12.3角的平分线的性质讲义- 2024—2025学年人教版数学八年级上册

12.3角的平分线的性质讲义-数学八年级上册人教版 高频考点梳理 角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 作图—尺规作图的定义 （1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）基本要求 它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同． 直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度． 圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度． 清易错 1．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线． 【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形． ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD＝AD， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴∠DAE＝∠DAF， ∴AD是△ABC的角平分线． 2．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．若AB＝12，AC＝8，S△ABC＝60，求DE的长． 【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴DE＝DF， ∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD， ∴， ∵AB＝12，AC＝8， ∴DE＝6． 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由． 【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE， 在Rt△DCF和Rt△DEB中， ， ∴Rt△DCF≌Rt△DEB， ∴CF＝EB； （2）AF+BE＝AE． ∵Rt△DCF≌Rt△DEB， ∴DC＝DE， ∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL）， ∴AC＝AE， ∴AF+FC＝AE， 即AF+BE＝AE． 精选好题 一、单选题 1．如图，在中，平分，，垂足为点．若的面积为16，，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．6 2．如图，在中，是高，是角平分线．若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于的长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；③连接，交于点E．若，则点E到的距离为（  　　）． A．4 B．3 C．6 D．7 4．如图，是的角平分线，，垂足为E，若，，则的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 5．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，若的面积为9，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 6．将两把宽度相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，两把直尺的接触点记为点P，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连结并延长．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，点P是的平分线上动点，于点E，点F为射线上动点．若，则线段的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 8．如图，在中，，的平分线交于点D，若，，则的面积是（    ） A．30 B．15 C．20 D．27 二、填空题 9．如图，在中，平分，则点到的距离为 ． 10．如图，在中，，，，，平分交于点，点，分别是，上的动点，则 （1）的长为 ； （2）的最小值为 ． 11．如图，在中，，，以为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点，交于点．分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，点在边上，，连接，则的度数为 ． 12．如图，在中，，平分交于，若，则点到的距离为 ． 13．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则 ． 14．如图，在中，，以顶点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是 . 15．如图，在中，是边上的高线，的平分线交于点E，当，的面积为3时，的长为 ． 16．如图，的三边，，的长分别为20，24，12，点是三个内角平分线的交点，则 ．    三、解答题 17．如图，已知，，．    (1)尺规作图： 在边上求作一点，使； 在求作一点，使得平分（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（）的条件下求的大小． 18．如图，在中，，是的平分线，于F，E在上，连接． (1)证明：； (2)若，则 ． 19．如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，连接，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．在四边形中，．，点、分别在边、上，且平分．    (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 21．如图，在四边形中，，E为的中点，连接、，延长交的延长线于点F．    (1)求证：； (2)若，说明； (3)在（2）的条件下，若，，，求点E到的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B D C C C B 1．C 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，先利用三角形的面积公式求出，然后再利用角平分线的性质可得，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，   的面积为16，， ， ， 平分，，， ， 故选：C． 2．B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的数量关系．由是高，，可得，再由是的角平分线，，从而得，进而可求的度数． 【详解】解：是的高，， ， ， 是的角平分线，， ， ． 故选：B． 3．B 【分析】此题主要考查了基本作图以及角平分线的性质，正确得出是的平分线是解题关键． 由作图方法可得出是的平分线，然后利用角平分线的性质求解即可． 【详解】如图所示，过点E作于点D， 由作图方法可得出是的平分线， ∵，， ∴， ∴点E到的距离为3． 故答案为：B． 4．D 【分析】本题考查角平分线的性质，过点作，根据角平分线点性质，得到，再根据三角形的面积公式，进行求解即可．掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． 【详解】解：过点作， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∴； 故选D． 5．