精品解析：北师大版2023-2024学年八年级数学下册期末冲刺测试卷(一)

期末冲刺测试卷（一） 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，1—6小题，每小题2分；7—12小题，每小题3分，共30分） 1. 若x＞y，则下列式子错误是（　　） A. x+1＞y+1 B. C. ﹣2x＜﹣2y D. 1﹣x＞1﹣y 2. 正六边形的每个内角度数是每个外角度数的（ ） A 2倍 B. 2.5倍 C. 3倍 D. 4倍 3. 计算 的结果为（ ） A. B. C. D. 2 4. 如图，将绕着点顺时针旋转70°，得到，若，则的度数为（ ） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 5. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形ABCD为平行四边形，作∠BAD的平分线，交DC边于点E，若∠DEA=30°，则∠B的度数为（ ） A. 100° B. 120° C. 135° D. 150° 7. 若是关于的方程的解，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的分式方程有增根，则的值为（　　） A. B. C. ﹣1 D. ﹣3 9. 如图，D､E分别为中､边上的中点，点F在上，且，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 10. 如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AGBC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当t＝（　　）s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形． A. 1或2 B. 2 C. 2或3 D. 2或4 11. 在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=2∠B=3∠C，④中，能确定△ABC是直角三角形的条件有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 把一些笔分给几名学生，如果每人分支，那么余支；如果前面的学生每人分支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于支，则共有学生（ ） A. 人 B. 人 C. 或人 D. 人 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 已知时，分式无意义，时，此分式的值为0， __________． 14. 如图，直线，的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若是等边三角形，，则_________． 15. “全民健身共筑健康中国”，王老师每天晚饭后会到体育馆健康步道上慢走，他的路线图如图所示，从P点出发向东直走，右转一定的角度，再沿直线走，又向右转动相同的角度，如此反复，若王老师共走了后回到了P点，则他每次右转的度数为____________． 16. 如图，在中，平分，于点E，且，，，则的面积是______． 17. 随着市民环保意识的日渐增强，文明、绿色的环保祭扫方式（鲜花祭奠、网络祭奠等）正成为一种趋势，清明节期间，我区某花店用4000元购买了若干花束，很快就售完了，接着又用4500元购买了第二批花束．已知第二次购买的花束的数量是第一批所购花束的数量的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少5元．若设第一批所购花束的数量为束，则可列方程为__________． 18. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为______________平方单位． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 19. 先化简，再求值：，其中实数x、y满足． 20. 在计算 的值时，大家可以利用裂项的思想方法，即 请你利用裂项的思路解决下列问题． （1）化简： （2）解分式方程： 21. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD． （1）直接写出点C，D坐标，求出四边形ABDC的面积； （2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，BD=CE． （1）求证：点D在BE垂直平分线上； （2）若∠ABE=25°，求∠BEC的度数． 23. 某商店计划今年的圣诞节购进A、B两种纪念品若干件．若花费480元购进的A种纪念品的数量是花费480元购进B种纪念品的数量的，已知每件A种纪念品比每件B种纪念品多4元． （1）求购买一件A种纪念品、一件B种纪念品各需多少元？ （2）若商店一次性购买A、B纪念品共200件，要使总费用不超过3000元，最少要购买多少件B种纪念品？ 24. 如图，在△ABC中，D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，，点F在边AB上，EF//BC．求证： （1）四边形BDEF是平行四边形； （2）． 25. 随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车，计划购买A型和B型新能源公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需280万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需260万元， （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆车的年均载客量分别为60万人次和80万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过900万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于670万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 26. 在活动课上我们曾经探究过三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，五边形内角和等于540°，，…，请同学们仔细读题，看图，解决下面的问题： （1）如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，则∠AOB+∠COD＝　 　（直接写出结果）． （2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线． ①如图②，如果∠AOB＝110°，那么∠COD的度数为　 　（直接写出结果）． ②如图③，若∠AOD＝∠BOC，AB与CD平行吗？