江西省全南中学2025届高三上学期九月考试数学试题

全南中学 2025 届高三九月份考试数学试题 命题:曹宗明 审题:王文泉 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5分,共 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 0,1,2,3A , 2 5 4 0B x x x N ,则 A B ( ) A. 1 B. 1,2 C. 0,1 D. 1,2,3 2.下列函数中,是奇函数且在其定义域上为增函数的是( ) A. siny x B. y x x C. 1 2y x D. 1y x x 3.已知函数 ( ) sin cos 2023,f x x x x ( )g x 是函数 ( )f x 的导函数,则函数 ( )y g x 的部分 图象是( ) A. B. C. D. 4.将函数 y=sin(x+ )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2 (纵坐标不变),再将所得图 象向左平移 6 个单位长度后得到函数图象关于原点中心对称,则 sin 2 =( ) A.-1 2 B.1 2 C.- 3 2 D. 3 2 5.定义在 R 上的奇函数 f(x),满足 f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1时,f(x)=x,则 f(x)≥1 2 的解集 为( ) A. 1 , 2 B. 1 3, 2 2 C. 1 34 ,4 ( ) 2 2 k k k Z D 1 32 ,2 ( ) 2 2 k k k Z 6.纯电动汽车是以车载电源为动力,用电机驱动车轮行驶,符合道路交通､安全法规各项要 求的车辆,它使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较小,逐渐成为当今世界的乘 用车的发展方向.研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变,1898年 Peukert提出铅酸 电池的容量C、放电时间 t和放电电流 I 之间关系的经验公式:C I t ,其中 为与蓄电池 结构有关的常数(称为 Peukert常数),在电池容量不变的条件下,当放电电流为15A时,放 电时间为30h;当放电电流为50A时,放电时间为7.5h,则该萻电池的 Peukert常数 约为 ( )(参考数据: lg2 0.301 , lg3 0.477 ) A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.15 7.已知函数 sin ( 0) 6 f x x 在区间 0, 2 内有最大值,但无最小值,则 的取值 范围是( ) A. 2 8, 3 3 B. 1 5, 6 6 C. 2 5, 3 6 D. 1 8, 6 3 8.若对任意的 x1,x2∈(m,+∞),且 x1<x2, x1ln x2-x2ln x1 x2-x1 <2,则 m的最小值是( ) A.e2 B.e C.1 D.1 e 二、选择题:本题共 3小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项是符 合题目要求.全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0分. 9.下列命题为真命题的是( ) A.“ 1a ”是“ 1 1 a ”的充分不必要条件; B.命题“ 1x , 2 1x ”的否定是“ 1x , 2 1x ”; C.若 0a b ,则 2 2ac bc ; D.若 0a , 0b ,且 4 1a b ,则 1 1 a b 的最小值为 9. 10.已知函数 22sin cos 2 3 sinf x x x x ,则( ) A. f x 的最小正周期为 B. 3 , 12 是曲线 f x 的一个对称中心 C. 12 x 是曲线 f x 的一条对称轴 D. f x 在区间 5 , 6 12 上单调递增 11.已知定义在 R 上的函数 f x 满足 2 2024f x f x f ,且 2 1f x 是奇函数, 则( ) A. f x 的图象关于点 1,0 对称 B. 0 4f f C. 2 1f D.若 1 1 2 2 f ,则 100 1 1 0 2i if i 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. 12.若函数 ( ) 3 sin(2 ) cos(2 )f x x x ( 0 )是偶函数,则 的最小值是 . 13.已知数列 na 满足 1 2,a 1 21 n na a n n ,若 22 nanb ,则数列 nb 的前 n项和 nS . 14.若实数 a,b,c,d满足 2 2 2( 3 ln ) ( 2) 0b a a c d ,则 2 2( ) ( )a c b d 的最小值为 . 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题共 13分) 已知函数 2 7 6 ln 10f x x x x . (1)求曲线 y f x 在点 1, 1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积; (2)求 f x 的单调区间和极小值. 