新课预习衔接：平行四边形和梯形 （讲义）-2024-2025学年四年级上册数学人教版

平行四边形和梯形 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：思维导图：单元知识简单且高效的发散性思维呈现，是一种实用性的知识小结。 第二部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第三部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第四部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第五部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 思维导图 第二部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【垂直与平行的特征及性质知识点归纳】 1．垂线的定义： 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）． 2．垂线的性质： 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短． 3．垂直的判定：垂线的定义． 4．平行线的概念： 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”． 5．平行线的判定方法： （1）平行于同一条直线的两直线平行． （2）垂直于同一条直线的两直线平行． （3）平行线的定义． 【过直线上或直线外一点作直线的垂线知识点归纳】 1、以直线外一点为圆心，以大于这点到直线的距离为半径画弧交直线于A、B两点． 2、分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画弧在直线的两侧相交于两点． 3、连结这一点和任意一个交点（或连结两个交点）的直线就是已知直线的垂线． 【平行四边形的特征及性质知识点归纳】 平行四边形的概念： 1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 平行四边形用符号“▱ABCD”，如平行四边形ABCD记作“▱ABCD”． （1）平行四边形属于平面图形． （2）平行四边形属于四边形． （3）平行四边形中还包括特殊的平行四边形：矩形，正方形和菱形等． （4）平行四边形属于中心对称图形． 2．平行四边形的性质： 主要性质 （矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形．） （1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等． （简述为“平行四边形的两组对边分别相等”） （2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等． （简述为“平行四边形的两组对角分别相等”） （3）夹在两条平行线间的平行线段相等． （4）平行四边形的面积等于底和高的积．（可视为矩形） （5）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形． （6）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点． （7）平行四边形不是轴对称图形，矩形和菱形是轴对称图形． 注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质． 【作平行四边形的高知识点归纳】 在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高． 垂线段分别是垂足所在边上的高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线．作图时平行四边形的高指的是垂线段本身，而计算时用的是垂线段的长度． 【梯形的特征及分类知识点归纳】 1．概念：梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形． 2．分类： （1）直角梯形：有一个角为直角的梯形为直角梯形 （2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形 （3）一般梯形． 第三部分 典型例题 例题1：王大爷有一块等腰梯形的菜地，它的周长是24米，你知道它的腰长是多少米吗？ 【考点】梯形的周长． 【答案】7米。 【分析】根据等腰梯形的两腰相等，解答此题即可。 【解答】解：（24﹣2﹣8）÷2 ＝14÷2 ＝7（米） 答：它的腰长是7米。 【点评】熟悉等腰梯形的特征，是解答此题的关键。 例题2：一个平行四边形的纸板沿4厘米的高剪开，分成两个梯形，这两个梯形的周长之和比原来平行四边形的周长长多少厘米？ 【考点】梯形的周长． 【答案】见试题解答内容 【分析】这两个梯形的周长之和比原来平行四边形的周长多了两个4厘米，据此解答即可。 【解答】解：4+4＝8（厘米） 答：这两个梯形的周长之和比原来平行四边形的周长长8厘米。 【点评】能找出这两个梯形的周长之和与原来平行四边形的周长的关系，是解答此题的关键。 例题3：李叔叔靠墙用篱笆围成了一个平行四边形的花坛．（如图） 【考点】平行四边形的特征及性质． 【答案】10米． 【分析】观察图可知，这个平行四边形的一条边靠墙，只要求出另外三边的和，就是需要准备篱笆的长度． 【解答】解：4+3+3＝10（米） 答：李叔叔需要准备10米长的篱笆． 【点评】本题根据平行四边形的特点求解，注意给出的高2米没有用处，不要被迷惑． 第四部分 高频真题 1．画出平行四边形中指定的底边上的高，画法正确的是（　　） A． B． C． D． 2．