C 【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．过点作的垂线，的垂线，由角平分线定理得出，再由三角形面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：过点作的垂线，的垂线， 根据题意可得是的角平分线， ，， ， 的面积为9， 即， ， ． 故选C． 6．C 【分析】本题考查了角平分线的判定，解题的关键是根据角平分线的判定定理得到是的平分线，再计算即可． 【详解】解：两把长方形直尺的宽度相同， 点到射线、的距离相等， 射线是的平分线， ， ， ， 故选：C． 7．C 【分析】 本题考查角平分线的性质．运用垂线段最短，结合角平分线上的点到角两边的距离相等解题即可． 【详解】解：∵直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短， ∴时长有最小值， ∵点P是的平分线上一点，于点E，， ∴时，， ∴的最小值是6， 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键． 过D作于E，根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式求出答案即可． 【详解】解：过D作于E，如图， ∵，，的平分线交于点D，， ∴， ∵， ∴的面积， 故选：B． 9．/ 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，于F，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于E，于F， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故答案为：． 10． 【分析】（1）过点作交于点，由平分得出，再由，即可求解； （2）过点作交于点，交于点，过点作交于点，由平分得出，、、三点共线，所以的长即的最小值，根据三角形面积公式即可求解最小值。 【详解】解：（1）如图，过点作交于点， ∵平分， ∴， 设， 则：， 解得：； （2）如图，过点作交于点，交于点，过点作交于点， 平分， ， ， 又、、三点共线， 的长即为的最小值， ， 解得：， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解题的关键是学会用转化的思想思考问题和正确作出辅助线．其中借助面积法进行计算要求能够熟练运用． 11．40 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线、全等三角形的性质，从而完成求解．结合题意，根据角平分线的性质，得，然后证明，得，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】根据题意可得，是的平分线， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12．1 【分析】本题考查了角平分线的性质．过点D作交于点E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得． 【详解】解：如图，过点D作交于点E， ， ， ，平分， ， 点到边的距离为1， 故答案为：1． 13．/60度 【分析】本题考查了角平分线的性质及三角形外角的性质，根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数． 【详解】解：∵是的平分线， ， ∴， ∵是的外角的平分线，， ∴， ∴， 故答案为：. 14． 【分析】本题考查了基本作图，角平分线的性质，过点D作于点E，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点E，如图所示： 由基本尺规作图可知，是的角平分线， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．1 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点E作于F，根据三角形面积计算公式求出，再由角平分线上的点到角两边的距离相等得到． 【详解】解：如图所示，过点E作于F， ∵，的面积为3， ∴， ∴， ∵是边上的高线，的平分线交于点E， ∴， 故答案为：1． 16． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形的面积公式．熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是，24，，进而求出面积比． 【详解】过点作于点，作于点，作于点，   ，，是的三条角平分线， ， 的三边、、长分别为20，24，12， ： ： ：： ：： ． 故答案是：． 17．(1)作图见解析；作图见解析； (2)． 【分析】（）根据作一个角等于已知角的方法作，与交于点， 则点即为所求； 过点作的平分线，与的交点即为点； ()根据三角形内角和定理可得， 则， 根据角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理可得答案； 本题考查作图-复杂作图、 三角形内角和定理和角平分线的有关计算，熟练掌握角平分线的作图方法、作一个角等于已知角的方法以及三角形内角和定理是解题的关键. 【详解】（1）如图，点即为所求； 如图，点即为所求，    （2）∵，， ∴， ∵ ∴ ∵平分 ∴， ∴． 18．(1)证明见解析； (2)2． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，熟记角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由证明，即可得出结论； （2）由证明，得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：， ， 是的平分线，， ， 在与中， ， ， ； （2）在和中， ， ， ， ， ． ∵ 19．(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握角平分线的性质，三角形全等的判定与性质． （1）由角平分线的性质可得，证明，进而结论得证． （2）根据，证明，可得，根据计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵是的平分线，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）可得， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴的长为5． 20．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解本题的关键； （1）过点A作于点G，根据角平分线性质结合题意得，再根据全等三角形的性质证明即可； （2）先证出，结合，再根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，过作于，   平分，， ． ， ， 又∵， ； ∴平分； （2）在和中， ， ， ， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】本题是一道四边形综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”的性质． （1）根据可知，再根据E是的中点可求出； （2）由（1）知，得到，，由，等量代换得到，即，证得，即可得到结论； （3）在（2）的条件下有，得到，根据角平分线的性质即可得到结果． 【详解】（1）∵， ∴， ∵E是的中点， ∴． ∵在与中， ， ∴； （2）由（1）知， ∴，， ∵， ∴， 即，在与中， ∴， ∴， ∴； （3）在（2）的条件下有， ∴， ∴E到的距离等于E到的距离， ∵，， 答：点E到的距离为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$