式：x＝t 上述公式涉及5个物理量：v0、v、a、x、t，若已知其中3个物理量，便可由以上公式求出剩下的2个量。即5个量中只有3个是独立的。 3．运动学公式的应用步骤 (1)认真审题，明确研究对象，画出物体的运动过程示意图。 (2)明确已知量、待求量。 (3)规定正方向(一般取初速度v0的方向为正方向)，确定各矢量的正、负。 (4)选择适当的公式求解。 (5)判断所得结果是否合乎实际情况，并根据结果的正负说明所求物理量的方向。 例4　以速度v0＝8 m/s行驶的列车开始下坡，在平直坡路上的加速度a＝0.2 m/s2，到达坡底的速度v＝12 m/s。求： (1)列车在坡上运动的时间； (2)用两种方法求坡路的长度。 [规范解答]　(1)列车在坡路上做匀加速直线运动，由公式v＝v0＋at，可得列车在坡上运动的时间t＝＝＝20 s。 (2)解法一(v2－v＝2ax)：由匀变速直线运动的速度与位移的关系式v2－v＝2ax，可得坡路的长度 x＝＝＝200 m。 解法二(v­t图像法)：根据题意画出列车在坡上运动的v­t图像如图所示， 由v­t图线与t轴所围面积表示位移，可得坡路的长度x＝×20 m＝200 m。 解法三：根据匀变速直线运动平均速度求位移的公式x＝t， 可得坡路的长度x＝×20 m＝200 m。 [答案]　(1)20 s　(2)200 m 画v­t图像辅助求解运动问题 匀变速直线运动的公式是求解匀变速直线运动问题的基本方法，用公式解题的优点是准确，但存在不够直观形象的缺点。若用公式解题前，根据题意画出v­t图像，利用v­t图像的截距、斜率、面积等的意义，则可以辅助分析运动情况，避免出现错误，甚至可以更简单地得出结果。 [跟进训练2]　(2024·浙江省杭州市高一上期末)消防滑竿曾是消防员经常接触的一种设备，可简化为一根竖直放置的滑竿，消防员可顺着滑竿迅速下滑，节约下楼时间，增加出警效率。某次训练中，消防员顺着消防滑竿从高处无初速度滑下，运动过程可简化为先匀加速再匀减速的直线运动。消防员先 以5 m/s2的加速度下滑1 s，然后匀减速下滑4 m到达地面时速度大小为1 m/s。求此过程中： (1)消防员下滑1 s后的速度大小； (2)消防员匀减速阶段的加速度a的大小； (3)消防员下滑的总高度。 答案：(1)5 m/s　(2)3 m/s2　(3)6.5 m 解析：(1)设消防员下滑1 s后的速度大小为v1，0～1 s内，消防员做初速度为0的匀加速直线运动， 有v1＝a1t1 解得v1＝5 m/s。 (2)规定向下为正方向，消防员做匀减速直线运动时，加速度方向与速度方向相反，根据匀变速直线运动速度与位移关系式，有 v－v＝－2ax2 其中v2＝1 m/s，x2＝4 m 解得a＝3 m/s2 即消防员匀减速阶段的加速度a的大小为3 m/s2，方向竖直向上。 (3)设消防员加速下滑的位移为x1，有 x1＝a1t 解得x1＝2.5 m 由题意得消防员减速下滑的距离x2＝4 m 所以消防员下滑的总高度为x＝x1＋x2＝6.5 m。 课后课时作业 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★★ 对应考点/知识点 由v­t图像判断物体位置、位移 由v­t图像计算物体位移、路程和平均速度 根据x­t图像分析位移、速度、加速度 根据曲线v­t图像分析加速度、位置、图像的面积关系 根据＝求、根据x＝t求t 根据x＝t求、根据＝求v、＝v的应用 运用＝v求加速度 题号 8 9 10 11 12 13 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对应考点/知识点 刹车问题中3个运动学公式的选用 运动学公式的选用 由曲线v­t图像判断物体的平均速度 运动学公式的选用 匀变速直线运动公式的选用 匀变速直线运动­t图像的分析计算 题型一　v­t图像与x­t图像 1．