将一张圆形的纸对折两次后展开，折痕（　　） A．互相平行 B．互相垂直 C．互相垂直或互相平行 3．梯形中最多有（　　）个直角。 A．0 B．1 C．2 D．3 4．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线的位置关系是（　　） A．互相平行 B．互相垂直 C．无法确定 5．一个等腰梯形有（　　）条高． A．1 B．2 C．3 D．无数 6．从平行四边形的一个顶点出发最多可以画（　　）条高． A．1 B．无数 C．2 D．3 7．生活中，以下的（　　）不是应用平行四边形易变形的特性。 A．伸缩门 B．电线杆 C．升降机 8．数学书封面的对边互相 　 　，邻边互相 　 　。 9．教室的黑板上下两条边互相 　 　，长边和短边互相 　 　。 10．请从数学角度写出下面2个图形的1个相同特征和1个不同特征。 相同特征：　 　；不同特征：　 　。 11．两组对边分别平行的四边形叫 　 　．只有一组对边平行的四边形叫 　 　． 12．按要求画图。（每个小方格边长为1厘米） （1）以线段AC、线段AB为两条邻边，画一个直角梯形。 （2）已知E、F、G三点，在图中再找一个点，然后连接这四个点使它成为一个平行四边形。 13．画出图形指定底边上的高。 14．在点子图上画一个平行四边形和一个等腰梯形，并画出它们的高． 15．在方格图中画一个上底是3厘米，下底是5厘米，高是3厘米的梯形，并画出这个梯形的一条高。（每个方格边长表示1厘米） 16．如图，A村要修一条小路通往公路。怎样修最近，请画一画。 17．一根长54厘米的铁丝围成一个平行四边形，其中一条边长14厘米，另外三条边的长分别是多少厘米？ 18．王师傅用一根70厘米长的木条做了一个平行四边形框架，其中一条边的长是20厘米，另一条边长是多少厘米？ 19．王大爷有一块等腰梯形的菜地，它的周长是24米，你知道它的腰长是多少米吗？ 20．一个平行四边形的纸板沿4厘米的高剪开，分成两个梯形，这两个梯形的周长之和比原来平行四边形的周长长多少厘米？ 21．李叔叔靠墙用篱笆围成了一个平行四边形的花坛．（如图） 参考答案与试题解析 1．画出平行四边形中指定的底边上的高，画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】作平行四边形的高． 【答案】A 【分析】在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作底边的垂线，用三角板的直角可以画出平行四形的高，据此解答即可。 【解答】解：分析可知，画出平行四边形中指定的底边上的高，画法正确的是。 故选：A。 【点评】本题考查了平行四边形高的画法，结合题意分析解答即可。 2．将一张圆形的纸对折两次后展开，折痕（　　） A．互相平行 B．互相垂直 C．互相垂直或互相平行 【考点】垂直与平行的特征及性质． 【答案】B 【分析】两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直；将一张圆形的纸对折两次，所形成的圆心角是90度，也就是说折痕互相垂直。 【解答】解：将一张圆形的纸对折两次后展开，折痕互相垂直。 故选：B。 【点评】本题考查了垂直的意义。 3．梯形中最多有（　　）个直角。 A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】梯形的特征及分类． 【答案】C 【分析】根据梯形的特征及四边形的内角和是360°，梯形只有一组对边平行，所以梯形中最多有两个直角．据此解答。 【解答】解：梯形中最多有2个直角。 故选：C。 【点评】此题考查的目的是理解掌握梯形的特征，以及四边形的内角和是360°。 4．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线的位置关系是（　　） A．互相平行 B．互相垂直 C．无法确定 【考点】垂直与平行的特征及性质． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，据此解答。 【解答】解：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线的位置关系是互相平行。 故选：A。 【点评】此题考查了垂直和平行的特征及性质。 5．一个等腰梯形有（　　）条高． A．1 B．2 C．3 D．无数 【考点】梯形的特征及分类． 【答案】D 【分析】根据梯形的高的含义，在梯形上底上任取一点，过这一点向下底作垂线段即为梯形的高．这样的线段可以作无数条，因而一个梯形能画出无数条高，又因为梯形的上底和下底互相平行，因而这些高都相等．据此得出答案． 【解答】解：根据梯形高的定义知：梯形的上底上有无数个点，它向对边引垂线段就有无数条． 故选：D． 【点评】本题考查了梯形的高，解题关键是学生要理解梯形的特征：“梯形的两底平行”，另外还要理解平行线的特征：“两平行线间的距离处处相等．” 6．从平行四边形的一个顶点出发最多可以画（　　）条高． A．1 B．无数 C．2 D．3 【考点】作平行四边形的高． 【答案】C 【分析】在平行四边形中，一个顶点有两条对边，则过这个顶点向对边作垂线，有两条，这两条都是平行四边形的高． 【解答】解：如图所示，从平行四边形的一个顶点可以画这个平行四边形的2条高． ． 故选：C． 【点评】此题主要考查平行四边形的高的画法． 7．生活中，以下的（　　）不是应用平行四边形易变形的特性。 A．伸缩门 B．电线杆 C．升降机 【考点】平行四边形的不稳定性． 【答案】B 【分析】A．伸缩门应用了平行四边形易变形的特点； B．电线杆的支架是三角形的，应用了三角形的稳定性的特点； C．升降机中间的图形是平行四边形，而平行四边形具有易变形的特点。 【解答】解：A．伸缩门应用了平行四边形易变形的特点； B．电线杆没有应用平行四边形易变形的特点； C．