2024-2025学年人教版数学九年级上册微专题课件（26份）

1 【方法技巧专题】 配方法的应用 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 一、用配方法解方程 1．(教材P17习题21.2T3)用配方法解下列方程： (1)x2－2x－8＝0. 解：配方，得(x－1)2＝9， 由此可得x1＝4，x2＝－2. (2)2m2－4m－3＝0. 解：配方，得2(m－1)2＝5， 创新作业本·数学九年级上（人教版） 二、用配方法判断三角形形状 2．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且c＝5，a2－6a＋b2－8b＋25＝0.求证：△ABC是直角三角形． 证明：∵a2－6a＋b2－8b＋25＝0， ∴(a－3)2＋(b－4)2＝0，∴a＝3，b＝4. ∵c＝5，∴a2＋b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 三、用配方法确定代数式的符号 3．求证：代数式－x2－2x－2的值总是负数． 证明：∵原式＝－(x＋1)2－1<0， ∴代数式－x2－2x－2的值总是负数． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 四、用配方法比较大小 4．求证：无论x为何值，多项式2x2－4x－1的值总比x2－6x－6的值大． 证明：∵(2x2－4x－1)－(x2－6x－6)＝2x2－4x－1－x2＋6x＋6＝x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥4＞0， ∴无论x为何值，多项式2x2－4x－1的值总比x2－6x－6的值大． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 五、用配方法求多项式的最值 5．阅读理解并解答： (1)把一个多项式进行配方可以来解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如：x2＋2x＋3＝(x2＋2x＋1)＋2＝(x＋1)2＋2， ∵(x＋1)2≥0， ∴(x＋1)2＋2≥2. 则这个代数式x2＋2x＋3的最小值是______，这时相应的x的值是________. (2)求代数式－x2＋14x＋10的最小(或最大)值，并写出相应的x的值． 2 －1 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)由题意，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2， 当x＝－1时取到最小值． 故最小值为2，相应的x＝－1. (2)－x2＋14x＋10＝－(x2－14x＋49－49)＋10 ＝－(x－7)2＋59， 则代数式－x2－14x＋10的最大值是59，这时相应的x的值是7. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 由此可得m1＝，m2＝. $$10 【题型研究专题】 二次函数与面积 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 类型一　割补法 连接OP，则S△PBC＝S△POB＋S△POC－S△OBC 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1．如图，抛物线y＝x2＋2x－3交x轴于点A，B，交y轴于点C，点N在第三象限的抛物线上，求四边形ABCN面积的最大值． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：易知A(－3,0)，B(1,0)，C(0，－3)．连接ON.设N(m，m2＋2m－3)， 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型二　铅垂法 创新作业本·数学九年级上（人教版） (1)求点D，E的坐标． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)求△NED面积的最大值． 解：过点N作NM⊥x轴交直线DE于点M.易求B(4,0)，设点N横坐标为t， 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型三　牵引法 PQ∥BC交y轴于点Q，则S△PBC＝S△QBC 创新作业本·数学九年级上（人教版） 创新作业本·数学九年级上（人教版） ∴点P的坐标为(－2,3)或(3，－12)． 创新作业本·数学九年级上（人教版） ∴S四边形ABCN＝S△AON＋S△BOC＋S△CON＝×3(－m2－2m＋3)＋ ×1×3＋×3(－m)＝－2＋. ∵－＜0，∴当m＝－时， S四边形ABCN取最大值. PQ∥y轴交BC于点Q，则S△PBC＝PQ· 2．如图，抛物线y＝－x2＋x＋4与直线l：y＝－x－1交于D，E两点(点D在点E的右侧)，交x轴正半轴于点B，点N在第一象限的抛物线上． 解：(1)联立 解得 或 ∴D(2＋，－3－)，E(2－，－3＋)． ∴M(t，－t－1)，N， ∴MN＝－t2＋2t＋5， ∴S△NED＝MN·|xD－xE|＝××2＝－(t－2)2＋7. ∵－＜0,0＜t＜4， ∴当t＝2时，S△NED取最大值7. 3．如图，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点(A左B右)．交y轴于点C.若抛物线上存在一点P，使得S△PBC＝ S△ABC，求出点P的坐标． 解：易知A(－3,0)，B(1,0)，C(0,3)．取AB的中点D(－1,0)，连接DC.过点D作DP∥BC交抛物线于点P，则S△DBC＝S△ABC＝S△PBC，求得直线BC：y＝－3x＋3，设直线DP：y＝－3x＋t，则0＝－3×(－1)＋t，解得t＝－3， ∴DP：y＝－3x－3，联立 解得 $$11 【题型研究专题】 二次函数与线段 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 类型一　竖线→纵标差 AB∥y轴⇒AB＝|yA－yB| 创新作业本·数学九年级上（人教版） 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：∵点P的横坐标为m，∴P(m，－m2＋4m)，D(m，－m＋4)， ∴PD＝|－m2＋4m－(－m＋4)|＝|m2－5m＋4|. 当m2－5m＋4＝－2时，解得m1＝2，m2＝3. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型二　横线→横标差 AB∥x轴⇒AB＝|xA－xB| 创新作业本·数学九年级上（人教版） 创新作业本·数学九年级上（人教版） 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型三　斜线→横(竖)线 创新作业本·数学九年级上（人教版） 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：过点M作ME⊥x轴于点E，与直线AC交于点F. 可知A(－3,0)，C(0,3)， ∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°， ∴在Rt△AEF中，EF＝AE. ∵M(m，－m2－2m＋3)，E(m,0)， ∴EF＝AE＝m－(－3)＝m＋3， ∴F(m，m＋3)， ∴FM＝(－m2－2m＋3)－(m＋3)＝－m2－3m， ∴在Rt△FMN中，∠MFN＝45°， ∴－m2－3m＝2，解得m1＝－2，m2＝－1(舍去)， ∴M(－2,3)． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 4．如图，抛物线y＝ax2＋4x＋c与一次函数y＝x－3的图象交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，点P(p，q)是该抛物线上A，B两点之间的一动点，点M为线段AB上的一点． (1)求此抛物线的解析式． (2)若点M是一次函数的图象与二次函数的对称轴的交点，设m＝PM2，求m关于p的函数解析式，并求m的最小值． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)把x＝0代入y＝x－3， 得y＝－3，∴A(0，－3)． 把y＝0代入y＝x－3， 得x－3＝0，解得x＝3， ∴B(3,0)． 又∵A(0，－3)，B(3,0)在抛物线y＝ax2＋4x＋c上， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3. 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)把x＝2代入y＝x－3，得y＝－1， ∴点M的坐标为(2，－1)． 过点P作PN垂直于直线x＝2于点N， 则PN＝| p－2|，MN＝|p＋1|， ∴m＝PM2＝PN2＋MN2＝(p－2)2＋(q＋1)2. ∵点P在抛物线上， ∴－(p－2)2＋1＝q，∴(p－2)2＝1－q， 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1．如图，P是第一象限内抛物线y＝－x2＋4x上一点，直线y＝－x＋4交x轴于点A，交y轴交于点C，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AC交于点D，设点P的横坐标为m.当PD＝OC时，求m的值． ∵OC＝4，∴PD＝OC＝2， ∴|m2－5m＋4|＝2，当m2－5m＋4＝2时，解得m＝.∵0＜m＜4，∴此时m＝； 综上所述，m的值为2或3或. 2．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于B(4,0)，C(－2,0)两点，与y轴交于点A(0，－2)．若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PK＋PD的最大值及此时点P的坐标． 解：可求得抛物线为y＝x2－x－2，直线AB为y＝x－2.设P(0＜m＜4)， 则K， ∴PK＋PD＝＋＝－2＋. ∵－＜0，∴当m＝时，PK＋PD有最大值，最大值为，此时P. ∠OBC＝45°⇒PD＝PE 3．如图，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，抛物线上的点M的横坐标为m，且－3＜m＜－1，过点M作MN⊥AC于点N，当MN＝时，求点M的坐标． ∴FM＝MN＝×＝2， ∴解得 ∴m＝1－q＋(q＋1)2＝q2＋q＋2＝2＋. ∵a＝1>0，∴当q＝－时，m有最小值，最小值为. $$12 【中考热点专题】 二次函数与几何最值问题 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 类型一　线段的最值问题 (1)求b，c的值． (2)若点D是抛物线在x轴下方图象上的动点，过点D作x轴的垂线，与直线BC相交于点E.当线段DE的长度最大时，求点D的坐标． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 创新作业本·数学九年级上（人教版） 设点D的横坐标为m， 创新作业本·数学九年级上（人教版） 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．已知二次函数y＝mx2＋(1－2m)x＋1－3m. (1)当m＝2时，求二次函数图象的顶点坐标． (2)已知抛物线与x轴交于不同的点A，B. ①求m的取值范围． ②若3≤m≤4时，求线段AB的最大值及此时二次函数的解析式． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)当m＝2时，y＝mx2＋(1－2m)x＋1－3m＝2x2－3x－5， 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)①Δ＝b2－4ac＝(1－2m)2－4m(1－3m)＝(4m－1)2＞0， ②y＝mx2＋(1－2m)x＋1－3m＝(mx－3m＋1)(x＋1)， 当m＝4时，y＝4x2－7x－11. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型二　周长的最值问题 3．已知二次函数y＝ax2＋2x＋c的图象与x轴交于点A(－1, 0)，B，与y轴交于点C(0,3)． (1)求该二次函数和直线BC的解析式． (2)如图，过直线BC上方的抛物线上一动点P作x轴的垂线PH，垂足为H，线段PH交BC于点Q，过点P作PG⊥BC于点G，求△PGQ周长的最大值． 