精品解析：华东师大版2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023-2024学年华东师大新版八年级下册数学期中复习试卷 一．选择题 1. 下列各式：，，，，，其中分式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小9倍 D. 缩小3倍 3. 点在二、四象限的角平分线上，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 下列各点中，在一次函数的图像上的是（ ） A. B. C. D. 5. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 96 96 93 93 方差 4.5 3.2 2.8 5.2 要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 如图,平行四边形ABCD中,P是形内任意一点,△ABP,△BCP,△CDP,△ADP面积分别为S1，S2，S3，S4，则一定成立的是（ ） A. S1+S2＞S3+S4 B. S1+S2=S3+S4 C. S1+S2＜S3+S4 D. S1+S3=S2+S4 7. 若无解，则的值是（　　） A. 3 B. C. D. 2 8. 如图，已知直线与相交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 若定义一种新的取整符号， 即表示不超过的最大整数．例如：， ， 则下列结论正确个数是（ ） ①； ②； ③方程的解有无数多个； ④若， 则 的取值范围是 ； A 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，等边边长为6，点是中线上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接．当在点运动过程中，取得最小值时，的面积等于（ ）． A. B. C. D. 二．填空题 11. 面积为2的的边和被分为3等份，边和被分为4等份，按如图所示的方式连接分点，则图中形成的小平行四边形的面积_____． 12. 斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度，如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小明共用12秒通过，其中通过的速度是通过速度的1.5倍，求小明通过时的速度.设小明通过时的速度是米/秒，根据题意列方程得：______. 13. 如图，直线与轴的交点为，写出与的关系式_____，则关于的不等式的解集是_____． 14. 如图，A点为反比例函数图象上一点，过A点作轴，B为垂足，点P为x轴上任意一点，且的面积为2，则_____． 15. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝5．∠BCD平分线交AD于点F，交BA的延长线于点E，则AE的长为_____． 16. 如图，点是矩形的边上的点，连接，将矩形沿折叠，点的对应点恰好在边上． （1）写出图中与相等的角_____； （2）若，，则折痕的长为_____． 三．解答题（ 满分86分） 17. （1） （2） 18. 先化简：，然后从中选取一个你喜欢的整数作为a的值代入求值． 19. 小丽解分式方程时，出现了错误，她的解题过程如下： 解：去分母得：第一步； 解得：……第二步； ∴原分式方程的解是……第三步； （1）小丽解答过程从第 　 　步开始出错，正确结果是　 　，这一步的依据是　 　． （2）小丽解答过程缺少的步骤是　 　． （3）请写出正确的解题过程． 20. 如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b． （1）求点A′坐标； （2）确定直线A′B对应的函数表达式． 21. 如图，沿直线向右平移，得到，，． （1）求的度数； （2）求的长． 22. 如图，画，，垂足分别为D，E． 23. 如图，已知． （1）利用尺规作图，在给出图中作的延长线，使，在线段与点相异的一侧作，延长交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：． 24. 已知等边△ABC和射线AP，作AC边关于射线AP的对称线段AD，连接BD，CD． （1）如图1，当射线AP在∠BAC内部时， ①请依题意补全图形； ②若∠PAC＝15°，则∠BDC＝　 　度； ③若∠PAC＝x°，试求∠BDC的度数； （2）如图2，当射线AP在∠BAC外部的AC右侧时，设BD交AP于点E， ①∠BDC＝　 　度； ②线段AE，BE，DE之间有何数量关系？试说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年华东师大新版八年级下册数学期中复习试卷 一．选择题 1. 下列各式：，，，，，其中分式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，式子、是整式）中，分母中含有字母，则叫分式．根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：在，，，，中，其中分式有，，共2个， 故选：B 2. 若分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小9倍 D. 缩小3倍 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质解答即可． 【详解】解：， 分式的值缩小3倍， 故选：D． 【点睛】本题考查的是对分式的性质的理解，分式中元素扩大或缩小N倍，只要将原数乘以或除以N，再代入原式求解，是此类题目的常见解法． 3. 点在二、四象限的角平分线上，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵点在二、四象限的角平分线上， ∴， 解得：． 