(2023·广西南宁市高一统考期末)(多选)如图是一个物体的速度—时间图像，取t＝0时刻物体所在位置为初位置，则下列关于该物体的运动情况，表述正确的是(　　) A．前4 s内物体的位移为零 B．第1 s末物体的位移和速度都改变方向 C．第2 s末物体的位移和速度都改变方向 D．第1 s末、第3 s末、第5 s末物体所在的位置相同 答案：AD 解析：v­t图线与时间轴围成的“面积”表示位移，图线在时间轴上方时，图线与时间轴所围成的“面积”为正值，表示位移为正，图线在时间轴下方时，图线与时间轴所围成的“面积”为负值，表示位移为负，由图像可知，前4 s内物体的总位移为零，故A正确；根据v­t图像，可知第1 s末前后，物体的位移和速度均沿正方向，则第1 s末二者都未改变方向，故B错误；根据B项分析同理可知，第2 s末物体的位移方向不变，速度方向改变，故C错误；根据v­t图像，可知物体在第1 s末、第3 s末、第5 s末的位移均相同，则物体所在的位置相同，故D正确。 2．(多选)某物体做直线运动的v­t图像如图所示，下列说法正确的是(　　) A．物体在前2 s内的位移大小为4 m B．物体在前3 s内通过的路程为5 m C．物体在前3 s内的平均速度大小为 m/s D．物体在前3 s内做非匀变速直线运动 答案：AB 解析：v­t图像和时间轴所围成图形的面积表示位移，则物体在前2 s内的位移大小x1＝×4×2 m＝4 m，A正确；物体在第3 s内的位移大小x2＝×|－2|×1 m＝1 m，物体在前3 s内通过的路程为s＝x1＋x2＝5 m，B正确；物体在前3 s内的位移大小x＝x1－x2＝3 m，则前3 s内的平均速度大小为＝＝＝1 m/s，C错误；v­t图像的斜率表示物体的加速度，图像在前3 s内是一条倾斜直线，斜率不变，物体做匀变速直线运动，D错误。 3．(2023·辽宁省丹东市高一统考期末)甲、乙两物体做直线运动，二者位置x随时间t变化的x­t图像如图所示，甲的图线为直线，乙的图线为抛物线，则(　　) A．甲物体运动的加速度大小为1 m/s2 B．0～1 s内，甲、乙两物体的位移相同 C．0～4 s内，乙物体的速度先增大后减小 D．0～4 s内，某时刻甲、乙两物体速度相同 答案：D 解析：x­t图像中，切线斜率表示速度，甲的图线为直线，则表明甲的速度不变，做匀速直线运动，则甲物体运动的加速度为0，A错误；0～1 s内，甲物体的位移为3 m－4 m＝－1 m，乙物体的位移为3 m－0＝3 m，可知，甲、乙两物体的位移不相同，B错误；x­t图像中，切线斜率的绝对值表示速度大小，则0～4 s内，乙物体的速度先减小后增大，C错误；0～4 s内，某时刻乙的图线的切线斜率与甲的相同，此时两物体的速度相同，D正确。 4．可回收复用运载火箭是现代火箭技术的一个重要的发展方向，经过多年努力，我国也有属于自己的第一款可回收复用运载火箭，如图1所示。在某次测试中，该型火箭竖直起降的速度—时间图像如图2所示，则下列判断中错误的是(　　) A．0～t1内，火箭的加速度先增大后减小 B．t1时刻火箭高度达到最大，随后开始下降 C．t2～t3内，火箭处于悬停状态，t3时刻开始下降 D．图2中，在时间段0～t2与t3之后图线与时间轴所围成图形的面积相等 答案：B 解析：v­t图像的斜率表示加速度，由题图2可知，0～t1内，图线切线斜率先增大后减小，则火箭的加速度先增大后减小，故A正确；t1时刻之后，速度仍为正值，说明速度仍向上，火箭高度未达到最大，随后将继续上升，故B错误；t2～t3内，火箭速度v＝0，处于悬停状态，t3时刻速度变为负方向，开始下降，故C正确；在v­t图像中，图线与时间轴所围面积表示位移，因为火箭总位移为零，则在时间段0～t2与t3之后图线与时间轴所围成图形的面积相等，故D正确。本题选判断错误的，故选B。 题型二　匀变速直线运动的平均速度 5．