精品解析：北师大版2023-2024学年八年级数学下册期末达标测试卷(七)

期末达标测试卷（七） 时间：120分 满 分 ：120 分钟 一、选择题（本大题共10个小题，1—5小题，每小题2分；6—10小题，每小题3分，共25分） 1. 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 对于分式 ，下列说法错误的是（ ） A. 不论x 取何值，分式都有意义 B. 分式的值大于0 C. 不论x 取何值，分式的值都不为0 D. 当或时，分式无意义 4. 若关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为(　　　) A. B. C. D. 5. 如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，△A′B′C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是（ ） A ①④ B. ②③ C. ②④ D. ③④ 6. 已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（　　） A. 作∠APB平分线PC交AB于点C B. 过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC C. 取AB中点C，连接PC D. 过点P作PC⊥AB，垂足为C 7. 如图，是边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点H、E、F分别是边、、的中点，若，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ）． A. B. C. D. 10. 已 知， 且 ，则等于（ ） A. x B. x +1 C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 因式分解：=_________． 12. 分式方程的解是____． 13. 某快递公司的分拣工小王和小李，在分拣同一类物件时，小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同．已知小王每小时比小李多分拣8个物件，设小李每小时分拣x个物件，根据题意列出的方程是_____． 14. 如图，直线与分别交x轴于点，，则不等式的解集为__________________． 15. 如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，BC=8，AB=10，则△FCD的面积为__________．     16. 如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为________． 17. 在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，是平行四边形的对角线，点在上，，，则的大小是________． 18. 如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共71分） 19. （1）解不等式： （2）解不等式组 ，并写出该不等式组最大整数解． 20. 如图，在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得，，他想知道剩余阴影部分的面积，你能利用所学过的因式分解的方法帮助小刚计算吗？请写出求解的过程（π取3）． 21. 某学生化简分式出现了错误，解答过程如下： 原式=（第一步） =（第二步） =．（第三步） （1）该学生解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ； （2）请写出此题正确的解答过程． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）判断以O，A1，B为顶点三角形的形状．（无须说明理由） 23. 如图，是边长为4的等边三角形，将沿直线向右平移，使点与点重合，得到，连接，交于． （1）猜想与的位置关系，并证明你的结论； （2）求的面积S． 24. 如图，点B、E、C、F一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC． （1）求证：△ABC≌△DFE； （2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形． 25. 为迎接全国文明城市的评选，市政府决定对春风路进行市政化改造，经过市场招标，决定聘请甲、乙两个工程队合作施工，已知春风路全长24千米，甲工程队每天施工的长度比乙工程队每天施工长度的多施工0.4千米，由甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的． （1）求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？ （2）若甲工程队每天的施工费用为0.8万元，乙工程队每天的施工费用为0.5万元，要使两个工程队施工的总费用不超过7万元，则甲工程队至多施工多少天？ 26. （1）如图1，在中，平分交于D，于E，于F，则有相等关系，． （2）如图2，在（1）的情况下，如果，的两边分别与、相交于M、N两点，其它条件不变，那么又有相等关系　 　，请加以证明． （3）如图3，在中，，，，平分交于D，，，求四边形的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末达标测试卷（七） 时间：120分 满 分 ：120 分钟 一、选择题（本大题共10个小题，1—5小题，每小题2分；6—10小题，每小题3分，共25分） 1. 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，直接根据分式的除法计算法则求解即可． 【详解】解： 故选 D． 2. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：A． 3. 对于分式 ，下列说法错误的是（ ） A. 不论x 取何值，分式都有意义 B. 分式的值大于0 C. 不论x 取何值，分式的值都不为0 D. 当或时，分式无意义 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件以及分式值为零的条件，解题的关键是熟知分式有意义的条件是分母不为零．根据分式有意义的条件判断即可求解． 【详解】∵，， 无论x取何值，、都为正数， 故无论x取何值，分式都有意义，且分式的值为正数，不为0， 故A、B、C说法正确，D说法错误， 故选：D． 4. 若关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为(　　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式得出，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出，解之可得答案． 【详解】解：， ， 则， 不等式只有2个正整数解， 不等式的正整数解为1、2， 则， 解得：， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出关于某一字母的不等式组． 5. 如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，△A′B′C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】依据旋转变换以及轴对称变换，即可使△ABC与△A'B'C'重合． 【详解】解：先将△ABC绕着B'C的中点旋转180°，再将所得的三角形绕着B'C'的中点旋转180°，即可得到△A'B'C'； 先将△ABC沿着C'C的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着C''C'的垂直平分线翻折，即可得到△A'B'C'； 故选D． 【点睛】本题主要考查了几何变换的类型，在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角． 6. 已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（　　） A. 作∠APB的平分线PC交AB于点C B. 过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC C. 取AB中点C，连接PC D. 过点P作PC⊥AB，垂足为C 【答案】B 【解析】 【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论． 