2.7弧长及扇形的面积 讲义2024－2025学年苏科版数学九年级上册

2.7弧长及扇形的面积讲义-数学九年级上册 【易错考点】+【例题精讲】+【针对性训练】 ( 目录导航 ) 第一部分：易错考点 第二部分：例题精讲 第三部分：针对性训练 【第一部分】 ( 易错考点 ) 弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 【第二部分】 ( 例题精讲 ) 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E． （1）求证：BE＝CE； （2）若AB＝6，∠BAC＝54°，求劣弧的长． 【解答】（1）证明：如图，连接AE． ∵AB是圆O的直径， ∴∠AEB＝90°， 即AE⊥BC． 又∵AB＝AC， ∴AE是边BC上的中线， ∴BE＝CE； （2）解：∵AB＝6， ∴OA＝3． 又∵OA＝OD，∠BAC＝54°， ∴∠AOD＝180°﹣2×54°＝72°， ∴的长为：＝． 2．如图所示，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）若AB＝90cm，则圆心O到EF的距离是多少？说明你的理由． （2）若，求阴影部分的面积（结果保留π）． 【解答】解：（1）如图所示，连接OD， ∵D为的中点， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠CAD＝∠ADO， ∴OD∥AE， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥EF， ∴OD的长是圆心O到EF的距离， ∵AB＝90cm， ∴． （2）如图所示，过点O作OG⊥AD交AD于点G． ∵DA＝DF， ∴∠F＝∠BAD， 由（1）得∠CAD＝∠BAD， ∴∠F＝∠CAD， ∵∠F+∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠F＝∠BAD＝∠CAD＝30°， ∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，OF＝2OD， ∵在Rt△ODF中，OF2﹣OD2＝DF2， ∴，解得OD＝6， 在Rt△OAG中，OA＝OD＝6，∠OAG＝30°，， ∴， ∴． 【第三部分】 ( 针对性训练 ) 一．选择题（共8小题） 1．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，D为上一点，且AD＝4，，则图中的阴影部分面积为（　　） A．5π﹣10 B．5π﹣14 C．10π﹣20 D．10π﹣24 2．如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝110°，＝5π，＝7π，则的长度为（　　） A． B． C．7π D．8π 3．一个扇形的半径是3，扇形的圆心角120°，那么这个扇形面积是（　　） A．4π B．3π C．2π D．π 4．将一个半径为1的圆形纸片，如图连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝10，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为（　　） A．π B． C． D．2π 6．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，将绕着点A顺时针旋转一定的角度后得到 ，交AB于E点，若点D在⊙O上，AO＝5EO＝5，则阴影部分的面积为（　　） A．8 B．16 C．4+π D．6﹣π 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．π 8．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝2，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共7小题） 9．如图，小明在矩形ABCD中裁剪出扇形EOF，，O为BC中点，OE＝AB＝4，则扇形EOF的面积为 　 　． 10．某传送带的部分示意图如图所示，⊙O的半径为12cm，P是⊙O上的一点，当传送带上的物体向右移动10cm时，点P转动的度数为 　 　.（结果保留π） 11．如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧的中点，连接AC．若∠BAC＝30°，AB＝6，则弧FC的长为 　 　． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB'C'，则图中阴影部分的面积是　 　． 13．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝4，，以点A为圆心，AB长为半径作圆弧交AC于点D，交BC于点E，则阴影部分的面积为 　 　． 14．如图，菱形ABCD的边长为2，以C为圆心，BC为半径画弧至点D，恰好经过点A，再以A为圆心，AD为半径画弧至点B，恰好经过点C，求图中的阴影面积 　 　． 15．如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，线段AB长为半径画弧，交边AD于点E，再以顶点C为圆心，线段CB长为半径画弧，交边AD于点F，若AB＝4，AD＝8，则，和EF围成的阴影部分的面积是 　 　． 三．解答题（共7小题） 16．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，连结AC，AD． （1）求证：∠C＝∠BAD． （2）若∠C＝30°，OC＝3，求的长度． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E． （1）求证：BE＝CE； （2）若AB＝6，∠BAC＝54°，求劣弧的长． 18．如图，AB为⊙O的弦，CD为⊙O的直径，AB与CD相交于点E，连接AC，BC，BD，过点B作BF⊥AC于点F． （1）求证：∠ABF＝∠BCD； （2）当∠BCD＝∠ACD时，求证：AB⊥CD； （3）在（2）的条件下，若AB＝6，∠ABD＝22.5°，求图中阴影部分的面积． 19．（1）如图1，在锐角△ABC的外部找一点D，使△DBC的面积与△ABC的面积相等且点D在以AB为直径的圆上，请用尺规作图的方法确定点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中，若以AB为直径的圆上与AC、BC相交于点E、F，若AD＝2，且∠ACB＝75°，求弧AE的长 　 　． 20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径画半圆O，分别交BC，AC于点D，E． （1）求证：BD＝DE； （2）若∠ABC＝60°，AB＝2，求阴影部分弓形的面积． 21．如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O，⊙O交边BC于点D，延长CA交⊙O于点E，连接DE交AB于点F，且DE＝DC． （1）求证：BD＝CD； （2）若EF＝DF＝3，求图中阴影部分的面积． 22．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E． （1）求证：∠BCO＝∠D； （2）若，AE＝2，求阴影部分面积． 2.7弧长及扇形的面积讲义-数学九年级上册 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，D为上一点，且AD＝4，，则图中的阴影部分面积为（　　） A．5π﹣10 B．5π﹣14 C．10π﹣20 D．10π﹣24 【解答】解：取AD中点M，BD中点N，连接OM，ON，OD，AB，作AE⊥BD交BD延长线于点E， ∵OA＝OB＝OD， ∴OM⊥AD，ON⊥BD，OM平分∠AOD，ON平分∠BOD， ∴， ∴， 在四边形MOND中，∠MON＝360°﹣90°×2﹣45°＝135°， ∴∠ADE＝180°﹣135°＝45°， 在Rt△ADE中，AD＝4， ∴ ∴ 在Rt△ABE中， ， 在Rt△AOB中， ， ∴，， ∴图中的阴影部分面积为5π﹣10﹣4＝5π﹣14， 故选：B． 2．如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝110°，＝5π，＝7π，则的长度为（　　） A． B． C．7π D．8π 【解答】解：∵弧BAD＝5π，弧BCD＝7π， ∴圆的周长C＝5π+7π＝12π， ∵四边形ABCD内接于圆， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ABC＝110°， ∴∠ADC＝180°﹣110°＝70°， ∴∠ABC：∠ADC＝11：7， ∴弧ABC：弧ADC＝7：11， ∴， 故选：B． 3．一个扇形的半径是3，扇形的圆心角120°，那么这个扇形面积是（　　） A．4π B．3π C．2π D．π 【解答】解：由题意得：r＝3，n＝120， ∴这个扇形面积＝， 故选：B． 4．将一个半径为1的圆形纸片，如图连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意得虚线①所对的圆弧对的圆心角为45°，展开后得到的多边形为正八边形， 所以虚线①所对的圆弧长为＝， 展开后得到的多边形的内角和为180°×（8﹣2）＝1080°． 故选：C． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝10，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为（　　） A．π B． C． D．2π 【解答】解：连接CD，如图所示： ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝10， ∴∠A＝90°﹣30°＝60°，AC＝＝5， 由题意得：AC＝CD， ∴△ACD为等边三角形， ∴∠ACD＝60°， ∴的长为：＝π， 故选：C． 6．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，将绕着点A顺时针旋转一定的角度后得到 ，交AB于E点，若点D在⊙O上，AO＝5EO＝5，则阴影部分的面积为（　　） A．8 B．16 C．4+π D．6﹣π 【解答】解：如图，连接AC、BC、DC、ED，CD与AB交于点F， 根据旋转的性质，弧BC＝弧BD，BC＝BD，∠CAB＝∠BAD， 在等圆中，等角所对的弦相等，即ED＝BD， ∴S弓形BD＝S弓形ED， ∴S阴影＝S△BDE， ∵AO＝5EO＝5， ∴AB＝10，OE＝1，BE＝4， ∵∠ACB＝∠CFB＝90°，∠CBF＝∠ABC， ∴△BCF∽△BAC， ∴BC2＝AB•BF＝10×2＝20＝BD2， 在Rt△BDF中， DF＝＝＝4， ∴S阴影＝S△BDE＝×BE•DF＝＝8． 故选：A． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．π 【解答】解：连接OE，OD， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠AEC＝90°， ∵AB＝AC， ∴BE＝CE， 即点E是BC的中点， ∵点O是AC的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥AB， ∴S△AOD＝S△AED， ∴S阴影＝S扇形OAD， ∵∠AEC＝90°， ∴∠AEB＝90°， ∵∠BED＝45°， ∴∠AED＝45°， ∴∠AOD＝90°， ∴， ∴， 故选：A． 