精品解析：北师大版2023-2024学年八年级数学下册期中测试

2024春八年级数学 期中测评 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题（共12题，每题4分，共48分） 1. 老师在黑板上写了下列式子：①x－1≥1；②－2＜0；③x≠3；④x＋2；⑤x－y＝0；⑥x＋2y≤0，其中不等式有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 老师在“六城同创”活动中设计了以下几幅logo，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　　） A. B. C. D. 3. 关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则a的值是（　　） A. ﹣6 B. ﹣12 C. 6 D. 12 4. 下列不等式一定成立的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 5. 下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 6，8，10 B. 10，15，20 C. 5，12，13 D. 7，24，25 6. 如图，在方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（　　　） A. 先向下平移3格，再向右平移1格 B. 先向下平移2格，再向右平移1格 C. 先向下平移2格，再向右平移2格 D. 先向下平移3格，再向右平移2格 7. 已知实数x，y满足|x−4|+（y−8）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　） A. 20或16 B. 20 C. 16 D. 以上答案均不对 8. 下列变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 9. 不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，AB∥CD，AC的垂直平分线分别交AC，BD于E，F，若∠C＝56°，则∠BAF的度数是（　　） A 28° B. 34° C. 56° D. 68° 11. 如图，直线经过点，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线交AC于点D，有下列结论：①∠C＝72°；②BD是∠ABC的平分线；③△ABD是等腰三角形；④△BCD是等腰三角形．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 13. 函数中，自变量的取值范围是_____． 14. 在平面直角坐标系中，位于第二象限，点A的坐标是，关于原点对称的图形，则点坐标为___________． 15. 若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是__________． 16. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是_____． 17. 已知是关于x的一元一次不等式， 则m的值为___________. 18. 如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为_____________________． 三、解答题．（共84分） 19 计算； （1）解不等式：； （2）因式分解： 20. 解下列不等式组，并将不等式组的解集在数轴上表示出来． 21. 已知关于x、y的方程组的解满足． （1）用含m的代数式分别表示x和y； （2）求m的取值范围； 22. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，点A的坐标为．请解答下列问题：（保留作图痕迹） （1）画出关于原点对称图形，并写出的坐标； （2）将绕点B顺时针旋转得到图形，请画出此图形； （3）求出的面积； （4）在x轴上作一点P，使最小，写出点P的坐标． 23. 如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E． （1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数； （2）已知△ADE的周长11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为27cm，求OA的长． 24. 某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，若购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉，共需要资金2600元；若购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉，共需要资金4400元． （1）求甲、乙型号的微波炉每台进价为多少元？ （2）该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案； 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过和两点，直线与直线相交于点，与轴交于点 （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 26. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； （3）能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024春八年级数学 期中测评 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题（共12题，每题4分，共48分） 1. 老师在黑板上写了下列式子：①x－1≥1；②－2＜0；③x≠3；④x＋2；⑤x－y＝0；⑥x＋2y≤0，其中不等式有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【详解】因为用不等号连接的式子叫做不等式，其中常用不等号有：>，<，≥，≤，≠，所以属于不等式的是：①②③⑥． 故选C． 【点睛】本题考查不等式的定义,解决本题的关键是要熟练掌握不等式的定义进行判定． 2. 老师在“六城同创”活动中设计了以下几幅logo，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项错误； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确； C、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项错误； D、轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误； 故选：B 【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念和特点，解题的关键是熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念和特征进行判断． 3. 关于x不等式的解集在数轴上表示如图所示，则a的值是（　　） A. ﹣6 B. ﹣12 C. 6 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据解不等式，可得不等式的解集，根据不等式的解集，可得关于a一元一次方程，根据解方程，可得答案． 【详解】将x=6代入， 得：6-3=， 解得：a=-12. 故选B 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，利用不等式的解集得关于a出方程是解题关键 4. 下列不等式一定成立的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行逐项判断即可． 【详解】解：A、，则，，故原不等式不成立； B、，则，故原不等式不成立； C、，则，故原不等式不成立； D、，则，一定成立； 故选：D． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，理解并熟练运用基本性质是解题关键． 5. 下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 6，8，10 B. 10，15，20 C. 5，12，13 D. 7，24，25 【答案】B 【解析】 【分析】比较两小边的平方和与最长边的平方，看看是否相等即可． 