【详解】A.利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°， ∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意； B.过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意； C.利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°， ∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意； D.利用HL判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意， 故选B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键． 7. 如图，是边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，求得DE∥BC，∠ABD=∠CDB，推出BD∥CE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故A不符合题意；根据平行线的性质得到∠DEF=∠CBF，根据全等三角形的性质得到EF=BF，于是得到四边形BCED为平行四边形，故B不符合题意；根据平行线的性质得到∠AEB=∠CBF，求得∠CBF=∠BCD，求得CF=BF，同理，EF=DF，不能判定四边形BCED为平行四边形；故C符合题意；根据平行线的性质得到∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°，推出∠BDE=∠BCE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故D不符合题意． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故A不符合题意； ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，故B不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴, ∴， 同理，， ∴不能判定四边形为平行四边形；故C符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形，故D不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 8. 如图，在中，，点H、E、F分别是边、、的中点，若，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】∵∠ACB＝90°，点H是边AB的中点， ∴AB＝2CH， ∵点E、F分别是边AC、BC的中点， ∴AB＝2EF ∴CH=EF ∵， ∴=4 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 9. 如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点分别作，，的垂线，可得，从而可证，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，， 由角平分线的性质定理得：， 的三边，，长分别是20，30，40， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握定理是解题的关键． 10. 已 知， 且 ，则等于（ ） A. x B. x +1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化规律以及分式化简，解题的关键是能根据求出的结果得出规律，再利用规律求解．分别求出，，，，根据求出的结果得出每三个数就循环一次，再根据得出的规律进行求解． 【详解】解：， ， ， ， 该数列每三个数就循环一次， ， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 因式分解：=_________． 【答案】 【解析】 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12. 分式方程的解是____． 【答案】x=3 【解析】 【详解】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程x=3（x﹣2），求出整式方程的解得到x=3，经检验x=3是分式方程的解，即可得到分式方程的解． 考点：解分式方程 13. 某快递公司的分拣工小王和小李，在分拣同一类物件时，小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同．已知小王每小时比小李多分拣8个物件，设小李每小时分拣x个物件，根据题意列出的方程是_____． 【答案】． 【解析】 【分析】先求得小王每小时分拣的件数，然后根据小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同列方程即可． 【详解】解：小华每小时分拣x个物件，则小王每小时分拣(x+8)个物件， 根据题意得： 故答案为： 【点睛】本题主要考查的是分式方程的应用，根据找出题目的相等关系是解题的关键． 14. 如图，直线与分别交x轴于点，，则不等式的解集为__________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和一元一次不等式．本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变． 【详解】解：直线与直线分别交x轴于点、， ∵， ∴一个正数和一个负数的积为负数， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 15. 如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，BC=8，AB=10，则△FCD的面积为__________．     【答案】6. 【解析】 【分析】根据题意可证△ADE≌△ACD，可得AE=AC=6，CD=DE，根据勾股定理可得DE，CD的长，再根据勾股定理可得FC的长，即可求△FCD的面积． 【详解】∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，∠C=90° ∴CD=DE ∵CD=DE，AD=AD ∴Rt△ACD≌Rt△ADE ∴AE=AC ∵在Rt△ABC中，AC=＝6 ∴AE=6 ∴BE=AB-AE=4 ∵在Rt△DEB中，BD2=DE2+BE2． ∴DE2+16=（8-DE）2 ∴DE=3 即BD=5，CD=3 ∵BD=DF ∴DF=5 在Rt△DCF中，FC==4 ∴△FCD的面积为=×FC×CD=6 故答案为6． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，关键是灵活运用这些性质解决问题． 16. 如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为________． 【答案】36° 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B＝52°， 由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°， ∴∠AEF＝∠D＋∠DAE＝52°＋20°＝72°，∠AED′＝180°－∠EAD′－∠D′＝108°， ∴∠FED′＝108°－72°＝36°； 故答案为36°． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键． 17. 在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，是平行四边形的对角线，点在上，，，则的大小是________． 【答案】26°． 【解析】 【分析】设∠BAC=x，然后结合平行四边形的性质和已知条件用x表示出∠EBA、∠BEC、 ∠BCE、 ∠BEC、 ∠DCA、∠DCB，最后根据两直线平行同旁内角互补，列方程求出x即可． 【详解】解：设∠BAC=x ∵平行四边形的对角线 ∴DC//AB,AD=BC,AD//BC ∴∠DCA=∠BAC=x ∵AE=BE ∴∠EBA =∠BAC=x ∴∠BEC=2x ∵ ∴BE=BC ∴∠BCE=∠BEC =2x ∴∠DCB=∠BCE+∠DCA=3x ∵AD//BC， ∴∠D+∠DCB=180°，即102°+3x=180°，解得x=26°． 