创新作业本·数学九年级上（人教版） ∴二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 令y＝0，解得x1＝3，x2＝－1，∴点B(3,0)． 设直线BC的解析式为y＝kx＋b， 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)∵点B(3,0)，C(0,3)，∴BO＝CO， ∴∠OCB＝∠OBC. ∵∠BOC＝90°，∴∠ABC＝∠OCB＝45°. ∵PH⊥x轴，∴PH∥y轴， ∴∠PQG＝∠OCB＝45°. ∵PG⊥BC，∴△PGQ为等腰直角三角形， ∴△PGQ的周长为PG＋GQ＋PQ＝(＋1)PQ， ∴当PQ的值最大时，△PGQ的周长有最大值． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 设点P的坐标为(m，－m2＋2m＋3)． ∵点Q为PH与直线BC的交点， ∴点Q的坐标为(m，－m＋3)， 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型三　图形面积的最值问题 (1)求抛物线和直线AB的解析式． (2)设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数解析式，并求出S的最大值． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)将点A(－1,0)， 创新作业本·数学九年级上（人教版） 创新作业本·数学九年级上（人教版） 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1．如图，直线y＝－x＋与x轴、y轴分别交于B，C两点，抛物线y＝x2＋bx＋c过点B，C. 解：(1)对于直线y＝－x＋，当x＝0时，y＝； 当y＝0时，x＝. 把点C，B代入y＝x2＋bx＋c， 得解得 (2)由(1)知，抛物线的解析式为y＝x2－5x＋， 当y＝0时，x2－5x＋＝0，解得x1＝，x2＝，即点A，B. 则点D的坐标为，点E的坐标为. ∴DE＝－m＋－＝－2＋. ∵－2≤0，∴当m＝时，线段DE的长度最大． 将x＝m＝代入y＝x2－5x＋，得y＝－. 又∵<m<，∴点D的坐标为. 函数的对称轴为直线x＝，当x＝时， y＝－，故顶点坐标为. 故4m－1≠0，解得m≠，而y＝mx2＋(1－2m)x＋1－3m为二次函数，故m≠0， 故m的取值范围是m≠0且m≠. 当y＝0时，x1＝3－，x2＝－1，则AB＝. ∵3≤m≤4，∴≤AB≤，故AB的最大值为，此时m＝4. 解：(1)将点A(－1,0)和C(0,3)代入y＝ax2＋2x＋c，得解得 将点B(3,0)，C(0,3)代入，得 解得∴直线BC的解析式为y＝－x＋3. ∴PG＝GQ＝PQ， ∴PQ＝－m2＋2m＋3＋m－3＝－m2＋3m＝－2＋. ∵－1<0，∴当m＝时，PQ有最大值为， ∴△PGQ周长的最大值为(＋1)PQ＝(＋1)×＝. 4．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋与直线AB交于点A(－1,0)，B.D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点(不与点A，B重合)，直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD. B代入y＝ax2＋bx＋， 得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋. 设直线AB的解析式为y＝kx＋b， 将点A(－1,0)，B代入，得 解得∴直线AB的解析式为y＝x＋. (2)根据题意，得点D， C，∴CD＝－＝－m2＋m＋2， ∴S△ADB＝(m＋1)·CD＋(4－m)·CD ＝× ＝－m2＋m＋5 ＝－2＋. ∵－<0，∴当m＝时，S有最大值为. $$13 【中考热点专题】 旋转与网格作图 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 1．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上． (1)将△ABC向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1. (2)将(1)中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求． (2)如图所示，△A2B2C1即为所求． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(三角形顶点是网格线的交点)和△A1B1C1，△ABC与△A1B1C1成中心对称． (1)画出△ABC和△A1B1C1的对称中心O. (2)将△A1B1C1沿直线ED方向向上平移6个单位长度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2. (3)将△A2B2C2绕点C2顺时针旋转 90°得到△A3B3C2，画出△A3B3C2. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)连接BB1，CC1，线段BB1与线段CC1的交点为O，点O即为所求的对称中心． (2)如图所示，△A2B2C2即为所求． (3)如图所示，△A3B3C2即为所求． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 3．在如图所示的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点在网格线的交点上，点B的坐标为(－1，－1)． (1)将△ABC向上平移4个单位长度得到的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标． (2)将△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点B1的对应点B2的坐标． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，点B1的坐标为(－1, 3)． (2)如图所示，△A2B2C2即为所求，点B2的坐标为(3,1)． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 4．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上． (1)将△ABC向右平移6个单位长 度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1. (2)画出△A1B1C1关于点O成中心 对称的图形△A2B2C2. (3)若将△ABC绕某一点旋转也可 得到△A2B2C2，直接写出旋转中 心的坐标． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求． (2)如图所示，△A2B2C2即为所求． (3)根据图形可知，旋转中心的坐标为(－3,0)． 创新作业本·数学九年级上（人教版） $$14 【模型构建专题】 旋转中的常见模型 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 模型一　“手拉手”模型 如图1，在△OAB中，OA＝OB，在△OCD中，OC＝OD，∠AOB＝∠COD.将△OCD绕公共顶点O旋转，连接AC，BD交于点E，如图2，则有下列结论：①△AOC≌△BOD(SAS)；②AC＝BD；③∠AOB＝∠COD＝∠CED. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点E落在BC的延长线上，连接BD.求证：∠3＝∠1＋∠2. 证明：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE， ∴∠ABE＝∠2. ∵∠3＝∠1＋∠ABE， ∴∠3＝∠1＋∠2. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在边BC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE.求证：BE＝CD. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：∵将线段AD顺时针旋转α得到线段AE， ∴∠DAE＝α，AD＝AE. ∵∠BAC＝α， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC－∠BAD＝∠DAE－∠BAD， ∴∠CAD＝∠BAE. 在△BAE和△CAD中， ∴△BAE≌△CAD(SAS)， ∴BE＝CD. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 3．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，将△ABC绕点A顺时针旋转108°得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E.连接EC交AB于点G.求证：四边形ADEG是平行四边形． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：∵将△ABC绕点A顺时针旋转108°得到△ADE， ∴∠CAE＝108°， AE＝AC， ∴∠ACE＝∠AEC＝36°. 又∵∠DAE＝∠BAC＝36°， ∴DA∥EG. ∵∠BAC＝36°， ∴∠EAB＝∠CAE－∠BAC＝108°－36°＝72°. ∵∠AED＝∠ACB＝72°， ∴∠AED＝∠EAB， ∴DE∥AG， ∴四边形ADEG是平行四边形． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 4．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BP＝BQ，连接CQ. (1)求证：AP＝CQ. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：(1)∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝60°. ∵∠PBQ＝60°， ∴∠ABP＝∠CBQ. 在△ABP和△CBQ中， ∴△ABP≌△CBQ (SAS)， ∴AP＝CQ. 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)如图，连接PQ. ∵PA＝PC＝1，AP＝CQ， ∴PC＝CQ＝1. ∵BP＝BQ，∠PBQ＝60°， ∴△BPQ是等边三角形， ∴∠PCQ＝90°，∴PC⊥CQ. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 模型二　“半角”模型 如图1，在正方形ABCD中，点E在边CD上，点F在边BC上，∠EAF＝45°，延长CB至点G，使得BG＝DE，连接AG，则有△ABG≌△ADE(SAS)，△FAG≌△FAE(SAS)，EF＝GF＝BF＋DE. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点D，E在边BC上，∠EAD＝45°.将△ACE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，此时AC与AB重合，连接DF，则△ACE≌△ABF，△ADE≌△ADF，BD2＋CE2＝DE2. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 5．如图，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG. (1)求证：△EAG≌△EAF. (2)若正方形ABCD的边长为6，DF＝3，则BE＝______. 2 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)证明：∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG， ∴△ADF≌△ABG， ∴AF＝AG， ∠DAF＝∠BAG. ∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠DAF＋∠EAB＝45°， ∴∠BAG＋∠EAB＝45°， 即∠EAF＝∠EAG. 在△EAG和△EAF中， ∴△EAG≌△EAF(SAS)． 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)设BE＝x，则EF＝GE＝3＋x，CE＝6－x. ∵CD＝6，DF＝3，∴CF＝CD－DF＝3. 