专题01 集合与充分必要条件-【中职专用】2025年“3+X证书”高考数学二轮复习专项突破（广东专用）

专题01 集合与充分必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 考点、题型预测 考点一 元素与集合 题型一：集合与元素的关系 题型二：集合的表示法 题型三：元素互异性的应用 考点二 集合间的关系 题型四：集合间的关系 考点三 集合交并补运算 题型五：有限集与有限集的运算※ 题型六：无限集与有限集的运算※ 题型七：无限集与无限集的运算※ 考点四 充要条件 题型八：充要条件判断※ 考点、题型突破 考点一：元素与集合 1．元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 a是集合A中的元素 a属于集合A 不属于 a不是集合A中的元素 a不属于集合A 2．常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 说明 所有整数和分数 （目前）所有数 题型一：集合与元素的关系 例1．下列关系式中不正确的是（    ）． A． B． C． D． 例2．下列元素与集合的关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【突破训练】 1．用 或填空 （1）2                （2） （3）0 2．下列关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 题型二：集合的表示法 例1．已知集合，则集合M用列举法可表示为（    ） A． B． C． D． 例2．已知集合等于（    ） A． B． C． D． 【突破训练】 1．已知集合，则集合M用列举法可表示为（    ） A． B． C． D． 2．集合可化简为（ ） A． B． C． D． 题型三：元素互异性的应用 例1．已知集合中的元素a，b，c分别是△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是（      ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 例2．已知集合，若，则（    ） A． B．0 C．2 D．3 【突破训练】 1．已知集合A中只含1，两个元素，则实数不能取（　　） A．1 B．-1 C．-1和1 D．0 2．已知集合A含有三个元素2，4，6，且当有，那么为（　　） A．2 B．2或4 C．4 D．0 考点二：集合间的关系 1．子集与真子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中的元素都在集合B中，我们就称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作 (或)，读作“A含于B”(或“B包含A”) 真子集 与相等 若A比B至少少一个元素，则A是B的真子集，记作AB. 如果A和B的元素一样，则A与B相等，记作A＝B. 2．空集的概念 定义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集 记法 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 空集是任何非空集合的真子集，即A≠∅时，则∅A 3. 若一个集合中有个元素，则这个集合有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集. 题型四：集合间的关系 例1．下列关系中正确的是（         ） A． B． C． D． 例2．设集合，则的子集的个数为（ ） A．1 B．3 C．7 D．8 例3．已知集合，，且，则（ ） A．2 B．-2 C．2，-2 D．2，-2，1，-1 【突破训练】 1．下列各式中关系符号运用正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，P的子集个数是 ． 3．设集合，，若，则实数 . 考点三：集合交并补运算 类别 自然语言 符号语言 图形语言 并集 由集合A与集合B中的所有元素组成的集合， 记作A∪B(读作“A并B”) 并集开口向上取所有； 交集 由集合A与集合B中的相同元素组成的集合， 记作A∩B(读作“A交B”) 交集开口向下取相同 补集 如果集合A是全集U中的子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为“A在U中的补集”，记作 补集大取剩下 符号记忆：“并”字中两点朝上则开口向上“”；“交”字中两点朝下则开口向下“”. 题型五：有限集与有限集的运算 例1．若集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 例2．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 例3．设集合，集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【突破训练】 1．已知集合则（      ） A． B． C． D． 2．已知集合则（      ） A． B． C． D． 3．设集合，则（      ） A． B． C． D． 题型五：有限集与无限集的运算 例1．已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【突破训练】设集合，则（    ） A． B． C． D． 题型六：无限集与无限集的运算 用数轴表示时，用实心点表示能取到端点，用空心点表示取不到端点. 例1．设，，那么（    ）． A． B． C． D． 例2．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 例3．设全集，集合，则（      ） A． B． C． D． 例4．若全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 【突破训练】 1. 设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3．设全集为，或， (1)求，； (2)求 考点四 充要条件 题型八：充要条件判断 方法一：标出与：“——是——的条件中”是前为，是后为 1. 若，则是的充分条件；若，则是的不充分条件 1. 若，则是的必要条件；若，则是的不必要条件 方法二：记住口诀：小范围能推大范围，大范围不能推小范围（可画数轴） （了解：用集合语言表示与的范围即：若，则是的充分不必要条件） 例1．