精品解析：北师大版2023-2024学年八年级数学下册期末达标测试卷(三)

期末达标测试卷（三） 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共16个小题，1—10小题，每小题3分；11—16小题，每小题2分，共42分） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 化简：-，结果正确的是（　　） A. 1 B. C. D. 3. 若平行四边形的周长为，两邻边之比为4：3，则其中较长的边长为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 4. 下列数值中不是不等式5x≥2x＋9的解的是( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（　 　 ） A. 16cm B. 18cm C. 20cm D. 21cm 6. 已知多项式分解因式为，则、的值为（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图为矩形，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则不可能是( ) A. B. C. D. 8. 甲从商贩A处购买了若干斤西瓜，又从商贩B处购买了若干斤西瓜．A、B两处所购买的西瓜重量之比为3：2，然后将买回的西瓜以从A、B两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为（　　） A. 商贩A的单价大于商贩B的单价 B. 商贩A的单价等于商贩B的单价 C. 商版A的单价小于商贩B的单价 D. 赔钱与商贩A、商贩B的单价无关 9. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若线段 ，则（ ） A. B. C. D. 10. 对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ） A. B. C. D. 11. 元旦联欢会上，3 名同学分别站在 三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 12. 在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系如图,在平面上取定一点称为极点；从点出发引一条射线称为极轴；线段的长度称为极径点的极坐标就可以用线段的长度以及从转动到的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即或或等,则点关于点成中心对称的点的极坐标表示不正确的是( ) A. B. C D. 13. 如图函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3)，则不等式2x<ax+4的解集为 A. B. C. D. 14. 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC角平分线,DE⊥AB,垂足为点E,DE=1,则BC=　 (　　) A. B. 2 C. 3 D. +2 15. 如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　） A. （﹣1，2） B. （，2） C. （3﹣，2） D. （﹣2，2） 16. 如图 ，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ，AE⊥BC于E ，AB＝ ，AC＝2 ，BD＝4 ，则AE的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共3个小题，17，18小题，每小题3分，19小题6分，共12分） 17. 若不等式组 有解，则a 的取值范围是______． 18. 如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB=_______cm． 19. 如图，，点上，且，按下列要求画图： 以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第1条线段；此时，，；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第2条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第3条线段；则的度数为_____；这样画下去，直到得第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则______． 三、解答题（本大题共7个小题，共66分） 20. 解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解． 21. 如图，作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． (1)求被墨水污染的部分； (2)原分式的值能等于吗？为什么？ 22. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作，，垂足分别为E，F．AC平分． （1）若，求的度数； （2）求证：． 23. 如图，在方格中建立平面直角坐标系，有点、、，是的边上点，将平移后得到，点的对应点为． （1）画出平移后的，写出点、的坐标； （2）若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，写出方格中点的坐标． 24. 在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用6天． (1)求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化； (2)若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？ 25. 如图，点是内的点，，，，将绕点 按逆时针方向旋转 得到，连接． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的度数； （3）设，则当为多少度时，为等腰三角形（直接写结果）． 26. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c． 特例探索 （1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝时，a＝ ，b＝ ； 如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝ ，b＝ ； 归纳证明 （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式； 拓展应用 （3）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝，AB＝3．求AF的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末达标测试卷（三） 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共16个小题，1—10小题，每小题3分；11—16小题，每小题2分，共42分） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 2. 化简：-，结果正确的是（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将分母进行通分，化为（x+y）（x-y）的形式，分子乘上相应的分式，进行化简. 【详解】 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，解题的关键就是熟练掌握运算规则. 3. 若平行四边形的周长为，两邻边之比为4：3，则其中较长的边长为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】A 【解析】 【分析】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的对边相等的性质，利用已知的周长，可知邻边的和为14，再根据邻边比即可求出． 【详解】解：设较长的边为，则另一边为，则， 解得，所以， 故选A． 4. 下列数值中不是不等式5x≥2x＋9解的是( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】解：移项得，5x﹣2x≥9，合并同类项得，3x≥9，系数化为1得，x≥3，所以，不是不等式的解的是x=2． 故选D． 【点睛】本题考查一元一次不等式的解． 5. 