新课预习衔接：第二单元线与角(讲义)-2024-2025学年四年级上册数学北师大版

线与角 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：思维导图：单元知识简单且高效的发散性思维呈现，是一种实用性的知识小结。 第二部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第三部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第四部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第五部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 思维导图 第二部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 1．直线、线段和射线的认识 【知识点归纳】 1．概念： 直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．一条直线可以用一个小写字母表示． 线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点．一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示． 射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．一条射线可以用端点和射线上另一点来表示． 注意： （1）线和射线无长度，线段有长度． （2）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点． 2．直线、射线、线段区别： 直线没有端点，两边可无限延长； 射线有一端有端点，另一端可无限延长； 线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度． 2．角的概念和表示 【知识点归纳】 定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段． 定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边. （1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. （2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知： （1）角的组成部分为：两条边和一个顶点； （2）顶点是这两条边的交点； （3）角的两条边是射线，是无限延伸的. （4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部. 角的表示方法： （1）用三个字母表示，如∠AOB；（2）用数字表示角，如∠1；（3）用一个大写字母表示，如∠A 3．垂直与平行的特征及性质 【知识点归纳】 1．垂线的定义： 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）． 2．垂线的性质： 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短． 3．垂直的判定：垂线的定义． 4．平行线的概念： 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”． 5．平行线的判定方法： （1）平行于同一条直线的两直线平行． （2）垂直于同一条直线的两直线平行． （3）平行线的定义． 4．角的度量 【知识点归纳】 1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器． 2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制． 角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法．在角度制中，我们把周角的看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度．由于1度的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量． 弧度制，顾名思义，就是用弧的长度来度量角的大小的方法．单位弧度定义为圆周上长度等于半径的圆弧与圆心构成的角．由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量．角度以弧度给出时，通常不写弧度单位，有时记为rad或R． 3．度量方法： 量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐． 量角器的0刻度线和角的一条边对齐． 