新课预习衔接：第八单元数学广角——数与形 (讲义)-2024-2025学年六年级上册数学人教版

数学广角——数与形 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：思维导图：单元知识简单且高效的发散性思维呈现，是一种实用性的知识小结。 第二部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第三部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第四部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第五部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 思维导图 第二部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 【算术中的规律知识点归纳】 在数学算式中探索规律，应认真观察算式的特点，再观察结果的特点，进而，根据规律填出这一类算式的结果． 例如：1×1＝1； 11×11＝121； 111×111＝12321； 1111×1111＝1234321； 通过观察发现：每个算式中，两个因数各个数位上的数字都是1，且个数相同．积里的数字呈对称形式，且前半部分是从1开始，写至某个数字（此数即因数的位数），积的后半部分再顺次写出． ①一个数乘11，101的规律 一个数乘11的规律：可采用“两头一拉，中间相加”的方法计算． 如：123×11＝1353 一个数乘101的规律：可采用“两两一位，隔位一加”的方法计算． 如：58734×101＝5932134 ②一个数乘5，15，25，125的规律 一个数乘5，转化为一个数乘10，然后，再除以2． 如：28×5＝28×10÷2＝280÷2＝140 这种情况可以概括为“添0求半”．根据同级运算可交换位置的性质，也可以先除以2，再乘10． 如：28×5＝28÷2×10＝14×10＝140．即“求半添0”的方法． 一个数乘15，可分解为先用这个数乘10，再加上这个数乘5，乘5的方法同上． 如：264×15＝264×10+264×5＝2640+264×10÷2＝2640+2640÷2＝2640+1320＝3960． 这种情况可以概括为“添0补半” 一个数乘125，因为125×8＝1000，所以，可将一个数乘125转化为先乘1000，再除以8，或先除以8，再乘1000． 如：864×125＝864×1000÷8＝864000÷8＝108000． 【数列中的规律知识点归纳】 按一定的次序排列的一列数，叫做数列． （1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中． 例如：1，2，3，4，5，6…相邻的差都为1； 1，2，4，8，16，32…相邻的两数为2倍关系． （2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律． 例如：1，0，0，1，1，0，0，1…从左到右，每四项为一组； 1，2，3，5，8，13，21…规律为，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和． （3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律． 例如，12，15，17，30，22，45，27，60…在这里，第1，3，5…项依次相差5，第2，4，6…项依次相差15． （4）相邻两数的关系中隐含着规律． 例如，18，20，24，30，38，48，60…相邻两数依次差2，4，6，8，10，12… 【“式”的规律知识点归纳】 把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容．在探索“式”的规律时，要从组成“式”的要素中去探索． 【数与形结合的规律知识点归纳】 在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题． 【列方程解应用题（两步需要逆思考）知识点归纳】 列方程解应用题的步骤： ①弄清题意，确定未知数，并用x表示． ②找出题中数量之间的相等关系． ③列方程，解方程． ④检查或验算，写出答案． 列方程解应用题的方法： ①综合法：先把应用题中已知的数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，并找出它们之间的等量关系，列出方程．这是从部分到整体的一种思维过程，其思考的方向是从已知到未知． ②分析法：先找出等量关系，再根据建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，列出方程．这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知． 