在Rt△ECF中，由勾股定理，得CE2＋CF2＝EF2，∴(6－x)2＋32＝(3＋x)2， 解得x＝2，即BE＝2. 创新作业本·数学九年级上（人教版） (1)求证：DF＝DE. (2)如图2，若AB⊥BC，其他条件不变．求证：DE2＝AD2＋EC2. 创新作业本·数学九年级上（人教版） ∵△ABF由△CBE旋转得到， ∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE， ∴∠DBF＝∠DBE. ∴△DBF≌△DBE(SAS)， ∴DF＝DE. 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)∵将△CBE绕点B逆时针旋转一定角度得到△ABF，∴BA＝BC. ∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝∠BCE＝45°， ∴图形旋转后点C与点A重合，EC与AF重合，∴AF＝EC， ∴∠FAB＝∠BCE＝45°，∴∠DAF＝90°. 在Rt△ADF中，DF2＝AF2＋AD2. ∵AF＝EC，∴DF2＝EC2＋AD2. 由(1)可得DE＝DF，∴DE2＝AD2＋EC2. 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)若PA＝PC＝1，PB＝，求证：PC⊥CQ. ， ∴PQ＝PB＝，∴PC2＋CQ2＝PQ2， 6．如图1，在△ABC中，BA＝BC，D，E是边AC上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC.将△CBE绕点B逆时针旋转一定角度得到△ABF，连接DF. 证明：(1)∵∠DBE＝∠ABC， ∴∠ABD＋∠CBE＝∠DBE＝∠ABC. 在△DBF与△DBE中， $$15 【方法技巧专题】 等半径构等腰(或全等) 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 一、利用等半径构建全等 1．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，且相交于点P，当四边形OAPC为平行四边形时．求证：AB＝CD. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：如图，连接OB，OD， 证△OAB≌△ODC即可． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．如图，△ABC的顶点都在⊙O上，半径OA平分∠BAC.求证：OA⊥BC. 证明：如图，连接OB，OC， 证△AOB≌△AOC即可． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 二、利用等半径构建等腰 3．如图，AB是⊙O的弦，半径OA＝20 cm，∠O＝120°，求△AOB的面积． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，则AC＝BC. ∵OA＝OB， 创新作业本·数学九年级上（人教版） 4．如图，AB是⊙O的直径，弦BC平行于半径OD，探究∠A与∠C之间的数量关系． 创新作业本·数学九年级上（人教版） ∴∠A＝∠B＝(180°－∠AOB)＝×(180°－120°)＝30°. 在Rt△AOC中，OC＝OA＝10 cm， AC＝OC＝10 cm， ∴AB＝2AC＝20 cm， ∴S△AOB＝×20×10＝100(cm2)． 解：∠A＝∠C，证∠C＝∠OBC＝∠DOB＝2∠A. $$16 【基础夯实专题】 垂径定理应用(一)直接计算 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 【基本图形】 【基本结论】 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型一　已知直径与弦垂直 1．如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，求四边形ACBD的面积． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：连接OC. ∵AB＝12，BE＝3， ∴OB＝OC＝6，OE＝3. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型二　由弧中点得垂直 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：连接OC，交AB于点D，连接OA，OB. ∴由圆的对称性可得OC⊥AB， 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型三　由弦的中点得垂直 3．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，D是AB的中点．若⊙O的半径为5，AC＝6，BC＝DC，求OC的长． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：连接OA，OD. ∵D是AB的中点， ∴OD⊥AB，AD＝BD， ∵AC＝6，BC＝DC， ∴CD＝2，∴AD＝4， 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型四　过圆心作垂直 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以CA为半径的⊙C与AB相交于点D，求BD的长． 创新作业本·数学九年级上（人教版） ∵∠ACB＝90°， 创新作业本·数学九年级上（人教版） ∵AB⊥CD，在Rt△COE中，EC＝＝＝3， ∴CD＝2CE＝6， ∴四边形ACBD的面积为AB·CD＝×12×6＝36. 2．如图，AB为⊙O的弦，C为的中点，⊙O的半径为5，AB＝8，求AC的长． ∵C为的中点， ∴AD＝AB＝4. ∵OA＝5，∴OD＝＝3， ∴CD＝2，∴AC＝＝2. ∴OD＝＝3， ∴OC＝＝＝. 解：过点C作CE⊥AD于点E，则AE＝DE＝AD. ∴AB＝＝10. ∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CE， ∴CE＝＝， ∴AE＝＝， ∴AD＝2AE＝，∴BD＝AB－AD＝. $$17 【基础夯实专题】 垂径定理应用(二)列方程 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 【基本图形】 【已知条件】直径AB⊥CD. 【基本结论】 ①OC2＝OE2＋CE2，BE2＋CE2＝BC2， AE2＋CE2＝AC2； ②AC2－AE2＝OC2－OE2＝BC2－BE2. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型一　运用单勾股列方程 1．如图，半径OD与弦AB垂直相交于点C，AB＝8，CD＝3，求⊙O的半径． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：连接OA，设⊙O的半径为R，则OC＝R－3. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．如图，⊙O的弦CD交直径AB于点E，OD＝DE，CE∶DE＝3∶5.若OE＝5，求CD的长． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：过点O作OF⊥CD于点F，设CE＝3x，DE＝5x， ∴OD＝DE＝5x，CD＝8x， ∵OF⊥CD， 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型二　运用双勾股列方程 解：设CD＝x，则OC＝5－x， ∵OA2－OC2＝AC2＝AD2－CD2， ∴x＝2，∴OC＝3，∴AC＝4， ∴AB＝2AC＝8. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 4．如图，在⊙O中，弦AB，CD交于点E，AB⊥CD，AE＝2，BE＝6，CE＝4，求⊙O的半径． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：连接OB，OC，过点O分别作OF⊥AB于点F，OG⊥CD于点G， 易得矩形OGEF，BF＝4，EF＝2＝OG.设OF＝EG＝x，则CG＝4－x. ∵CG2＋OG2＝OC2＝OB2＝OF2＋BF2， ∴(4－x)2＋22＝x2＋42， 创新作业本·数学九年级上（人教版） ∵OD⊥AB，∴AC＝AB＝4， ∴在Rt△AOC中，R2＝42＋(R－3)2，∴R＝. ∴DF＝CD＝4x，∴EF＝x.由勾股定理，得OF＝3x. 在Rt△OEF中，由勾股定理，得(3x)2＋x2＝52，∴x＝或x＝－(舍去)， ∴CD＝8x＝4. 3．如图，⊙O的半径为5，半径OD与弦AB垂直相交于点C，AD＝2，求AB的长． ∴52－(5－x)2＝(2)2－x2， ∴x＝，∴OF＝，∴OB＝＝. $$18 【方法技巧专题】 构造直径与直角 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 一、见直径，连直角 1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上． 若∠AOD＝30°，求∠BCD的度数． 解：如图，连接AC. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵∠AOD＝30°， ∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°＋15°＝105°. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．如图，AB是⊙O的直径，弦AE，BD的延长线交于点C，∠C＝60°，CD＝3，CE＝4，求直径AB的长． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：如图，连接AD，BE. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠CDA＝∠CEB＝90°. ∵∠C＝60°， ∴∠CBE＝∠CAD＝30°， ∴BC＝2CE＝8， AC＝2CD＝6， ∴BD＝BC－CD＝8－3＝5. 在Rt△ADB中， 创新作业本·数学九年级上（人教版） 二、遇直角，作直径 3．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，连接AO. (1)求证：∠BAD＝∠CAO. (2)若∠B＝60°，AC＝6，求OA的长． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)证明：如图，延长AO交⊙O于点E，连接CE. ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ACE＝90°＝∠ADB. 又∵∠B＝∠E， ∴∠BAD＝∠CAO. (2)∵∠E＝∠B＝60°，∠ACE＝90°， 设CE＝x，则AE＝2x，且AC＝6， ∴4x2－x2＝36， 创新作业本·数学九年级上（人教版） 三、构造直径与直角 4．如图，在半径为4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC＝30°，求AB的长． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：如图，延长BO交⊙O于点D，连接AD. ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°， BD＝4×2＝8. ∵AB∥OC，∠BOC＝30°，∴∠ABD＝30°. 在Rt△ADB中，∵∠ABD＝30°， 创新作业本·数学九年级上（人教版） ∴∠ACD＝∠AOD＝15°， 在Rt△ADC中，AD＝＝＝3. AB＝＝＝2. 解得x＝2(负值舍去)． ∴AE＝2CE＝4， ∴OA＝AE＝2. ∴AD＝BD＝4， ∴AB＝＝＝4. $$19 【方法技巧专题】 构造圆内接四边形 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 一、利用圆内接四边形对角互补求角 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：如图，补全⊙O，在⊙O上AB的下方圆弧上取一点M，连接DM，EM. ∠M＋∠DCE＝180°， ∴∠DCE＝180°－50°＝130°. