新课预习衔接：第七单元数学广角——植树问题（讲义）-2024-2025学年五年级上册数学人教版

数学广角—植树问题 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：思维导图：单元知识简单且高效的发散性思维呈现，是一种实用性的知识小结。 第二部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第三部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第四部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第五部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 思维导图 第二部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 【植树问题知识点归纳】 为使其更直观，用图示法来说明．树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题． 一、在线段上的植树问题可以分为以下三种情形． 1、如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数＝间隔数+1． 2、如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵数＝间隔数． 3、如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：棵数＝间隔数﹣1． 4、如果植树路线的两边与两端都植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，再乘二，即：棵树＝段数+1再乘二． 二、在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数＝间隔数． 三、在正方形线路上植树，如果每个顶点都要植树．则棵数＝（每边的棵数﹣1）×边数． 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形： （1）如果在非封闭线路的两端都要植树，那么： 株数＝段数+1＝全长÷株距+1 全长＝株距×（株数﹣1） 株距＝全长÷（株数﹣1） （2）如果在非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树，那么： 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数． 第三部分 典型例题 例题1：运动会入场式，某小学运动员队伍有96人，每6人一排，前后两排间距1米，这个队伍全长多少米？ 【考点】植树问题． 【答案】15米。 【分析】先用运动员队伍的总人数除以一排的人数，求出一共有多少排，“间隔数＝排数﹣1，间隔数×间距＝队伍的长度”，据此解答。 【解答】解：96÷6＝16（人） （16﹣1）×1 ＝15×1 ＝15（米） 答：这个队伍全长15米。 【点评】本题考查了植树问题的灵活应用。 例题2：照如图这样，小海把9根短绳连在一起，要打　8　个结。 【考点】植树问题． 【答案】8。 【分析】根据题意知道，打结的个数等于短绳的条数减1，由此得出答案。 【解答】解：9﹣1＝8（个） 答：需要打8个结， 故答案为：8。 【点评】此题主要考查了打结的个数与短绳的条数的关系，即打结的个数等于短绳的条数减1。 例题3：王大爷在正方形鱼池边上植树，每边等距离植树10棵，四个角都植有树，每两棵树之间相距4米，鱼池的周长是多少米？ 【考点】植树问题． 【答案】见试题解答内容 【分析】由题意，每边间隔数是10﹣1＝9，相邻两棵之间相距4米，则每边长4×9＝36米，再由正方形的周长＝边长×4即可求得这个正方形池塘的周长是多少米． 【解答】解：4×（10﹣1） ＝4×9 ＝36（米）， 36×4＝144（米）， 答：鱼池的周长是144米． 【点评】本题考查了植树问题，知识链接（沿直线上栽）：栽树的棵数＝间隔数﹣1（两端都不栽），植树的棵数＝间隔数+1（两端都栽），植树的棵数＝间隔数（只栽一端）． 第四部分 高频真题 1．