【长方体和正方体的表面积知识点归纳】 长方体表面积：六个面积之和． 公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S＝6a2．（a表示棱长） 【长方体和正方体的体积知识点归纳】 长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长） 第三部分 典型例题 例题1：观察如图的点阵图，探索规律。 （1）第4个点阵图中共有 　15　个点，第9个点阵图中共有 　30　个点。 （2）第n个点阵图中共有 　（3n+3）　个点。 【考点】数与形结合的规律． 【答案】（1）15，30； （2）（3n+3）。 【分析】（1）第1个点阵图中共有1+2+3＝6（个）点；第2个点阵图中共有2+3+4＝9（个）点；第3个点阵图中共有3+4+5＝12（个）点，根据规律，计算第4个、第9个点阵图中共有多少个点。 （2）根据（1）的点子个数总结规律。 【解答】解：（1）第1个点阵图中共有1+2+3＝6（个）点； 第2个点阵图中共有2+3+4＝9（个）点； 第3个点阵图中共有3+4+5＝12（个）点； 第4个点阵图中共有4+5+6＝15（个）点； …… 第9个点阵图中共有9+10+11＝30（个）点。 答：第4个点阵图中共有15个点，第9个点阵图中共有30个点。 （2）第n个点阵图中共有n+n+1+n+2＝（3n+3）个点。 答：第n个点阵图中共有（3n+3）个点。 故答案为：15，30；（3n+3）。 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 例题2：请仔细观察图中正方形的个数与直角三角形的个数有什么关系，根据正方形的个数与直角三角形个数的关系把下表填写完整． 正方形个数 2 3 4 … … 直角三角形个数 4 8 … 100 … 【考点】数与形结合的规律． 【答案】见试题解答内容 【分析】此题通过观察与分析即可得出，每增加一个正方形就会增加4个直角三角形，于是得出公式：+1＝正方形个数． 【解答】解：由+1＝正方形个数得， 正方形个数 2 3 4 … 26 … 直角三角形个数 4 8 12 … 100 … 【点评】本题考查了学生的观察能力和空间想象能力以及概括能力． 例题3：按规律填空。 （1）99，88，77，　66　，　55　，　44　。 （2） 【考点】数列中的规律． 【答案】（1）66，55，44。 （2） 【分析】（1）中数字从左到右依次减少11，故后面的数应为66、55、44； （2）中每个大三角形里面有三个数，其中平行四边中的数等于两个小三角形中的数字之和。4+7＝11，6+20＝26，10+40＝50，故第四个三角形中应该是7+32＝39，第五个是63﹣9＝54；据此解答。 【解答】解：（1）99，88，77，66，55，44。 （2） 故答案为：66，55，44。 【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。 第四部分 高频真题 1．按规律写数：3.0，2.4，□，1.2，0.6，0。□中应填（　　） A．1.6 B．1.8 C．2 2．同学们玩“建宝塔”的数学游戏。如第一幅图是丹丹建的宝塔，第二幅图是朱朱按照同样的规律建的宝塔。朱朱建的宝塔的顶层上的数是（　　） A．36 B．54 C．72 D．90 3．数列1，2，4，5，10，11，22，23，46，47，……，它形成的规律：第2项等于第1项加1的和，第3项等于第2项的2倍，第4项等于第3项加1的和，第5项等于第4项的2倍，……，如此继续下去，得到上面的数列。那么，这个数列的第100项的个位数字是（　　） A．2 B．5 C．7 D．8 4．如图各图都表示“1”，阴影部分的大小与问号表示的长度可以用++表示的有（　　）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 5．找规律，第10个图形一共由（　　）个点组成。 A．50 B．55 C．60 D．70 6．给定一列按规律排列的数：、、、……则这列数的第8个数是（　　） A． B． C． 7．46，50，54，58，□，66，70，□里应填（　　） A．60 B．62 C．64 8．明明用石子摆出如图的图案，根据规律判断第6个图案中石子总数为（　　） A．16 B．20 C．24 9．下面的图形按一定的规律排列，如果继续往下排，第8个图形共有 　 　个小圆点，第n个图形共有 　 　个小圆点。 10．如图，用同样规格的黑白两色正方形摆图形。按此规律，摆第6个图形需要 　 　个黑色正方形，摆第n个图形需要 　 　个白正方形。 11．找规律填数。 （1）7、11、15、　 　、　 　、27、31、35。 （2）36、30、24、18、　 　、　 　、　 　。 12．找规律，填一填。 （1）2，5，8，11，14，　 　，　 　。 （2）3，5，7，9，　 　，13，　 　。 