16.(本题共 15分) 如图,已知OPQ是半径为 2,圆心角为 3 的扇形,C是扇形弧上的动点, ABCD是扇 形的内接矩形.记 POC . (1)用 分别表示 ,OB AB的长度: (2)当 为何值时,矩形 ABCD的面积最大?并求出这个最大面积. 17.(本题共 15分) 已知函数 3cos sin Rf x x x x 的所有正数零点构成递增数列 *Nna n . (1)求数列 na 的通项公式; (2)设数列 nb 满足 *1 5 N2 3n nnb a n ,求数列 nb 的前 n项和 nS . 18.(本题共 17分) 已知函数 sin2 cos cos2 cos (0 ) 2 2 f x x x ,对 Rx ,有 ( ) 3 f x f . (1)求 的值及 ( )f x 的单调递增区间; (2)若 0 0, 4 x , 0 1( ) 3 f x ,求 0sin 2x ; (3)将函数 ( )y f x 图象上的所有点,向右平移 24 个单位后,再将所得图象上的所有点,纵 坐标不变,横坐标变为原来的 2倍,得到函数 ( )y g x 的图象.若 [0, ]x , 22 sin2 2 3g x x m m ,求实数m的取值范围. 19.(本题共 17分) 已知函数 2sinf x x x . (1)若函数 F x 与 f x 的图象关于点 ,1 2 对称,求 F x 的解析式; (2)当 0, x 时, f x m ,求实数 m的取值范围; (3)判断函数 1 1g x x f x 在 , 2 的零点个数,并说明理由.全南中学2025届高三九.月份考试数学 参考答案 一、选择题 题号1 10 11 答案 。 D AD C D ACD ABD 1$.【详解】由A=$01,2.3 ,B=$ENx-5$+40}= $EN($x-1)(x-4) 0}=EN $s$ 或x>4,知AoB-(0,1. 故选:C. 2.【详解】A选项,y=sinx是奇函数, [2+2^n3+2k].kez上单调递减,故A错误: [xx0 B选项,y=xx= 1-^2,x<o 是奇函数,且在R上单调递增,故B正确; y_、,定义域[0,+)是非奇非偶函数,故C错误; C选项, D选项,y=x--为奇函数,在(-c,0)和(0.+)上单调递增,故D错误. 故选:B. 3.【详解】.f(x)=xsinx+cosx+2023,g(x)=f'(x)=sinx+xcosx-sinx=xcos. “g(-x)=-xcos(-x)=-xcosx=-g(x),g(x)为奇函数,图象关于原点对称,故排除AB; 故选:D. 4. 解析y=sin(x十)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变). 2 得到f(x)=sin(2x十)的图象,再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)= 6 答案第1页,共8页 故选C. 5.【详解】解析由题意,《x)满足fx十2)=一f(x),可得/(x)一/x+4). 所以fx)是周期为4的函数,又由/fx)为R上的奇函数, 可得(-x)=-f(x),所以/(x十2)-(-x),可得fx)的图象关于x=1对称, 因为当0<x1时fx)一x,可得fx)的图象,如图所示 #### 所以不等式()的解集为 2” 2 2(kE乙). 答案C 6.【详解】由题意知C-15*x30=50 x7.5,所以 =4,两边取以10为底的对数, 得21# 10 0-2lg2,所以- 2lg2 2x0.301 ~1.15. 1-lg31-0.477 V& 故选:D. 7.【详解】因为o>0,所以当o<x<时,则有 # 故选:A xlnx2-x2lnx12, 8.【详解】对任意的x,xE(m,+oo),且x<x. 易知nz0, x2-x1 则xlnx-xlnx<2x-2x.所以,xi(lnx+2)x(lnx+2) 即nx+2Inx2+2 x :2 。 因为/(x)-一 lnx十1 答案第2页,共8页 因此, 故选:D. 二、多选题 9.【详解】A项:若a>1,则<1;若<1,则a也有可能是负数,故“a>l”是“<l” a a 的充分不必要条件,A正确:B项:全程命题的否定是特称命题,则命题“Vx<1,x2<1” 的否定是“3x<l,x2>1”,B错误;C项:若a→b>0,c=0,则ac^2}=bc^2},C错误 a b 故选:AD. 10.【详解】A选项 (x)-2sinxcox2、 sn'x=sinr-3 cos2x-2:sin2x-)+, ##-)-in-)-2.故()不是曲线/()的一个对称中心,B 错误:C选项,当x-时,2sin2--)-2in--2,故x-是 2-=_0)于△n在:=(0-)上单增,)()在区{单地。 D正确. 故选:ACD 11. 【详解】A选项,由题意知,f(-2x+1)=-f(2x+1),则f(-x+1)+f(x+1)=0 所以f(x)图象的对称中心为(1.0),A正确 B选项,f(x+2)+f(x)=f(2024),f(x+4)+f(x+2)=f(2024) 两式相减得/(x+4)=f(x),所以/(4)=/(0),B正确.C选项,由B选项可得,f(x)的 周期为4,又2024=4x506,故f(x+2)+f(x)=f(2024)=f(0),令x=0得. 