如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（　 　 ） A. 16cm B. 18cm C. 20cm D. 21cm 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：已知，△ABE向右平移2cm得到△DCF，根据平移的性质得到EF=AD=2cm，AE=DF，又因△ABE的周长为16cm，所以AB+BC+AC=16cm，则四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD=16cm+2cm+2cm=20cm．故答案选C． 考点：平移的性质. 6. 已知多项式分解因式为，则、的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用了因式分解的意义． 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案． 【详解】解：由多项式分解因式为，得 ． ，， 故选：D． 7. 如图为矩形，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则不可能是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了多边形内角和．熟练掌握多边形的内角和是的倍数是解题的关键． 根据多边形的内角和都是的倍数，对各选项判断作答即可． 【分析】解：由题意知，一条直线将该矩形分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是的倍数，都能被整除， ∵不能被整除， ∴不可能是． 故选：C． 8. 甲从商贩A处购买了若干斤西瓜，又从商贩B处购买了若干斤西瓜．A、B两处所购买的西瓜重量之比为3：2，然后将买回的西瓜以从A、B两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为（　　） A. 商贩A的单价大于商贩B的单价 B. 商贩A的单价等于商贩B的单价 C. 商版A的单价小于商贩B的单价 D. 赔钱与商贩A、商贩B的单价无关 【答案】A 【解析】 【分析】设商贩A处西瓜的单价为a，商贩B处西瓜的单价为b，根据题意列出不等式进行求解即可得. 【详解】设商贩A处西瓜的单价为a，商贩B处西瓜的单价为b， 则甲的利润=总售价﹣总成本=×5﹣(3a+2b)=0.5b﹣0.5a，赔钱了说明利润＜0， ∴0.5b﹣0.5a＜0， ∴a＞b， 故选A． 【点睛】本题考查了不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式. 9. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若线段 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由旋转可得，，即得是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：． 10. 对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故选：C． 【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 11. 元旦联欢会上，3 名同学分别站在 三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解得即可． 【详解】解：∵的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等， ∴凳子应放置的最适当的位置时在的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 12. 在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系如图,在平面上取定一点称为极点；从点出发引一条射线称为极轴；线段的长度称为极径点的极坐标就可以用线段的长度以及从转动到的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即或或等,则点关于点成中心对称的点的极坐标表示不正确的是( ) A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据中心对称性质解答即可． 详解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）， 由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°）， 故选D． 点睛：此题考查中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答． 13. 如图函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3)，则不等式2x<ax+4的解集为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把点A的坐标代入y=2x，即可求得m的值，由图象可得解集． 【详解】解：将A（m，3）代入中， 解得， 由图象可知在A点左边的区域满足要求不等式， 即． 故选A． 【点睛】本题考查一次函数与不等式，掌握它们的关系并会正确识图是解题的关键． 14. 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为点E,DE=1,则BC=　 (　　) A. B. 2 C. 3 D. +2 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据角平分线的性质可得CD=DE=1，根据Rt△ADE可得AD=2DE=2，根据题意可得△ADB为等腰三角形，则DE为AB的中垂线，则BD=AD=2，则BC=CD+BD=1+2=3． 考点：角平分线的性质和中垂线的性质． 15. 如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　） A. （﹣1，2） B. （，2） C. （3﹣，2） D. （﹣2，2） 【答案】A 【解析】 【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO=，依据∠AGO=∠AOG，即可得到AG=AO=，进而得出HG=-1，可得G（-1，2）． 【详解】如图，过点A作AH⊥x轴于H，AG与y轴交于点M， ∵▱AOBC的顶点O（0，0），A（-1，2）， ∴AH=2，HO=1， ∴Rt△AOH中，AO=， 由题可得，OF平分∠AOB， ∴∠AOG=∠EOG， 又∵AG∥OE， ∴∠AGO=∠EOG， ∴∠AGO=∠AOG， ∴AG=AO=， ∴MG=-1， ∴G（-1，2）， 故选A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 16. 如图 ，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ，AE⊥BC于E ，AB＝ ，AC＝2 ，BD＝4 ，则AE的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，然后根据平行四边形ABCD的面积即可求出． 【详解】解：∵AC=2，BD=4，四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∵， ∴， ∴． 故选D 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键． 二、填空题（本大题共3个小题，17，18小题，每小题3分，19小题6分，共12分） 17. 若不等式组 有解，则a 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先分别求出不等式组中两个不等式得解集， 再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”进行求解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵原不等式组有解， ∴， 故答案为：． 18. 如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB=_______cm． 【答案】16 【解析】 【分析】首先根据DE是AB的垂直平分线，可得AE=BE；然后根据△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，可得△ABC的周长-△EBC的周长=AB，据此求出AB的长度是多少即可． 【详解】解：DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE； ∵△ABC的周长=AB+AC+BC， △EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC， ∴AB=△ABC的周长−△EBC的周长， ∴AB=40−24=16(cm)． 故答案为16． 19. 