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝30°.求∠B＋∠E的度数． 解：∵∠CAD＝30°， ∴∠ADC＋∠ACD＝150°. ∵∠E＋∠ACD＝180°， ∠B＋∠ADC＝180°， ∴∠B＋∠E＋∠ADC＋∠ACD＝ 180°＋180°＝360°， ∴∠B＋∠E＝360°－150°＝210°. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 二、利用圆内接四边形对角互补解决线段问题 3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线交于点E，F是BD的延长线上的一点，DE平分∠CDF.求证：AB＝AC. 证明：∵DE平分∠CDF， ∴∠CDE＝∠EDF. ∵∠EDF＝∠ADB， ∴∠CDE＝∠ADB. ∵∠CDE＝∠ABC，∠ADB＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC，AD的延长线交于点E，且CD＝DE. (1)求证：BA＝BE. (2)连接OE交CD于点F，若OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：(1)∵CD＝DE， ∴∠DEC＝∠DCE＝∠A， ∴BA＝BE. (2)∵OE⊥CD， ∴DF＝CF， ∴OE垂直平分CD， ∴EC＝ED，CD＝DE， ∴△CDE是等边三角形， ∴∠AEB＝60°， ∴△ABE是等边三角形． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1．如图，AB是半圆O的直径，点D，E在半圆O上，∠DOE＝100°，点C在上，连接CD，CE.求∠DCE的度数． ∵∠M＝∠DOE＝50°， $$2 【母题探究专题】 活用根的判别式 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 教材母题(教材P17习题21.2 T13) 无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由． 解：原方程可化为x2－5x＋6－p2＝0. ∵Δ＝4p2＋1>0， ∴原方程总有两个不等的实数根． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 一、判断方程的根的情况 1．判断下列方程的根的情况． (2)x2＋2x－1＝0. (3)x2＋x＋2＝0. ∴原方程有两个相等的实数根． 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)∵Δ＝22－4×(－1)>0， ∴原方程有两个不相等的实数根． (3)∵Δ＝12－4×2<0， ∴原方程无实数根． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第二象限内，试判断关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况． 解：已知点P(a，c)在第二象限内，可得a＜0， c＞0，∴ac＜0，即可判定Δ＝b2－4ac＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 3．判断下列关于x的一元二次方程的根的情况． (1)x2－4mx＋4m2＝0. (2)x2＋mx＋m－2＝0. (3)2x2＋(m＋2)x＋m＝0. 解：(1)∵Δ＝(－4m)2－4×4m＝0， ∴原方程有两个相等的实数根． (2)∵Δ＝m2－4(m－2)＝(m－2)2＋4>0， ∴原方程有两个不相等的实数根． (3)∵Δ＝(m＋2)2－4×2m＝(m－2)2≥0， ∴原方程有实数根． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 二、根据方程的根的情况，求待定系数的值或取值范围 4．若关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　 　) A．k<－1　 B．k>－1　 C．k<1　 D．k>1 5．关于x的一元二次方程ax2＋2x＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，c的值：a＝______，c＝______. B 1 1 创新作业本·数学九年级上（人教版） 6．关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋2＝0有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围． (2)判断关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2(m－1)x＋m＝0的根的情况． 解：(1)Δ＝(2m＋1)2－4(m2＋2)＝4m－7. ∵方程有两个不相等的实数根， ∴4(1－m)＜0，则方程(m－1)x2＋2(m－1)x＋m＝0无实数根． 创新作业本·数学九年级上（人教版） (1)x2＋x＋＝0. 解：(1)∵Δ＝12－4×＝0， ∴Δ＝4m－7>0，解得m>， (2)Δ＝4(m－1)2－4m(m－1)＝4－4m＝4(1－m)．∵m>， $$20 【母题研究专题】 角分图 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 【基本图形一】AB是直径，CD平分∠ACB. 【基本方法】将△DAC绕点D顺时针旋转90°至△DBE. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：方法一(作垂线)：过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，证△DAM≌△DBN， 方法二(补短法)：延长CA至点E，使AE＝BC，连接DE，证△ADE≌△BDC，△CDE是等腰直角三角形， 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．如图，⊙O的直径AC长为10，弦AD的长6. (1)求DC的长． (2)若∠ADC的平分线交⊙O于点B，求AB，BC的长． 解：(1)∵AC是直径， ∴∠ADC＝90°. ∵AC＝10，AD＝6， 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)∵AC是直径， ∴∠ABC＝90°. ∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB. ∴∠ACB＝∠ADB，∠BAC＝∠BDC， ∴∠BAC＝∠ACB， ∴AB＝BC. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 【基本图形二】∠ACD＝∠BCD＝60°. 【基本方法】将△BCD绕点D逆时针旋转60°至△AED. 创新作业本·数学九年级上（人教版） (1)求证：DC是∠ADB的平分线． 解(1)∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC， ∴∠ADC＝∠BDC， ∴DC是∠ADB的平分线． 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)延长DA至点H，使HA＝DB连接CH， ∴∠HAC＝∠DBC. ∴△HAC≌△DBC(SAS)，∴HC＝DC， ∴∠ADC＝∠BDC＝60°， 创新作业本·数学九年级上（人教版） 【基本结论】 1．如图，AB为⊙O的直径，弦CD平分∠ACB，连接AD，BD，求证：S四边形ACBD＝CD2. 则S四边形ACBD＝S正方形DMCN＝CN2＝(CD)2＝CD2. ∴S四边形ACBD＝S△CDE＝CD2. ∴在Rt△ADC中，DC＝＝＝8. ∵＝，＝， 在Rt△ABC中，AC＝＝AB＝BC＝10， ∴AB＝BC＝＝5. 【基本结论】 3．如图，⊙O为等边三角形ABC的外接圆，点D在劣弧上(不与点A，B重合)，连接DA，DB，DC. (2)求证：S四边形ADBC＝CD2. ∴＝， 在△HAC和△DBC中， ∴△HDC是等边三角形，∴S△HDC＝CD2， ∴S四边形ADBC＝S△ADC＋S△BDC＝S△HDC＝CD2. $$21 【方法技巧专题】 证切线 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 一、有公共点→连半径，证垂直 1．如图，AB是⊙O的直径，点O为圆心，C是⊙O上的一点，OM⊥AB于点O交AC于点D，MC＝MD.求证：MC是⊙O的切线． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：如图，连接OC. ∵OM⊥AB， ∴∠AOD＝90°， ∴∠A＋∠ADO＝90°， ∵∠ADO＝∠CDM， ∴∠A＋∠CDM＝90°. ∵MC＝MD，∴∠MDC＝∠MCD， ∴∠A＋∠MCD＝90°. ∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO， ∴∠MCD＋∠ACO＝90°， ∴∠MCO＝90°，即MC⊥OC. 又∵点C在⊙O上， ∴MC是⊙O的切线． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上的一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF.求证：AB是⊙O的切线． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：如图，连接DE，CF. ∵CD是⊙O的直径， ∴∠DEC＝∠DFC＝90°. ∵∠ACB＝90°， ∴∠DEC＋∠ACE＝180°，∴DE∥AC， ∴∠DEA＝∠EAC＝∠DCF. ∵∠DFC＝90°， ∴∠FCD＋∠CDF＝90°. ∵∠ADF＝∠CAE＝∠DCF， ∴∠ADF＋∠CDF＝90°，∴∠ADC＝90°， ∴CD⊥AD，∴AB是⊙O的切线． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 二、有切点→作垂直，证半径 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE长为半径作⊙O.求证：⊙O与CD相切． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：如图，延长EO交CD于点F. ∵在菱形ABCD中， AB∥CD，OE⊥AB， ∴OF⊥CD. ∵在菱形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD， AC⊥BD，AB＝CD， ∴OE＝OF. ∵OE是⊙O的半径， ∴OF是⊙O的半径， ∴⊙O与CD相切． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＋BC＝CD，以AB为直径作⊙O.求证：⊙O与CD相切． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：如图，连接DO并延长交CB的延长线于点E. 易证△AOD≌△BOE， ∴AD＝BE，∠ADO＝∠E. ∵AD＋BC＝CD， ∴CD＝BC＋BE＝CE， ∴∠E＝∠CDE＝∠ADO. 过点O作OF⊥CD于点F， ∴OF＝OA， ∴⊙O与CD相切． 创新作业本·数学九年级上（人教版） ∴S△AOB＝OA·OB＝OC·OD＝S△COD， 即AB·OE＝CD·OF， $$22 【类比归纳专题】 证线段关系 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 一、线段的相等关系 1．如图，O是Rt△ABC的斜边AC上的一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，与AB相交于点F，连接AE，DE，EF，OE.求证：EF＝ED. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：∵OE＝OA， ∴∠OAE＝∠OEA. ∵BC是⊙O的切线， ∴OE⊥BC. ∵∠B＝90°， ∴AB⊥BC，∴OE∥AB， ∴∠OEA＝∠BAE， ∴∠BAE＝∠OAE， ∴EF＝ED. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线相交于点F，连接BD.求证：BD＝BF. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∵CF∥AB， ∴∠ABC＝∠FCB， ∴∠ACB＝∠FCB， 即CB平分∠DCF. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC. ∵BF是⊙O的切线，∴BF⊥AB. 又∵CF∥AB，∴BF⊥CF. 易证△BCD≌△BCF， ∴BD＝BF. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 二、线段的倍分关系 创新作业本·数学九年级上（人教版） 证明：如图，连接OE，OF. ∵∠B＝∠C＝∠OFC， ∴OF∥AB. 又∵FH⊥AB，OE＝OF， ∴四边形EHFO为正方形， 创新作业本·数学九年级上（人教版） 三、线段的和差关系 4．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆， CB＝CD，CE⊥AB于点E.求证：AE＝BE＋AD. 证明：如图，过点C作CM⊥AD交AD的延长线于点M. 证△BCE≌△DCM， ∴BE＝DM，CE＝CM. 连接AC， 证△AEC≌△AMC， ∴AE＝AM＝DM＋AD＝BE＋AD. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边AC上的一点，以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E，与边BC相交于点F，FH⊥AB于点H.求证：EH＝CD. ∴EH＝OE＝CD. $$23 【中考热点专题】 圆中的最值与分类讨论问题 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 一、圆中的最值问题 1．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，则线段OP长的取值范围是(　 　) A．3＜OP＜5 B．3≤OP≤5 C．4＜OP＜5 D．4≤OP≤5 B 创新作业本·数学九年级上（人教版） A 创新作业本·数学九年级上（人教版） 3．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A，B两点，M，N是⊙O上的两个动点，且在直线l的两侧．若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是(　 　) A．2 B．4 D 创新作业本·数学九年级上（人教版） 二、圆中的分类讨论问题 4．如图，在平面直角坐标系中，分别以点A(－2,3)，B(3,4)为圆心，以1,2为半径作⊙A，⊙B.M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P是x轴上的一个动点，则PM＋PN的最小值是(　 　) C 创新作业本·数学九年级上（人教版） 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.若以点C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是____________________. 6．点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠BOC＝40°，则∠ABC的度数是________________. 7．已知⊙O的半径为13 ，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB，CD之间的距离是_________. 3＜r≤4或r＝2.4 110°或30° 7或17 45°或135° 创新作业本·数学九年级上（人教版） 9．如图，⊙O的半径OA＝1，B是⊙O上的一个动点(不与点A重合)，过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连接OC，AC.当△OAC是直角三角形时，其斜边的长是________. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，点D为的中点．若P是直径AB上的一个动点，则PC＋PD的最小值是(　 　) A．2　 B．　 C．1　　 D．2 C．2 D．4 A. B．＋3 C.－3 D．3 8．已知⊙O的半径为1，弦AB＝，点C在⊙O上且不与点A，B重合，则∠ACB的度数是___________. 或 $$24 【方法技巧专题】 求阴影部分的面积 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 一、割补法 1．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以点C为圆心，CE长为半径画弧，分别交BC，CD于点E，F，连接AE，AF.若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积是(　 　) A 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2π－4 创新作业本·数学九年级上（人教版） 二、等积变形法 C 创新作业本·数学九年级上（人教版） 4．如图，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六个部分．若大圆的半径为2，则阴影部分的面积是________. 2π 创新作业本·数学九年级上（人教版） 三、图形变换法 C 创新作业本·数学九年级上（人教版） 6．如图，在两个半圆中，长为24的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，则图中阴影部分的面积是_________. 72π 创新作业本·数学九年级上（人教版） 四、覆盖法 7．如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积是___________.(结果精确到0.1，参考数据：π≈3.14) 1.7 创新作业本·数学九年级上（人教版） A．9－3π B．9－2π C．18－9π D．18－6π 2．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上．当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积是________. 3．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝120°，点E是AD的中点．将△ABE绕点A逆时针旋转至点B与点D重合，此时点E旋转至点F，则点B在旋转过程中形成的，点E在旋转过程中形成的与线段EB，DF所围成的阴影部分的面积是(　 　) A.　 B．　　　 C．2π　 D．3π 5．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是(　 　) A. B． C．4π D．条件不足，无法计算 $$25 【母题研究专题】 概率中的(不)放回问题 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 类型一　概率中的显性(不)放回问题 教材母题►(教材P140第3题)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4，随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则： (1)两次取出的小球的标号相同的概率是______. (2)两次取出的小球标号的和等于4的概率是______. 创新作业本·数学九年级上（人教版） (1)直接写出布袋中白球的个数． (2)从布袋中先摸出一个球后放回，再摸出一个球，请用列表或画树状图法求两次摸到的球都是白球的概率． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)2. (2)依题意列表如下： 　 　第2个 第1个 白1 白2 黑 红 白1 (白1，白1) (白1，白2) (白1，黑) (白1，红) 白2 (白2，白1) (白2，白2) (白2，黑) (白2，红) 黑 (黑，白1) (黑，白2) (黑，黑) (黑，红) 红 (红，白1) (红，白2) (红，黑) (红，红) 由上表可知，共有16种等可能的结果，其中“两次摸到的球都是白球”的结果有4种． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好 是《论语》和《大学》的概率是______. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 3．从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为3,5,5,7. (1)将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张后放回，再随机抽取一张，则所抽取的这两张牌的牌面数字之和 是10的概率是______. (2)将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张后不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．求所抽取的这两张牌的牌面数字之和是10的概率． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型二　概率中的隐性(不)放回问题 教材母题►(教材P140第8题)两张图片形状完全相同，内容完全不相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状相同的小图片混合在一起，从四张图片中随机摸取一张，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是________. 4．某校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小明与小红搭不同车的概率是(　 　) D 创新作业本·数学九年级上（人教版） 5．为做好安全防控工作，某学校门口设置了A，B两条安全检测通道，该校同学王明和李强均从A通道入校的概率是 (　 　) A 创新作业本·数学九年级上（人教版） 6．我们把十位上的数字比个位、百位上的数字都要大的三位数叫做“凸数”，如：571就是一个“凸数”．若十位上的数字为4，则从2,3,5,6中任取两个不同的数，能与4组成“凸数”的概率为(　 　) A 创新作业本·数学九年级上（人教版） 7．端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽，3个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶，则爷爷奶奶吃到同类 粽子的概率是______. 8．一双红色袜子和一双白色袜子，除颜色外无其他差别，随机从这四只袜子中一次抽取两只袜子，颜色相同的概率是 ______. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 9．我们要遵守交通规则，文明出行，做到“红灯停，绿灯行”．小刚每天从家到学校需经过三个路口，且每个路口都安装了红绿灯，每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家出发去学校，求他途中遇到两次红灯，一次绿灯的概率． 解：根据题意画树状图如下： 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1．一个不透明的布袋中装有1个红球，1个黑球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出1个球，是白球的概率为. ∴P(两次摸到的球都是白球)＝＝. 解：(1). (2)由题意可画树状图如图，由树状图知共有12种等可能结果，其中两张牌的牌面数字之和是10的结果有4种，∴所抽取的这两张牌的牌面数字之和是10的概率为＝. A. B． C． D． A. B． C． D． A. B． C． D． 共有8种等可能结果，其中遇到两次红灯，一次绿灯的有3种结果，所以遇到两次红灯，一次绿灯的概率是. $$26 【中考热点专题】 统计与概率的综合问题 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 1．某校数学社团对该校学生进行“我最喜爱的小吃”随机调查，每人只能从“A.锅贴；B.鸡蛋灌饼；C.小笼包；D.赤豆糊”中选择一个本人最喜欢的小吃，将调查问卷整理后绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题． 创新作业本·数学九年级上（人教版） (1)“小笼包”所在扇形的圆心角的度数为______，将条形统计图补充完整． (2)该校共有 1 200 名学生，估计最喜欢“赤豆糊”的同学有_________名． (3)甲、乙两名学生从这四种小吃：“A.