16.2 线段的垂直平分线课件 2024-2025学年冀教版数学八年级上册

16.2 线段的垂直平分线 第一课时 线段垂直平分线的性质 ● 考点清单解读 ● 重难题型突破 ● 易错易混分析 ■考点 线段垂直平分线的性质定理 内容 图示 性质 定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等条件：点在线段的垂直平分线上 结论：这个点到线段两端的距离相等 符号 表示 ∵ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线 l上， ∴PA=PB 作用 证明线段相等 第一课时 线段垂直平分线的性质 考点清单解读 返回目录 归纳总结 （1）三角形三边的垂直平分线相交于一点，该点到三角形三个顶点的距离相等； （2）三角形的形状不同，其三边的垂直平分线交点位置也不同： ①当三角形是锐角三角形时，交点在三角形内部； ②当三角形是直角三角形时，交点为斜边的中点； ③当三角形是钝角三角形时，交点在三角形外部. 第一课时 线段垂直平分线的性质 考点清单解读 返回目录 典例 如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，若 AC=5，BC=4，则△DBC 的周长是 ______. 对点典例剖析 第一课时 线段垂直平分线的性质 考点清单解读 返回目录 ［答案］9 第一课时 线段垂直平分线的性质 ［解题思路］ 考点清单解读 返回目录 ■题型 线段垂直平分线的性质定理的应用 例 如图，在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°．若边 AC 的垂直平分线 DE 交边 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，连接 CD，则∠DCB 的度数为 （ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 第一课时 线段垂直平分线的性质 重难题型突破 返回目录 第一课时 线段垂直平分线的性质 ［答案］9 ［解析］ 重难题型突破 返回目录 变式衍生 如图，在△ABC 中，AC=10，AB 的垂直平分线交 AB 于点 M，交 AC 于点 D，△BDC 的周长为 18，则 BC 的长为 （ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 第一课时 线段垂直平分线的性质 C 重难题型突破 返回目录 ■方法：利用模型观念解决最短路径问题 将直线同侧的两点转化到直线的异侧，利用线段垂直平分线的性质及两点之间线段最短，选择符合题意的点，从而解决问题. 第一课时 线段垂直平分线的性质 方法技巧点拨 返回目录 例 如图，小河边有两个村庄 A，B，要在河边 EF 建一自来水厂向 A 村与 B 村供水.若要使水厂到 A，B 村的水管最省料，则应建在什么地方？ 第一课时 线段垂直平分线的性质 方法技巧点拨 返回目录 ［答案］ 解：如答案图，作出点 A 关于直线 EF 的对称点 A′，再连接 A′B，与 EF 的交点即为水厂位置.点 N 即为所求. 第一课时 线段垂直平分线的性质 方法技巧点拨 返回目录 第二课时 线段垂直平分线的判定和画法 ● 考点清单解读 ● 重难题型突破 ● 易错易混分析 ■考点一 线段垂直平分线性质定理的逆定理 内容 图示 文字 表示 到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 符号 表示 ∵PA=PB， ∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 作用 ①确定点在直线上；②确定直线经过某点；③证明一条直线是线段的垂直平分线 第二课时 线段垂直平分线的判定和画法 考点清单解读 返回目录 续表 注意 （1）由线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理可 知，线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点的 距离相等的所有点的集合； （2）要判断一条直线是某条线段的垂直平分线，必须在该直线上至少找到两个到这条线段两端距离相 等的点，因为两点确定一条直线 第二课时 线段垂直平分线的判定和画法 考点清单解读 返回目录 归纳总结 到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条边的垂直平分线的交点. 第二课时 线段垂直平分线的判定和画法 考点清单解读 返回目录 典例 1 如图，点 D 在△ABC 的边 BC 上，且 BC=BD+AD，则点 D 在线段 ____ 的垂直平分线上. 