做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度． 看刻度要分清内外圈． 5．画指定度数的角 【知识点归纳】 三角板能画出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，45°，60°，90度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量角器画角． 第三部分 典型例题 例题1：按要求画一画。 （1）画出直线AB。 （2）画出射线AC。 （3）画出线段BC。 【考点】直线、线段和射线的认识． 【答案】 【分析】根据直线没有端点，射线有一个端点，线段有2个端点，解答此题即可。 【解答】解： 【点评】熟悉直线、射线和线段的特征，是解答此题的关键。 例题2：以下面的点作为顶点，分别画一个直角、一个锐角、一个钝角。 【考点】角的概念和表示． 【答案】（画法不唯一） 【分析】直角等于90度，锐角小于直角，钝角大于直角，据此利用三角板的直角测量画图即可。 【解答】解：如图： （画法不唯一） 【点评】本题考查了锐角、直角、钝角的特征及画法。 例题3：在点子图上分别画出一个直角和一个钝角。（从给出的点画起） 【考点】角的分类（锐角直角钝角）． 【答案】见试题解答内容 【分析】小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，据下面画法可画图： （1）画出一条射线，用量角器的原点和射线的端点重合，0刻度线与射线重合， （2）在量角器上找出所要画的角的点，点上点， （3）以射线的端点过刚画出的点，画出射线即可。 【解答】解：作图如下： 【点评】本题考查了学生锐角、直角、钝角的定义及角的画法。 例题4：画出一条和下面同样长的线段。 【考点】直线、线段和射线的认识． 【答案】 【分析】先用直尺的0刻度线对准线段的一个端点，另一个端点在直尺上的刻度就是该线段的长度，据此先测量线段，再按测量线段的方法画线段，注意要先画一个端点，据此解答。 【解答】解：如图： 【点评】本题考查了线段的测量方法及画法。 第四部分 高频真题 1．两条直线相交形成的4个角可能都是（　　） A．锐角 B．钝角 C．直角 D．平角 2．把两个锐角拼在一起，拼成的角不可能是（　　） A．直角 B．锐角 C．平角 3．9点整的时候，钟面上的时针和分针所成的角是（　　） A．直角 B．锐角 C．钝角 4．下面四个角中，（　　）是钝角。 A． B． C． D． 5．下面三个图形中是线段的是（　　） A． B． C． 6．用一个放大100倍的放大镜观看一个30°的角，看到角的度数是（　　） A．300° B．30° C．3000° D．3° 7．一条直角的线，有两个端点，可以度量是（　　） A．线段 B．直线 C．射线 8．学具三角板上的直角与长方形黑板上的直角相比（　　） A．一样大 B．黑板上直角大 C．三角板上的直角大 D．无法比较 9．从小红家到河边修一条最短的路，这条路（　　） A．与小河垂直 B．可任意修 C．与小河平行 10．下列说法中正确的是（　　） A．9时30分时，钟面的时针与分针成直角。 B．角的两边越长，角就越大。 C．角有一个顶点两条边。 11．红领巾上有 　 　个锐角和 　 　钝角． 12．钟面上3时整，时针与分针所成的角是 　 　角；钟面上4时整，时针与分针所成的角是 　 　角 13．用一个放大10倍的放大镜看一个30°的角，看到的角的度数是　 　． 14．语文课本的封面，相对的两条边是相互　 　的，相邻的两条边是相互　 　的． 15．一周角＝　 　直角＝　 　平角＝　 　直角． 16．数一数，如图中有 　 　条直线，　 　条线段。 17．如图中有 　 　个钝角，　 　个直角，　 　个锐角。 18．在方格纸上画一个直角、一个锐角和一个钝角．（从给出的点画起）． 19． 画一条比2厘米长4厘米的线段． 20．在量角器上以O为顶点画一个80°的角。 参考答案与试题解析 1．两条直线相交形成的4个角可能都是（　　） A．锐角 B．钝角 C．直角 D．平角 【考点】角的概念和表示． 【答案】C 【分析】因为周角是360度，两条直线相交形成的4个角和等于360，如果两条直线相交形成的四个角都是锐角的话，则四个锐角的和小于360度，则与周角是360度相矛盾； 如果两条直线相交形成的四个角都是钝角的话，则四个钝角的和大于360度，则与周角是360度相矛盾； 如果两条直线相交形成的四个角都是直角的话，则四个直角的和等于360度； 如果两条直线相交形成的四个角都是平角的话，则四个平角的和大于360度，则与周角是360度相矛盾，由此即可进行判断 【解答】解：由分析可得两条直线相交形成的4个角可能都是直角． 故选：C． 【点评】应明确周角、锐角、直角、钝角的含义，是解答此题的关键． 2．把两个锐角拼在一起，拼成的角不可能是（　　） A．直角 B．锐角 C．平角 【考点】角的概念和表示；角的分类（锐角直角钝角）． 