锅贴；B.鸡蛋灌饼；C.小笼包；D.赤豆糊”中随机地选一项去品尝，请你利用画树状图法或列表法求出两名学生选到小吃A，B的概率． 108° 120 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)调查的总人数有20÷40%＝50(人)， 喜欢“锅贴”的人数有50×20%＝10(人)， 补全条形统计图如图所示． (2)估计最喜欢“赤豆糊”的学生有 故答案为120. 创新作业本·数学九年级上（人教版） (3)画树状图如图所示： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两名学生选到小吃A，B的结果有2种， 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．为监控某条生产线上产品的质量，检测员每隔相同的时间抽取一件产品，并测量其尺寸．在一天的抽检结束后，检测员将测得的15个数据按从小到大的顺序整理成如下表格： 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 尺寸/cm 8.72 8.88 8.92 8.93 8.94 8.96 8.97 8.98 编号 ⑨ ⑩ ⑪ ⑫ ⑬ ⑭ ⑮   尺寸/cm a 9.03 9.04 9.06 9.07 9.08 b   创新作业本·数学九年级上（人教版） 按照生产标准，产品等次规定如下： 尺寸/cm 产品等次 8.97≤x≤9.03 特等品 8.95≤x≤9.05 优等品 8.90≤x≤9.10 合格品 x<8.90或x>9.10 非合格品 注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品(含特等品)计算在内． 创新作业本·数学九年级上（人教版） (1)已知这次抽检的合格率为80%，请判断编号为⑮的产品是否为合格品．并说明理由． (2)已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数是9 cm. (i)求a的值； (ii)将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9 cm，另一组尺寸不大于9 cm.从这两组中各随机抽取1件进行复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)∵抽检的合格率为80%，∴合格的产品有15×80%＝12(件)，即非合格品有3件，而从编号①至编号⑭对应的产品中，只有编号①与编号②对应的产品为非合格品，从而编号为⑮的产品是非合格品． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 创新作业本·数学九年级上（人教版） 3．某环保兴趣小组的李亮同学想了解本小区1 200户家庭的用水情况，他随机调查了50户家庭的月平均用水量(单位：t)，并绘制了如下不完整的频数分布表和频数直方图． 月平均用水量/t 频数 百分比 2≤x<3 2 4% 3≤x<4 12 24% 4≤x<5 ________   5≤x<6 10 20% 6≤x<7 ______ 12% 7≤x<8 3 6% 8≤x<9 2 4% 15 30% 6 创新作业本·数学九年级上（人教版） (1)补全频数分布表和频数直方图． (2)若每户月平均用水量“大于或等于4 t且小于7 t”为中等用水量家庭，请你估计李亮所在的小区属于中等用水量的家庭大约有多少户？ (3)从月平均用水量在2≤x＜3和8≤x＜9这两个范围内的样本家庭中随机抽取2户，请用画树状图法或列表法求随机抽取出的2户家庭来自不同范围的概率. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)中等用水量的家庭大约有1 200×(30%＋20%＋12%)＝744(户)． (3)在2≤x＜3范围的两户用a，b表示，在8≤x＜9范围内的两户用1,2表示． 画树状图如图所示： 创新作业本·数学九年级上（人教版） 4．某中学开展普通话演讲比赛，九(1)、九(2)两个班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，10名选手的复赛成绩如图所示． (1)根据统计图补充完成下面的成绩统计分析表.   平均数 中位数 众数 方差 合格率 优秀率 九(1)班 85 ____ 85 ____ _______ 60% 九(2)班 85 80 ______ 160 100% ______ 85 70 100% 100 40% 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)九(1)班学生说他们的复赛成绩好于九(2)班，结合图表，请你给出三条支持九(1)班学生观点的理由． (3)若从复赛成绩为100分的3名选手中随机选2人参加学校决赛，求选中的两位选手恰好一位来自九(1)班，另一位来自九(2)班的概率． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)九(1)班选手的成绩为75,80,85,85,100， 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)理由①：九(1)班选手成绩的中位数比九(2)班高； 理由②：九(1)班选手的成绩的方差小，成绩稳定； 理由③：九(1)班的优秀率大于九(2)班． (3)将九(1)班的选手记为甲，九(2)班2名选手记为乙、丙，画树状图如图所示： 创新作业本·数学九年级上（人教版） 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中两位选手恰好一位来自九(1)班，另一位来自九(2)班的情况有4种， 创新作业本·数学九年级上（人教版） “小笼包”所在扇形的圆心角的度数为360°×＝108°. 1 200×＝120(名)． 则两名学生选到小吃A，B的概率是＝. (2)(i)按照优等品的标准，从编号⑥到编号⑪对应的6件产品为优等品，中间两件产品的尺寸数分别为8.98和a，所以中位数为＝9，则a＝9.02； (ii)优等品中，编号⑥、编号⑦、编号⑧对应的产品尺寸不大于9 cm，分别记为A1，A2，A3，编号⑨、编号⑩、编号⑪的产品尺寸大于9 cm，分别记为B1，B2，B3，其中特等品为A2，A3，B1，B2，从两组产品中各随机抽取1件，有9种等可能结果：A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，其中2件都是特等品的有4种等可能的结果：A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，∴抽到的2件产品都是特等品的概率P＝. 解：(1)调查的总数是2÷4%＝50(户)，则6≤x＜7部分调查的户数是50×12%＝6(户)，则4≤x＜5的户数是50－2－12－10－6－3－2＝15(户)，占调查总数的百分比是×100%＝30%，补全频数分布表和频数直方图如图所示． 则随机抽取出的2户家庭来自不同范围的概率为＝. 中位数为85，方差为×[(75－85)2＋(80－85)2＋2×(85－85)2＋(100－85)2]＝70，合格率为100%； 九(2)班选手的成绩为70,75,80,100,100，众数为100，优秀率为×100%＝40%. ∴选中的两位选手恰好一位来自九(1)班，另一位来自九(2)班的概率为＝. $$3 【基础夯实专题】 解一元二次方程 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 一、直接开平方法 1．(x－1)2＝4. 解：∵(x－1)2＝4， ∴x－1＝2或x－1＝－2， 即x1＝3，x2＝－1， ∴原方程的根为x1＝3，x2＝－1. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 创新作业本·数学九年级上（人教版） 二、配方法 3．x2－2x－1＝0. 4．4x2－4x＋1＝7. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 三、公式法 5．x2－3x－2＝0. 解：∵Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－2)＝9＋8＝17， 创新作业本·数学九年级上（人教版） 创新作业本·数学九年级上（人教版） 四、因式分解法 7．(x＋7)(x＋1)＝－5. 解：整理，得x2＋8x＋12＝0. 因式分解，得(x＋2)(x＋6)＝0. 于是得x＋2＝0或x＋6＝0， ∴x1＝－2，x2＝－6. 8．(x－2)2＝(2x＋3)2. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 五、选用适当方法 9．x2－x＝0. 解：x1＝0，x2＝1. 10．2(x－3)＝3x(x－3)． 11．3(x－1)2－15＝0. 12．2(x－3)2＝x2－9. 解：x1＝3，x2＝9. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2.(y＋2)2－6＝0. 解：∵(y＋2)2－6＝0，∴(y＋2)2＝12， ∴y＋2＝±2，即y1＝2－2，y2＝－2－2， ∴原方程的根为y1＝2－2，y2＝－2－2. 解：x1＝1－，x2＝1＋. 解：x1＝，x2＝. ∴x＝＝， 即x1＝，x2＝， ∴原方程的根为x1＝，x2＝. 6．x2－x＋1＝0. 解：x1＝，x2＝. 解：x1＝－5，x2＝－. 解：x1＝，x2＝3. 解：x1＝1－，x2＝1＋. $$4 【方法技巧专题】 根与系数关系的应用 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 类型一　运用根系关系求值 1．若a，b是方程x2－3x＋1＝0的两个实数根，则a＋b(1－a)的值为______. 2 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型二　运用根系关系求待定系数的值 解：∵x1，x2是方程的两根，∴Δ＝(－k)2－4(2k－1)＝k2－8k＋4≥0，x1＋x2＝k，x1x2＝2k－1， 当k＝5时，Δ＝－11<0，故k＝5舍去；当k＝－1时，Δ＝13>0，∴k＝－1. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型三　利用根的定义与根系关系求值 创新作业本·数学九年级上（人教版） ∵x1，x2是方程x2－x－2 022＝0的两个实数根， ∴x1＋x2＝1，x1x2＝－2 022， ＝(x1＋x2)2－2x1x2 ＝1＋4 044 ＝4 045. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型四　利用根系关系解几何问题 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB于点H，若AB＝5，且BC，AC的长分别是关于x的方程x2－(2m－1)x＋4(m－1)＝0的两个实数根． (1)求m的值． (2)求CH的长． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)由根与系数的关系得BC＋AC＝2m－1，BC·AC＝4m－4， 又BC2＋AC2＝25，∴(BC＋AC)2－2BC·AC＝25， 即(2m－1)2－2(4m－4)＝25，解得m1＝4，m2＝－1. ∵当m2＝－1时，BC＋AC＜0，∴m＝4. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．已知a，b是方程x2－2x－2＝0的两根，则－的值为______. 3．已知关于x的方程x2－kx＋2k－1＝0的两个根分别为x1，x2，且x＋x＝7，求k的值． ∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝k2－2(2k－1)＝7，即k2－4k－5＝0，解得k1＝5，k2＝－1. 4．若实数a，b分别满足a2－3a＋2＝0，b2－3b＋2＝0，且a≠b，则＋的值为______. 5．已知x1，x2是方程x2－x－2 022＝0的两个实数根，求代数式x－2 022x1＋x的值． 解：把x＝x1代入方程，得x－x1－2 022＝0，即x－2 022＝x1， ∴原式＝x1(x－2 022)＋x＝x＋x (2)∵m＝4，∴BC·AC＝4m－4＝12.∵BC·AC＝AB·CH， ∴CH＝2.4. $$5 【类比归纳专题】 一元二次方程的实际应用 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 一、增长率问题 1．