故选：A 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握二、四象限的角平分线上的点横纵坐标互为相反数是解题的关键． 4. 下列各点中，在一次函数的图像上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别把各点代入一次函数进行检验即可． 【详解】A、∵当x=-1时，，∴点（-1，1）不在此函数的图象上，故本选项错误； B、∵当x=0时，，∴点（0，1）在此函数的图象上，故本选项正确； C、∵当x=2时，，∴点（2，2）不在此函数的图象上，故本选项错误； D、∵当x=-2时，，∴点（-2，3）不在此函数的图象上，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 5. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 96 96 93 93 方差 4.5 3.2 2.8 5.2 要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．选出方差最小，而且平均数较大的同学参加数学比赛． 【详解】解：∵96＞93， ∴甲、乙同学最近几次数学考试成绩的平均数高， ∵3.2＜4.5， ∴乙的最近几次数学考试成绩的方差小，发挥稳定， ∴要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择乙． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了方差的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 6. 如图,平行四边形ABCD中,P是形内任意一点,△ABP,△BCP,△CDP,△ADP的面积分别为S1，S2，S3，S4，则一定成立的是（ ） A. S1+S2＞S3+S4 B. S1+S2=S3+S4 C. S1+S2＜S3+S4 D. S1+S3=S2+S4 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出S1+S3=平行四边形ABCD的面积，S2+S4=平行四边形ABCD的面积，即可得出结论． 【详解】∵四边形ABCD平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC， ∴S1+S3=平行四边形ABCD的面积， S2+S4=平行四边形ABCD的面积， ∴S1+S3=S2+S4， 故选D． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 7. 若无解，则的值是（　　） A. 3 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，先根据分式方程的计算方法求出的值，再根据分式方程无解即可求解． 【详解】解：方程两边同乘以可得， 解得，， ∵无解， ∴， 把代入得， 解得，， 故选：D． 8. 如图，已知直线与相交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，根据函数图象写出直线在直线下方部分的的取值范围即可． 【详解】解：因为直线与相交于点， 所以，不等式的解集是． 故选：C． 9. 若定义一种新的取整符号， 即表示不超过的最大整数．例如：， ， 则下列结论正确个数是（ ） ①； ②； ③方程的解有无数多个； ④若， 则 的取值范围是 ； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】①根据新定义，直接求出值；②取特殊值验证；③在0到1的范围内，找到一个特殊值，进而可以找到无数个解；④把方程问题转化为不等式问题． 详解】解： ，故①正确； 如，，故②错误； 当时，方程均成立，故③正确； 因为， ∴，即，故④错误； ∴正确的有2个． 故选：B 【点睛】本题考查了新运算与一元一次不等式则，解题的关键在于能够理解新定义． 10. 如图，等边边长为6，点是中线上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接．当在点运动过程中，取得最小值时，的面积等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取线段中点，连接，根据等边三角形的性质可得出以及，由旋转的性质可得出，由此即可利用全等三角形的判定定理证出，进而即可得出，再根据点为的中点，即可得出的最小值，此题得解． 【详解】解：取线段的中点，连接，如图所示． , 为等边三角形，，且直线为的对称轴， ，,， ∴， 由旋转可知：，， ∴， ． 又∵， ≌， ． 当时，最小， ∵,， ∴， ∴， 点为的中点， ∴为的中位线， ∴点为的中点，． ∴， 点为的中点， ∴， ∵≌， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质勾股定理，中位线的判定和性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出以及的最小值． 二．填空题 11. 面积为2的的边和被分为3等份，边和被分为4等份，按如图所示的方式连接分点，则图中形成的小平行四边形的面积_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据题干中的四等分点与三等分点和图形特征，能把这个平行四边形剪拼成13个小平行四边形，是解决本题的关键．观察图形可知，内部分成的6个小平行四边形的面积都相等，因为、都平均分为四等份，、都平均分为三等份，所以可以采用剪拼法，把涂色部分剪拼成空白处的图形，可得，是把这个平行四边形平均分成13份，则每个小平行四边形的面积就是原平行四边形的面积的，据此即可解答． 