8．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝2，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图：连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝2， ∵∠B＝60°，E为BC的中点， ∴，△ABC是等边三角形，AB∥CD， ∵∠B＝60°， ∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°， 由勾股定理得：， ∴， ∴阴影部分的面积． 故选：A． 二．填空题（共7小题） 9．如图，小明在矩形ABCD中裁剪出扇形EOF，，O为BC中点，OE＝AB＝4，则扇形EOF的面积为 　4π　． 【解答】解：∵OE＝AB＝4， ∴BC＝AB＝4， ∵O为BC中点， ∴OB＝OC＝BC＝2， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠OBE＝90°， ∴cos∠BOE＝＝， ∴∠BOE＝45°， 同理，∠COF＝45°， ∴∠EOF＝180°﹣∠BOE﹣∠COF＝90°， ∴S扇形EOF＝×π•OE2＝4π． 故答案为：4π． 10．某传送带的部分示意图如图所示，⊙O的半径为12cm，P是⊙O上的一点，当传送带上的物体向右移动10cm时，点P转动的度数为 　　.（结果保留π） 【解答】解：令点P转动的度数为n°， 则， 解得n＝， 所以点P转动的度数为． 故答案为：． 11．如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧的中点，连接AC．若∠BAC＝30°，AB＝6，则弧FC的长为 　π　． 【解答】解：连接OF，OC， ∵C为劣弧BF的中点， ∴弧BC＝弧FC， ∴∠CAF＝∠BAC＝30°， ∴∠COF＝2∠CAF＝60°， ∵AB为⊙O的直径，AB＝6， ∴OC＝3， 弧FC的长＝， 故答案为：π． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB'C'，则图中阴影部分的面积是　π﹣　． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠CAB＝60°，AB＝2AC＝4，BC＝AC＝2， ∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB'C'， ∴AC'＝AC＝2，B′C′＝BC＝2，∠B'AB＝30°， ∴∠C'AD＝∠C'AB'﹣∠BAB'＝30°， 在Rt△AC'D中，∵∠C'AD＝30°， ∴C′D＝AC′＝， ∴B′D＝B′C′﹣DC′＝， ∴图中阴影部分的面积＝S扇形BAB′﹣S△ADB′ ＝﹣××2 ＝π﹣． 故答案为π﹣． 13．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝4，，以点A为圆心，AB长为半径作圆弧交AC于点D，交BC于点E，则阴影部分的面积为 　4+　． 【解答】解：连接AE， 在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝4，， ∴tan∠C＝＝， ∴∠C＝30°， ∴∠CBA＝60°， ∵AB＝AE， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠EAB＝60°， ∴∠DAE＝30°， ∴图中阴影部分面积＝S△ABE+S扇形DAE＝4×2+＝4+， 故答案为：4+． 14．如图，菱形ABCD的边长为2，以C为圆心，BC为半径画弧至点D，恰好经过点A，再以A为圆心，AD为半径画弧至点B，恰好经过点C，求图中的阴影面积 　　． 【解答】解：连接AC，BD，交于点O， ∵菱形ABCD的边长为2， ∴AB＝BC＝2，AC⊥BD， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC＝2，OA＝1，OB＝OD， ∴， ∴， ∴CD＝BC＝2，∠BAD＝120°， ∴图中阴影部分的面积为：， 故答案为：． 15．如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，线段AB长为半径画弧，交边AD于点E，再以顶点C为圆心，线段CB长为半径画弧，交边AD于点F，若AB＝4，AD＝8，则，和EF围成的阴影部分的面积是 　　． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝8， ∵∠BCF＝30°， ∴∠FCD＝60°， 在Rt△CFD中，＝tan∠FCD， ∴DF＝CD•tan∠FCD＝4tan60°＝4， ∴S阴影＝S扇形ABE﹣（S矩形ABCD﹣S扇形CBF﹣S△CDF）＝﹣（4×8﹣﹣×4×4）＝π+8﹣32， 故答案为：π+8﹣32． 三．解答题（共7小题） 16．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，连结AC，AD． （1）求证：∠C＝∠BAD． （2）若∠C＝30°，OC＝3，求的长度． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，CD是直径， ∴＝， ∴∠ACD＝∠BAD； （2）解：如图，连接OA，OB，BC． ∵CD⊥AB，CD是直径， ∴＝， ∴CA＝CB， ∴∠ACD＝∠BCD＝30°， ∴∠ACB＝60°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝120°， ∴的长＝＝2π． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E． （1）求证：BE＝CE； （2）若AB＝6，∠BAC＝54°，求劣弧的长． 【解答】（1）证明：如图，连接AE． ∵AB是圆O的直径， ∴∠AEB＝90°， 即AE⊥BC． 又∵AB＝AC， ∴AE是边BC上的中线， ∴BE＝CE； （2）解：∵AB＝6， ∴OA＝3． 又∵OA＝OD，∠BAC＝54°， ∴∠AOD＝180°﹣2×54°＝72°， ∴的长为：＝． 18．如图，AB为⊙O的弦，CD为⊙O的直径，AB与CD相交于点E，连接AC，BC，BD，过点B作BF⊥AC于点F． （1）求证：∠ABF＝∠BCD； （2）当∠BCD＝∠ACD时，求证：AB⊥CD； （3）在（2）的条件下，若AB＝6，∠ABD＝22.5°，求图中阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：∵CD为⊙O的直径， ∴∠CBD＝∠CBF+∠DBF＝90°， ∵BF⊥AC， ∴∠BFC＝90°， ∴∠CBF+∠BCF＝90°， ∴∠BCF＝∠DBF， 即∠BCD+∠ACD＝∠ABF+∠ABD， ∵∠ABD＝∠ACD， ∴∠ABF＝∠BCD； （2）证明：∵∠BCD＝∠ACD， ∴＝， ∵CD为⊙O的直径， ∴AB⊥CD； （3）解：如图，连接OB， 由（2）知，＝，∠ABD＝22.5°， ∴∠BOD＝2∠ABD＝45°， ∵CD⊥AB，AB＝6， ∴BE＝AB＝3，∠EBO＝90°﹣45°＝45°＝∠BOD， ∴OE＝BE＝3， ∴OB＝BE＝3， ∴图中阴影部分的面积＝S扇形OBD﹣S△OBE＝﹣×3×3＝﹣． 19．（1）如图1，在锐角△ABC的外部找一点D，使△DBC的面积与△ABC的面积相等且点D在以AB为直径的圆上，请用尺规作图的方法确定点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中，若以AB为直径的圆上与AC、BC相交于点E、F，若AD＝2，且∠ACB＝75°，求弧AE的长 　π　． 【解答】解：（1）如图1，点D为所作； （2）连接OD，如图2， ∵AD＝2，OA＝OB＝AB＝， ∴OA2+OB2＝AD2， ∴△OAD为等腰直角三角形， ∴∠OAD＝45°， 由（1）作法得∠ABC＝∠OAD＝45°， ∵∠ACB＝75°， ∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°， ∵OA＝OE， ∴△OAE为等边三角形， ∴∠AOE＝60°， ∴弧AE的长度＝＝π． 故答案为：π． 20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径画半圆O，分别交BC，AC于点D，E． （1）求证：BD＝DE； （2）若∠ABC＝60°，AB＝2，求阴影部分弓形的面积． 【解答】解：（1）如图，连接AD， ∵以腰AB为直径画半圆O， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC， 又∵△ABC为等腰三角形， ∴BD＝CD，∠ABC＝∠ACB， ∵A、B、D、E四点共圆， ∴∠DEC＝∠ABC， ∴∠DEC＝∠ACB， ∴CD＝DE， ∴BD＝DE； （2）如图，连接OE，过点O作OF⊥AC于点F， ∵AB＝2， ∴OA＝OB＝1， ∵AB＝AC，∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， 又∵OA＝OE， ∴△AOE为等边三角形， ∴∠AOE＝60°，OA＝AE＝1，OF＝， ∴S阴影＝S扇形AOE﹣S△AOE＝﹣＝． 21．如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O，⊙O交边BC于点D，延长CA交⊙O于点E，连接DE交AB于点F，且DE＝DC． （1）求证：BD＝CD； （2）若EF＝DF＝3，求图中阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：如图1，连接AD， ∵DE＝DC， ∴∠C＝∠E， ∵∠B＝∠E， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC， ∴BD＝DC． （2）解：如图2，连接OD，AD，则OD＝OA， ∵AB是⊙O的直径，且EF＝FD＝3． ∴AB⊥DE， ∴∠OFD＝90°， 由（2）得△AEF∽△ODF， ∴＝＝1， ∴OF＝AF＝OA＝OD， ∴DE垂直平分OA， ∴AD＝OA＝OD， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠AOD＝60°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°， ∵FD＝＝＝OD＝3， ∴OB＝OD＝2， ∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD＝﹣×2×3＝4π﹣3， ∴阴影部分的面积是4π﹣3． 22．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E． （1）求证：∠BCO＝∠D； （2）若，AE＝2，求阴影部分面积． 【解答】（1）证明：∵OC＝OB， ∴∠BCO＝∠B， ∵∠B＝∠D， ∴∠BCO＝∠D； （2）解：∵AB 是⊙O的直径，CD⊥AB于点E， ∴， ∵， ∴， 在Rt△OCE 中，OC2＝CE2+OE2， ∴， 解得：r＝4（负数舍去）， ∴OC＝OA＝4， ∴OE＝4﹣2＝2， ∴tan， ∴∠AOC＝60°， ∴S阴影＝S扇形AOC﹣S△COE＝﹣＝π﹣2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$