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司，今年3月份与5月份完成投递的快件总件数分别是5万件和6.05万件，现假定该公司每月投递的快件总件数的增长率相同． (1)求该公司投递快件总件数的月平均增长率． (2)如果平均每人每月可投递快递0.4万件，那么该公司现有的16名快递投递员能否完成今年6月份的快递投递任务？ 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)设该公司投递快件总件数的月平均增长率为x. 根据题意，得5(1＋x)2＝6.05， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(舍去)． 答：该公司投递快件总件数的月平均增长率为10%. (2)6月份快递总件数为6.05×(1＋10%)＝6.655(万件)，0.4×16＝6.4(万件)． ∵6.4＜6.655， ∴该公司现有的16名快递投递员不能完成今年6月份的快递投递任务． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 二、图形的面积问题 2．某中学兴趣小组准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边是由周长为30 m的篱笆围成．如图，已知墙长为 20 m，设这个苗圃垂直于墙的一边长为x m. (1)若苗圃的面积为108 m2，求x的值． (2)苗圃的面积能达到120 m2吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)根据题意，得 (30－2x)x＝108， 解得x1＝6，x2＝9. ∵0＜30－2x≤20， ∴5≤x＜15， ∴x的值为6 m或9 m. (2)根据题意，得(30－2x)x＝120， 整理，得x2－15x＋60＝0. ∵Δ＝152－4×60＝－15＜0， ∴方程无实数根， ∴苗圃的面积不能达到120 m2. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 3．如图，一幅长20 cm、宽12 cm的图案，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2，设竖彩条的宽度为x cm. (1)用含x的代数式表示图案中三条彩条的总面积． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 则三条彩条的总面积为 答：图案中三条彩条的总面积为(－3x2＋54x)cm2. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 整理，得x2－18x＋32＝0， 解得x1＝2，x2＝16(不合题意，舍去)， 答：横彩条的宽度为3 cm，竖彩条的宽度为2 cm. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 三、营销问题 4．某学校的学生进行综合实践活动时，探究每盆植株培育株数与市场销售价格之间的关系，通过实验和市场调查发现，每盆植株在5株以内(含5株)，植株的品质较高，单株售价3元，超过5株后，每盆每多种1株，单株售价降低0.3元，当每盆种植株株数超过12株后，植株品质较低，市场统一收购价单株0.8元，每盆最多可种植18株． (1)设每盆种植x(5≤x≤12)株， ①则单株售价____________元，每盆售价______________元．(均用含x的代数式表示) ②当每盆售价为16.2元时，求x的值． (－0.3x＋4.5) (－0.3x2＋4.5x) 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)该学生实验小组共种植了40盆，每盆培育所需费用y(元)与每盆种植株数x(株)之间满足y＝2＋0.3x，每盆植株除培育费用外无其他支出．该小组将其中10盆赠送给学校，其余放至市场出售，全部售出后销售所得扣除培育费用后还剩余100元，求每盆的种植株数． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)②令－0.3x2＋4.5x的值为16.2，则－0.3x2＋4.5x＝16.2，解得x1＝6，x2＝9， 答：当每盆售价为16.2元时，x＝6或9. 当12＜x≤18时，0.8x×30－40(2＋0.3x)＝100，解得x＝15， 综上所述，每盆种植12株或15株时，还剩余100元． 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)若图案中三条彩条所占的面积是图案总面积的，求横、竖彩条的宽度． 解：(1)根据题意，横彩条的宽度为x cm， 20×x＋2×12·x－2×x·x＝－3x2＋54x. (2)根据题意，得－3x2＋54x＝×20×12， ∴x＝3. (2)当5≤x≤12时，30x－40(2＋0.3x)＝100，解得x1＝12，x2＝(舍去)， $$6 【类比归纳专题】 分析判断函数图象 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 类型一　根据函数性质判断函数图象 1．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b与y＝ax2－bx的图象可能是(　 　) C 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则函数y＝a(x－b)2＋c的图象正确的是(　 　) B 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型二　分析图形动态问题判断函数图象 3．如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，点D从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→C→B方向运动，过点D作AB的垂线，垂足为E.设点D的运动时间为x s，△ADE的面积为y(当点A，D，E在同一条直线上时，不妨设y＝0)，则能够反映y与x之间的函数关系的图象大致是(　 　) C 创新作业本·数学九年级上（人教版） 4．如图，在Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝5.设直线x＝t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为(　 　) D 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型三　分析函数图象解决含参问题 5．已知抛物线y＝mx2＋2mx＋n(m＞0)上有两点P(t，y1)和Q(t＋3，y2)． (1)此抛物线的对称轴是______________. (2)若y1＞y2，则t的取值范围是__________. 6．已知抛物线y＝x2＋ax＋a(a为常数，a≠0)． (1)若a＝2，则此抛物线的对称轴为_______________. (2)设M(x1，y1)、N(x2，y2)是抛物线上的两点，其中x1＜x2，当x1＋x2＞4时，都有y1＜y2，则a的取值范围是_________. 直线x＝－1 直线x＝－1 a≥－4 创新作业本·数学九年级上（人教版） t<－ $$7 【难点探究专题】 二次函数的最值或函数值的范围 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 一、不限制自变量求最值 1．已知二次函数y＝3x2－12x＋1，则函数值y的最小值是 (　 　) A．－9　 B．－10　 C．－11　 D．－13 2．关于二次函数y＝2(x－4)2＋6的最大值或最小值，下列说法中正确的是(　 　) A．有最大值4　 B．有最小值4 C．有最大值6　 D．有最小值6 C D 创新作业本·数学九年级上（人教版） 二、限制自变量求最值或取值范围 3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(0≤x≤3)的部分图象如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法中正确的是(　 　) A．有最小值0和最大值3 B．有最小值－1和最大值0 C．有最小值－1和最大值3 D．有最小值－1，无最大值 C 创新作业本·数学九年级上（人教版） 4．已知二次函数y＝－x2＋2x＋4，当－2≤x≤2时，关于y的取值范围，下列说法中正确的是(　 　) A．有最大值4和最小值0 B．有最大值0和最小值－4 C．有最大值4和最小值－4 D．有最大值5和最小值－4 5．已知二次函数y＝－x2＋2x＋3，当x≥2时，y的取值范围是________. 6．已知二次函数y＝2x2－6x＋1，当0≤x≤5时，y的取值范围 是________________. D y≤3 创新作业本·数学九年级上（人教版） 三、已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值 7．已知二次函数y＝2x2－4x－1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为(　 　) A．1 B．2 C．3 D．4 8．若二次函数y＝x2－6x＋8在x的一定取值范围内有最大值(或最小值)3，则满足条件的x的取值范围可以是(　 　) A．－1≤x≤5　 B．1≤x≤6 C．－2≤x≤4　 D．－1≤x≤1 D D 创新作业本·数学九年级上（人教版） 9．已知二次函数y＝－x2＋4x－3，当－1≤x≤m时，此函数的最小值为－8，最大值为1，则m的取值范围是(　 　) A．0≤m＜2　 B．0≤m≤5 C．m＞5　 D．2≤m≤5 10．关于x的二次函数y＝(x－h)2＋3，当1≤x≤3时，函数有最小值4，则h的值是(　 　) A．0或2　 B．2或4 C．0或4　 D．0或2或4 D C 创新作业本·数学九年级上（人教版） －≤y≤21 $$8 【方法技巧专题】 求二次函数的解析式 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 类型一　利用一般式求解析式 已知抛物线上三点的坐标，常设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，代入三点坐标，转化为三元一次方程组来求二次函数解析式． 1．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x＝－2时，函数值是 －1；当x＝1时，函数值是5，则此二次函数的解析式为__________________. y＝2x2＋4x－1 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．已知：二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(2,5)，C(0，－3)． (1)求此二次函数的解析式． (2)直接写出当－3≤x≤1时，求y的取值范围． 解：(1)将A(2,5)，C(0，－3)代入二次函数解析式， 则二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3. 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)作出函数图象，如图所示： 根据图象，得当－3≤x≤1时，y的取值范围为－4≤y≤0. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型二　利用顶点式求解析式 已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值时，常设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a，h，k为常数，a≠0)来求二次函数解析式． 3．若二次函数图象的顶点坐标为(2,3)，且过点(1,5)，则该二次函数的解析式为_______________. 4．已知当x＝1时，二次函数有最值为2，且二次函数的图象过点P(－1，－2)，则该二次函数的解析式为______________. y＝2(x－2)2＋3 y＝－x2＋2x＋1 创新作业本·数学九年级上（人教版） 5．在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表： x … －1 0 1 2 … y … －3 0 1 0 … (1)求这个二次函数的解析式． (2)若y＜－3，直接写出x的取值范围． 