从王庄到李庄的距离是27km，一趟公交车从王庄出发去李庄，要求每隔3km设立一个公交停靠站，那么这条公路的一侧要设立（　　）个公交停靠站。 A．8 B．9 C．10 2．明明从一楼走到三楼要用40秒，他从一楼走到六楼要用（　　）秒。 A．100 B．120 C．140 D．80 3．时钟3时敲3下，6秒敲完；那么8时敲8下，（　　）秒敲完。 A．14 B．16 C．18 D．21 4．把一根木料锯成3段用了3分钟。如果把这根木料锯成5段要（　　）分钟。 A．5 B．6 C．7.5 5．为保护一棵古树，园林处要为它做一个圆形护栏，如果每隔2米打一个桩，打了15个桩，这个圆形护栏的周长是____米。（　　） A．28 B．30 C．31 D．32 6．在一条长200米的公路一侧植树，每隔5米植一棵，两端都植，一共要植____棵树。（　　） A．39 B．40 C．41 D．42 7．一条动车线路计划每天在7：30开出最早一班，然后每隔2小时发出一班，若全天一共发出8班车，则最晚一班在（　　）开出。 A．19：30 B．21：30 C．23：30 8．将一根钢管锯成3段用8分钟，照这样计算，要把它锯成7段需要（　　）分钟。 A．12 B．14 C．24 D．28 9．42米长的绳子剪6次，平均每段长（　　）米。 A．7 B．6 C．5 10．为了减轻噪音，美化市容，林业局计划在一条公路两侧每隔15米栽一棵树（两端都栽），一共栽了48棵，这条公路长（　　）米。 A．345 B．360 C．375 11．王师傅把一根长24米的木料锯成4段用了12分钟。照这样计算，如果把这根木料锯成6段，那么要用 　 　分钟。 12．刘阿姨下班回家时正好电梯坏了只能走楼梯，她走到3楼时正好用了3分钟，刘阿姨的家在9楼，照这样的速度她还需要 　 　分钟才能到家。 13．在2022杭州马拉松赛事中，比赛项目分健康跑、半程马拉松和全程马拉松。比赛自起点开始每5km设置一个饮料站（起点也设），两个饮料站中间设置一个供水的用水站。王勇参加其中的半程马拉松约21km，他会经过 　 　个饮料站，　 　个用水站。 14．同学们站队做广播体操，其中一列纵队长26m，每相邻两名同学之间的距离是2m，这列纵队一共有 　 　名同学。 15．小红和小明参加劳动实践，他们各在长3米的菜地上栽一行菜苗，每隔30厘米栽一棵（两端都要栽），两人一共栽了几棵？ 16．花园的一条直直小路的一侧，每3米插有一面彩旗，这条路一共60米长，且小路首尾两端同样插有彩旗，小路上一共有多少面彩旗？ 17．一段公路一侧有杨树151棵，每相邻两棵树之间的距离原来是3m，因规划需要，现在要把每相邻的两棵树之间的距离改成5m。如果第1棵树不动，那么一共有多少棵树不需要移动？（含第1棵） 参考答案与试题解析 1．从王庄到李庄的距离是27km，一趟公交车从王庄出发去李庄，要求每隔3km设立一个公交停靠站，那么这条公路的一侧要设立（　　）个公交停靠站。 A．8 B．9 C．10 【考点】植树问题． 【答案】C 【分析】根据题意，从王庄到李庄的距离是27km，一趟公交车从王庄出发去李庄，要求每隔3km设立一个公交停靠站，此时一共有27÷3＝9（个）间隔，始发站和终点站站牌设在起始点处，所以共有9+1＝10（个）站牌，据此解答。 【解答】解：27÷3+1 ＝9+1 ＝10（个） 答：这条公路的一侧要设立10个公交停靠站。 故选：C。 【点评】本题考查了植树问题，解决本题的关键是“植树棵数＝间隔数+1”。 2．明明从一楼走到三楼要用40秒，他从一楼走到六楼要用（　　）秒。 A．100 B．120 C．140 D．80 【考点】植树问题． 【答案】A 【分析】从一楼走到三楼需走（3﹣1）个楼层，用了40秒，据此用40除以（3﹣1），求出他走一层楼需要的时间；从一楼走到六楼需走（6﹣1）个楼层，用他走一层楼需要的时间乘（6﹣1），求出他从一楼走到六楼需要的时间。 【解答】解：40÷（3﹣1） ＝40÷2 ＝20（秒） 20×（6﹣1） ＝20×5 ＝100（秒） 答：他从一楼走到六楼要用100秒。 故选：A。 【点评】解答此题的关键是求出走1层楼需要的时间。 3．时钟3时敲3下，6秒敲完；那么8时敲8下，（　　）秒敲完。 A．14 B．16 C．18 D．21 【考点】植树问题． 【答案】D 【分析】3时敲3下，有（3﹣1）个间隔，用6秒敲完，则每个间隔用时6÷（3﹣1），8时敲8下，有（8﹣1）个间隔，用间隔数乘每个间隔用时即可求出用时。 