(多选)一列长100 m的火车匀加速通过长1000 m的桥梁，列车刚上桥的速度为10 m/s，完全离开桥梁的速度为12 m/s，则下列说法正确的是(　　) A．火车过桥的平均速度为11 m/s B．火车完全通过此桥梁的时间为90.9 s C．火车完全通过此桥梁的时间为100 s D．火车完全通过此桥梁的时间为81.8 s 答案：AC 解析：火车过桥过程做匀加速直线运动，根据＝，可得火车过桥的平均速度为＝＝11 m/s，A正确；火车完全通过桥梁的位移为x＝1000 m＋100 m＝1100 m，故火车完全通过此桥梁所用时间为t＝＝＝100 s，故B、D错误，C正确。 6．(多选)一物体做匀变速直线运动，初速度为2 m/s，4 s内的位移为20 m，则下列说法正确的是(　　) A．物体的平均速度为5 m/s B．物体4 s末的速度为－2 m/s C．物体4 s末的速度为8 m/s D．物体2 s末的速度为5 m/s 答案：ACD 解析：物体的平均速度为＝＝＝5 m/s，A正确；根据＝，可得物体4 s末的速度为v＝2－v0＝8 m/s，B错误，C正确；2 s末为0～4 s的中间时刻，则物体2 s末的速度为v＝＝5 m/s，D正确。 7．潜水器完成科考任务后返回水面的某一阶段可视为匀加速直线运动，在此过程中测得潜水器上升连续两段12 m的高度分别用时4 s和2 s，则该过程的加速度大小为(　　) A．0.5 m/s2 B．0.75 m/s2 C．1 m/s2 D．1.5 m/s2 答案：C 解析：根据匀变速直线运动某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度知，第一段位移中间时刻的速度为v1＝＝＝3 m/s，第二段位移中间时刻的速度为v2＝＝＝6 m/s，而两段位移中间时刻的时间间隔为Δt＝＋＝3 s，则该过程的加速度大小为a＝＝＝1 m/s2，故C正确。 题型三　匀变速直线运动常用公式的选用 8．(多选)汽车在平直公路上行驶，发现险情紧急刹车，汽车立即做匀减速直线运动直至停止，已知汽车刹车过程中第1 s内的位移为14 m，最后1 s内的位移为2 m，下列说法正确的是(　　) A．汽车刹车过程中，加速度大小为4 m/s2 B．汽车刹车过程的初速度大小为14 m/s C．刹车过程的时间为4 s D．刹车过程中，汽车运动的总位移大小为32 m 答案：ACD 解析：将汽车的刹车过程逆向看作初速度为零的匀加速直线运动，最后1 s由公式x＝at2，可得汽车刹车过程中，加速度大小为a＝4 m/s2，故A正确；设汽车的初速度为v0，由匀变速直线运动的位移与时间的关系式，汽车刹车过程中第1 s内的位移为x1＝v0t1－at，代入数据解得v0＝16 m/s，B错误；根据v＝v0－at，解得刹车过程的时间为t＝4 s，故C正确；由匀变速直线运动的速度与位移的关系式，刹车过程中，汽车运动的总位移大小为x总＝＝＝32 m，故D正确。 9．(2023·山东省菏泽市高一上期末)(多选)可视为质点的汽车在平直公路上做初速度为零的匀加速直线运动，途中用了6 s时间经过A、B两根电线杆，已知A、B间的距离为60 m，车经过B时的速度为15 m/s，则(　　) A．车从出发到B杆所用时间为9 s B．车的加速度为15 m/s2 C．经过A杆时的速度为5 m/s D．出发点到A杆的距离为7.5 m 答案：ACD 解析：根据xAB＝t，解得汽车经过A杆时的速度vA＝5 m/s，C正确；根据vB＝vA＋at，可解得车的加速度为a＝＝ m/s2，B错误；车从出发到B杆所用时间t′＝＝9 s，A正确；根据v＝2axA，解得出发点到A杆的距离为xA＝7.5 m，D正确。 10．某物体做直线运动，物体的速度—时间图像如图所示。若初速度的大小为v0，末速度的大小为v1，则在时间t1内物体的平均速度(　　) A．等于(v0＋v1) B．小于(v0＋v1) C．大于(v0＋v1) D．