专题2.25 数轴上的动点问题解题方法与技巧（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.25 数轴上的动点问题解题方法与技巧（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点一】与数轴上的动点问题相关的基本概念 1、数轴上两点间的距离：即为这两点表示的有理数差的绝对值：，其中a、b分别表示两点点表示的数，d为两点间的距离； 2、两点中点公式:在数轴上，A、B两点表示的数为，线段AB中点点C表示的数为，点C表示的数为； 3、点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度，这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的表示的数，即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b； 4、数轴是数形结合的产物,分析数轴上点的运动要结合图形进行分析,点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。 【知识点二】数轴上的动点问题基本解题思路和方法: 1、表示出题目中动点运动后的点表示的数(一般用含有时间t的式子表示)； 2、根据两点间的距离公式表示出题目中相关线段长度(一般用含有时间t的式子表示)； 3、根据题目问题中线段的等量关系(一般是和、差关系)列绝对值方程（也可分类讨论）； 4、解绝对值方程并根据实际问题验算结果。 【题型1】数轴上动点表示的数........................................................2 【题型2】数轴上两点之间距离........................................................2 【题型3】数轴上动点问题基础题......................................................2 【题型4】数轴上动点问题综合题......................................................3 【题型5】数轴上动点问题压轴题......................................................4 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】数轴上动点表示的数 【例1】数轴上有一动点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】点A为数轴上表示的一个动点，当点A沿数轴移动5个单位长度到时，点所表示的数是 ． 【变式2】如图，已知数轴上点表示的数为6，点是数轴上在点左侧的一点，且、两点间的距离为10，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动． （1）数轴上点表示的数是 ； （2）运动1秒时，点表示的数是 ； （3）动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．当点运动 秒时，点与点相遇． 【题型2】数轴上两点之间距离 【例2】已知数轴上有A和B两点，它们之间的距离为1，点A和原点的距离为2，那么所有满足条件的点B对应的数有 ． 【变式1】（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）数轴上点表示的数是，两点表示的数互为相反数，且点到点的距离为，则点表示的数为 ． 【变式2】（19-20七年级上·河南郑州·阶段练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为（    ）． A．-2.5 B．3.5 C．-2.5和4.5 D．-2.5和3.5 【题型3】数轴上动点问题基础题 【例3】（21-22七年级上·江西赣州·期中）已知数轴上有三点，，分别表示有理数，，，动点从点出发，以个单位长度的速度向终点移动，设点移动时间为． （1）用含的代数式表示点分别到点和点的距离：______，______． （2）当点运动到点时，点从点出发，以个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，当点运动到点时，两点运动停止．当点，运动停止时，求点，间的距离． 【变式1】（21-22七年级上·山西运城·期末）如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段上一动点．点P从点O出发沿的方向以每秒2个单位的速度向A运动，B是线段的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过5秒）．若点P在运动过程中，当时，则运动时间t的值为______． A．秒 B．秒 C．3秒或7秒 D．秒或秒 【变式2】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）已知数轴上A点代表，B点代表4，动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当 时，．（当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动） 【题型4】数轴上动点问题综合题 【例4】（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知点O是原点，点A在数轴上，点A表示的数为，点B在原点的右侧，且． (1)点B对应的数是 ； (2)已知点P，点Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒． ①用含t的式子分别表示P，Q两点表示的数： ， ； ②若点P和点Q经过t秒后在数轴上的点D处相遇，求出t的值和此时点D所表示的数； ③若点P与点Q到原点的距离相等，求t的值． 【变式1】（20-21七年级下·浙江·期中）已知数轴上，点A表示的数是，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（    ） A． B．8 C．或8 D．或8 【变式2】（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，A、B是数轴上的两个动点，点A从表示的点开始向数轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，则同时点B从表示3的点开始向数轴的负方向以每秒2个单位长度的速度运动，则经过 秒后A，B两点之间距离等于2．    