精品解析：北师大版2023-2024学年八年级数学下册期中综合练习题

2023-20243学年度北师大版八年级下期中综合练习 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A、不是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误； B、即不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故本选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查轴对称图形及中心对称图形的知识，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图形重合． 2. 等腰三角形的一条边长为6，另一边长为14，则它的周长为（　　） A. 26 B. 26或34 C. 34 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】因为等腰三角形的底边和腰不确定，6可以为底边也可以为腰长，故分两种情况考虑：当6为腰时，根据等腰三角形的性质得另一腰也为6，底边为14；当6为底边时，14为腰长，根据等腰三角形的性质得另一腰也为14；再根据三角形的三边关系进行判断是否能形成三角形后在计算周长即可． 【详解】解：若6为等腰三角形的腰长，则14为底边的长， 此时，∴不存在这样的等腰三角形； 若14为等腰三角形的腰长，则6为底边的长， 此时等腰三角形的周长； 则等腰三角形的周长为34． 故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，以及分类讨论的数学思想．学生做题时对于两种情况得到的三角形三边需利用三角形的两边之和大于第三边判定是否能构成三角形． 3. 二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，根据题意，二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，列式求解即可．属于基础题，掌握二次根式和分式有意义的条件即可． 【详解】解：由题意可知，即：， 解得：且， 故答案为：C． 4. 关于x的分式方程的解为，则常数a的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】把分式方程转化为整式方程，再将x=2代入求解可得． 【详解】解： 方程两边都乘以x（x-a），得：3x=2（x-a）， 将x=2代入，得：6=2（2-a）， 解得a=-1， 故选：A． 【点睛】本题主要考查分式方程的解，解题的关键是掌握分式方程的解的概念． 5. 如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若点恰好在的延长线上，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质和四边形的内角和是360º即可求解． 【详解】由旋转的性质得：∠BAD=，∠ABC=∠ADE， ∵∠ABC+∠ABE=180º， ∴∠ADE+∠ABE=180º， ∵∠ABE+∠BED+∠ADE+∠BAD=360º，∠BAD= ∴∠BED=180º-， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、四边形的内角和是360º，熟练掌握旋转的性质是解答的关键． 6. 如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式，一次函数的图象和性质，根据图象判断增减性和所过的象限，判断①和②，图象法判断③和④． 【详解】解：由图象可知，直线， y随x的增大而增大；直线经过一，二，四象限，故①正确；②错误； ∵两直线交点的横坐标为，且当时，直线在直线的上方， ∴，不等式的解集是； ∴，不等式的解集是； 故③，④正确； 故选B． 7. 某商品进价为800元，出售时标价为1200元，后来商店准备打折出售，但要保持利润率不低于20%，则最多打(　　)折． A. 6折 B. 7折 C. 8折 D. 9折 【答案】C 【解析】 【分析】设打了x折，用售价×折扣﹣进价得出利润，根据利润率不低于20%，列不等式求解． 【详解】解：设打了x折， 由题意得，1200×0.1x﹣800≥800×20%， 解得：x≥8． 答：至多打8折． 故选：C 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，正确理解利润率的含义，理解利润＝进价×利润率，是解题的关键． 8. 根据图像，可得关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出直线y＝kx在直线y＝−x＋3上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据图象可得：不等式kx＞−x＋3的解集为：x＞1． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图象确定不等式的解集是解题的关键． 9. 如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在上的点E处，已知，，则的长是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得△ADE≌△ADC，从而得出AD平分∠BAC，∠C=∠AED=90°，根据角平分线的性质和30°所对直角边等于斜边的一半求解． 【详解】解：折叠的性质可得△ADE≌△ADC， ∴AD平分∠BAC，∠C=∠AED=90°，DE=DC， ∵∠B=30° ∴DE=BD ∴DC=BD ∵BC=12 ∴3DC=12 ∴DC=4 ∴DE=4． 故选：B 【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是本题关键． 10. 如图，在中，AD和BE是高，，点F是AB中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，．有下列结论：；；；④连接H，C，则．其中正确的有（　 ） A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由直角三角形斜边上中线性质得出， ，从而得出，①正确；由 证明 ，得出，②正确；由， 得，由点F是AB的中点，求得，从而有，③正确； 先证得，从而求得，即可得到，④正确． 【详解】解：∵在中，AD和BE是高， ， ∵点F是AB的中点， ∴， ， ∴，①正确； ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 在 和中， ， ， ，②正确； ∴， ∵点F是AB的中点， ∴， ∴， ∴，③正确； 连接HC，如下图， ，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，④正确； 综上所述，①②③④正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、直角三角形斜边中线定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 二、填空题（每题4分，共6题，共24分） 11. 不等式的解集是___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式两边同乘（或除）一个负数，不等号的方向改变成为解题的关键. 