请写出理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末冲刺测试卷（一） 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，1—6小题，每小题2分；7—12小题，每小题3分，共30分） 1. 若x＞y，则下列式子错误的是（　　） A. x+1＞y+1 B. C. ﹣2x＜﹣2y D. 1﹣x＞1﹣y 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在不等式x＞y的两边同时加上1，不等式仍成立，即x+1＞y+1，故本选项不符合题意； B、在不等式x＞y的两边同时除以3，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意； C、在不等式x＞y的两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，即﹣2x＜﹣2y，故本选项不符合题意； D、在不等式x＞y的两边同时乘以﹣1，再加上1，不等号方向改变，即1﹣x＜1﹣y，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是不等式的变形，掌握不等式的基本性质是解题关键． 2. 正六边形的每个内角度数是每个外角度数的（ ） A. 2倍 B. 2.5倍 C. 3倍 D. 4倍 【答案】A 【解析】 【分析】先根据多边形内角和公式求出正六边形的每个内角度数，再根据相邻的内角和外角互补可得每个外角的度数，进而即可求解. 【详解】解：根据多边形内角和公式可得：正六边形每个内角的度数为即120°， ∴每个外角的度数为180°－120°＝60°， ∴120°＝2×60° 故正六边形的每个内角度数是每个外角度数的2倍 故选：A. 【点睛】本题主要考查多边形内角和与外角和的问题，解题的关键是掌握正多边形内角和公式. 3. 计算 的结果为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含乘方的有理数运算，提取公因式，化简计算即可． 【详解】解：原式 故选：B． 4. 如图，将绕着点顺时针旋转70°，得到，若，则的度数为（ ） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得∠BOD=70°，再根据角的和差计算即可． 【详解】解：∵将绕着点顺时针旋转70°，得到， ∴∠BOD=70°， ∵， ∴∠BOC=∠BOD－∠COD=70°－40°=30°． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质和角的和差计算，属于基本题目，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 5. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐项计算即可判断求解，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、原变形错误，该项不符合题意； 、原变形错误，该选项不符合题意； 、原变形错误，该选项不符合题意； 、原式 原变形正确，该选项符合题意； 故选：． 6. 如图，四边形ABCD为平行四边形，作∠BAD的平分线，交DC边于点E，若∠DEA=30°，则∠B的度数为（ ） A. 100° B. 120° C. 135° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形和平行线的性质得∠BAD+∠B=180°，∠BAE=∠DEA=30°，求出∠BAD=2∠BAE=60°，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ADBC，ABCD， ∴∠BAD+∠B=180°，∠BAE=∠DEA=30°， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠BAD=2∠BAE=60°， ∴∠B=180°-60°=120°； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 7. 若是关于的方程的解，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将x=4代入方程，求出b=-4k＞0，求出k＜0，把b=-4k代入不等式，再求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵x=4是关于x的方程kx+b=0（k≠0，b＞0）的解， ∴4k+b=0， 即b=-4k＞0， ∴k＜0， ∵k（x-3）+2b＞0， ∴kx-3k-8k＞0， ∴kx＞11k， ∴x＜11， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一元一次方程的解，能求出b=-4k和k＜0是解此题的关键． 8. 关于x的分式方程有增根，则的值为（　　） A. B. C. ﹣1 D. ﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程求出m的值，进一步即可求得代数式的值． 【详解】解：去分母得：m＋3＝x−2， 由分式方程有增根，得到x−2＝0，即x＝2， 代入整式方程得：m＝−3， ∴， 故选：A 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 9. 如图，D､E分别为中､边上的中点，点F在上，且，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理得到DE= BC，由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得到DF=AB．所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可． 【详解】解：∵D､E分别为△ABC中AB､AC边上的中点 ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE=BC=4． ∵∠AFB=90°，D是AB的中点， ∴DF=AB=， ∴EF=DE-DF= 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中． 10. 