答案第3页,共8页 f(2)+f(0)=f(0),得f(2)=0,所以C错误;D选项,因为f(-x+1)+f(x+1)=0,令x=1 #3)-#)-(x+)(1)#-,)-)-#()-()-# 又f(x)的周期为4,则 (4n+1) 4n+(4n+2)# 4n+3}+(4n+3) 4n+]+(n+4) 4} #(4)+1)4(4)(-)(+3(-)(# -[40-1)(4=4)44)(4△]0)所以(-)0. D正确。 故选:ABD 三、填空题 因为/(x)为偶函数,所以+-+kr,kez,所以e-+kr.kez,又因为→o,所以 6=2 ~ #{#n 故答案为: 13.【详解】因为f--2,所以数列-是一个以2为首项,以2为公差的等差数列, n+1n 所以=2+(n-1)x2-2n. a.2n”,所以b22-2*; n 22 所以数列(.)的前n项和S.-401-4) 4(4-1)_4--4 1-4 3 3 4*.1-4 故答案为: 3 (b+a-3lna)}+(c-d+2){}=0 14.【详解】:实数a,b,c,d满足 $$+a}-3lna=0,c-d+2-o.分别设y=f(x)=3lnx-x(x>0),y=x+2. 则 (a-c)+(b-d)的最小值可看做曲线y=3lnx-x(x>0)和直线y=x+2上的动点 (a.b)与(c.d)的最小距离,设直线y=x+2与曲线y=3lnx-x(x>0)相切于点P(x。,y%). 答案第4页,共8页 x。 y=+2的距离d-1+2}-2.即(a-)+(b-)的最小值为2. 2 故答案为: 2V2. 四、解答题 15.【详解】(1)因为f(x)=x2-7x+6lnx+10,定义域为(0.+co), 所以/'(x)-2x-7+.(x>o), 则/(1)-2-7+6-1,又/f(1)=1-7+0+10-4. 所以曲线 =()在点(1.(1))处的切线方程为y-4-x-1,即y=x+3. 令x=0得y=3,令y=0得x=-3 2 ...........................6分 (2)因为/”(x)-2--7+62x°-7x+6(2x-3)(r-2) (x>0). 。 2 又函数f(x)的定义域为(0.+co) (2,t),减区间为(2). 所以/(x)的极小值为/f(2)=23-7x2+6ln2+10=6ln2............-13分 16.【详解】(1)在直角三角形OBC中,BC=2sing,OB=2cos; ③ -sing 25 所以AB=OB-OA-2cosg- -sina ...........................7分 3 (2)设矩形ABCD的面积为s, 25 所以S-ABxBC= 2cosa一 -sing x2sing 3 -4sinacosa-- .........................9分 答案第5页,共8页 -2sin2a-- 3 3 -4{# ...........................12分 6 25 .......................15分 17.【详解】(1)/(x)3coscxrsinx-2co(-). +62 由于a.-a.=l,故{a.为等差数列,公差为1; 2 故a= ......................分 (2)-#)-(n1(ne) 1 1 ①-②得: 二 1-3-3 则S=3- ...........................15分 2。~. 18.【详解】(1)f(x)=sin2xcos+cos2xsinq=sin(2x+). 因为对ye飞R,有/(x)#()!# f(x)取得最值. 答案第6页,共8页 $所以2×+=+k,kez, 3 2 6 所以/()=sn{(x) ##. ........................分 (2) 由x。0.#vx)#(x)sn2×-). 可得2-- n0-1. 所以sin2r。-sin-+-n-o+2 ................10分 (3)将函数y=/f(tx)图象上的所有点,向右平移-个单位后得到 24 令(x)-2sin(x-)+sin2x=sinx-cosx+2sinxcosx,xe[0,n] 只需h(x).<2m-3m. 令r=sinx-cos x-2sin(x-). 所以ref-1.2]: 因为r*=(sinx-cosx)2}=1-2sinxcosx,可得2sinxcosx=1- 因为1e[-1.2],所以当/=-1时,(x)=-1, 所以2m}-3m→-1,即(2m-1)(n-1)=o,解得m或m1. ) ............17分 19.【详解】(1)由题意得,F(x)=2-f(π-x)=2-2sin(π-x)+(π-x)=π+2-x-2sinx. ............4分. 答案第7页,共8页 (2)由题意得,f’(x)=2cosx-1,xe[o,] 令/(1)-0,解得- 所以当x$0_时0 (x)0当(时, /(x)<0. 所以(1)在0) )上单词通增,在(一单调遍减, 所以(2)的最大值为(2)_5- 由于xe[o.x]时,f(x)<m, ............10分 (3)令g(x)=0,则(x+1)(2sinr-x)+1=0,整理得2sin-x+-0, x+1 (π+1)#} 当#(2时,n(1)<0.所以b(x)在(_) 上单调递减, π+1 π+1 ##)) 所以由零点存在性定理得, 上存在唯一零点. 当xe[n,t)时,(x)=2sinr-x+<2-+1<0,此时函数无零点. x+1 ..............7.分 答案第8页,共8页