13．如图，摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用5根小棒，摆3个三角形用7根小棒，摆4个三角形用 　 　根小棒，摆m个三角形用 　 　根小棒。 14．古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常把“形”与“数”联系在一起，下图是用“形”来表示“数”、请你认真观察：第1幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，第3幅图的点数为9，依次排下去，第10幅图的点数为 　 　，第n幅图的点数为 　 　。 15．找规律，填一填。 2，5，8，11，　 　，17，　 　。 4，9，16，　 　，36。 16．按如图方式摆放餐桌和椅子，那么摆13张餐桌需要多少把椅子？ 17．如图所示，用同样的小棒摆三角形。 ①像这样摆下去，摆n个三角形，需要 　 　根小棒。 ②当n＝100时，用第1题的式子计算摆100个三角形需要的小棒数。 18．一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来坐14人……照这样并下去，13张桌子并一排可以坐多少人？如果一共有42人，需要并多少张桌子才能坐下？ 参考答案与试题解析 1．按规律写数：3.0，2.4，□，1.2，0.6，0。□中应填（　　） A．1.6 B．1.8 C．2 【考点】数列中的规律． 【答案】B 【分析】依次减0.6。 【解答】解：3.0，2.4，□，1.2，0.6，0。□中应填1.8。 故选：B。 【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。 2．同学们玩“建宝塔”的数学游戏。如第一幅图是丹丹建的宝塔，第二幅图是朱朱按照同样的规律建的宝塔。朱朱建的宝塔的顶层上的数是（　　） A．36 B．54 C．72 D．90 【考点】数与形结合的规律． 【答案】C 【分析】第一幅图中，从下往上，从左往右起； 第一排中，从左往右起，第一个数与第二个数的积等于第二排中的第一个数，第二个数与第三个数的积等于第二排中的第二个数，第三个数与第四个数的积等于第二排中的第三个数； 第二排中，第一个数与第二个数的积等于第三排中的第一个数，第二个数与第三个数的积等于第三排中的第二个数； 第三排中，第一个数与第二个数的积等于第四排中的数：依此计算即可。 【解答】解：2×6＝12 6×12＝72 答：朱朱建的宝塔的顶层上的数是72。 故选：C。 【点评】要计算出朱朱建的宝塔顶层的数，应先发现第一图中的宝塔里的数的规律，然后再计算。 3．数列1，2，4，5，10，11，22，23，46，47，……，它形成的规律：第2项等于第1项加1的和，第3项等于第2项的2倍，第4项等于第3项加1的和，第5项等于第4项的2倍，……，如此继续下去，得到上面的数列。那么，这个数列的第100项的个位数字是（　　） A．2 B．5 C．7 D．8 【考点】数列中的规律． 【答案】B 【分析】从第三项开始，奇数项的个位数按照：4，0，2，6，4，0，2，6，……的顺序循环排列，求出99﹣1后是第几个奇数项，再用这个项数除以4，看余数，根据余数判断个位数。 【解答】解：（99﹣1）÷2 ＝98÷2 ＝49 49÷4＝12……1 余数为1，个位数就是4，它的下一项（第100项）的个位数就是：4+1＝5。 故选：B。 【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。 4．如图各图都表示“1”，阴影部分的大小与问号表示的长度可以用++表示的有（　　）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】数与形结合的规律． 【答案】C 【分析】“1”的一半是，的一半是，的一半是，的一半是，据此解答。 【解答】解：第一幅图阴影部分的大小用+++表示。 第二幅图阴影部分的大小用++表示。 第三幅图阴影部分的大小用++表示。 第四幅图问号表示的长度用++表示。 故选：C。 【点评】本题主要考查数与形结合的规律，理解单位1与之间的关系是解本题的关键。 5．找规律，第10个图形一共由（　　）个点组成。 A．50 B．55 C．60 D．70 【考点】数与形结合的规律． 【答案】B 【分析】根据题意，图一有1个点，图二有1+2＝3（个）点，图三有1+2+3＝6（个）点，据此可知，图形n有1+2+3+4+……+n＝（个）点，据此解答即可。 【解答】解：分析可知，图形n有1+2+3+4+……+n＝（个）点，所以第10个图形一共有： ＝＝55（个） 答：第10个图形一共由55个点组成。 故选：B。 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 6．给定一列按规律排列的数：、、、……则这列数的第8个数是（　　） A． B． C． 