在中，为三角形的三条边长，则“”是“是等边三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例3．“”是“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【突破训练】 1．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．命题甲：，命题乙：x=0，则命题甲是命题乙的（    ） A．充分而非必要条件 B．必要而非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 模拟演练 1．下列关系中正确的个数是（    ） ①；② ；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列元素个数为2的集合是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，则（      ） A． B．M C．N D．R 5．全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 6．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 8．是的（    ）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 9．若，则构成集合中的的取值范围是 . 10．设集合，若，则的值为 ． 11．已知集合，，，则 ． 12．已知集合，则集合 . $$专题01 集合与充分必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 考点、题型预测 考点一 元素与集合 题型一：集合与元素的关系 题型二：集合的表示法 题型三：元素互异性的应用 考点二 集合间的关系 题型四：集合间的关系 考点三 集合交并补运算 题型五：有限集与有限集的运算※ 题型六：无限集与有限集的运算※ 题型七：无限集与无限集的运算※ 考点四 充要条件 题型八：充要条件判断※ 考点、题型突破 考点一：元素与集合 1．元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 a是集合A中的元素 a属于集合A 不属于 a不是集合A中的元素 a不属于集合A 2．常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 说明 所有整数和分数 （目前）所有数 题型一：集合与元素的关系 例1．下列关系式中不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系判断即可. 【详解】A：是集合的元素，，正确， B：不是集合的元素，，正确， C：不是集合的元素，，错误， D：，，正确. 故选：C. 例2．下列元素与集合的关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系、常见数集的定义判断即可. 【详解】对A：不属于自然数，故A错误； 对B：不属于正整数，故B正确； 对C：是无理数，不属于有理数集，故C错误； 对D：属于实数，故D错误. 故选：B. 【突破训练】 1．用 或填空 （1）2                （2） （3）0 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系填空即可. 【详解】（1）因为，所以， （2）是无理数，所以 ， （3），解得，所以. 故答案为：. 2．下列关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合与元素的关系，即可求出. 【详解】根据常见的数集，元素与集合的关系可知： A、 是自然数集， 不正确，故A错误； B、 是整数集， 不正确，故B错误； C、正确，故C正确； D、是有理数集，不正确，故D错误. 故选：C． 题型二：集合的表示法 例1．已知集合，则集合M用列举法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将集合中的元素一一列举出来，再由列举法表示即可. 【详解】表示整数集，由集合可得， ， 故选：D. 例2．已知集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求方程的根，再用列举法表示即可. 【详解】因为集合中的元素为方程的根，且方程根为0，3，所以. 故选：D 【突破训练】 1．已知集合，则集合M用列举法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用列举法表示即可得解. 【详解】集合，所以集合是由小于的自然数构成的， 所以用列举法表示集合， 故选：. 2．集合可化简为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程求集合的元素用列举法表示即可. 【详解】解方程，得，． 因为，所以， 故选：B． 题型三：元素互异性的应用 例1．已知集合中的元素a，b，c分别是△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是（      ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据集合中元素的互异性得到三角形三边不相等，即可判断. 【详解】根据集合的元素具有互异性，所有同一集合中的三个元素a，b，c互不相等，即三角形三边互不相等，不可能是等腰三角形. 故选：D. 例2．已知集合，若，则（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系列方程求解即可. 【详解】因为，所以或， 而无实数解，所以， 故选：C. 【突破训练】 1．已知集合A中只含1，两个元素，则实数不能取（　　） A．1 B．-1 C．-1和1 D．0 【答案】C 【分析】利用元素的互异性可解. 【详解】由集合元素的互异性知，，即. 故选：C. 2．已知集合A含有三个元素2，4，6，且当有，那么为（　　） A．2 B．2或4 C．4 D．0 【答案】B 【分析】根据集合中的元素进行计算即可解得. 【详解】集合含有三个元素2，4，6，且当，有， ， 所以， ， 所以， 综上所述，或. 故选：B 考点二：集合间的关系 1．