【详解】解：根据分析可得，边和被分为3等份，边和被分为4等份，通过剪拼，如图，是把这个平行四边形平均分成13个小平行四边形， 所以每个小平行四边形的面积是原平行四边形的面积的，则图中形成的小平行四边形的面积． 故答案为：． 12. 斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度，如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小明共用12秒通过，其中通过的速度是通过速度的1.5倍，求小明通过时的速度.设小明通过时的速度是米/秒，根据题意列方程得：______. 【答案】 【解析】 【分析】设小明通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列出分式方程解答即可． 【详解】解：设小明通过AB时的速度是x米/秒，由共用12秒通过可得： . 故答案为：. 【点睛】此题考查由实际问题抽象分式方程，关键是根据题意列出分式方程解答． 13. 如图，直线与轴的交点为，写出与的关系式_____，则关于的不等式的解集是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用图象获取正确信息是解题关键．直接把代入函数关系式，进而求出答案，再利用函数图象得出不等式的解集． 【详解】解：直线与轴的交点为， ， ； 直线与轴交于， 关于的不等式的解集是， 故答案为：；． 14. 如图，A点为反比例函数图象上一点，过A点作轴，B为垂足，点P为x轴上任意一点，且的面积为2，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，可得，根据反比例函数k的几何意义，可求出k的值． 【详解】解：连接， 轴， 轴， ，即：， 或， 在第二象限， ． 故答案为：． 【点睛】考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数k的几何意义以及同底等高的三角形的面积相等，是解决问题的前提． 15. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝5．∠BCD的平分线交AD于点F，交BA的延长线于点E，则AE的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意可以求得CD和DF的长，从而可以得到AF的长，再根据平行线的性质可以得到∠AEF和∠DCF的关系，从而可以得到AE和AF的关系，进而得到AE的长． 【详解】解：在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝5， ∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝5，AD∥BC， ∴∠DFC＝∠FCB， ∵CE平分∠DCB， ∴∠DCF＝∠BCF， ∴∠DFC＝∠DCF， ∴DC＝DF＝2， ∴AF＝3， ∵AB∥CD， ∴∠E＝∠DCF， 又∵∠EFA＝∠DFC，∠DFC＝∠DCF， ∴∠AEF＝∠EFA， ∴AE＝AF＝3， 故答案为：3 【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 16. 如图，点是矩形的边上的点，连接，将矩形沿折叠，点的对应点恰好在边上． （1）写出图中与相等的角_____； （2）若，，则折痕的长为_____． 【答案】 ①. 和 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，解题关键在于熟练掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． （1）根据矩形的性质得，，由折叠的性质得，由四边形内角和为得，由平角的定义得，进而得到，由平行线的性质得，以此即可求解； （2）由折叠的性质得，，先根据勾股定理求出，则，设，则，在中，根据勾股定理列出方程求得，再根据勾股定理计算即可求解． 【详解】解：（1）四边形为矩形， ，， 由折叠可知，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：和； （2）四边形为矩形， ，，， 由折叠可知，，， 在中，由勾股定理得， ， 设，则， 在中，根据勾股定理， 即， 解得：， ， 在中，由勾股定理得． 故答案为：． 三．解答题（ 满分86分） 17. （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的加减运算及0指数与负整数指数幂的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）根据零指数幂及负指数幂的运算法则进行运算即可； （2）根据分式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）原式， ； （2）原式 18. 先化简：，然后从中选取一个你喜欢的整数作为a的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，无理数的大小估算等知识点，解题的关键是化简分式． 先计算除法，再计算减法，然后根据分式有意义条件和a取值范围选择符合题意的整数a的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ， 且， ∵，且a为整数，故a的值可以为， ∴当时，原式． 19. 小丽解分式方程时，出现了错误，她的解题过程如下： 解：去分母得：第一步； 解得：……第二步； ∴原分式方程的解是……第三步； （1）小丽解答过程从第 　 　步开始出错，正确结果是　 　，这一步的依据是　 　． （2）小丽解答过程缺少的步骤是　 　． （3）请写出正确的解题过程． 【答案】（1）一，，等式的基本性质 （2）检验 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等式的两边同乘，即可判断； （2）根据分式方程一定要验根，即可确定答案； （3）根据解分式方程正确的步骤求解即可． 