精品解析：北师大版2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

期中学情调研八年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下面是一些体育项目的图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形定义，根据中心对称图形的定义，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形来判断即可． 【详解】解：根据中心对称图形的定义可知： A：中心对称图形，符合题意； B：不是中心对称图形，不符合题意； C：不是中心对称图形，不符合题意； D：不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A 2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式和不等式组的解集：按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：解不等式得：， 数轴表示如下所示： 故选：D． 3. 如图，在中，，平分，由已知可直接推得的依据是（ ） A. 等角对等边 B. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 C. 角平分线上的任一点到角两边的距离相等 D. 等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，根据等腰三角形底边上的高，角平分线和中线三线重合即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，平分， ∴由三线合一定理可知， 故选：D． 4. 在中，的对边分别是a，b，c，下列对的判断错误的是（ ） A. 若，则是直角三角形 B. 若，则是等边三角形 C. 若，则 D. 若 则是等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理逆定理，等边三角形的判定，根据三角形内角和定理可求出，据此可判断A；根据等边三角形的判定定理即可判断B；根据勾股定理的逆定理即可判断C、D． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故A正确，不符合题意； B、∵， ∴是等边三角形，故B正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴，故C错误，符合题意； D、设， ∴， ∴是等腰直角三角形，故D正确，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，在中，，点C是延长线上一点，，并与交于点P，现欲添加一条件，使，下列条件不能满足的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，根据角平分线的性质可判断A；根据全等三角形的性质与判定条件可判断B、C，添加条件，无法得到，可判断D． 【详解】解：添加条件，结合条件，可以由角平分线的性质得到，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明得到，故B不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明得到，故C不符合题意； 添加条件，无法得到，故D符合题意； 故选：D． 6. 已知，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、∵， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴，故B不符合题意； C、∵当， 时，，， 故C不一定成立，符合题意． 故C不符合题意； D、∵， ∴， 故D不符合题意； 故选：C． 7. 如图，编号为①至④的四个四边形中，不能由四边形 经过平移或旋转得到的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的平移和旋转，平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，旋转只改变位置，方向，但是不改变大小和形状，据此求解即可． 【详解】解：∵平移只改变位置，不改变大小，方向和形状， ∴图①可以由四边形 经过平移得到， ∵旋转只改变位置，方向，但是不改变大小和形状， ∴图③和图④可以由四边形 经过旋转得到， 而图②不能由四边形 经过平移或旋转得到， 故选：B． 8. 如图，在四边形中，，点M 是上一点，且满足，，若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质和勾股定理． 过点M作交于点N，得到，则，，得到，用勾股定理即可求出答案. 【详解】解：过点M作交于点N，  ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ 故选：C 9. 如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过点(2，0)与(0，3)，则关于x的不等式kx＋b＞0的解集是(　　) A. x＜2 B. x＞2 C. x＜3 D. x＞3 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用图象可找到图象在x轴上方时x＜2，进而得到关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2． 【详解】解：由题意可得：一次函数y=kx+b中，y＞0时，图象在x轴上方，x＜2， 则关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2， 故选A． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系． 10. 已知四边形四个顶点的坐标分别为，，，，李轩把四边形 平移后得到了四边形 ，它的四个顶点的坐标分别为，，，，数学老师看后发现只有一个顶点的坐标写错了，则李轩写错的顶点为（ ） A. 点E B. 点F C. 