如图，，点在上，且，按下列要求画图： 以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第1条线段；此时，，；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第2条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第3条线段；则的度数为_____；这样画下去，直到得第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则______． 【答案】 ①. ##27度 ②. 9 【解析】 【分析】此题考查的是作图复杂作图及等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得的度数，的度数，的度数，的度数，，依此得到规律，再根据三角形外角小于即可求解． 【详解】解：由题意可知：，，， 则，，， ， ，，，，， ， 解得． 为整数，故． 故答案为：；9． 三、解答题（本大题共7个小题，共66分） 20. 解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解． 【答案】，x的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2． 【解析】 【分析】先对不等式组中的两个不等式进行分别求解，求得解集，再将解集表示在数轴上. 详解】解： 解不等式①，， 解不等式②，， ∴， 解集在数轴上表示如下： ∴x的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2． 【点睛】本题考查不等式组和数轴，解题的关键是熟练掌握不等式组的求解和有理数在数轴上的表示. 21. 如图，作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． (1)求被墨水污染的部分； (2)原分式的值能等于吗？为什么？ 【答案】(1)x-4；(2)不能，见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）设被墨水污染的部分是A，计算即可得到结论； （2）令，解得x=4，而当x=4时，原分式无意义，所以不能． 试题解析：解：（1）设被墨水污染的部分是A，则，解得：A= x-4； （2）不能，若，则x=4，由原题可知，当x=4时，原分式无意义，所以不能． 22. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作，，垂足分别为E，F．AC平分． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的定义求出，再利用平行线的性质解决问题即可． （2）证明可得结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， （2）证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关的知识点． 23. 如图，在的方格中建立平面直角坐标系，有点、、，是的边上点，将平移后得到，点的对应点为． （1）画出平移后的，写出点、的坐标； （2）若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，写出方格中点的坐标． 【答案】（1）作图见详解，、；（2）作图见详解 【解析】 【分析】此题主要考查了图形的平移以及平行四边形的性质，得出图形平移规律是解题关键． （1）根据点对应点变化规律得出平移规律进而求出即可； （2）利用平行四边形的判定与性质得出符合题意的答案． 【详解】（1）解：是的边上点，将平移后得到，点的对应点为， 平移后的，个点坐标分别为：、、，如图所示：，即为所求； （2）解：如图所示：，，． 24. 在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用6天． (1)求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化； (2)若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？ 【答案】(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、；(2)至少应安排乙工程队绿化32天． 【解析】 【分析】(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据题意列出方程：，解方程即可； (2)设甲工程队施工天，乙工程队施工天刚好完成绿化任务，由题意得：，则，根据题意得出不等式求解即可． 【详解】解：(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则甲工程队每天能完成绿化的面积是， 答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、； (2)设甲工程队施工天，乙工程队施工天刚好完成绿化任务， 由题意得：，则， 根据题意得：， 解得：， 答：至少应安排乙工程队绿化32天． 【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． 25. 如图，点是内的点，，，，将绕点 按逆时针方向旋转 得到，连接． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的度数； （3）设，则当为多少度时，为等腰三角形（直接写结果）． 【答案】（1）是等腰直角三角形，理由见解析； （2）； （3）当为或120°或时，为等腰三角形． 【解析】 【分析】（）根据旋转的性质即可判断求解； （）由可得，进而得，最后根据四边形的内角和即可求解； （）根据角的和差关系可得，，再分，和三种情况解答即可求解； 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形. 理由：由旋转的性质，得，， ∴是等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由旋转的性质，得， ∴， 又∵ 四边形的内角和为，， ； 【小问3详解】 解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， 由（）知 ①若，则 ， 解得； ②若，则1 ， 解得； ③若，则 ， 解得； 综上，当为或或时，为等腰三角形． 26. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c． 特例探索 （1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝时，a＝ ，b＝ ； 如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝ ，b＝ ； 归纳证明 （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式； 拓展应用 （3）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝，AB＝3．求AF的长． 【答案】（1）2，2；2，2；（2）+=5；（3）AF=4． 【解析】 【详解】（1）【思路分析】由题可知AF、BE是的中线，因此EF即为的中位线，由此可得，且EF的长是AB的一半，题中已知的度数和边AB的长，利用相似三角形的性质和勾股定理即可得解； 解：（1），；，． 解法提示：由题可得EF即为的中位线， ，且， ， ， ①当时， ， ， ， 则在中，， ， ，即， ； ②当时， ， ， 则在和中， ， ． （2）【思路分析】连接EF，由（1）中相似三角形可知PE与PB、PF与PA的比例关系，设，由此可得AP、PB的长，依次将线段长代入和中，即可求解； 解：猜想三者之间的关系是：． 证明如下：如解图①，连接EF， ∵AF，BE是的中线， ∴EF是的中位线． ，且． ， ． 方法一：设，则， 在中，①； 在中，②； 在中，③； 由①，得． 由②+③，得． ． 方法二：在和中， ， ． ． ，即． （3）【思路分析】求AF的长，则首先想到构造“中垂三角形”，由题可知，，设AF、BE交于点P，取AB的中点H，连接FH、AC，结合平行四边形的性质可证得为“中垂三角形”，利用“中垂三角形”的三边关系即可求解． 解：设AF，BE交于点P． 如解图②，取AB的中点H，连接FH，AC． ∵E，G分别是AD，CD的中点，F是BC的中点， ． 又， ． ∵四边形ABCD是平行四边形， ， ， 是“中垂三角形”， ，即， ． 一题多解：如解图③，连接AC，CE，延长CE交BA的延长线于点H． ∵在中，E，G分别是AD、CD的中点， ． ， ． 又中，， ． ． ∴BE，CA是的中线， 是“中垂三角形”， ． ， ，即． ∵AF是的中位线， ． 难点突破：本题的难点在于第（2）问中求得PE与PB、PF与PA的比例关系后，利用勾股定理将其转换为三者之间的关系；第（3）问中在平行四边形中利用平行四边形的性质构造“中垂三角形”，利用“中垂三角形”的三边关系进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$