【小问1详解】 解：小丽解答过程从第一步开始出错，正确结果是， 这一步的依据是等式的性质， 故答案为：一，，等式的基本性质； 【小问2详解】 小丽解答过程缺少的步骤是检验， 故答案为：检验； 【小问3详解】 ， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 原分式方程的解是． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 20. 如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b． （1）求点A′的坐标； （2）确定直线A′B对应的函数表达式． 【答案】（1）A′（2，0） （2）y＝﹣x+2 【解析】 【分析】（1）利用直线解析式求得点A坐标，利用关于y轴的对称点的坐标的特征解答即可； （2）利用待定系数法解答即可． 【小问1详解】 解：令y＝0，则x+1＝0， ∴x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）． ∵点A关于y轴的对称点为A′， ∴A′（2，0）． 【小问2详解】 解：设直线A′B的函数表达式为y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴直线A′B对应的函数表达式为y＝﹣x+2． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质、一次函数图象上点的坐标的特征、待定系数法确定函数的解析式、关于y轴的对称点的坐标的特征等知识，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 21. 如图，沿直线向右平移，得到，，． （1）求的度数； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质和平角的定义即可求解； （2）根据平移的性质和线段和差关系即可求解． 【小问1详解】 解：由平移知，， ∴． 【小问2详解】 解：由平移知，． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平移的性质，平角的定义，线段的和差关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 如图，画，，垂足分别为D，E． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 利用基本作图（过直线外一点作直线的垂线），分别过点作于于． 【详解】解：如图，、为所作． 23. 如图，已知． （1）利用尺规作图，在给出的图中作的延长线，使，在线段与点相异的一侧作，延长交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定． （1）根据题目要求及线段、角的尺规作法进行作图即可； （2）根据“”可证明． 【小问1详解】 解：如图所示， 延长，以点圆心，以为半径画弧交延长线于点； 以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，连接； 以点为圆心，以上述半径画弧交于点； 以点为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接并延长至点； 延长交于延长线于点； ∴即为所求； 【小问2详解】 证明：在和中， ， ∴． 24. 已知等边△ABC和射线AP，作AC边关于射线AP的对称线段AD，连接BD，CD． （1）如图1，当射线AP在∠BAC内部时， ①请依题意补全图形； ②若∠PAC＝15°，则∠BDC＝　 　度； ③若∠PAC＝x°，试求∠BDC的度数； （2）如图2，当射线AP在∠BAC外部的AC右侧时，设BD交AP于点E， ①∠BDC＝　 　度； ②线段AE，BE，DE之间有何数量关系？试说明理由． 【答案】（1）①见解析；②150°；③∠BDC的度数为150°；（2）①30°；②BD=2DE+AE，理由见解析 【解析】 【分析】（1）①依题意补全图形； ②③由等腰三角形的性质可求∠ADC、∠ADB的度数，即可求解； （2）①由等腰三角形的性质可求∠ADC、∠ADB的度数，即可求解； ②由“AAS”可证△CBG≌△DAE，可得AE=BG，即可求解． 【详解】（1）①解：如图，补全图形： ②解：如图，连接AD， 由对称可知，∠PAC=∠PAD=15°， ∵AD=AB=AC，∠BAD=60°-215°=30°， ∴∠ADC=，∠ADB=， ∴∠BDC=∠ADC+∠ADB=75°+75°=150°； 故答案为：150°； ③由对称可知，∠PAC=∠PAD=x°， ∵AD=AB=AC，∠BAD=60°-2x°， ∴∠ADC=，∠ADB=， ∴∠BDC=∠ADC+∠ADB=+=150°； ∠BDC的度数为150°； （2）解：①设∠PAC=， 由对称可知，∠CAP=∠DAP=α， ∵AD=AB=AC，∠BAD=60°+2α， ∴∠ADC==90°-α， ∠ADB==60°-α， ∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=90°-α-(60°-α)=30°， 故答案为：30°； ②BD=2DE+AE，理由如下： 如图，在BD上截取EG=EC， 由（2）①知：∠BDC=30°，∠ADB=∠ABD=60°-α， 由对称可知，∠EDC=∠ECD=30°，∠AED=90°+30°=120°， ∴∠BEC=∠EDC+∠ECD=60°， ∴△CGE是等边三角形， ∴∠BGC=∠AED=120°， ∵∠CBG=60°-∠ABD=60°-(60°-α)=α， ∵∠CBG=∠DAE=α， ∴△CBG≌△DAE（AAS）， ∴AE=BG， ∵EG=CE=DE， ∴BD=2DE+BG， 即BD=2DE+AE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$