【题型5】数轴上动点问题压轴题 【例5】（23-24七年级上·福建三明·阶段练习）数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．                               图1 (1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ;                                        图2 (2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.                              图3 【变式1】（20-21七年级上·浙江金华·阶段练习）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…，点P按此规律移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为（ ） A．159 B．-156 C．158 D．1 【变式2】（21-22七年级上·江苏无锡·期中）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点B的距离相等． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.25 数轴上的动点问题解题方法与技巧（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点一】与数轴上的动点问题相关的基本概念 1、数轴上两点间的距离：即为这两点表示的有理数差的绝对值：，其中a、b分别表示两点点表示的数，d为两点间的距离； 2、两点中点公式:在数轴上，A、B两点表示的数为，线段AB中点点C表示的数为，点C表示的数为； 3、点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度，这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的表示的数，即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b； 4、数轴是数形结合的产物,分析数轴上点的运动要结合图形进行分析,点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。 【知识点二】数轴上的动点问题基本解题思路和方法: 1、表示出题目中动点运动后的点表示的数(一般用含有时间t的式子表示)； 2、根据两点间的距离公式表示出题目中相关线段长度(一般用含有时间t的式子表示)； 3、根据题目问题中线段的等量关系(一般是和、差关系)列绝对值方程（也可分类讨论）； 4、解绝对值方程并根据实际问题验算结果。 【题型1】数轴上动点表示的数........................................................2 【题型2】数轴上两点之间距离........................................................3 【题型3】数轴上动点问题基础题......................................................5 【题型4】数轴上动点问题综合题......................................................7 【题型5】数轴上动点问题压轴题......................................................9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】数轴上动点表示的数 【例1】数轴上有一动点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上的单动点问题，解决本题的关键要确定运动的路程和运动方向． 解：点以每秒个单位长度的速度运动， 点运动秒后的路程：， 又点向右运动， 点运动秒后表示的数为， 故选：C． 【变式1】点A为数轴上表示的一个动点，当点A沿数轴移动5个单位长度到时，点所表示的数是 ． 【答案】3或 【分析】数轴上点的坐标变化和平移规律：左减右加．注意考虑两种情况：可以向左移或向右移． 解：当点A向右移动5个单位长度到B时，点B是， 当点A向左移动5个单位长度到B时，点B是． 故答案为：3或． 【点拨】本题考查了数轴，解决本题的关键是注意数的大小变化和平移之间的规律：左减右加． 【变式2】如图，已知数轴上点表示的数为6，点是数轴上在点左侧的一点，且、两点间的距离为10，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动． （1）数轴上点表示的数是 ； （2）运动1秒时，点表示的数是 ； （3）动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．当点运动 秒时，点与点相遇． 【答案】 0 5 【分析】（1）根据数轴与实数的一一对应关系，由AB的长，及点是数轴上在点A左侧的一点，可求出点B表示的数； （2）利用1秒后，点P表示的数=点A表示的数为-点P运动的路程，即可解题； （3）当点与点相遇时，即点与点表示的数相同，据此列一元一次方程，解一元一次方程即可解题． 解：（1）点A表示的数为6，点是数轴上在点A左侧的一点，两点间的距离为10， 点B表示的数为610=4， 故答案为：4； （2）运动1秒时，点P表示的数为：66=0， 故答案为：0； （3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为：66t, 点Q表示的数为：44t, 点与点相遇时，即点与点表示的数相同， 66t=44t, 2t=10， t=5 故答案为：5． 【点拨】本题考查数轴、一元一次方程的应用等知识，掌握数轴上两点间的距离公式、正确列出一元一次方程是解题关键． 【题型2】数轴上两点之间距离 【例2】已知数轴上有A和B两点，它们之间的距离为1，点A和原点的距离为2，那么所有满足条件的点B对应的数有 ． 【答案】1、3、、 【分析】设点B对应的数为，根据点A与原点O的距离为2，得到点A表示的数为，当点A表示的数为-2时，根据数轴上A，B两点之间的距离为1，得到，推出，解得x=-3，或x=-1，当点A表示的数为2时，得到，推出，解得x=3，或x=1． 