【考点】数列中的规律． 【答案】C 【分析】分子依次加1，分母依次加3、5、7、9、11、13、15。 【解答】解：给定一列按规律排列的数：、、、……则这列数的第8个数是。 故选：C。 【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。 7．46，50，54，58，□，66，70，□里应填（　　） A．60 B．62 C．64 【考点】数列中的规律． 【答案】B 【分析】依次加4。 【解答】解：58+4＝62 所以，□里应填62。 故选：B。 【点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。 8．明明用石子摆出如图的图案，根据规律判断第6个图案中石子总数为（　　） A．16 B．20 C．24 【考点】数与形结合的规律． 【答案】C 【分析】观察图形可知，第一个图形有石子（3×1+1个）；第二个图形有石子（3×2+2）个；第三个图形有石子（3×3+3）个；则第n个图形有石子（3×n+n）个，据此即可解答。 【解答】解：根据题干分析可得： 第一个图形有石子：（3×1+1）个 第二个图形有石子：（3×2+2）个 第三个图形有石子：（3×3+3）个 则第n个图形有石子：3×n+n＝4n（个） 当n＝6时，有石子：4×6＝24（个） 答：第6个图案中有石子24个。 故选：C。 【点评】考查了规律型：图形的变化。此类题一定要结合图形发现规律，把这一规律运用字母表示出来即可。 9．下面的图形按一定的规律排列，如果继续往下排，第8个图形共有 　29　个小圆点，第n个图形共有 　[（n﹣1）×4+1]　个小圆点。 【考点】数与形结合的规律． 【答案】29；[（n﹣1）×4+1]。 【分析】观察图形可知，第一个图形有1个小圆点，第二个图形有5个小圆点，第三个图形有9个小圆点；据此找出规律解答即可。 【解答】解：第一个图形有1个小圆点，1＝（1﹣1）×4+1； 第二个图形有5个小圆点，5＝（2﹣1）×4+1； 第三个图形有9个小圆点，9＝（3﹣1）×4+1； …… 规律是：第n个图形有[（n﹣1）×4+1]个小圆点； n＝8时， （8﹣1）×4+1 ＝28+1 ＝29（个） 答：第8个图形共有29个小圆点，第n个图形共有[（n﹣1）×4+1]个小圆点。 故答案为：29；[（n﹣1）×4+1]。 【点评】本题考查了数与形的变化规律，通过寻找数的变化规律，得出计算公式，然后进行实际应用。 10．如图，用同样规格的黑白两色正方形摆图形。按此规律，摆第6个图形需要 　19　个黑色正方形，摆第n个图形需要 　（3n+2）　个白正方形。 【考点】数与形结合的规律． 【答案】19；（3n+2）。 【分析】根据图示，第一个黑色的是4个，白色5个，第二个图中黑色的是7个，白色的是8个，……根据图形可以知道，黑色的规律是3n+1，白色规律为3n+2。据此解答即可。 【解答】解：分析可知黑色的规律是3n+1，白色规律为3n+2。 摆第6个图形需要： 3×6+1 ＝18+1 ＝19（个） 答：摆第6个图形需要19个黑正方形。摆第n个图形需要（3n+2）个白正方形。 故答案为：19；（3n+2）。 【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的数字运算规律，利用规律解决问题。 11．找规律填数。 （1）7、11、15、　19　、　23　、27、31、35。 （2）36、30、24、18、　12　、　6　、　0　。 【考点】数列中的规律． 【答案】（1）19，23； （2）12，6，0。 【分析】根据题干，得出规律：（1）相邻两数之间相差4，并且从左到右数越来越大。 （2）相邻两数之间相差6，并且从左到右数越来越小。据此解答即可。 【解答】解：（1）7、11、15、19、23、27、31、35。 （2）36、30、24、18、12、6、0。 故答案为：19，23；12，6，0。 【点评】这是一道关于数列中规律的题目，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题是解题的关键。 12．找规律，填一填。 （1）2，5，8，11，14，　17　，　20　。 （2）3，5，7，9，　11　，13，　15　。 【考点】数列中的规律． 【答案】（1）17，20； （2）11，15。 【分析】（1）依次加3； （2）依次加2。 【解答】解：（1）2，5，8，11，14，17，20。 （2）3，5，7，9，11，13，15。 故答案为：17，20；11，15。 【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。 13．如图，摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用5根小棒，摆3个三角形用7根小棒，摆4个三角形用 　9　根小棒，摆m个三角形用 　（2m+1）　根小棒。 