直接运用不等式的性质即可解答. 【详解】解： . 故答案为：. 12. 命题“如果，那么”是______命题．（选填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】利用举反例的方法判断命题是假命题即可． 【详解】解：当时， 而此时 ∴“如果，那么”是假命题． 故答案为：假 【点睛】本题考查的是真假命题的判断，掌握“利用举反例的方法判断假命题”是解本题的关键． 13. 如图，在锐角中，，点E为线段中点，点P为线段上的动点，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，点P的对应点是点，在旋转的过程中，线段长度最小值是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂线段最短，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质解答即可． 本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是找出线段长度的最小值的条件． 【详解】解：根据垂线段最短，得到且为的交点，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵点E为线段中点，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，将沿直线翻折，使点B落在处，分别交边于点F、G．若，则___________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，根据三角形的内角和定理，以及折痕为角平分线，进行求解即可． 【详解】解：∵将沿直线翻折，使点B落在处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：40． 15. 如图，在中，P为边上一点．连接，将线段绕点A顺时针旋转至．连接，则___________． 【答案】或30度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，根据旋转的性质得出，，再由等边对等角结合三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵将线段绕点A顺时针旋转至． ∴，， ∴， 故答案为：． 16. 如图所示，是等边三角形，，于点，于点，，则四个结论：①点在的平分线上；②；③；④，正确的结论是______. 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】因为为等边三角形，根据已知条件可推出，则，故②正确，，所以是等边三角形的顶角的平分线，故①正确，根据等腰三角形的三线合一的性质知，也是边上的高和中线，即点P是的中点，因为，所以点Q是的中点，所以是边的中线，有，故③正确，又可推出，故④正确． 【详解】解：∵于点，于S点， ∴ ∵， 在和中， ∴， ∴，故②正确， ∴是等边三角形的顶角的平分线，故①正确； ∴是边上的高和中线，即点P是的中点， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴，故③正确； ∵是等边三角形， ∴ ∴是等边三角形， ∴，， ∴ 在和中， ， ∴，故④正确； ∴全部正确． 故答案为①②③④． 【点睛】本题利用了等边三角形的性质：三线合一，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，掌握等边三角形的性质是关键． 三、解答题 17. 求不等式的正整数解． 【答案】不等式的正整数解为1，2 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，后写出正整数解即可，本题考查了一元一次不等式的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 所以不等式的正整数解为1，2． 18. 解一元一次不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： ， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 19. 如图，有三幢公寓楼分别建在点A、点B、点C处，是连接三幢公寓楼的三条道路，要修建一超市P，按照设计要求，超市要在的内部，且到A、C的距离必须相等，到两条道路的距离也必须相等，请利用尺规作图确定超市P的位置．（不要求写出作法、证明，但要保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线和的角平分线，则其交点即为点P． 【详解】解：如图，P点即为所作． 【点睛】本题考查作图—线段的垂直平分线，作图—角平分线．掌握基本作图方法是解题关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为A（3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数y=x的图象交于点C（m，4）． （1）求m的值及一次函数y=kx+b的表达式； （2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式x＜kx+b的解集． 【答案】（1）一次函数的表达式为；（2）x＜3 【解析】 【分析】（1）首先利用待定系数法把C（m，4）代入正比例函数y=x中，计算出m的值，进而得到C点坐标，再利用待定系数法把A、C两点坐标代入一次函数y=kx+b中，计算出k、b的值，进而得到一次函数解析式． （2）根据函数图象直接写出答案即可． 【详解】（1）∵点C（m，4）在正比例函数y=x的图象上， ∴4=•m， 解得m=3，即点C坐标为（3，4）． ∵一次函数 y=kx+b经过A（3，0）、点C（3，4） ∴， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）由图象可得不等式x＜kx+b的解为：x＜3 【点睛】此题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征，利用图象解不等式，待定系数法求一次函数解析式等知识，根据待定系数法把A、C两点坐标代入一次函数y=kx+b中，计算出k、b的值是解题关键． 21. 双十一是电商平台全场大促销的日子．天猫平台推出优惠活动，服饰消费在满300减50的基础上再打八折；京东推出打折活动，所有服饰一律七折． （1）小红只想购买某品牌一件原价是300元衣服，请问在哪个平台购买更优惠？ （2）小明选好衣服后，经过计算，发现在天猫平台购物更优惠，已知实付金额小于400元，则小明购买的衣服原价在什么范围？ 【答案】（1）在天猫购买更优惠． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别计算两个购物平台的价格，比较即可求解； （2）分量种情况讨论，①若，②若，分别列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：天猫：元 京东：元 ∵200元＜210元， ∴在天猫购买更优惠． 【小问2详解】 ∵在天猫消费600元时，有两个满减，实付刚好是400元，小明最后支付金额小于400元， ∴原价小于600元，即，在天猫购买最多享受到了一次满减． 设原价为x元， ①若，此时天猫只能打八折，不能满减，显然还是京东的七折更优惠．