【答案】C 【分析】根据角的分类标准：0°＜锐角＜90°，直角＝90°，90°＜钝角＜180°。所以两个锐角相加的和不可能等于180°，据此选择。 【解答】解：把两个锐角拼在一起，拼成的角不可能是平角。 故选：C。 【点评】本题主要考查角的概念和分类，关键是明确各种类型的角的度数范围。 3．9点整的时候，钟面上的时针和分针所成的角是（　　） A．直角 B．锐角 C．钝角 【考点】角的分类（锐角直角钝角）． 【答案】A 【分析】钟面上有12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12份，每一份也就是两数之间夹角是30°，当钟面上9时整，时针指着9，分针指12，两数之间有3个大格是30°×3＝90°，此时时针和分针所成的角是直角；据此判断即可。 【解答】解：9时整的时候，时针指着9，分针指12，两数之间有3个大格是30°×3＝90°，此时时针和分针所成的角是直角。 故选：A。 【点评】明确钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，是解答此题的关键。 4．下面四个角中，（　　）是钝角。 A． B． C． D． 【考点】角的概念和表示；角的分类（锐角直角钝角）． 【答案】C 【分析】根据角的含义：大于0度小于90度的角，叫做锐角；等于90度的角，叫做直角；大于90度小于180度的角，叫做钝角；进行选择即可。 【解答】解：是钝角。 故选：C。 【点评】此题主要考查了角的含义。 5．下面三个图形中是线段的是（　　） A． B． C． 【考点】直线、线段和射线的认识． 【答案】B 【分析】线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度，据此解答。 【解答】解：根据线段的定义可知，选项B是一条线段。 故选：B。 【点评】本题考查了线段的特征，结合图示分析解答即可。 6．用一个放大100倍的放大镜观看一个30°的角，看到角的度数是（　　） A．300° B．30° C．3000° D．3° 【考点】角的概念和表示． 【答案】B 【分析】因为角的大小和边长无关，更和放大无关，只和两条边张开的度数有关． 【解答】解：用一个放大100倍的放大镜观看一个30°的角，看到角的度数仍然是30°． 故选：B． 【点评】此题主要考查角的定义的运用． 7．一条直角的线，有两个端点，可以度量是（　　） A．线段 B．直线 C．射线 【考点】直线、线段和射线的认识． 【答案】A 【分析】直线没有端点，两边可无限延长；射线有一端有端点，另一端可无限延长；线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度；据此分析解答。 【解答】解：一条直角的线，有两个端点，可以度量是线段。 故选：A。 【点评】此题主要考查直线、线段和射线的特征。 8．学具三角板上的直角与长方形黑板上的直角相比（　　） A．一样大 B．黑板上直角大 C．三角板上的直角大 D．无法比较 【考点】角的概念和表示． 【答案】A 【分析】所有的直角都是90度，大小一样，据此解答。 【解答】解：学具三角板上的直角与长方形黑板上的直角相比一样大。 故选：A。 【点评】本题考查了直角的特征。 9．从小红家到河边修一条最短的路，这条路（　　） A．与小河垂直 B．可任意修 C．与小河平行 【考点】垂直与平行的特征及性质． 【答案】A 【分析】根据从直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短；据此解答即可． 【解答】解：从小红家到河边修一条最短的路，这条路与小河垂直； 故选：A． 【点评】此题主要考查直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短． 10．下列说法中正确的是（　　） A．9时30分时，钟面的时针与分针成直角。 B．角的两边越长，角就越大。 C．角有一个顶点两条边。 【考点】角的分类（锐角直角钝角）；角的概念和表示． 【答案】C 【分析】（1）在钟面上平均分成12个大格，时针与分针相间1大格是360÷12＝30°，9时30分，此时时针位于9、10之间，分针位于6，此时时针和分针相差3.5个大格，即30°×3.5＝105°，是钝角，据此解答； （2）根据角的大小与边的长短无关，与两条边的开口大小有关，即可作答； （3）根据角的定义可知：从一点引出的两条射线可以组成角，角有一个顶点和两条边，据此解答即可。 【解答】解：A．9时30分时，钟面的时针与分针成直钝角，所以原题干表述错误。 B．角的两边越长，角就越大是错误的，与边的长短无关。 C．角有一个顶点两条边。表述正确。 故选：C。 【点评】本题考查了角的认识知识，结合题意分析解答即可。 11．红领巾上有 　2　个锐角和 　1　钝角． 【考点】角的概念和表示． 【答案】见试题解答内容 【分析】由红领巾的制作规定可知：红领巾的三个角的度数分别是120°、30°、30°，据此即可进行解答． 