故答案为26°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质，运用平行四边形结合已知条件判定等腰三角形和掌握方程思想是解答本题的关键． 18. 如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可． 【详解】过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF， ∵PE⊥AC， ∴AE=EF， ∵AP=PF，AP=CQ， ∴PF=CQ． ∵在△PFD和△QCD中， ， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD=CD， ∵AE=EF， ∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DE=AC， ∵AC=1， ∴DE= 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中． 三、解答题（本大题共8个小题，共71分） 19. （1）解不等式： （2）解不等式组 ，并写出该不等式组的最大整数解． 【答案】（1）；（2）；3 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式组． （1）按照解一元一次不等式的步骤解不等式即可． （2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的最大整数解即可． 【详解】解：（1） （2） 解①式得：， 解②式得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组最大整数解是3． 20. 如图，在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得，，他想知道剩余阴影部分的面积，你能利用所学过的因式分解的方法帮助小刚计算吗？请写出求解的过程（π取3）． 【答案】剩余部分的面积为． 【解析】 【分析】本题考查面积法求剩余部分面积，平方差公式的应用．根据剩余部分的面积圆形板材的面积四个小圆的面积，即可求解． 【详解】解：根据题意有：剩余部分的面积圆形板材的面积四个小圆的面积． 剩余部分的面积， 将，代入上式得： 剩余部分的面积． 答：剩余部分的面积为． 21. 某学生化简分式出现了错误，解答过程如下： 原式=（第一步） =（第二步） =．（第三步） （1）该学生解答过程是从第 步开始出错，其错误原因是 ； （2）请写出此题正确的解答过程． 【答案】（1）一，分式的基本性质用错；（2）答案见解析． 【解析】 【详解】试题分析：根据分式的运算法则即可求出答案． 试题解析：（1）一，分式的基本性质用错， 故答案为一，分式的基本性质用错； （2）原式= = =． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由） 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）三角形的形状为等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作； （2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2， （3）根据勾股定理逆定理解答即可． 【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求； （3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1=，A1B==， 即OB2+OA12=A1B2， 所以三角形的形状为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 23. 如图，是边长为4的等边三角形，将沿直线向右平移，使点与点重合，得到，连接，交于． （1）猜想与的位置关系，并证明你的结论； （2）求的面积S． 【答案】（1）．理由见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质以及平移的性质可得出，，进而可得出，等于等边对等角以及三角形内角和定理可得出，最后根据角的和差关系即可得出，即 （2）由勾股定理可得出，再根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：．理由如下： ∵是边长为4的等边三角形， ∴由平移的性质得：，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）知： ∴， 在中， ∴． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，等边三角形的性质，等边对等角，以及勾股定理的知识，掌握这些性质是解题的关键． 24. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC． （1）求证：△ABC≌△DFE； （2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由SSS证明△ABC≌△DFE即可； （2）连接AF、BD，由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE，证出AB∥DF，即可得出结论． 【详解】详解：证明：（1）， ， 和中， ， ≌； （2）解：如图所示： 由（1）知≌， ， ， ， 四边形ABDF是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． 25. 为迎接全国文明城市评选，市政府决定对春风路进行市政化改造，经过市场招标，决定聘请甲、乙两个工程队合作施工，已知春风路全长24千米，甲工程队每天施工的长度比乙工程队每天施工长度的多施工0.4千米，由甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的． （1）求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？ （2）若甲工程队每天的施工费用为0.8万元，乙工程队每天的施工费用为0.5万元，要使两个工程队施工的总费用不超过7万元，则甲工程队至多施工多少天？ 【答案】（1）甲队每天修2.4千米，乙队每天修2千米；（2）甲工程队至多施工5天． 【解析】 【分析】（1）设甲队每天完成x千米，则乙队每天完成（x﹣0.4）千米，然后依据甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的列方程求解即可； （2）设甲队改造a米，则乙队改造（24﹣a）米，然后依据两个工程队施工的总费用不超过7万元列不等式求得a的范围，从而可求得甲工程队至多施工的天数． 【详解】解：（1）设甲队每天完成x千米，则乙队每天完成（x﹣0.4）千米．根据题意得： =×， 解得：x=2.4． 经检验，x=2.4是原方程的解． 2.4﹣0.4=2． 答：甲队每天修2.4千米，乙队每天修2千米． （2）设甲队改造a米，则乙队改造（24﹣a）米．根据题意得： ×0.8+×0.5≤7， 解得：a≤12． =5． 答：甲工程队至多施工5天． 【点睛】本题主要考查的是分式方程、一元一次不等式的应用，依据题意列出方程或不等式是解题的关键． 26. （1）如图1，在中，平分交于D，于E，于F，则有相等关系，． （2）如图2，在（1）的情况下，如果，的两边分别与、相交于M、N两点，其它条件不变，那么又有相等关系　 　，请加以证明． （3）如图3，在中，，，，平分交于D，，，求四边形的周长． 【答案】（1）证明见详解；（2），（3）； 【解析】 【分析】（1）证明即可得到答案； （2）证明即可得到答案； （3）过D作，根据角平分线得到，即可得到角三角形直角边与斜边的关系，结勾股定理求出相应线段的长度，证明得到线段关系即可得到答案； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 与中， ， ∴， ∴，； （2）解：∵，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：过D作， ∵， ∴， ∵平分， ，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 在与中， ∴， ∴，，， ∴； 【点睛】本题考查角平分线的性质，直角三角形角所对直角边等于斜边一半，三角形全等的判定与性质，解题的关键是作出辅助线得到相应线段大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$