条件不足，无法比较 答案：C 解析：如果物体在0～t1时间内做匀变速直线运动，则有′＝，这段时间发生的位移x1大小为如图所示阴影部分的面积，则x1＝′t1，而阴影部分的面积小于该物体的速度—时间图线与t轴包围的面积，即该物体在0～t1时间实际位移的大小x2＝ t1>x1，则>′＝，故C正确。 11．(2023·云南省昭通市高一统考期末)如图所示，物体沿着斜面从A点静止匀加速运动到B点，然后沿着水平面匀减速运动到C点，已知物体在斜面上运动的加速度大小为水平面上运动的加速度大小的2倍，D点为A、B的中点，E点为B、C的中点，则(　　) A．物体在斜面上运动的时间是在水平面上运动时间的2倍 B．物体在斜面上运动的位移大小是在水平面上运动位移大小的2倍 C．物体在斜面上运动的平均速度是在水平面上运动平均速度的2倍 D．物体运动到D点的瞬时速率和运动到E点的瞬时速率相等 答案：D 解析：由v＝at可知，物体在斜面上运动的时间t1＝，在水平面上运动的时间t2＝，由于a1∶a2＝2∶1，则t1∶t2＝1∶2，故A错误；由v2＝2ax可得，物体在斜面上运动的位移大小x1＝，在水平面上运动的位移大小x2＝，所以＝＝，故B错误；由匀变速直线运动的公式＝可知，物体在斜面上运动和在水平面上运动的平均速度相等，均为＝，故C错误；根据匀变速直线运动中间位置的速度v中＝，可得vD＝vE＝vB，故D正确。 12．如图所示，一物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为l，到达斜面最高点C时速度恰好为零，该过程物体做匀减速直线运动。已知物体第一次运动到距斜面底端l处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间。 答案：t 解析：解法一：物体匀减速冲上斜面，可逆向看作匀加速滑下斜面， 故xBC＝ xAC＝ 又xBC＝ 由以上三式解得tBC＝t。 解法二：因为物体沿斜面向上做匀减速直线运动，设物体从B滑到C所用的时间为tBC，由匀变速直线运动的规律可得 0－v＝－2axAC① v－v＝－2axAB② xAB＝xAC③ 由①②③解得vB＝④ 又vB＝v0－at⑤ 0＝vB－atBC⑥ 由④⑤⑥解得tBC＝t。 解法三：利用推论：中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度，得 AC＝＝ 又v＝2axAC v＝2axBC xBC＝ 由以上三式解得vB＝ 因为vB＝AC 所以有tBC＝t。 解法四：根据匀变速直线运动的规律，作出v­t图像，如图所示。利用相似三角形的规律，面积之比等于对应边长平方之比，得＝ 且＝ OD＝t OC＝t＋tBC 所以＝ 解得tBC＝t。 13．(多选)某物体做匀变速直线运动，测量物体运动时间t及对应的位移x的多组数据，绘制出­t图像如图所示。下列判断正确的是(　　) A．t＝0时的速度为20 m/s B．匀变速直线运动的加速度为5 m/s2 C．8 s时刻的速度为40 m/s D．0～8 s的平均速度为40 m/s 答案：ABD 解析：由匀变速直线运动位移与时间的关系式x＝v0t＋at2，整理得＝v0＋at，结合­t图像可知，t＝0时的速度为v0＝20 m/s，图像中直线的斜率为k＝＝＝2.5 m/s2，解得匀变速直线运动的加速度为a＝5 m/s2，故A、B正确；根据＝可知，­t图像某一时刻的纵坐标表示从0时刻到该时刻的平均速度，故0～8 s的平均速度为40 m/s，故D正确；8 s时刻的速度为v＝v0＋at＝20 m/s＋5 m/s2×8 s＝60 m/s，故C错误。 [名师点拨]　对于一些特殊图像，需要注意的是看清纵、横坐标表示的含义，利用运动学规律写出其满足的表达式，对应表达式分析图像中的截距、斜率以及所围面积的物理意义，至此往往能取得关键性突破。 16 学科网（北京）股份有限公司 $$