16.3 角的平分线 课件 2024-2025学年冀教版数学八年级上册

16.3 角的平分线 ● 考点清单解读 ● 重难题型突破 ● 易错易混分析 ● 方法技巧点拨 ■考点一 角平分线的性质定理 内容 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 符号 语言 如图，∵OC 是∠AOB 的平分线，P 为 OC 上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为 D，E，∴PD=PE. 16.3 角的平分线 考点清单解读 返回目录 续表 注意 （1）角的平分线是射线，而角的对称轴是直线； （2）根据角平分线的性质定理可由三个条件（一条 角平分线，两个“垂直”）得到一个结论（垂线段相等），因此这个定理是证明两条线段相等的常用方法之一； （3）“距离”是指点到直线的垂线段的长，而不是指任意线段的长； （4）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴 16.3 角的平分线 考点清单解读 返回目录 16.3 角的平分线 归纳总结 已知角平分线及其上一点到角的一边的垂线段，常添加辅助线：由角平分线的已知点向另一边作垂线段，即构造“角平分线的性质定理”的基本图形，得到相等的两条垂线段. 考点清单解读 返回目录 16.3 角的平分线 典例 1 如图，BP 是△ABC 的外角平分线，点 P 在∠BAC 的平分线上.求证：点 P 到△ABC 的三边距离相等. 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 16.3 角的平分线 ［解题思路］ ［答案］ 证明：如图，过点 P 作 PD⊥AB 于点 D，作 PE⊥BC 于点 E，作 PF⊥AC 于点 F，∵BP 是△ABC 的外角平分线，∴PD=PE，∵ 点 P 在∠BAC 的平分线上，∴PD=PF，∴PD=PE=PF，∴ 点 P 到△ABC 的三边距离相等. 考点清单解读 返回目录 16.3 角的平分线 考点清单解读 返回目录 ■考点二 角平分线性质定理的逆定理 内容 到角的两边距离相等的点在角平分线上 符号 语言 如图，∵PD⊥OA 于点 D， PE⊥OB 于点 E，且 PD=PE，∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 注意 应用逆定理的条件：①找出这一点到角两边的垂线 段；②证明两条垂线段相等.这一点与角的顶点的连线就是角平分线 16.3 角的平分线 考点清单解读 返回目录 续表 注意 角平分线的判定有两种方法：①角平分线性质定理 的逆定理；②定义法 根据角平分线性质定理的逆定理可由三个条件（两 个“垂直”，一个“垂线段相等”）得到一个结论（点在角平分线上），因此这个定理是证明两个角相等的常用方法之一 16.3 角的平分线 考点清单解读 返回目录 16.3 角的平分线 归纳总结 （1）三角形的三条角平分线交于一点，这一点到三角形三条边的距离相等； （2）三角形的两个外角的平分线交于一点，这点到三角形三边的距离相等； （3）到一个三角形三边距离相等的点共有 4 个. 考点清单解读 返回目录 16.3 角的平分线 典例 2 如图，在△ABC 中，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC于点 F，且∠BDE=∠CDF，BE =CF．求证：AD 平分∠BAC. 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 16.3 角的平分线 ［解题思路］ 考点清单解读 返回目录 16.3 角的平分线 ［答案］ 证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°，在△BED 和△CFD 中，∵∠BDE=∠CDF，∠BED=∠CFD，BE=CF，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF.又 ∵DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，∴ 点 D 在∠BAC 的平分线上，∴AD 平分∠BAC． 考点清单解读 返回目录 ■考点三 作角的平分线 角的平分 线的作法 折叠法 将已知角折叠，使角的两边重合，折痕即为角平分线所在的直线 角的平分 线的作法 度量法 用量角器度量已知角的度数，并除以 2，再用量角器画出这个角的平分线 16.3 角的平分线 考点清单解读 返回目录 续表 角的 平分 线的 作法 尺规 作图 用圆规和直尺作图，保留作图痕迹，并指出结论 已知：∠AOB. 求作：∠AOB 的平分线. 作法：（1）以点 O为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； 16.3 角的平分线 考点清单解读 返回目录 续表 角的 平分 线的 作法 尺规 作图 （2）分别以点 M，N 为圆心，大于 2 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C； （3）画射线 OC，射线 OC 即为所求 16.3 角的平分线 考点清单解读 返回目录 续表 注 意 尺规作图时两弧的交点应在角的内部，因为要作的是角的平分线 尺规作图作一个角的平分线的理论依据是“SSS” 角的平分线是一条射线，三角形的内角平分线是一条线段 16.3 角的平分线 考点清单解读 返回目录 16.3 角的平分线 归纳总结 作法第一步中“适当长为半径”要求便于作图，不能太长或太短；第二步中的半径长要大于两个圆心连线长度的一半，否则不能形成交点或交点不明显. 