解：(1)由题意，可得二次函数的顶点坐标为(1,1)， 设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2＋1， 把点(0,0)代入y＝a(x－1)2＋1，得a＝－1， 故抛物线解析式为y＝－(x－1)2＋1，即y＝－x2＋2x. 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)由(1)知，抛物线的顶点坐标为(1,1)，对称轴为直线x＝1，过原点和点(2,0)，抛物线的大致图象如图所示： 当y＝－3时，－x2＋2x＝－3，解得x1＝－1，x2＝3， 结合函数图象，当y＜－3时，x＞3或x＜－1. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型三　利用交点式求解析式 已知抛物线与x轴两交点坐标分别为(x1,0)，(x2,0)，常设交点式y＝a(x－x1)·(x－x2)(a≠0)来求二次函数解析式． 6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1,0)，(3,0)，且与y轴 交于点(0，－5)，则抛物线的解析式为___________________. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 7．若抛物线过A(3,0)，B(2,0)，C(1，－6)三点，求此抛物线的解析式. 解：设抛物线的解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)． ∵抛物线上有A(3,0)，B(2,0)， ∴y＝a(x－3)(x－2)． 又∵抛物线上有点C(1，－6)， ∴a(1－3)(1－2)＝－6，解得a＝－3. 故此抛物线的解析式为y＝－3(x－3)(x－2)，即y＝－3x2＋15x－18. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型四　利用特殊式求解析式 若抛物线的顶点为原点，可以将解析式设为y＝ax2来解答；若抛物线的顶点在y 轴上，可以将解析式设为y＝ax2＋k来解答；若抛物线的顶点在x轴上，可以将解析式设为y＝a(x＋m)2来解答；若抛物线过原点可以设为y＝ax2＋bx . 创新作业本·数学九年级上（人教版） 8．(1)若抛物线的顶点在原点，且过(－1,3)，(2，m)，求m的值. (2)若抛物线顶点在y轴上，且过A(1，－6)，B(2，3)，求此抛物线的解析式. 解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2. 将A(－1,3)代入，可得a·(－1)2＝3， 解得a＝3. 故此抛物线的解析式为y＝3x2. 将B(2，m)代入，得m＝3×22＝12. 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)设抛物线的解析式为y＝ax2＋k. ∵抛物线过A(1，－6)，B(2,3)， 故此抛物线的解析式为y＝3x2－9. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型五　利用平移或对称求解析式 先将抛物线的解析式转化成顶点式y＝a(x－h)2＋k，利用平移过程中开口方向、大小不变，即a不变，再利用“左加右减，上加下减”来确定平移后顶点坐标来解题；做对称变换时，利用开口大小不变，再确定对称后的抛物线的开口方向和顶点坐标来解题． 9．已知抛物线C1的解析式y＝2x2－4x＋5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，则抛物线C2的解析式为_______________. y＝－2x2＋4x－5 创新作业本·数学九年级上（人教版） 10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y＝x2－2x＋1，求b，c的值． 解：将抛物线y＝x2－2x＋1向下平移3个单位，向右平移4个单位，得y＝(x－1－4)2－3＝(x－5)2－3＝x2－10x＋22. 故b＝－10，c＝22. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 得解得 y＝x2－x－5 ∴解得 $$9 【类比归纳专题】 二次函数与实际问题 创新作业本·数学九年级上（人教版） 1 类型一　图形面积 1．用一段长32 m的篱笆和长8 m的墙，围成一个矩形的菜园． (1)如图1，若矩形菜园的一边靠 墙AB，另三边由篱笆CDEF围成． ①设DE＝x m，直接写出菜园 面积y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； ②菜园的面积能不能等于110 m2，若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由． (2)如图2，若矩形菜园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，求菜园面积的最大值． 创新作业本·数学九年级上（人教版） ②若菜园的面积等于110 m2， 解得x1＝10，x2＝22. ∵0＜x≤8. ∴不能围成面积为110 m2的菜园． 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)设DE＝k m，则菜园的面积 ∵－1＜0，∴当k＝10时，y有最大值100， ∴当DE的长为10 m时，菜园的面积最大，最大值为100 m2. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 2．如图，某小区有一块靠墙(墙的长度不限)的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100 m的篱笆围成四块矩形花圃(靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计)． (1)若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE. (2)在(1)的条件下，设BC的长为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF的面积相等，∴ME＝BE，AM＝GH. ∵四块矩形花圃的面积相等， 即S矩形AMND＝2S矩形MEFN， ∴AM＝2ME，∴AE＝3BE. 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)∵篱笆总长为100 m， ∴2AB＋GH＋3BC＝100， ∵BC的长为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2， 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型二　销售利润 3．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(单位：件)与售价x(单位：元)之间的关系可近似地看作一次函数y＝－10x＋500，在销售过程中售价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%. (1)设小明每月获得的利润为w(单位：元)，求每月获得的利润w与售价x之间的函数解析式，并确定自变量x的取值范围． (2)当售价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)根据题意，得w＝(x－20)·y＝(x－20)·(－10x＋500)＝－10x2＋700x－10 000. ∵每件的利润不高于成本价的60%， ∴20≤x≤20(1＋60%)，∴20≤x≤32， ∴w＝－10x2＋700x－10 000(20≤x≤32)． 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)∵w＝－10x2＋700x－10 000(20≤x≤32)，∴对称轴为直线x＝35. 又∵a＝－10＜0，∴抛物线的开口向下， ∴当20≤x≤32时，w随x的增大而增大， ∴当x＝32时，w有最大值，最大值为 －10×322＋700×32－10 000＝2 160(元)． 答：当售价定为32元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润是2 160元． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 4．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(单位：kg)与售价x(单位：元/千克)的函数关系如图所示． (1)求y与x的函数解析式． (2)求这一天销售西瓜获得的利润w的最大值． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)当6≤x≤10时，设y与x的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)． 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)由已知得 w＝(x－6)y. 当6≤x≤10时， ∵a＝－200＜0，抛物线的开口向下， 当10＜x≤12时，w＝(x－6)×200＝200x－1 200. ∵y随x的增大而增大，∴当x＝12时，w取得最大值，w＝200×12－1 200＝1 200(元)． 答：这一天销售西瓜获得的利润w的最大值为1 250元． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 类型三　抛物线形建筑与抛物线运动 5．某景区平面图如图1所示，点A，B，C，E，D为边界上的点，边界CED是一段抛物线，其余边界均为线段，且AD⊥AB，BC⊥AB，AD＝BC＝3，AB＝8，抛物线顶点E到AB的距离OE＝7，以AB所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求边界CED所在抛物线的解析式． 创新作业本·数学九年级上（人教版） (2)如图2，该景区管理处欲在区域ABCED内围成一个矩形场地MNPQ，使得点M，N在边界AB上，点P，Q在边界CED上，试确定点P的位置，使得矩形场地MNPQ的周长最大，并求出最大周长． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋7. 根据题意，得点C(4,3)， 则PQ＝MN＝2m， ∴当m＝4时，矩形MNPQ的周长最大，最大周长为22. 创新作业本·数学九年级上（人教版） 6．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足y＝at2＋5t＋c，足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m. (1)足球飞行多长时间，足球离地面最高？最大高度是多少？ (2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，球门的高度为2.44 m．若该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，他能否将足球直接射入球门？ 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)∵函数y＝at2＋5t＋c的图象经过点(0,0.5)，(0.8,3.5)， (2)把x＝28代入x＝10t，得t＝2.8， ∴他能将足球直接射入球门． 创新作业本·数学九年级上（人教版） 解：(1)①y＝x·＝－x2＋16x,0＜x≤8. 则－x2＋16x＝110， y＝k(32＋8－2k)＝－k2＋20k＝－(k－10)2＋100. 即2AB＋AB＋3BC＝100， ∴AB＝40－BC. ∴y＝BC·AB＝x＝－x2＋40x. ∵AB＝40－BC，∴BE＝10－x＞0， 解得x＜，∴y＝－x2＋40x. 根据题意，得 解得∴y＝－200x＋2 200. 当10＜x≤12时，y＝200，故y与x的函数解析式为y＝ w＝(x－6)(－200x＋2 200)＝－2002＋1 250. ∴当x＝时，w取最大值为1 250元； 综上所述，当售价为元时，取得最大利润，最大利润为1 250元． 将点C(4,3)代入，得a＝－，∴y＝－x2＋7. (2)设点P的坐标为， PN＋QM＝2＝－m2＋14， ∴C矩形MNPQ＝4m－m2＋14＝－(m－4)2＋22(0＜m≤4)． ∵－＜0， ∴解得 ∴抛物线的解析式为y＝－t2＋5t＋＝－2＋， ∴当足球飞行 s时，足球离地面最高，最大高度是 m. ∴当t＝2.8时，y＝－×2.82＋5×2.8＋＝2.25＜2.44， $$