如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AGBC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当t＝（　　）s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形． A. 1或2 B. 2 C. 2或3 D. 2或4 【答案】D 【解析】 【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝3tcm， 则CF＝BC﹣BF＝（8﹣3t）cm， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t＝8﹣3t， 解得：t＝2； 当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝3tcm， 则CF＝BF﹣BC＝（3t﹣8）cm， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t＝3t﹣8， 解得：t＝4； 综上可得：当t＝2或4s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形， 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，几何动态问题，掌握数学分类思想，平行四边形的性质解决问题是解题的关键． 11. 在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=2∠B=3∠C，④中，能确定△ABC是直角三角形的条件有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据有一个角是直角的三角形是直角三角形进行逐一判断即可． 【详解】解：①∠A+∠B=∠C，又由∠A+∠B+∠C=180°，得到∠C=90°，所以△ABC是直角三角形； ②∠A：∠B：∠C=1：2：3，根据∠A+∠B+∠C=180°，可得到∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，所以△ABC是直角三角形； ③∠A=2∠B=3∠C，即∠B=∠A，∠C=∠A，所以∠A+∠A+∠A=180°，得到∠A=，由于∠A为最大角，所以△ABC不是直角三角形； ④，即，，得到，所以，所以△ABC是直角三角形； 正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的定义，找到△ABC中是否有直角是解题的关键． 12. 把一些笔分给几名学生，如果每人分支，那么余支；如果前面的学生每人分支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于支，则共有学生（ ） A. 人 B. 人 C. 或人 D. 人 【答案】C 【解析】 【分析】根据每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，得出5x+7≥6（x-1），且6（x-1）+3＞5x+7，分别求出即可． 【详解】解：假设共有学生x人，根据题意得出：， 解得：10＜x≤13． 因为x是正整数，所以符合条件的x的值是11或12． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意找出不等关系得出不等式组是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 已知时，分式无意义，时，此分式的值为0， __________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据分式无意义和分式的值为零的条件得出a和b的值，代入a+b即可 【详解】解：因为x=﹣3时，分式无意义， 所以﹣3＋a=0，所以a=3， 又因为x=﹣4时，此分式的值为0， 所以﹣4＋b=0，所以b=4， 所以a＋b=3+4=7． 故答案为7 【点睛】本题考查分式有意义的条件和分式为0的条件，解题的关键是掌握分式分母的值为0时分式无意义，要使分式的值为0，必须使分式分子的值为0并且分母的值不为0． 14. 如图，直线，的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若是等边三角形，，则_________． 【答案】36 【解析】 【分析】根据题意易得∠B=∠DCB=60°，由三角形内角和可求出∠ACB=96°，进而根据平行线的性质可求解． 【详解】解：∵△BCD是等边三角形， ∴∠B=∠DCB=60°， ∵， ∴∠ACB=180°-∠B-∠A=96°， ∴∠ACD=36°， ∵， ∴∠1=∠ACD=36°； 故答案为36． 【点睛】本题主要考查三角形内角和、平行线的性质及等边三角形的性质，熟练掌握三角形内角和、平行线的性质及等边三角形的性质是解题的关键． 15. “全民健身共筑健康中国”，王老师每天晚饭后会到体育馆的健康步道上慢走，他的路线图如图所示，从P点出发向东直走，右转一定的角度，再沿直线走，又向右转动相同的角度，如此反复，若王老师共走了后回到了P点，则他每次右转的度数为____________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和外角，求解多边形的边数是解题的关键． 根据题意先求解多边形的边数，再根据多边形的外角和多了可求解． 【详解】解：王老师走了1080米后可形成的多边形的边数为： ， ． 故答案：． 16. 如图，在中，平分，于点E，且，，，则的面积是______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式；过点作于，根据角平分线的性质得，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点作于，如图， ∵平分, ， 故答案为：18． 17. 随着市民环保意识的日渐增强，文明、绿色的环保祭扫方式（鲜花祭奠、网络祭奠等）正成为一种趋势，清明节期间，我区某花店用4000元购买了若干花束，很快就售完了，接着又用4500元购买了第二批花束．已知第二次购买的花束的数量是第一批所购花束的数量的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少5元．若设第一批所购花束的数量为束，则可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设第一批购买花x束，则第一批的进价是：，第二批的进价是：，再根据等量关系：每束花的进价比第一批的进价少5元可得方程． 【详解】设第一批购买花x束．由题意，得 ， 故答案为： 【点睛】本题考查了列分式方程，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 18. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为______________平方单位． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平行四边形对边平行可得AB∥CD，再利用两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠ECG，根据线段中点的定义可得BE＝CE，然后利用“角边角”证明△BEF和△CEG全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝CG，再解直角三角形求出EF、BF，求出DG，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，延长DC和FE交于点G， 在平行四边形ABCD中，AB∥CD， ∴∠B＝∠ECG， ∵E为BC的中点， 在△BEF和△CEG中， ∴△BEF≌△CEG（ASA）， ∴BF＝CG， ∵∠B＝60°， ∴∠FEB＝30°， ∴BF＝BE＝1， ∴EF＝， ∵CG＝BF＝1，CD＝AB＝3， ∴DG＝CD+CG＝3+1＝4， ∵EF⊥AB，AB∥CD， ∴DG⊥FG， ∴S△DEF＝EF•DG＝××4＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的面积，熟记各性质是解题关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 19. 