【解答】解：因为红领巾的三个角的度数分别是120°、30°、30°， 所以一条红领巾上有2个锐角，1个钝角； 故答案为：2、1． 【点评】此题主要考查钝角和锐角的概念及小学生应该掌握的应用常识． 12．钟面上3时整，时针与分针所成的角是 　直　角；钟面上4时整，时针与分针所成的角是 　钝　角 【考点】角的概念和表示． 【答案】直、钝。 【分析】根据直角、钝角的意义，90度角是直角，大于90度小于180度的角叫做钝角。由生活经验可知：钟面上3时整，时针与分针所成的角是直角；钟面上4时整，时针与分针所成的角是钝角。据此解答。 【解答】解：钟面上3时整，时针与分针所成的角是直角；钟面上4时整，时针与分针所成的角是钝角。 故答案为：直、钝。 【点评】此题考查的目的是理解掌握直角、钝角的意义及应用。 13．用一个放大10倍的放大镜看一个30°的角，看到的角的度数是　30°　． 【考点】角的概念和表示． 【答案】见试题解答内容 【分析】用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变． 【解答】解：用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变． 所以用放大10倍的放大镜看一个30度的角，看到的度数仍是30度． 故答案为：30°． 【点评】本题主要考查角的度量，解答本题的难点是：正确掌握放大镜的特性，只改变边的长度，而不能改变角的两边叉开的大小． 14．语文课本的封面，相对的两条边是相互　平行　的，相邻的两条边是相互　垂直　的． 【考点】相交与垂直． 【答案】见试题解答内容 【分析】数学书的封面是长方形，根据长方形的特征，对边平行且相等，4个角都是直角．由此解答． 【解答】解：根据长方形的特征，对边平行且相等，4个角都是直角． 因此，数学书的封面相对的两条边互相平行，相邻的两边互相垂直的； 故答案为：平行，垂直． 【点评】此题主要考查长方形的特征，对边平行且相等，4个角都是直角，据此解决问题． 15．一周角＝　4　直角＝　2　平角＝　4　直角． 【考点】角的概念和表示． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据角的分类和周角、平角、直角的意义，周角是360°，平角是180°，直角是90°．由此解答． 【解答】解：360°÷180°＝2 360°÷90°＝4 所以：一周角＝4直角＝2平角＝4直角． 故答案为：4，2，4． 【点评】此题主要考查角的分类和几种特殊角的意义及它们之间的关系．． 16．数一数，如图中有 　1　条直线，　6　条线段。 【考点】直线、线段和射线的认识． 【答案】1，6。 【分析】根据图示，然后根据直线和线段的特点：直线没有端点，无限长；线段两个端点，有限长；进行解答即可。 【解答】解：分析可知，中直线只有一条；线段有6条。 故答案为：1，6。 【点评】本题考查了直线、线段的定义，在线段的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复。 17．如图中有 　2　个钝角，　2　个直角，　5　个锐角。 【考点】角的分类（锐角直角钝角）． 【答案】2，2，5。 【分析】从一点引出两条直直的线所形成的图形叫做角。和书本同样大小的角是直角，比直角小的是锐角，比直角大的是钝角。 【解答】解：由分析可知，图中有2个钝角，2个直角，5个锐角。 故答案为：2，2，5。 【点评】灵活掌握钝角、直角、锐角的含义，是解答此题的关键。 18．在方格纸上画一个直角、一个锐角和一个钝角．（从给出的点画起）． 【考点】角的概念和表示． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据画角的方法画出一个等于90°的直角；小于90°的锐角，比大于90°且小于180°的钝角即可． 【解答】解：如图：． 【点评】本题主要考查了画角的方法，是基本图形，关键是区分直角、锐角和钝角． 19．画一条比2厘米长4厘米的线段． 【考点】直线、线段和射线的认识；画指定长度的线段． 【答案】见试题解答内容 【分析】先算出比2厘米长4厘米的线段的长度，再根据线段的画法来画即可． 【解答】解：2+4＝6cm，画图如下： 【点评】本题考查了学生先计算出线段的长度，再画图的能力． 20．在量角器上以O为顶点画一个80°的角。 【考点】画指定度数的角． 【答案】 【分析】先从O点画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合，在量角器80°的地方点一个点，然后以量角器的中心为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的角。 【解答】解：作图如下： 【点评】用量角器画已知角，关键是量角器的正确、熟练使用。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$