【详解】解：A．∵62+82=102， ∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵102+152≠202， ∴以10，15，20为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意； C．∵52+122=132， ∴以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵72+242=252， ∴以7，24，25为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形． 6. 如图，在方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（　　　） A. 先向下平移3格，再向右平移1格 B. 先向下平移2格，再向右平移1格 C. 先向下平移2格，再向右平移2格 D. 先向下平移3格，再向右平移2格 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形，对比图①与图②中位置关系，对选项进行分析，排除错误答案． 【详解】解：观察图形可知：平移是先向下平移3格，再向右平移2格． 故选：D． 【点睛】本题是一道简单考题，考查的是图形平移的方法． 7. 已知实数x，y满足|x−4|+（y−8）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　） A. 20或16 B. 20 C. 16 D. 以上答案均不对 【答案】B 【解析】 【分析】先根据绝对值和平方的非负性，可得到，然后分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：． 若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，因为 ，不能组成三角形； 若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8， ，能组成三角形， 所以周长为4+8+8=20． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，绝对值和平方的非负性，三角形的三边关系，熟练掌握有两边相等的三角形是等腰三角形是解题的关键． 8. 下列变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了因式分解的定义以及整式的乘法运算，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用因式分解的定义以及整式的乘法运算法则分别判断即可得出答案． 【详解】解：A、，右边不是几个因式乘积的形式，因此由左到右的变形中，不是因式分解，故A不符合题意； B、，是因式分解，故B符合题意； C、，右边不是整式，不是因式分解，故C不符合题意； D、，是整式乘法，不是因式分解，故D不符合题意． 故选：B． 9. 不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出不等式组的解集，表示出数轴上即可. 【详解】解：不等式组整理得：， ∴不等式组的解集为， 故选C． 【点睛】此题考查了解一元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 10. 如图，AB∥CD，AC的垂直平分线分别交AC，BD于E，F，若∠C＝56°，则∠BAF的度数是（　　） A. 28° B. 34° C. 56° D. 68° 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到FA=FC，求出∠FAC的度数，根据三角形内角和定理求出∠AFC，进而根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵EF是AC的垂直平分线， ∴FA＝FC， ∴∠FAC＝∠C＝56°， ∴∠AFC＝180°﹣56°﹣56°＝68°， ∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠AFC＝68°. 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质和平行线的性质以及三角形内角和定理的应用，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 11. 如图，直线经过点，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可． 【详解】解：观察图象知：当时，， 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据函数的图象解答，难度不大． 12. 如图，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线交AC于点D，有下列结论：①∠C＝72°；②BD是∠ABC的平分线；③△ABD是等腰三角形；④△BCD是等腰三角形．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质易得；根据线段垂直平分线性质知，，，判定②③正确；根据三角形内角和定理得，所以，判定④正确． 【详解】解：，， ．故①正确； 垂直平分，，即是等腰三角形．故③正确； ， ．故②正确； ， ，即是等腰三角形．故④正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，属基础题． 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 13. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 14. 在平面直角坐标系中，位于第二象限，点A的坐标是，关于原点对称的图形，则点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数即可得到答案． 【详解】解：∵和关于原点对称，点A的坐标是， ∴点坐标为， 故答案为：． 15. 若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是__________． 【答案】6＜m≤7 【解析】 【详解】由x-m＜0，7-2x≥1得到3≤x＜m，则4个整数解就是3，4，5，6， 所以m的取值范围为6＜m≤7， 故答案为6＜m≤7. 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，利用数轴就能直观的理解题意，列出关于m的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍． 16. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】 【详解】∵CD平分∠ACB交AB于点D， ∴∠DCE=∠DCF， ∵DE⊥AC，DF⊥BC， ∴DF=DE=2， ∴S△BCD=BC×DF÷2=4×2÷2=4． 故答案为：4． 考点：角平分线的性质． 17. 已知是关于x的一元一次不等式， 则m的值为___________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的定义，|m|-3=1，m+4≠0，分别进行求解即可． 【详解】根据题意|m|-3=1，m+4≠0解得|m|=4，m≠-4 所以m=4． 故答案为4 【点睛】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，本题还要注意未知数的系数不能是0． 18. 如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为_____________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴CD=AD， ∴AB=BD+AD=BD+CD， 设CD=x，则BD=4-x， 在Rt△BCD中，，即， 解得x=． 故答案为：． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键． 三、解答题．（共84分） 19. 计算； （1）解不等式：； （2）因式分解： 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，提公因式法分解因式． （1）按照去分母，去括号，移项合并，系数化为1即可求解； （2）提取公因式，即可求解． 