子集与真子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中的元素都在集合B中，我们就称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作 (或)，读作“A含于B”(或“B包含A”) 真子集 与相等 若A比B至少少一个元素，则A是B的真子集，记作AB. 如果A和B的元素一样，则A与B相等，记作A＝B. 2．空集的概念 定义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集 记法 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 空集是任何非空集合的真子集，即A≠∅时，则∅A 3. 若一个集合中有个元素，则这个集合有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集. 题型四：集合间的关系 例1．下列关系中正确的是（         ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合与集合关系判断. 【详解】根据集合与集合关系判断. 集合相等是两个集合中含有的元素完全一样，选项A中，两个集合的元素不相同，故错误； 任何一个集合都是它本身的子集，故选项B正确； 任何一个集合都不是它本身的真子集，故选项C、D错误. 故选：B. 例2．设集合，则的子集的个数为（ ） A．1 B．3 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由题意列出集合的子集即可. 【详解】集合， 所以的子集有，共8个. 故选：D. 例3．已知集合，，且，则（ ） A．2 B．-2 C．2，-2 D．2，-2，1，-1 【答案】C 【分析】根据子集的定义，即可求出. 【详解】，又， ，解得， 2或-2 故选：C. 【突破训练】 1．下列各式中关系符号运用正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系的符号，和集合与集合之间的符号表示逐个判断即可. 【详解】根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误， 根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误， 根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，选项C正确， 故选：C. 2．已知集合，P的子集个数是 ． 【答案】4 【分析】根据元素个数与子集个数的关系进行求解. 【详解】集合有2个元素，所以有个子集. 故答案为：4. 3．设集合，，若，则实数 . 【答案】或 【分析】根据集合中元素的互异性和集合之间的包含关系即可解得. 【详解】集合，， 若，则且，所以或， 故答案为：或 考点三：集合交并补运算 类别 自然语言 符号语言 图形语言 并集 由集合A与集合B中的所有元素组成的集合， 记作A∪B(读作“A并B”) 并集开口向上取所有； 交集 由集合A与集合B中的相同元素组成的集合， 记作A∩B(读作“A交B”) 交集开口向下取相同 补集 如果集合A是全集U中的子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为“A在U中的补集”，记作 补集大取剩下 符号记忆：“并”字中两点朝上则开口向上“”；“交”字中两点朝下则开口向下“”. 题型五：有限集与有限集的运算 例1．若集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集运算求解即可. 【详解】因为集合，集合， 所以. 故选：C 例2．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解全集，再根据补集进行运算. 【详解】由题意得全集， 又集合，所以. 故选：D. 例3．设集合，集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用列举法表示集合，接下来计算补集，最后计算并集易得答案. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B. 【突破训练】 1．已知集合则（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的概念即可求解. 【详解】由题意知， 则. 故选：D. 2．已知集合则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的概念即可求解. 【详解】由题意知. 故选：B. 3．设集合，则（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据补集的概念运算即可. 【详解】由题意知，则， 故选：D. 题型五：有限集与无限集的运算 例1．已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由交集的定义即可得解. 【详解】集合，， 集合A与B的公共元素为， 由交集的定义知， 故选：. 【突破训练】设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 题型六：无限集与无限集的运算 用数轴表示时，用实心点表示能取到端点，用空心点表示取不到端点. 例1．设，，那么（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给的两个集合进行并集运算易得答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 例2. 已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式求集合，再根据集合的交集运算易得答案. 【详解】因为. 因为 所以. 故选：D. 例3．设全集，集合，则（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集的概念运算即可. 【详解】全集，集合， 已知集合M在U中的补集为U中除M外的全部， 所以， 故选：C. 例4．若全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集与补集的定义运算即可. 【详解】已知集合，， 则，全集， 所以， 故选：B. 【突破训练】 1. 