对点典例剖析 第二课时 线段垂直平分线的判定和画法 考点清单解读 返回目录 ［答案］ AC 第二课时 线段垂直平分线的判定和画法 ［解题思路］ 考点清单解读 返回目录 ■考点二 与线段垂直平分线有关的作图 第二课时 线段垂直平分线的判定和画法 1. 用尺规作线段的垂直平分线 考点清单解读 返回目录 2. 过一点作已知直线的垂线 第二课时 线段垂直平分线的判定和画法 作法 图示 点 P 在 直线 l 上 ①以点 P 为圆心，适当长为半径画弧，交 l 于 A，B 两点；②作线段 AB 的垂直平分线 CD，CD 即为直线 l 的垂线 考点清单解读 返回目录 续表 第二课时 线段垂直平分线的判定和画法 点 P 在直 线 l 外 ①以点 P 为圆心，适当长为半径画弧，交 l 于 A，B 两点；②分别以点 A，B 为圆心，适当长为半径，在直线 l 的另一侧画弧，两弧相交于点 Q，连接 PQ，直线 PQ 即为直线 l 的垂线 考点清单解读 返回目录 归纳总结 （1）作线段的垂直平分线时两个交点到线段的距离相同； （2）作图时所画弧的半径要大于已知线段长度的一半，从而可以使所画的两弧有两个交点. 第二课时 线段垂直平分线的判定和画法 考点清单解读 返回目录 典例 2 如图，已知线段 AB=6，利用尺规作 AB 的垂直平分线，步骤如下： ①分别以点 A，B 为圆心，以 b 的长为半径作弧，两弧相交于点 C 和 D； ②作直线 CD．直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线.则 b 的长可能是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 对点典例剖析 第二课时 线段垂直平分线的判定和画法 考点清单解读 返回目录 第二课时 线段垂直平分线的判定和画法 ［答案］ D ［解题思路］根据作图步骤知 b＞ AB，即 b＞3. 考点清单解读 返回目录 ■题型 用尺规作线段垂直平分线的应用 例 如图，分别以线段 AB 的两端点 A，B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，在线段 AB 的两侧分别交于点 E，F，作直线 EF 交 AB 于点 O．在直线 EF 上任取一点 P（不与点 O 重合），连接 PA，PB，则下列结论不一定成立的是 （ ） A. PA=PB B. OA=OB C. OP=OF D. PO⊥AB 第二课时 线段垂直平分线的判定和画法 重难题型突破 返回目录 第二课时 线段垂直平分线的判定和画法 ［答案］ C ［解析］ 重难题型突破 返回目录 变式衍生 如图，分别以点 A，B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，所画的弧交于两点，再连接这两点所在直线交 BC 于点 D，连接 AD．若 BD=2，则 AD 的长为 ______． 第二课时 线段垂直平分线的判定和画法 2 重难题型突破 返回目录 解题通法 涉及尺规作图的题目，首先要根据作图方法或作图痕迹判断出所作图形，再结合题目所给条件解决问题. 第二课时 线段垂直平分线的判定和画法 重难题型突破 返回目录 ■线段垂直平分线的判定出错 例 如图，AD 为 △ABC 的角平分线，AE=AF，求证：线段 AD 所在的直线是线段 EF 的垂直平分线. 第二课时 线段垂直平分线的判定和画法 易错易混分析 返回目录 第二课时 线段垂直平分线的判定和画法 ［答案］ 证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD= ∠CAD.在△AED 和△AFD 中，∵AE=AF，∠EAD=∠FAD，AD=AD，∴△AED≌△AFD（SAS）.∴DE=DF，∴ 点 D 在线段 EF 的垂直平分线上.又 ∵AE=AF，∴ 点 A 在线段 EF 的垂直平分线上，∴ 线段 AD 所在的直线是线段 EF 的垂直平分线. ［解析］利用△AED≌△AFD 说明 DE=DF，结合 AE=AF，从而说明 A，D 都在 EF 的垂直平分线上，即可得证． 易错易混分析 返回目录 第二课时 线段垂直平分线的判定和画法 ［易错］ 证明：∵AE=AF，∴ 点 A 在线段 EF 的垂直平分线上，∴ 线段 AD 所在的直线是线段 EF 的垂直平分线. ［错因］ 由 AE=AF 直接得到线段 AD 所在的直线是线段 EF 的垂直平分线而出错. 易错易混分析 返回目录 易错警示 只证明一个点在线段的垂直平分线上，不能说明过该点的直线是线段的垂直平分线.过该点的直线有无数条，其中只有一条是线段的垂直平分线. 第二课时 线段垂直平分线的判定和画法 领悟提能 线段垂直平分线的判定有两种方法： ①定义法：证明这条直线垂直且平分已知线段； ②证明有两个点在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，可以判定这两点所在的直线就是已知线段的垂直平分线. 易错易混分析 返回目录 $$