考点清单解读 返回目录 16.3 角的平分线 典例 3 用尺规作已知∠ABC 的平分线，步骤如下： ①以点 B 为圆心，以 m 为半径画弧，分别交射线 BA，BC 于点 D，E； ②分别以点 D，E 为圆心，以 n 为半径画弧，两弧在∠ABC 内部交于点 P； ③画射线BP．射线 BP 即为所求． 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 16.3 角的平分线 对 m，n 的描述，正确的是 （ ） A. m＞0，n＞0 B. m＞0，n＜m C. m＞0，n＞ DE D. m＞0，n＜ DE 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 16.3 角的平分线 ［答案］ C 考点清单解读 返回目录 ■题型 角平分线的性质定理与逆定理的综合应用 例 如图，∠MON=60°，点 A，B 分别为射线 OM，ON 上的动点（点 A，B 不与点 O 重合)，在∠MON 的内部，△AOB 的外部有一点 P，且 AP=BP，∠APB=120°.求证：点 P 在∠MON 的平分线上. 16.3 角的平分线 重难题型突破 返回目录 16.3 角的平分线 ［答案］ 解：如图，过点 P 分别作 PS⊥OM，PT⊥ON，垂足分别为点 S，T，∴∠OSP=∠OTP=90°.在四边形 OSPT 中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，∴∠APB=∠SPT=120°，∴∠APS=∠BPT.在△APS 和△BPT 中，∵∠ASP=∠BTP=90°，∠APS=∠BPT，AP=BP，∴△APS≌△BPT(AAS)，∴PS=PT，∴ 点 P 在∠MON 的平分线上. 重难题型突破 返回目录 16.3 角的平分线 变式衍生 如图，点 B，C 分别在∠A 的两边上，D 是∠A 内一点，DE ⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为 E，F，且AB=AC，DE=DF．求证：BD=CD． 重难题型突破 返回目录 16.3 角的平分线 解：证明：如图，连接 AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，∴AD 是∠EAF 的平分线，∴∠BAD=∠CAD， 在△ABD 和△ACD 中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD= AD，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴BD=CD． 重难题型突破 返回目录 16.3 角的平分线 解题通法 角平分线的性质定理与逆定理的关系：点在 角的平分线上 （角的内部的）点到角两边的距离相等.角平分线的性质定理是证明两条线段相等的依据，角平分线的逆定理是证明两角相等的依据. 性质定理 逆定理 重难题型突破 返回目录 ■忽略角平分线中的“垂直”条件 例 如图，BM 平分∠ABC，D 是 BM 上一点，过点 D 作 DE⊥AB，DF⊥BC，分别交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，P 是 BM 上的另一点，连接 PE，PF.求证：PE=PF． 16.3 角的平分线 易错易混分析 返回目录 16.3 角的平分线 ［答案］ 证明：∵BM 平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴ED=FD，∠EBD=∠FBD，∠BED=∠BFD=90°，∵∠EDP= ∠EBD+∠BED，∠FDP=∠FBD+∠BFD，∴∠EDP=∠FDP，在△EDP 和△FDP 中，∵ED=FD，∠EDP=∠FDP，DP=DP，∴△EDP≌△FDP（SAS），∴PE=PF． ［易错］∵BM 平分∠ABC，P 是 BM 上的一点，∴PE= PF． ［错因］ 误把 PE，PF 当成点 P 到∠ABC 两边的距离. 易错易混分析 返回目录 16.3 角的平分线 易错警示 误把角平分线上的点与角两边上任意点之间的线段长当成点到直线的距离，距离指的是垂线段的长度，而非任意线段长度. 领悟提能 利用角平分线的性质证明线段相等时，若涉及的线段不是角平分线上的点到角的两边的垂线段，则可利用三角形全等求解. 易错易混分析 返回目录 ■方法：作垂线段解决与角平分线相关的面积问题 三角形中的一条内角平分线将三角形分成两个以这个角两边为底，高相等的小三角形，过角平分线与一边相交的点向另两边作垂线，所作垂线段就是两个小三角形的高，结合三角形面积公式即可解题. 16.3 角的平分线 方法技巧点拨 返回目录 例 如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E．△ABC 的面积为 70，AB=16，BC=12．求 DE 的长. 16.3 角的平分线 方法技巧点拨 返回目录 16.3 角的平分线 ［解析］过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DE=DF，再利用△ABC 的面积列出方程求解即可． ［答案］解：如答案图，过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，∵BD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，S△ABC= ×16×DE+ ×12×DF=70，∴14×DE=70，解得 DE=5. 方法技巧点拨 返回目录 16.3 角的平分线 方法技巧点拨 返回目录 $$