设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集运算计算. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 2．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的概念运算即可. 【详解】已知集合，， 则. 故选：B. 3．设全集为，或， (1)求，； (2)求 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）根据集合交集和并集的运算即可解得. （2）根据补集和交集的运算即可解得. 【详解】（1）由题，或或， 或. （2）由已知，， ∴ 考点四 充要条件 题型八：充要条件判断 方法一：标出与：“——是——的条件中”是前为，是后为 1. 若，则是的充分条件；若，则是的不充分条件 1. 若，则是的必要条件；若，则是的不必要条件 方法二：记住口诀：小范围能推大范围，大范围不能推小范围（可画数轴） （了解：用集合语言表示与的范围即：若，则是的充分不必要条件） 例1．在中，为三角形的三条边长，则“”是“是等边三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据互推关系判断即可. 【详解】∵当时，是等腰三角形，不一定是等边三角形， ∴是等边三角形，“”是“是等边三角形”的不充分条件； ∵当是等边三角形时，有， ∴是等边三角形，“”是“是等边三角形”的必要条件. 故“”是“是等边三角形”的必要不充分条件. 故选：B. 例2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据绝对值不等式的解法及充分条件与必要条件的概念求解. 【详解】由，得，即. 因为当时，不一定成立，即充分性不成立； 当时，一定成立，即必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 例3．“”是“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】根据真子集关系判断即可. 【详解】， ”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 【突破训练】 1．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件定义判断即可. 【详解】由题意，但不能得出， 所以是的充分不必要条件， 故选：A. 2．命题甲：，命题乙：x=0，则命题甲是命题乙的（    ） A．充分而非必要条件 B．必要而非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】由充分必要条件概念即可进行判断. 【详解】因为成立，不一定成立，但，所以命题甲是命题乙的必要而非充分条件. 故选：B 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，以及常见数集的定义分析，即可求解. 【详解】若是有理数，则可能为整数，有可能为分数， 所以“”“”， 若是整数，则一定为有理数， 所以“” “”， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 模拟演练 1．下列关系中正确的个数是（    ） ①；② ；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据元素与集合之间的关系逐个分析即可. 【详解】是实数，所以，故①正确， 是有理数，所以，故②正确， 不是正整数，所以，故③错误， 是无理数不是整数，所以，故④错误， 故正确的有①②共2个， 故选：B. 2．下列元素个数为2的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合对应的解判断元素个数即可. 【详解】A：，解得，有一个元素，故A错误； B：，解得，有一个元素1，故B错误； C：，解得或，有两个元素和1，故C正确； D：无解，没有元素，故D错误. 故选：C. 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集的定义结合集合求解即可. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：B. 4．已知集合，则（      ） A． B．M C．N D．R 【答案】A 【分析】根据交集的概念运算即可. 【详解】已知集合， 其中集合M与集合N之间无公共部分（元素），即， 故选：A. 5．全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式，再根据交集和补集的运算即可解得. 【详解】，， ∴， ∵，∴， 故选：D． 6．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】因为不能推出， 且也不能推出， 因此，“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 7．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 【答案】C 【分析】分别求出与解集，根据所解集包含关系即可选出选项. 【详解】因为的解集为， 的解集为，即与 两不等式解集相同，所以“”是“” 充分必要条件. 故选：C 8．是的（    ）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由得或， 所以可以推出, 但是不能推出， 故是的充分不必要条件. 故选：A. 9．若，则构成集合中的的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据集合中元素的互异性即可解得. 【详解】根据集合的互异性可得，则， 即的取值范围是， 故答案为：． 10．设集合，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据集合的包含关系以及元素互异性分析即可. 【详解】由集合M知，，则且， 因，，于是得，解得， 所以的值为. 故答案为：． 11．已知集合，，，则 ． 【答案】 【分析】根据并集和补集的运算即可解得. 【详解】∵，， ∵，又， ∴， 故答案为：． 12．已知集合，则集合 . 【答案】 【分析】根据集合交集的运算即可解得. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. $$