解：设点B对应的数为， ∵数轴上A，B两点之间的距离为1，点A与原点O的距离为2， ∴点A表示的数为 当点A表示的数为-2时，， ∴， ∴x=-3，或x=-1， 当点A表示的数为2时， ， ∴， ∴x=3，或x=1， 综上点B对应的数为：1、3、、． 故答案为：1、3、、． 【点拨】本题考查了数轴上两点间的距离，解决问题的关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式，绝对值的化简． 【变式1】（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）数轴上点表示的数是，两点表示的数互为相反数，且点到点的距离为，则点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，相反数，绝对值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设点所表示的数为，根据题意知点表示的数是，再根据点到点的距离为，列式求解即可． 解：设点所表示的数为， ∵两点表示的数互为相反数， ∴点表示的数为， ∵点到点的距离为，点表示的数是， ∴，即， 解得：，， 点表示的数为或， 故答案为或． 【变式2】（19-20七年级上·河南郑州·阶段练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为（    ）． A．-2.5 B．3.5 C．-2.5和4.5 D．-2.5和3.5 【答案】C 【分析】根据“点P到点A、B的距离之和为7”列出方程并解答． 解：依题意，得 |x-3|+|x+1|=7， 因为A、B之间的距离小于7，所以x＜-1或x＞3， 当x＜-1时，-（x-3）-（x+1）=7， 解得x=-2.5． 当x＞3时，（x-3）+（x+1）=7，解得x=4.5． 所以x=-2.5或4.5． 故答案为-2.5或4.5．故选C. 【点拨】本题考查了数轴和一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 【题型3】数轴上动点问题基础题 【例3】（21-22七年级上·江西赣州·期中）已知数轴上有三点，，分别表示有理数，，，动点从点出发，以个单位长度的速度向终点移动，设点移动时间为． （1）用含的代数式表示点分别到点和点的距离：______，______． （2）当点运动到点时，点从点出发，以个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，当点运动到点时，两点运动停止．当点，运动停止时，求点，间的距离． 【答案】（1），；（2）24 【分析】（1）根据数轴上两点的距离即可求得答案； （2）先求得点从点到点的时间，进而求得点运动的路程，根据题意确定的位置，进而求得的距离 解：（1）， 故答案为：，； （2）解：点从点到点的时间为 点运动的路程为 点，距离为 答：点，距离为 【点拨】本题考查了数轴上两点距离，数轴上动点问题，数形结合是解题的关键． 【变式1】（21-22七年级上·山西运城·期末）如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段上一动点．点P从点O出发沿的方向以每秒2个单位的速度向A运动，B是线段的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过5秒）．若点P在运动过程中，当时，则运动时间t的值为______． A．秒 B．秒 C．3秒或7秒 D．秒或秒 【答案】D 【分析】先求出点B和动点P所表示的数，再根据PB＝2列方程求解即可． 解：∵B是线段OA的中点， ∴点B表示的数是5， ∵动点P所表示的数是2t，PB＝2， ∴|2t−5|＝2， ∴2t−5＝−2或2t−5＝2， 解得t＝或． 故选：D． 【点拨】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，找出等量关系列出方程是解题的关键． 【变式2】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）已知数轴上A点代表，B点代表4，动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当 时，．（当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动） 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴上两点之间的距离．根据题意易得动点表示的数为，动点表示的数为，则，，列出方程求解即可得出答案． 解：根据题意得，动点表示的数为，动点表示的数为， ∵， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上分析可知：或． 故答案为：或． 【题型4】数轴上动点问题综合题 【例4】（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知点O是原点，点A在数轴上，点A表示的数为，点B在原点的右侧，且． (1)点B对应的数是 ； (2)已知点P，点Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒． ①用含t的式子分别表示P，Q两点表示的数： ， ； ②若点P和点Q经过t秒后在数轴上的点D处相遇，求出t的值和此时点D所表示的数； ③若点P与点Q到原点的距离相等，求t的值． 【答案】(1)9； (2)①，；②，；③3或5 【分析】（1）根据点A表示的数为，点B在原点的右侧，且，先求出的长，即得到点B表示的数； （2）设运动的时间为t秒， ①因为点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向右运动，所以点P表示的数是；同理可得点Q表示的数为； ②按相遇问题的数量关系列方程即可求出t的值及点D表示的数； ③按P在点O的左侧，点Q在点O的右侧，或点P与点Q相遇，或点P在点O的右侧，点Q在点O的左侧，分别列方程求出相应的t的值且进行检验，舍去不符合题意的值． 解：（1）解：点A表示的数为，点B在原点的右侧，且， ∴， ∴， 所以点B表示的数为9； （2）设运动的时间为t秒， ①因为点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向右运动， 所以点P表示的数是； 因为点Q从点B同时出发，以2个单位/秒的速度向左运动， 所以点Q表示的数， 故答案为：，． ②点P与点Q相遇，则， 解得， ∵， 所以点D表示的数是． ③如果点P在点O的左侧，点Q在点O的右侧，且点P与点Q到原点的距离相等，则， 解得； 如果点P与点Q重合，则点P与点Q到原点的距离相等， 由②得，； 如果点P在点O的右侧，点Q在点O的左侧，且点P与点Q到原点的距离相等，则， 解得（不符合题意，舍去）， 综上所述，经过3秒或5秒，点P与点Q到原点的距离相等． 