点G D. 点 H 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，解题的关键是找到三个坐标变化一致的点，从而判断出平移方式． 根据坐标发现据A，B，D三点平移前后坐标变化一致，继而判断结果． 【详解】解：根据A，B，D三点平移前后的坐标可知： 图形先向右平移1个单位，再向下平移1个单位， 则点C平移后的对应点为，即， ∴错误的坐标为G， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某游乐园“西部战车”项目的游客须知规定： 以下谢绝乘坐，（包括150）的儿童须有成人陪同．按上述规定，一位游客可以单独乘坐“西部战车”，则该游客的身高需满足的条件为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意可知，只有身高在以上的游客才能单独乘坐“西部战车”，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 12. 如图，点A，B，C 分别是三个村庄，，， 是连接村与村之间的公路，，，现欲规划在村庄 B 和村庄 C之间的公路上建一个加油站P，使加油站到， 两条公路的距离相等，则该加油站到公路 的距离为_______ km． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线性质，根据加油站到， 两条公路的距离相等，得出点P在的角平分线上，据此作出点P，再利用勾股定理求出，由面积法求出的高即可得答案． 【详解】解：作的角平分线交于P，作，， ∴， ∵， ，平分， ∴，， ∴， ∴，即：， ∴，即该加油站到公路 的距离为． 故答案为： 13. 《国家学生体质健康标准》规定：体重指数 一个学生正常的体重指数为，则身高2米的小逸的体重m（千克）满足_______才算合格． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意可得，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 14. 如图，在中，，将沿着射线向上平移得到，边与边交于点G，若 则四边形的周长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先求出，再由平移的性质可得，，则由含30度角的直角三角形的性质得到，再由勾股定理得到，则，据此求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由平移的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 15. 如图，是一个含角的三角板，，，将三角板绕着点 C 顺时针旋转 后，点A与点 D对应，点 B与点E 对应，当边与原三角板的一边平行时，则点A 与点 E 的距离为_______． 【答案】或5 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质及矩形的判定与性质等，解题关键是能够根据题意画出图形，再利用相关性质解题．据题意画出图形，分将三角板绕着点 C 顺时针旋转 及两种情况讨论，进行求解即可． 【详解】解：中，，， ， 由旋转性质可得：， 如图所示， 将三角板绕着点 C 顺时针旋转 后，， 此时； 如图所示， 将三角板绕着点 C 顺时针旋转 后，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 故答案为：或5． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解下列不等式（组），并把它们的解集分别表示在数轴上： （1）； （2） 【答案】（1），见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式和不等式组的解集： （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 小问1详解】 解； 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： 【小问2详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 17. 如图，在中，，， 的垂直平分线分别交边，于点、． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】此题考查线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，求得，由30度直角三角形的性质即可证明结论． （2）根据（1）可得，进而由勾股定理求出，再由三角形面积公式计算面积即可． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ， ， ∴ 线段的垂直平分线分别交、于点、， ， ， ， ， ， 【小问2详解】 解：∵， ∴， ， ∴ ∴的面积为 18. 随着智能产品的走红，某销售公司新进一批网红智能家电，售价为2000元/件，设这批智能家电的销售成本和销售额分别为（单位：万元），其中销售成本与销量 x（件）的关系如图所示． （1）直接写出销售成本，销售额与销量x之间的关系式 ； ； （2）请用图象法求当销量为多少件时，该公司会盈利（销售额大于销售成本）． 【答案】（1）；； （2）当销量大于20件时，该公司会盈利． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）利用待定系数法求解即可； （2）联立两解析式，求出交点坐标，再根据函数图象找到销售额的函数图象在销售成本的函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：设， 把代入中得：， ∴， ∴； 由题意得，， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：联立，解得， ∴由函数图象可知，当销量大于20件时，该公司会盈利． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请在图中画出将向下平移6 个单位长度得到的； （2）请在图中画出和关于原点成中心对称的； （3）如图，是绕着点 P 顺时针旋转得到的，请直接写出点 P 的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，旋转和中心对称： （1）根据所给平移方式得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可； （2）根据关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可； （3）根据旋转中心为对应点连线的中垂线的交点进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，点即为所求． 20. 在实数范围内规定新运算“※”，其运算规则为：． （1）求不等式的解集； （2）已知不等式组的解集为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算和解一元一次不等式，解一元一次不等式组： （1）根据新定义可得，解不等式即可； （2）根据新定义得到，分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集求出a、b的值，最后代值计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴． 21. 如图1，是李倩同学过直线外一点A 作直线l的垂线的尺规作图过程，步骤如下： 第一步：以直线上任一点 为圆心，线段的长为半径画弧； 第二步：以直线上异于点B 的任一点C为圆心，线段 的长为半径画弧，两弧交于点A，点 D； 第三步：连接，则． （1）连接 ， 后，李倩同学做的第一步和第二步的目的是使 ， ，从而得到点 B，C 在线段的垂直平分线上，得到上述结论的依据是 ； （2）如图2，已知，请按照李倩的作法用圆规和无刻度的直尺作出DE 边上的高． 【答案】（1）；；到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． （2）见解析. 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质定理的逆定理， （1）根据作法和到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可得出答案； （2）模仿题干的作法即可按要求作图. 【小问1详解】 解：根据作法可知：，，从而得到点 B，C 在线段的垂直平分线上，得到上述结论的依据是线段的垂直平分线的性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【小问2详解】 如图：即所求作高； 22. 某熟食加工厂为扩大生产经营，计划新进8台真空包装机，现有甲、乙两种机器可供选择，每种机器的价格和包装速度信息如下表，公司为本次采购准备的预算资金共万元． 甲 乙 价格 元/台 元/台 包装速度 480包/时 720包/时 （1）在不超过公司预算资金的条件下，求该公司共有几种购进方案可供选择； （2）若考虑到在春节前期，公司的订单会迅猛增加，为满足客户需求，每台机器每天可连续工作10个小时，要求每天的包装量不低于2400箱（每箱装17包），问：公司应该如何购买这两种机器，才能既满足公司要求，又最节约资金？ 【答案】（1）四种，详见解析； （2）7台甲种机器，1台乙种机器． 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用．正确的列出不等式，是解题的关键． （1）设购进甲种机器台，则购进乙种机器台，根据本次购买机器所用资金不能超过万元，列出不等式，求出非负整数解即可； （2）根据该公司购进的8台机器的日生产量不能低于箱（每箱17包），列出不等式，结合（1）中结果，求出的取值范围，确定方案，再求出每种方案花费的费用，进行判断即可． 【小问1详解】 解：设购进甲种机器台，则购进乙种机器台，由题意，得： ， 解得：， ∴不等式的非负整数解为：5，6，7，8； ∴共有4种方案： 方案一：购进5台甲种机器，3台乙种机器； 方案二：购进6台甲种机器，2台乙种机器； 方案三：购进7台甲种机器，1台乙种机器； 方案四：购进8台甲种机器. 【小问2详解】 解：由题意，得：， 解得：， ∴有3种方案可以选择： 方案一：购进5台甲种机器，3台乙种机器，所需费用为：（元）； 方案二：购进6台甲种机器，2台乙种机器，所需费用为：（元）； 方案三：购进7台甲种机器，1台乙种机器，所需费用为：（元）； ∵， ∴应购进7台甲种机器，1台乙种机器．能既满足公司要求，又最节约资金． 23. 发现、提出问题：通过学习，我们知道直角三角形的边之间、角之间乃至边和角之间分别都有相应的等量关系，比如“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”就是由角带来的边之间的关系，爱思考的李林同学提出疑问：如果在一个直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是吗？ 分析、解决问题： （1）李林首先将上述问题的条件和结论结合图形写出已知和求证：如图1，在中，，求证：．并想构造等边三角形，利用与的关系进行证明，于是他延长到点 D，使，并连接（如图2），然后……请你帮助李林同学完成证明过程． 拓展应用： （2）如图3所示，李林先将正方形纸片对折，使 与重合，折痕为，再把纸片展平，然后再沿过点B 的直线折叠，使点A落在上的点 F处，把纸片展平，连接并延长，交边于点 G，连接，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正方形与折叠问题： （1）先证明，得到，，则可证明是等边三角形，得到，则； （2）由折叠的性质可得，，则，由（1）的结论可知，进而得到，由正方形的性质得到，，证明，即可得到． 【详解】解；（1）延长到点 D，使，并连接（如图2）， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴一个直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是； （2）由折叠的性质可得，， ∴， ∴由（1）的结论可知， ∴， 由正方形的性质可得，， ∴，， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中学情调研八年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下面是一些体育项目的图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，平分，由已知可直接推得的依据是（ ） A. 