不符合题目中天猫更优惠的条件． 或者∵此时天猫优惠比京东的优惠大， ∴，无解． ∴不成立． ②若， ∴此时天猫的优惠比京东的优惠大，∴，即． 又实付金额小于400元， ∴，即． ∴． 综上所述，小明购买的衣服原价范围为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意分类讨论，列出不等式是解题的关键． 22. 如图，与都是以点A为顶点的等腰三角形，且，，的延长线交于点F，探究线段和的数量关系，并说明理由 （如果你经过思考后不能找到问题的答案，可选择以下两个问题来完成） ①将与改为等边三角形，其他条件不变，如图2． ②将原题改为探究线段与的数量关系． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的性质和判定的应用，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． ①连接，在上截取使，连接，证和，推出即可； ②由①即可证明结论． 【详解】解：①连接，在上截取使，连接． ∵，则， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ②由①可知， ∴． 23. 阅读材料． 对式子可以变化如下： 原式此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方． 请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题： （1）请用配方法求出的最小值 （2）请用配方法求出代数式的最小值 （3）试说明：、取任何实数时，代数式的值总大于8． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握配方法是解此题的关键． （1）利用配方法将代数式转化为完全平方与和的形式，然后利用非负数的性质进行解答即可； （2）利用配方法将代数式转化为完全平方与和的形式，然后利用非负数的性质进行解答即可； （3）利用配方法将代数式转化为完全平方与和的形式，然后利用非负数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴的最小值为； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为； 【小问3详解】 解： ， ∵，， ∴， ∴、取任何实数时，代数式的值总大于8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-20243学年度北师大版八年级下期中综合练习 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形是（　　） A. B. C. D. 2. 等腰三角形的一条边长为6，另一边长为14，则它的周长为（　　） A. 26 B. 26或34 C. 34 D. 20 3. 二次根式有意义，则x取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 4. 关于x的分式方程的解为，则常数a的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 5 5. 如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若点恰好在的延长线上，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是；④，其中正确的是（ ） A ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 7. 某商品进价800元，出售时标价为1200元，后来商店准备打折出售，但要保持利润率不低于20%，则最多打(　　)折． A. 6折 B. 7折 C. 8折 D. 9折 8. 根据图像，可得关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在上的点E处，已知，，则的长是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 10. 如图，在中，AD和BE是高，，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，．有下列结论：；；；④连接H，C，则．其中正确的有（　 ） A 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4个 二、填空题（每题4分，共6题，共24分） 11. 不等式的解集是___________. 12. 命题“如果，那么”是______命题．（选填“真”或“假”） 13. 如图，在锐角中，，点E为线段中点，点P为线段上的动点，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，点P的对应点是点，在旋转的过程中，线段长度最小值是 ___________． 14. 如图，在中，，将沿直线翻折，使点B落在处，分别交边于点F、G．若，则___________． 15. 如图，在中，P为边上一点．连接，将线段绕点A顺时针旋转至．连接，则___________． 16. 如图所示，是等边三角形，，于点，于点，，则四个结论：①点在的平分线上；②；③；④，正确的结论是______. 三、解答题 17. 求不等式的正整数解． 18. 解一元一次不等式组． 19. 如图，有三幢公寓楼分别建在点A、点B、点C处，是连接三幢公寓楼的三条道路，要修建一超市P，按照设计要求，超市要在的内部，且到A、C的距离必须相等，到两条道路的距离也必须相等，请利用尺规作图确定超市P的位置．（不要求写出作法、证明，但要保留作图痕迹）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为A（3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数y=x的图象交于点C（m，4）． （1）求m的值及一次函数y=kx+b的表达式； （2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式x＜kx+b的解集． 21. 双十一是电商平台全场大促销的日子．天猫平台推出优惠活动，服饰消费在满300减50的基础上再打八折；京东推出打折活动，所有服饰一律七折． （1）小红只想购买某品牌一件原价是300元的衣服，请问在哪个平台购买更优惠？ （2）小明选好衣服后，经过计算，发现在天猫平台购物更优惠，已知实付金额小于400元，则小明购买的衣服原价在什么范围？ 22. 如图，与都是以点A为顶点的等腰三角形，且，，的延长线交于点F，探究线段和的数量关系，并说明理由 （如果你经过思考后不能找到问题的答案，可选择以下两个问题来完成） ①将与改为等边三角形，其他条件不变，如图2． ②将原题改为探究线段与的数量关系． 23. 阅读材料． 对式子可以变化如下： 原式此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方． 请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题： （1）请用配方法求出的最小值 （2）请用配方法求出代数式的最小值 （3）试说明：、取任何实数时，代数式的值总大于8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$