【点拨】此题考查数轴上点表示有理数，一元一次方程的应用、解一元一次方程、数轴的动点问题的求解等知识与方法，解第（2）题时要进行分类讨论，求出所有符合条件的值． 【变式1】（20-21七年级下·浙江·期中）已知数轴上，点A表示的数是，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（    ） A． B．8 C．或8 D．或8 【答案】D 【分析】根据等量关系：MN=2BM，列出方程计算即可求解． 解：依题意有|-2+4t-（-2+8-3t）|=|-2+8-（-2+4t）|×2， 解得t=或8． 故当MN=2BM时，运动时间t的值为或8． 故选：D． 【点拨】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 【变式2】（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，A、B是数轴上的两个动点，点A从表示的点开始向数轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，则同时点B从表示3的点开始向数轴的负方向以每秒2个单位长度的速度运动，则经过 秒后A，B两点之间距离等于2．    【答案】或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，分两种情况求解是解答本题的关键．分点A在点B的左边和右边两种情况，分别列方程求解，即得答案． 解：由已知得，点A运动的距离为t，点B运动的距离为，， 当点A在点B的左边时， ， 解得； 当点A在点B的右边时，， 解得； 所以则经过秒或秒后A，B两点之间距离等于2． 故答案为或． 【题型5】数轴上动点问题压轴题 【例5】（23-24七年级上·福建三明·阶段练习）数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．                               图1 (1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ;                                        图2 (2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.                              图3 【答案】(1)C2 (2)①点P表示的数为，；②点P表示的数为 【分析】（1）分别求出点C1，C2，C3到两点间的距离，再进行验证即可； （2）①分类讨论点在之间和点在点左侧时的情况即可；②分类讨论点为点的“关联点”、点为点的“关联点”、点为点的“关联点”即可求解． 解：（1）解：∵ ∴点C1不是点A，B的“关联点” ∵ ∴ 即：点是点A，B的“关联点” ∵ ∴点不是点A，B的“关联点” 故答案为： （2）解：解：设点P在数轴上表示的数为 ①（i）当点在之间时， 若，则 解得： 若，则 解得： （ii）当点在点左侧时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为，； ②（i）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： （ii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 或,即： 解得： （iii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为 【点拨】本题以新定义题型为背景，考查了数轴上两点间的距离公式．掌握相关结论，进行分类讨论是解题关键． 【变式1】（20-21七年级上·浙江金华·阶段练习）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…，点P按此规律移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为（ ） A．159 B．-156 C．158 D．1 【答案】A 【分析】根据数轴，按题目叙述的移动方法即可得到点前五次移动后在数轴上表示的数；根据移动的规律即可得移动第158次后到达的点在数轴上表示的数． 解：设向右为正，向左为负，则 表示的数为+1， 表示的数为+3 表示的数为0 表示的数为-4 表示的数为+1…… 由以上规律可得，每移动四次相当于向左移动4个单位长度．所以当移动156次时，156=39×4相当于向左移动了39次四个单位长度．此时表示的数为．则第157次向右移动157个单位长度，；第158次还是向右，移动了158个单位长度，所以． 故在数轴上表示的数为159． 故选A． 【点拨】本题考查了数轴上点的运动规律，正确理解题意，找出点在数轴上的运动次数与对应点所表示的数的规律是解题的关键． 【变式2】（21-22七年级上·江苏无锡·期中）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点B的距离相等． 【答案】或30 【分析】利用已知条件先求出B、C在数轴表示的数，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，找到对应的边长关系，列出关于的方程，进行求解即可． 解：∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0， ∴b﹣9＝0，c﹣15＝0， ∴b＝9，c＝15， ∴B表示的数是9，C表示的数是15， ①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6）， ∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝， ③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9）， ∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30， 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒， 故答案为：或30． 【点拨】本题主要是考查了数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$