等角对等边 B. 线段垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等 C. 角平分线上的任一点到角两边的距离相等 D. 等腰三角形“三线合一” 4. 在中，的对边分别是a，b，c，下列对的判断错误的是（ ） A. 若，则是直角三角形 B. 若，则是等边三角形 C. 若，则 D. 若 则是等腰直角三角形 5. 如图，在中，，点C是延长线上一点，，并与交于点P，现欲添加一条件，使，下列条件不能满足的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，编号为①至④的四个四边形中，不能由四边形 经过平移或旋转得到的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 8. 如图，在四边形中，，点M 是上一点，且满足，，若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6 9. 如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过点(2，0)与(0，3)，则关于x的不等式kx＋b＞0的解集是(　　) A. x＜2 B. x＞2 C. x＜3 D. x＞3 10. 已知四边形四个顶点的坐标分别为，，，，李轩把四边形 平移后得到了四边形 ，它的四个顶点的坐标分别为，，，，数学老师看后发现只有一个顶点的坐标写错了，则李轩写错的顶点为（ ） A. 点E B. 点F C. 点G D. 点 H 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某游乐园“西部战车”项目的游客须知规定： 以下谢绝乘坐，（包括150）的儿童须有成人陪同．按上述规定，一位游客可以单独乘坐“西部战车”，则该游客的身高需满足的条件为_______． 12. 如图，点A，B，C 分别是三个村庄，，， 是连接村与村之间公路，，，现欲规划在村庄 B 和村庄 C之间的公路上建一个加油站P，使加油站到， 两条公路的距离相等，则该加油站到公路 的距离为_______ km． 13. 《国家学生体质健康标准》规定：体重指数 一个学生正常的体重指数为，则身高2米的小逸的体重m（千克）满足_______才算合格． 14. 如图，在中，，将沿着射线向上平移得到，边与边交于点G，若 则四边形的周长为______． 15. 如图，是一个含角的三角板，，，将三角板绕着点 C 顺时针旋转 后，点A与点 D对应，点 B与点E 对应，当边与原三角板的一边平行时，则点A 与点 E 的距离为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解下列不等式（组），并把它们的解集分别表示在数轴上： （1）； （2） 17. 如图，在中，，， 的垂直平分线分别交边，于点、． （1）求证：； （2）若，求的面积． 18. 随着智能产品的走红，某销售公司新进一批网红智能家电，售价为2000元/件，设这批智能家电的销售成本和销售额分别为（单位：万元），其中销售成本与销量 x（件）的关系如图所示． （1）直接写出销售成本，销售额与销量x之间的关系式 ； ； （2）请用图象法求当销量为多少件时，该公司会盈利（销售额大于销售成本）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请在图中画出将向下平移6 个单位长度得到的； （2）请在图中画出和关于原点成中心对称的； （3）如图，是绕着点 P 顺时针旋转得到的，请直接写出点 P 的坐标． 20. 在实数范围内规定新运算“※”，其运算规则为：． （1）求不等式解集； （2）已知不等式组的解集为，求的值． 21. 如图1，是李倩同学过直线外一点A 作直线l的垂线的尺规作图过程，步骤如下： 第一步：以直线上任一点 为圆心，线段的长为半径画弧； 第二步：以直线上异于点B 的任一点C为圆心，线段 的长为半径画弧，两弧交于点A，点 D； 第三步：连接，则． （1）连接 ， 后，李倩同学做的第一步和第二步的目的是使 ， ，从而得到点 B，C 在线段的垂直平分线上，得到上述结论的依据是 ； （2）如图2，已知，请按照李倩作法用圆规和无刻度的直尺作出DE 边上的高． 22. 某熟食加工厂为扩大生产经营，计划新进8台真空包装机，现有甲、乙两种机器可供选择，每种机器的价格和包装速度信息如下表，公司为本次采购准备的预算资金共万元． 甲 乙 价格 元/台 元/台 包装速度 480包/时 720包/时 （1）在不超过公司预算资金的条件下，求该公司共有几种购进方案可供选择； （2）若考虑到在春节前期，公司的订单会迅猛增加，为满足客户需求，每台机器每天可连续工作10个小时，要求每天的包装量不低于2400箱（每箱装17包），问：公司应该如何购买这两种机器，才能既满足公司要求，又最节约资金？ 23. 发现、提出问题：通过学习，我们知道直角三角形的边之间、角之间乃至边和角之间分别都有相应的等量关系，比如“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”就是由角带来的边之间的关系，爱思考的李林同学提出疑问：如果在一个直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是吗？ 分析、解决问题： （1）李林首先将上述问题的条件和结论结合图形写出已知和求证：如图1，在中，，求证：．并想构造等边三角形，利用与的关系进行证明，于是他延长到点 D，使，并连接（如图2），然后……请你帮助李林同学完成证明过程． 拓展应用： （2）如图3所示，李林先将正方形纸片对折，使 与重合，折痕为，再把纸片展平，然后再沿过点B 的直线折叠，使点A落在上的点 F处，把纸片展平，连接并延长，交边于点 G，连接，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$