15.2 二次根式的乘除运算（课件）2024—2025学年冀教版数学八年级上册

15.2 二次根式的乘除运算 ● 考点清单解读 ● 重难题型突破 ● 易错易混分析 ■考点一 二次根式的乘法 公式 · =（a≥0，b≥0） 文字 叙述 两个数的算术平方根的积，等于这两个数积的算术平方根 推广 ·· =（a≥0，b≥0，c≥0） a·c =ac（b≥0，d≥0） 15.2 二次根式的乘除运算 考点清单解读 返回目录 续表 15.2 二次根式的乘除运算 注意 进行乘法运算时，不能忽略被开方数是非负数这个限制条件 几个二次根式相乘，可利用交换律、结合律使运算简便 计算结果必须化为最简二次根式或整式 考点清单解读 返回目录 15.2 二次根式的乘除运算 归纳总结 当 和 可以化简时，一般先化简再相乘.但对 a，b 相乘可以约分或乘积为完全平方数的情况就要先相乘再化简. 考点清单解读 返回目录 15.2 二次根式的乘除运算 典例 1 计算： （1）× ； （2）× ； （3）4 × ； （4）6 ×（-2）. 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 15.2 二次根式的乘除运算 ［答案］ 解：（１）原式＝ ＝＝10； （２）原式＝×2 ＝２ ； （3）4 ×=4 =4=4 =8 ； （4）6×（-2）=6×（-2）××=-12 =-12×9 =-108. 考点清单解读 返回目录 ■考点二 二次根式的除法 公式 = （或÷= ）（a≥0，b＞0） 文字 叙述 两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根 15.2 二次根式的乘除运算 考点清单解读 返回目录 续表 15.2 二次根式的乘除运算 注意 a 必须是非负数，b 必须是正数，式子才成立 m ÷（n）=（m÷n）×（÷），其中 a≥0，b＞0，n≠0 若被开方数是带分数，先将其化成假分数，然后转 化为乘除数的倒数进行计算 计算结果必须化为最简二次根式或整式 的倒数是 （a≠0，b≠0，a，b 同号） 考点清单解读 返回目录 15.2 二次根式的乘除运算 归纳总结 二次根式除法技巧 （1）当被除式的被开方数能被除式的被开方数整除时，可直接利用除法法则； （2）若两个被开方数不能整除，则可以先对二次根式进行化简或变形再相除. 考点清单解读 返回目录 15.2 二次根式的乘除运算 典例 2 计算： （1） ÷；（2） ÷ ； （3） ；（4） ÷ . 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 15.2 二次根式的乘除运算 ［答案］ 解：（1）原式＝ ＝ ＝； （2）原式＝÷ = ==3； （3）原式＝ ＝2 ＝2 ； （4）原式= = =2 . 考点清单解读 返回目录 ■考点三 分母有理化 定义 把分母中的二次根式化去，叫做分母有理化 依据 分式的基本性质和二次根式的性质 注意 已知二次根式不是最简二次根式时，先化简，再进行分母有理化 分母是一个多项式时，分母有理化的依据是平方差公式，即（m+n）（m-n）=m2-n2 的有理化因式是，m的有理化因式是 ，的有理化因式是- 15.2 二次根式的乘除运算 考点清单解读 返回目录 15.2 二次根式的乘除运算 归纳总结 分母有理化是两个二次根式相除的又一种方法，要将分子、分母都乘同一个恰当的二次根式，化去分母中的根号.分母的有理化因式不唯一，以运算最简便为宜. 考点清单解读 返回目录 15.2 二次根式的乘除运算 典例 3 把下列各式分母有理化： （1）； （2） . 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 15.2 二次根式的乘除运算 ［解析］ 考点清单解读 返回目录 15.2 二次根式的乘除运算 ［答案］ 解：（1） = = = ； （2） = = . 考点清单解读 返回目录 ■题型 二次根式的乘除混合运算 例 计算下列各式： （1）×÷2； （2）×÷×. 15.2 二次根式的乘除运算 重难题型突破 返回目录 15.2 二次根式的乘除运算 ［答案］（1）解：原式=3×5÷2=3×5× × = ； （2）原式= ××× = = =1. 重难题型突破 返回目录 15.2 二次根式的乘除运算 解题通法 二次根式乘除混合运算的顺序与整式乘除混合运算的顺序相同，都是从左到右依次计算，有括号时先算括号内的. 重难题型突破 返回目录 ■方法：“作商法”比较二次根式的大小 作商法：a，b 都是正数，若 ＞1，则 a＞b；若 =1，则 a=b；若 ＜1，则 a＜b.当 a，b 都是负数时，可取两数绝对值作商比较大小，方法同理． 15.2 二次根式的乘除运算 方法技巧点拨 返回目录 例 比较二次根式的大小： 与 . 15.2 二次根式的乘除运算 方法技巧点拨 返回目录 15.2 二次根式的乘除运算 ［答案］ 解：∵ ÷= × = ＞1，∴ 3＞. 方法技巧点拨 返回目录 $$