【小问1详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并，得， 解得； 【小问2详解】 解： ． 20. 解下列不等式组，并将不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 21. 已知关于x、y的方程组的解满足． （1）用含m的代数式分别表示x和y； （2）求m的取值范围； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组： （1）利用加减消元法解方程组即可得到答案； （2）根据（1）所求结合可得，解不等式组即可得到答案． 【小问1详解】 解： 得，解得， 把代入①得：，解得； 【小问2详解】 解：∵关于x、y的方程组的解满足 ∴， 解得． 22. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，点A的坐标为．请解答下列问题：（保留作图痕迹） （1）画出关于原点对称的图形，并写出的坐标； （2）将绕点B顺时针旋转得到图形，请画出此图形； （3）求出的面积； （4）在x轴上作一点P，使最小，写出点P的坐标． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和中心对称，坐标与图形： （1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，再描出，并顺次连接即可； （2）根据所给旋转方式结合网格的特点找到A、B、C对应点的位置，描出，再顺次连接即可； （3）利用所在的长方形面积减去周围三个三角形面积即可得到答案； （4）根据（1）（2）所求可知关于原点对称，再根据两点之间线段最短可知，连接交x轴与P，点即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解：连接交x轴与P，点即为所求． 23. 如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E． （1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数； （2）已知△ADE的周长11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为27cm，求OA的长． 【答案】（1）40°；（2）8cm． 【解析】 【分析】（1）求出∠BAC=110°，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，可求出答案； （2）连接OA，OB，OC，根据三角形的周长公式求出OB+OC，根据线段垂直平分线的性质得到OB=OC，计算即可． 【详解】解：（1）∵∠ABC=30°，∠ACB=40°， ∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-30°-40°=110°， ∵DM是线段AB的垂直平分线， ∴DA=DB， ∴∠DAB=∠ABC=30°， 同理，EA=EC， ∴∠EAC=∠ACB=40°， ∴∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠EAC=110°-30°-40°=40°； （2）连接OA，OB，OC， ∵△ADE的周长11cm ∴AD+DE+EA=11（cm）， ∴BC=DB+DE+EC=AD+DE+EA=11（cm）； ∵△OBC的周长为27cm， ∴OB+OC+BC=27（cm）， ∵BC=11cm， ∴OB+OC=16（cm）， ∵OM垂直平分AB， ∴OA=OB， 同理，OA=OC， ∴OA=OB=OC=8（cm）． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 24. 某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，若购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉，共需要资金2600元；若购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉，共需要资金4400元． （1）求甲、乙型号的微波炉每台进价为多少元？ （2）该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案； 【答案】（1）甲型号微波炉每台进价为1000元，乙型号微波炉每台进价为800元； （2）共有四种方案，方案一：购进甲种型号微波炉7台、乙种型号微波炉13台；方案二：购进甲种型号微波炉8台、乙种型号微波炉12台；方案三：购进甲种型号微波炉9台、乙种型号微波炉11台；方案四：购进甲种型号微波炉10台、乙种型号微波炉10台． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组与二元一次方程组的应用， （1）设甲种型号微波炉每台进价为x元，乙种型号微波炉每台进价为y元，根据题意建立方程组求解就可以求出答案； （2）设购进甲种型号微波炉a台，则购进乙种型号微波炉台，根据“用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台”建立不等式组，求出其解就可以得出结论． 【小问1详解】 解：设甲种型号微波炉每台进价为x元，乙种型号微波炉每台进价为y元， 根据题意得， 解得：， 答：甲型号微波炉每台进价为1000元，乙型号微波炉每台进价为800元； 【小问2详解】 解：设购进甲种型号微波炉a台，则购进乙种型号微波炉台， 根据题意得：， 解得：， ∵a为整数， ∴共有四种方案， 方案一：购进甲种型号微波炉7台、乙种型号微波炉13台； 方案二：购进甲种型号微波炉8台、乙种型号微波炉12台； 方案三：购进甲种型号微波炉9台、乙种型号微波炉11台； 方案四：购进甲种型号微波炉10台、乙种型号微波炉10台． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过和两点，直线与直线相交于点，与轴交于点 （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）直线的解析式为 （2）面积是 （3）不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）把和 代入，得，进行计算即可得； （2）当时，，则，联立，进行计算得，即可得； （3）观察图象即可得． 【小问1详解】 解：把和 代入， 得， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 则， 解方程组， 得， 则， ∴的面积； 【小问3详解】 解：由图象得不等式的解集为． 【点睛】本题考查了一次函数，解题的关键是掌握一次函数的相关知识． 26. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； （3）能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质以及旋转的性质可证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理证明，即得答案； （2）把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转的性质证明，得到，再利用勾股定理即可得证； （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，先证明，再证明C，O，，四点共线，再利用勾股定理计算得出，由此即得答案． 【小问1详解】 解：， ，，， 由题意知旋转角， 为等边三角形， ，， 在中，，，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：； 【小问2详解】 证明：如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得， ，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； 【小问3详解】 解：如图3，将绕点B顺时针旋转至处，连接， 在中，，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转， ，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转，得到， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， C，O，，四点共线， 在中， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$