【考点】数与形结合的规律． 【答案】9；2m+1。 【分析】摆1个三角形用3根小棒；摆2个三角形用5根小棒；摆3个三角形用7根小棒；……；摆m个三角形用小棒3+2（m﹣1）＝（2m+1）根。据此解答。 【解答】解：摆1个三角形用3根小棒； 摆2个三角形用5根小棒； 摆3个三角形用7根小棒； …… 摆m个三角形用小棒3+2（m﹣1）＝（2m+1）根。 2×4+1 ＝8+1 ＝9（根） 答：摆4个三角形用9根小棒，摆m个三角形用（2m+1）根小棒。 故答案为：9；2m+1。 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 14．古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常把“形”与“数”联系在一起，下图是用“形”来表示“数”、请你认真观察：第1幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，第3幅图的点数为9，依次排下去，第10幅图的点数为 　37　，第n幅图的点数为 　（4n﹣3）　。 【考点】数与形结合的规律． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，第1幅图的点数为1+4×0，第2幅图的点数为1+4×1，第3幅图的点数为1+4×2；第4幅图的点数为1+4×3，那么第n幅图的点数应为：1+4（n﹣1）＝4n﹣3；将n＝10，代入计算出第10幅图即可；据此解答。 【解答】解：根据分析，第n幅图的点数应为：4n﹣3； 当n＝10时，4×10﹣3＝37 所以，依次排下去，第10幅图的点数为37，第n幅图的点数为4n﹣3。 故答案为：37，（4n﹣3）。 【点评】此题考查了数与形的知识，关键能够根据增加数量找出规律再解答。 15．找规律，填一填。 2，5，8，11，　14　，17，　20　。 4，9，16，　25　，36。 【考点】数列中的规律． 【答案】14，20；25。 【分析】依次加3； 依次加5，7，9，11。 【解答】解：2，5，8，11，14，17，20。 4，9，16，25，36。 故答案为：14，20；25。 【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。 16．按如图方式摆放餐桌和椅子，那么摆13张餐桌需要多少把椅子？ 【考点】数与形结合的规律． 【答案】54把。 【分析】根据图示可知，每增加1张桌子，就增加4把椅子，据此解答。 【解答】解：13×4+2＝54（把） 答：摆13张餐桌需要54把椅子。 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 17．如图所示，用同样的小棒摆三角形。 ①像这样摆下去，摆n个三角形，需要 　（2n+1）　根小棒。 ②当n＝100时，用第1题的式子计算摆100个三角形需要的小棒数。 【考点】数与形结合的规律． 【答案】①2n+1；②201根。 【分析】①由图可以看出摆一个三角形用3根小棒，摆两个三角形用5根小棒，摆三个三角形用7根小棒，摆四个三角形用9根小棒……，所以摆n个三角形用（2n+1）根小棒。 ②把n＝100代入2n+1，即可求出摆100个三角形需要的小棒数。 【解答】解：①一个三角用2×1+1＝3（根） 二个三角形用2×2+1＝5（根） 三个三角形用2×3+1＝7（根） 四个三角形用2×4+1＝9（根） …… n个三角形用（2n+1）根 答：摆n个三角形需（2n+1）根小棒 ②当n＝100时 2n+1 ＝2×100+1 ＝200+1 ＝201（根） 答：摆100个三角形需要201根小棒。 故答案为：2n+1。 【点评】此题主要是初步渗透不完全归纳思想和代数思想，培养符号化意识，提高抽象和概括能力，关键是找规律，找到规律，代入数值计算比较简单。 18．一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来坐14人……照这样并下去，13张桌子并一排可以坐多少人？如果一共有42人，需要并多少张桌子才能坐下？ 【考点】数与形结合的规律． 【答案】54人；10张。 【分析】1张桌子坐6人，6＝2+4；2张桌子坐10人，10＝2+4+4；3张桌子坐14人，14＝2+4+4+4；……；所以n张桌子并起来坐（2+4n）人；据此解答即可。 【解答】解：1张桌子坐6人：6＝2+4 2张桌子坐10人：10＝2+4+4 3张桌子坐14人：14＝2+4+4+4 …… 所以n张桌子并起来坐（2+4n）人 13×4+2 ＝52+2 ＝54（人） 4n+2＝42 4n＝42﹣2 4n＝40 n＝10 答：13张桌子并一排可以坐54人；如果一共有42人，需要并10张桌子才能坐下。 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 学科网（北京）股份有限公司 $$