先化简，再求值：，其中实数x、y满足． 【答案】，-1． 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则把原式化简，再由二次根式有意义的条件，确定x与y的值，代入式子运算即可． 【详解】解： =， ∵实数x、y满足． ∴x-2≥0，4-2x≥0， 解得：x≥2，x≤2， ∴x=2， ∴y=-1， ∴原式==-1． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，二次根式有意义的条件，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20. 在计算 的值时，大家可以利用裂项的思想方法，即 请你利用裂项的思路解决下列问题． （1）化简： （2）解分式方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）观察数字的变化规律，利用裂项的思路即可求得结果； （2）利用裂项的思路化简后，解分式方程即可． 本题考查了规律型：数字的变化类、有理数的混合运算，解分式方程，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：依题意， ∵ ∴原方程化简为 去分母，得． 整理，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD． （1）直接写出点C，D的坐标，求出四边形ABDC的面积； （2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）C（0，3），D（4，3）；12 （2）存在；F（1，0）或（5，0） 【解析】 【分析】（1）根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加写出点C、D的坐标即可，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解； （2）存在，当BF＝CD时，三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，根据坐标与图形性质求得点F的坐标． 【详解】解：（1）C（0，3），D（4，3） S四边形ABDC＝AB•OC＝4×3＝12； （2）存在，当BF＝CD时，三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍． ∵C（0，3），D（4，3）， ∴CD＝4，BF＝CD＝2． ∵B（3，0）， ∴F（1，0）或（5，0）． 【点睛】本题考查平移有关知识．平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 22. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，BD=CE． （1）求证：点D在BE的垂直平分线上； （2）若∠ABE=25°，求∠BEC的度数． 【答案】（1）见解析；（2）75°． 【解析】 【分析】（1）连接DE．想办法证明DB=DE即可． （2）利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接DE， ∵CD是AB边上的高， ∴∠ADC=∠BDC=90°， ∵BE是AC边上的中线， ∴AE=CE， ∴DE=AC=CE， ∵BD=CE， ∴BD=DE， ∴点D在BE的垂直平分线上； （2）解：∵DE=AE， ∴∠A=∠ADE， ∵DB=DE． ∴∠DBE=∠DEB=25°， ∴∠A=∠ADE=∠ABE+∠DEB=50°， ∴∠BEC=∠A+∠ABE=75°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 23. 某商店计划今年的圣诞节购进A、B两种纪念品若干件．若花费480元购进的A种纪念品的数量是花费480元购进B种纪念品的数量的，已知每件A种纪念品比每件B种纪念品多4元． （1）求购买一件A种纪念品、一件B种纪念品各需多少元？ （2）若商店一次性购买A、B纪念品共200件，要使总费用不超过3000元，最少要购买多少件B种纪念品？ 【答案】（1）购买一件A种纪念品需16元，购买一件B种纪念品需12元；（2）最少要购买50件B种纪念品． 【解析】 【分析】（1）设购买一件B种纪念品需x元，则购买一件A种纪念品需（x+4）元，根据数量=总价÷单价结合花费480元购进的A种纪念品的数量是花费480元购进B种纪念品的数量的，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买m件B种纪念品，则购买（200-m）件A种纪念品，根据总价=单价×数量结合要使总费用不超过3000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：（1）设购买一件B种纪念品需x元，则购买一件A种纪念品需（x+4）元， 依题意，得：， 解得：x=12， 经检验，x=12是原方程的解，且符合题意， ∴x+4=16． 答：购买一件A种纪念品需16元，购买一件B种纪念品需12元； （2）设购买m件B种纪念品，则购买（200-m）件A种纪念品， 依题意，得：16（200-m）+12m≤3000， 解得：m≥50． 答：最少要购买50件B种纪念品． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 24. 如图，在△ABC中，D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，，点F在边AB上，EF//BC．求证： （1）四边形BDEF平行四边形； （2）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）证明△AGE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到GE＝EC，再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB，再加上条件EF∥BC可证出结论； （2）先证明BF＝DE＝BG，再证明AG＝AC，可得到BF＝（AB−AG）＝（AB−AC）． 【详解】（1）证明：如图，延长CE交AB于点G ∵AE⊥CE， ∴∠AEG=∠AEC=90° ∵AE平分∠BAC， ∴∠GAE=∠CAE 在△AEG和△AEC中，， ∴△AGE≌△ACE（ASA）， ∴GE=CE ∵BD=CD， ∴DE为△CGB的中位线， ∴DE//AB ∵EF//BC， ∴四边形BDEF是平行四边形 （2）∵四边形BDEF是平行四边形， ∴BF=DE ∵D，E分别是BC，GC的中点， ∴ ∵△AGE≌△ACE， ∴AG=AC ∴． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，题目综合性较强，证明GE＝EC，再利用三角形中位线定理证明DE∥AB是解决问题的关键． 25. 随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车，计划购买A型和B型新能源公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需280万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需260万元， （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆车的年均载客量分别为60万人次和80万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过900万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于670万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 【答案】（1）购买A型新能源公交车每辆需80万元，购买B型新能源公交车每辆需100万元；（2）则共有两种购买方案：①购买A型公交车5辆，则B型公交车5辆；②购买A型公交车4辆，则B型公交车6辆；购买A型公交车5辆，则B型公交车5辆费用最少，最少总费用为900万元 【解析】 【分析】（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需280万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需260万元”列出方程组解决问题； （2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过900万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于670万人次”列出不等式组探讨得出答案即可． 【详解】解：（1）设购买A型新能源公交车每辆需x万元，购买B型新能源公交车每辆需y万元， 由题意得： ， 解得 ， 答：购买A型新能源公交车每辆需80万元，购买B型新能源公交车每辆需100万元． （2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆， 由题意得 ， 解得：5≤a≤6.5， 因为a是整数， 所以a＝5，6； 则共有两种购买方案： ①购买A型公交车5辆，则B型公交车5辆：80×5+100×5＝900（万元）； ②购买A型公交车4辆，则B型公交车6辆：80×4+100×6＝920（万元）； 购买A型公交车5辆，则B型公交车5辆费用最少，最少总费用为900万元． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题． 26. 在活动课上我们曾经探究过三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，五边形内角和等于540°，，…，请同学们仔细读题，看图，解决下面的问题： （1）如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，则∠AOB+∠COD＝　 　（直接写出结果）． （2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线． ①如图②，如果∠AOB＝110°，那么∠COD的度数为　 　（直接写出结果）． ②如图③，若∠AOD＝∠BOC，AB与CD平行吗？请写出理由． 【答案】（1）180°；（2）①70°；②平行，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和解答即可； （2）①由四边形的内角和为360°以及角平分线的定义可得∠AOB+∠COD＝180°，据此解答即可； ②由①得∠AOB+∠COD＝180°，从而得出∠AOD+∠BOC＝180°，可得∠AOD＝∠BOC＝90°，进而得出∠DAB+∠ADC＝180°，可得AB∥CD． 【详解】解：（1）∵∠AOB+∠COD+∠A+∠B+∠C+∠D＝180°×2＝360°，∠A+∠B+∠C+∠D＝180°， ∴∠AOB+∠COD＝360°﹣180°＝180°． 故答案为180°； （2）①∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线， ∴∠OAB=∠DAB ∠OBA=∠CBA, ∠OCD=∠BCD,∠ODC=∠ADC, ∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝×360°＝180°， 在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB， 在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD， ∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°， ∴∠AOB+∠COD＝180°； ∵∠AOB＝110°， ∴∠COD＝180°﹣110°＝70°． 故答案：70°； ②AB∥CD，理由如下： ∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线， ∴∠OAB=∠DAB, ∠OBA=∠CBA, ∠OCD=∠BCD,∠ODC=∠ADC， ∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝×360°＝180°， 在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB， 在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD， ∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°， ∴∠AOB+∠COD＝180°； ∴∠AOD+∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠COD）＝360°﹣180°＝180°， ∵∠AOD＝∠BOC， ∴∠AOD＝∠BOC＝90°． 在∠AOD中，∠OAD+∠ADO＝180°﹣∠AOD＝180°﹣90°＝90°， ∵∠DAO=∠DAB, ∠ADO=∠ADC， ∴∠DAB+∠ADC=90°， ∴∠DAB+∠ADC＝180°， ∴AB∥CD． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，掌握角平分线的性质和等量代换是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$