升降机应用了平行四边形易变形的特点； 故选：B。 【点评】灵活掌握平行四边形的不稳定性，是解答此题的关键。 8．数学书封面的对边互相 　平行　，邻边互相 　垂直　。 【考点】垂直与平行的特征及性质． 【答案】平行，垂直。 【分析】根据垂直和平行的意义解答。 【解答】解：数学书封面的对边互相平行，邻边互相垂直。 故答案为：平行，垂直。 【点评】本题考查了垂直和平行的性质。 9．教室的黑板上下两条边互相 　平行　，长边和短边互相 　垂直　。 【考点】垂直与平行的特征及性质． 【答案】平行，垂直。 【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。 【解答】解：教室的黑板上下两条边互相平行，长边和短边互相垂直。 故答案为：平行，垂直。 【点评】此题考查了垂直与平行的特征和性质，要熟练掌握。 10．请从数学角度写出下面2个图形的1个相同特征和1个不同特征。 相同特征：　高相等　；不同特征：　三角形有3条边，梯形有4条边　。 【考点】平行四边形的特征及性质． 【答案】高相等，三角形有3条边，梯形有4条边。（答案不唯一） 【分析】观察这两个图形，三角形和梯形的高相等，但是三角形有3条边，梯形有4条边，其中有一组对边平行。据此解答。 【解答】解：相同特征：高相等； 不同特征：三角形有3条边，梯形有4条边。 故答案为：高相等，三角形有3条边，梯形有4条边。（答案不唯一） 【点评】本题关键是熟记三角形和梯形的特征。 11．两组对边分别平行的四边形叫 　平行四边形　．只有一组对边平行的四边形叫 　梯形　． 【考点】平行四边形的特征及性质；梯形的特征及分类． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用平行四边形和梯形的定义及特征解答． 【解答】解：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形； 只有一组对边平行的四边形叫梯形； 故答案为：平行四边形；梯形． 【点评】此题主要考查平行四边形及梯形的定义． 12．按要求画图。（每个小方格边长为1厘米） （1）以线段AC、线段AB为两条邻边，画一个直角梯形。 （2）已知E、F、G三点，在图中再找一个点，然后连接这四个点使它成为一个平行四边形。 【考点】梯形的特征及分类；平行四边形的特征及性质． 【答案】（1）（2）（平行四边形画法不唯一） 【分析】（1）根据只有一组对边平行的四边形是梯形，结合直角梯形的特征，以线段AC、线段AB为两条邻边，画一个直角梯形即可。 （2）根据平行四边形对边平行且相等的特点，已知E、F、G三点，在图中再找一个点，然后连接这四个点使它成为一个平行四边形即可。 【解答】解：（1）以线段AC、线段AB为两条邻边，画一个直角梯形。如图： （2）已知E、F、G三点，在图中再找一个点，然后连接这四个点使它成为一个平行四边形。如图： （平行四边形画法不唯一） 【点评】本题考查了梯形和平行四边形的特征及画法，结合题意分析解答即可。 13．画出图形指定底边上的高。 【考点】作平行四边形的高． 【答案】 【分析】根据平行四边形的高的意义，从任一顶点作它对边的垂线段，这条垂线就叫高，据此画出即可。 【解答】解： 【点评】本题考查了平行四边形高的画法。 14．在点子图上画一个平行四边形和一个等腰梯形，并画出它们的高． 【考点】作平行四边形的高；作梯形的高． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，从平行四边形的一个顶点向对边引垂线，这点到垂足之间的线段是平行四边形的高， （2）只有一组对边平行的四边形是梯形，两腰相等的梯形，叫等腰梯形；从梯形的一个顶点向对边引垂线，这点到垂足之间的线段是梯形的高．据此画图解答． 【解答】解：画图如下： 【点评】本题考查了学生根据平行四边形和梯形的定义在点子图上画图的能力． 15．在方格图中画一个上底是3厘米，下底是5厘米，高是3厘米的梯形，并画出这个梯形的一条高。（每个方格边长表示1厘米） 【考点】作梯形的高． 【答案】（画法不唯一） 【分析】根据梯形是只有一组对边平行的四边形的特征，在方格图中画一个上底是3厘米，下底是5厘米，高是3厘米的梯形，然后根据梯形高的画法，在梯形的上底的任取一个端点作垂直于下底的线段，解答即可。 【解答】解：如图： （画法不唯一） 【点评】本题考查了梯形的画法以及梯形高的画法，结合题意分析解答即可。 16．如图，A村要修一条小路通往公路。怎样修最近，请画一画。 【考点】过直线上或直线外一点作直线的垂线． 【答案】 【分析】根据垂线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂线段最短，本题中将A村看作一个点，从点A向直线画垂线段即可，据此解答。 【解答】解： 【点评】本题考查垂线段的性质，熟练掌握它的性质并灵活运用。 17．一根长54厘米的铁丝围成一个平行四边形，其中一条边长14厘米，另外三条边的长分别是多少厘米？ 【考点】平行四边形的特征及性质． 【答案】13厘米、14厘米、13厘米。 【分析】根据平行四边形的对边相等，解答此题即可。 【解答】解：54÷2＝27（厘米） 27﹣14＝13（厘米） 答：另外三条边的长分别是13厘米、14厘米、13厘米。 【点评】熟练掌握平行四边形的性质，是解答此题的关键。 18．王师傅用一根70厘米长的木条做了一个平行四边形框架，其中一条边的长是20厘米，另一条边长是多少厘米？ 【考点】平行四边形的特征及性质． 【答案】见试题解答内容 【分析】70厘米即围成平行四边形的周长，根据平行四边形特征：两组对边分别相等，所以平行四边形的周长等于两条相邻边的和乘2，即可解答． 【解答】解：70÷2﹣20 ＝35﹣20 ＝15（厘米） 答：另一条边长是15厘米． 【点评】此题应结合题意，并根据平行四边形的特点进行分析、解答． 学科网（北京）股份有限公司 $$