【解答】解：6÷（3﹣1）×（8﹣1） ＝6÷2×7 ＝3×7 ＝21（秒） 答：21秒敲完。 故选：D。 【点评】本题考查了植树问题的应用。 4．把一根木料锯成3段用了3分钟。如果把这根木料锯成5段要（　　）分钟。 A．5 B．6 C．7.5 【考点】植树问题． 【答案】B 【分析】把一根木料锯成3段要3分钟，即锯了2次用了3分钟，由此可求得锯一次用的时间，锯成5段要锯4次，乘锯一次的时间即可得解。 【解答】解：3÷（3﹣1）×（5﹣1） ＝3÷2×4 ＝6（分钟） 答：锯成5段要用6分钟。 故选：B。 【点评】此题考查了植树问题，知识点是：次数＝段数﹣1；知识链接（沿直线上栽）：栽树的棵数＝间隔数﹣1（两端都不栽），植树的棵数＝间隔数+1（两端都栽），植树的棵数＝间隔数（只栽一端）。 5．为保护一棵古树，园林处要为它做一个圆形护栏，如果每隔2米打一个桩，打了15个桩，这个圆形护栏的周长是____米。（　　） A．28 B．30 C．31 D．32 【考点】植树问题． 【答案】B 【分析】“封闭型”植树问题：不管要种树的区域是圆形，正方形还是长方形，棵数＝段数；周长的认识：封闭图形一周的长度叫作图形的周长；那么15个桩，就说明有15个间隔，用每个间隔的米数乘间隔数即可；据此解答。 【解答】解：15×2＝30（米） 答：这个圆形护栏的周长是30米。 故选：B。 【点评】此题主要考查了植树问题的公式，要熟练掌握。 6．在一条长200米的公路一侧植树，每隔5米植一棵，两端都植，一共要植____棵树。（　　） A．39 B．40 C．41 D．42 【考点】植树问题． 【答案】C 【分析】两端都栽，植树棵数比间隔数多1，根据“间隔数＝总长÷间距“求出间隔数，继而求出植树棵数，据此解答。 【解答】解：200÷5+1 ＝40+1 ＝41（棵） 答：一共要植41棵树。 故选：C。 【点评】本题主要考查植树问题，熟练掌握植树棵数和间隔数之间的关系是解答题目的关键。 7．一条动车线路计划每天在7：30开出最早一班，然后每隔2小时发出一班，若全天一共发出8班车，则最晚一班在（　　）开出。 A．19：30 B．21：30 C．23：30 【考点】植树问题． 【答案】B 【分析】根据题意可知，全天发出8列车，早班车7：30开出后，还剩7班车间隔2小时继续发出，则用间隔时间乘7计算出间隔的总时间，最后用早班车发出时间7：30加间隔时间，即可解答。 【解答】解：2×7＝14（小时） 7时30分+14时＝21时30分 则最晚一班在21：30开出。 故选：B。 【点评】主要考查了时间的推算。开始时刻+经过时间＝结束时刻。 8．将一根钢管锯成3段用8分钟，照这样计算，要把它锯成7段需要（　　）分钟。 A．12 B．14 C．24 D．28 【考点】植树问题． 【答案】C 【分析】锯成3段需要锯（3﹣1）次，计算锯每次的时间；再计算锯成（7﹣1）段所需时间即可。 【解答】解：8÷（3﹣1）×（7﹣1） ＝8÷2×6 ＝24（分钟） 答：要把它锯成7段需要24分钟。 故选：C。 【点评】本题主要考查植树问题公式的应用，关键注意锯的段数和次数的关系。 9．42米长的绳子剪6次，平均每段长（　　）米。 A．7 B．6 C．5 【考点】植树问题． 【答案】B 【分析】把绳子剪6次，剪成（6+1）段，再用42除以7即可。 【解答】解：由题意可知： 6+1＝7（段） 42÷7＝6（米） 答：平均每段长6米。 故选：B。 【点评】解答本题的关键是明确剪了n次，剪成了（n+1）段。 10．为了减轻噪音，美化市容，林业局计划在一条公路两侧每隔15米栽一棵树（两端都栽），一共栽了48棵，这条公路长（　　）米。 A．345 B．360 C．375 【考点】植树问题． 【答案】A 【分析】棵数＝总长÷间隔长+1，因此用一共栽的棵数除以2，从而计算出每侧栽的棵数，再用每侧栽的棵数减1后，再乘间隔长度即可，依此解答。 【解答】解：48÷2＝24（棵） （24﹣1）×15 ＝23×15 ＝345（米） 答：这条公路长345米。 故选：A。 【点评】解答本题的关键是根据两端都植树问题中“间隔数＝植树棵数﹣1”来解答。 11．王师傅把一根长24米的木料锯成4段用了12分钟。照这样计算，如果把这根木料锯成6段，那么要用 　20　分钟。 【考点】植树问题． 【答案】20。 【分析】根据“次数＝段数﹣1”求出锯成4段锯了几次，用锯成4段的时间除以次数求出锯一次的时间，然后再用锯成6段的次数乘锯每段的时间即可解答。 【解答】解：12÷（4﹣1） ＝12÷3 ＝4（分钟） 4×（6﹣1） ＝4×5 ＝20（分钟） 答：照这样计算，如果把这根木料锯成6段，那么要用20分钟。 故答案为：20。 【点评】本题考查了植树问题的应用。 12．刘阿姨下班回家时正好电梯坏了只能走楼梯，她走到3楼时正好用了3分钟，刘阿姨的家在9楼，照这样的速度她还需要 　9　分钟才能到家。 【考点】植树问题． 【答案】9。 【分析】刘阿姨走到3楼时正好用了3分钟，她走了（3﹣1）个间隔，用3分钟除以间隔数，可求出走1个间隔需要的时间，从1楼到9楼共有（9﹣1）个间隔，用走1个间隔需要的时间乘间隔数，即可求出从1楼到9楼用的时间，再减去3分钟即可解答。 【解答】解：3÷（3﹣1）×（9﹣1）﹣3 ＝1.5×8﹣3 ＝12﹣3 ＝9（分钟） 答：照这样的速度她还需要9分钟才能到家。 故答案为：9。 【点评】明确从一楼到三楼的间隔数是解题的关键。 13．在2022杭州马拉松赛事中，比赛项目分健康跑、半程马拉松和全程马拉松。比赛自起点开始每5km设置一个饮料站（起点也设），两个饮料站中间设置一个供水的用水站。王勇参加其中的半程马拉松约21km，他会经过 　4　个饮料站，　3　个用水站。 【考点】植树问题． 【答案】4，3。 【分析】由于起点也设置饮料站，21不是5的倍数，所以相当于一端植树，一端不植树，植树的棵数等于间距数，即21÷5＝4（个）……1（km），两个饮料中中间设置一个供水的用水站，说明饮料站相当于植树棵数，供水站是间距数，这种相当于两端都植树，那么供水的用水站比饮料站少1，即4﹣1＝3（个），据此即可填空。 【解答】解：21÷5＝4（个）……1（km） 4﹣1＝3（个） 答：他会经过4个饮料站，3个用水站。 故答案为：4，3。 【点评】本题主要考查植树问题，要看清楚是哪种情况。 14．同学们站队做广播体操，其中一列纵队长26m，每相邻两名同学之间的距离是2m，这列纵队一共有 　14　名同学。 【考点】植树问题． 【答案】14。 【分析】格局题意可知属于两端栽树问题，人数＝间隔数+1，代入数值进行计算即可。 【解答】解：26÷2+1 ＝13+1 ＝14（名） 答：这列纵队一共有14名同学。 故答案为：14。 【点评】本题考查植树问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 15．小红和小明参加劳动实践，他们各在长3米的菜地上栽一行菜苗，每隔30厘米栽一棵（两端都要栽），两人一共栽了几棵？ 【考点】植树问题． 【答案】22棵。 【分析】两端都要栽时，棵数＝间隔数+1，由此先求出间隔数为：300÷30＝10，再加上1就是一个人栽的棵数，再乘2即可。 【解答】解：3米＝300厘米 300÷30+1＝11（棵） 11×2＝22（棵） 答：两人一共栽了22棵。 【点评】此题是植树问题中的两端都要栽的情况，抓住植树棵数＝间隔数+1即可解答，这里要注意求两人一共栽的棵数时不要忘记乘2。 16．花园的一条直直小路的一侧，每3米插有一面彩旗，这条路一共60米长，且小路首尾两端同样插有彩旗，小路上一共有多少面彩旗？ 【考点】植树问题． 【答案】21面。 【分析】先用60除以3，求出共有多少个间隔；由于两端都插有彩旗，所以用间隔数加上1就是一共有多少面彩旗。 【解答】解：60÷3+1 ＝20+1 ＝21（面） 答：小路上一共有21面彩旗。 【点评】本题考查了植树问题的应用。两端都栽的植树问题：植树的棵数＝间隔数+1，间隔数＝总长度÷间隔长度。 17．一段公路一侧有杨树151棵，每相邻两棵树之间的距离原来是3m，因规划需要，现在要把每相邻的两棵树之间的距离改成5m。如果第1棵树不动，那么一共有多少棵树不需要移动？（含第1棵） 【考点】植树问题． 【答案】31棵。 【分析】要求多少棵树不需要移动，则需知道不必移动的树的位置与3m和5m的关系；相邻两棵树之间的距离原来是3m，则树的位置是3的倍数，同理是5的倍数，则不需要移动的树，必须是处在3与5公倍数的位置上；结合植树问题求出不移动的树的棵数，注意：起点那棵不占米数。 【解答】解：3和5的最小公倍数为15。 （151﹣1）×3 ＝150×3 ＝450（m） 450÷15＝30 30+1＝31（棵） 答：那么一共有31棵树不需要移动。 【点评】本题主要考查公因数和公倍数的计算。 学科网（北京）股份有限公司 $$