第一单元长方体和正方体（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学苏教版

长方体和正方体 板块一：考点精讲 1．长方体的特征 【知识点归纳】 长方体的特征： 1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同． 2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱． 3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高． 4．长方体相邻的两条棱互相垂直． 2．正方体的特征 【知识点归纳】 正方体的特征： ①8个顶点． ②12条棱，每条棱长度相等． ③相邻的两条棱互相垂直． 3．长方体的展开图 【知识点归纳】 长方体展开图形如下情况： 4．长方形、正方形的面积 【知识点归纳】 长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab 正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2． 【解题思路点拨】 （1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢． （2）其他求法可通过分割补，灵活性高． 5．长方体和正方体的表面积 【知识点归纳】 长方体表面积：六个面积之和． 公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S＝6a2．（a表示棱长） 6．长方体和正方体的体积 【知识点归纳】 长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长） 板块二：高频考点 一、选择题 1．一个正方体的棱长是8厘米，它的体积是（    ）。 A．32立方厘米 B．64立方厘米 C．512立方厘米 2．用8个小正方体拼成一个大正方体，如右图，现在把画“×”的两个正方体拿走，它的表面积和原来比（    ）。 A．不变 B．增加了 C．减少了 3．把一根长方体木料沿横截面平均锯成2段，每段的（    ）是原来大长方体的。 A．棱长和 B．表面积 C．体积 4．下面不是正方体的展开图的是（    ） A． B． C． 5．一个长方体长6厘米，宽6厘米，高4厘米，这个长方体中最多有（　　）个完全相同的面． A．2 B．4 C．6 6．将下图的纸片折起来可以做成一个正方体。这个正方体2号面的对面是（    ）号面。 A．3 B．5 C．6 7．一个长方体的底面积是30平方厘米，高是9厘米，它的体积是（    ）。 A．270平方厘米 B．39立方厘米 C．270立方厘米 8．一根长方体的木料的体积是80立方分米，横截面积是4平方分米，木料长是（ ） A．20分米 B．320分米 C．80分米 二、填空题 9．若一个小正方体的棱长为5厘米，则最少有( )个这样的小正方体可拼成一个大正方体，此时该大正方体的表面积为( )平方厘米，体积为( )立方厘米。 10．有一块正方形铁皮，从四个角上各剪去一个边长为4分米的正方形后，所剩的部分正好可以焊接成一个无盖的正方体铁皮盒。这个铁皮盒的体积是( )立方分米；原来正方铁形皮的面积是( )平方米。 11．如果一个长方体的棱长之和是36dm，它的长是4dm，宽是2dm，那么它的体积是( )dm3。 12．在括号里填上合适的单位。 (1)一幢教学楼的占地面积大约是480( )。 (2)一本数学书的体积大约是240( )。 (3)一瓶果汁的净含量大约是500( )。 (4)一辆汽车油箱的容积是40( )。 13．在一个长12米、宽3.5米的长方形客厅的地面上铺2厘米厚的木地板，至少需要( )立方米的木材。铺好后要在地板上涂上油漆，油漆的面积是( )平方米。 14．有一个长方体的长、宽、高分别是8厘米、2厘米、2厘米，最少要用（ ）个这样的长方体可以堆成一个正方体． 15．“一次课间休息的时间是小时”，是把( )看作单位“1”，平均分成( )份，( )的时间是这样的( )份。 16．一个正方体的棱长之和是48分米，它的体积是( )立方分米. 三、判断题 17．一个长方体蓄水池长8米、宽4米、深2米，这个蓄水池的占地面积是32平方米。( ) 18．用8块棱长是1厘米的正方体木块正好能拼成一个棱长是1分米的正方体模型。( ) 19．两个正方体的体积相等，则表面积也相等。( ) 20．用铁丝做一个长6厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体框架，至少需要14厘米长的铁丝．( ) 21．两个正方体的棱长总和相等，它们的体积和表面积都相等．( ) 22．把一块泥巴捏成正方体或长方体，它的体积不变。( ) 23．把一个长方体锯成两个正方体，体积增加了。( ) 24．一个长方体容器装满了水，长和宽都是20厘米，高5厘米，现在将一个棱长6厘米的正方体铁块放入容器中，溢出了216毫升水。( ) 四、解答题 25．一种长方体的广告灯箱，框架由铝合金条制成，各个面由灯箱布围成。制作一个这样的广告灯箱，至少需要铝合金条多少厘米？需要灯箱布多少平方厘米？ 26．小楠准备在如图的长方形纸板四个角，各剪去一个边长4厘米的正方形，做一个长方体无盖纸盒。 （1）在上图中画出示意图，注意每格代表的长度。 （2）做成的纸盒的容积是多少立方厘米？（纸板的厚度忽略不计） 27．一个正方体包装盒，棱长4.5分米，底面是木板，四周和上面用的是硬纸板。做这个包装盒至少要用多少平方分米的木板、多少平方分米的硬纸板？ 28．用若干个棱长为1立方分米的正方体木块堆成的两个长方体,都正好装满它们各自右边的容器,这两个容器各能盛水多少立方米? (1) (2) 29．把一个棱长是4分米的正方体铁块，锻造成横截面是边长为2分米的正方形铁块，能锻造多长？ 30．在一节长120厘米，宽和高都是10厘米的通风管，至少需要铁皮多少平方厘米？做12节这样的通风管需要多少平方米的铁皮？ 31．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长12分米，宽5分米，高6分米。 （1）制作这个玻璃鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ （2）在里面放180升水，这时水面有多高？ 32．把一张长20厘米的长方形硬纸板从四个角各剪去一个正方形，再折成一个高2厘米的长方体无盖纸盒，这个纸盒的容积是256立方厘米。原来长方形硬纸板的面积是多少平方厘米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C C B A C A 1．C 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据解答。 【详解】8×8×8＝512（立方厘米） 正方体的体积是512立方厘米。 故答案为：C 2．C 【详解】【错误答案】A 【错因】 错以为此题中顶点处正方体拿走不影响表面积。 【改正】 C 【反思】正方体顶点处拿走一个正方体，不影响表面积，拿走多个应具体分析，此题减少左右两个面的面积。 3．C 【分析】根据题意可知，把一根长方体木料沿横截面平均锯成2段，实际上就是这根长方体木料的体积平均分成了2份，则每段体积就是原来大长方体体积的。 【详解】把这根长方体木料的体积看作单位“1”， 锯成2段，就是平均分成了2份，则每段体积就是原来大长方体体积的。 故答案为：C 【点睛】理解平均锯成2段就是把体积平均分成两份是解决此题的关键。 4．C 5．B 【详解】试题分析：根据长方体的特征：12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，6个都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等．由此解答． 解：因为这个长方体的长、宽的长度相等，所以这个长方体上、下两个面是正方形．它的4个侧面是完全相同的长方形． 答：这个长方体中最多有4个完全相同的面． 故选B． 点评：此题主要考查长方体的认识，目的是让学生牢固掌握长方体的特征． 6．A 【分析】根据正方体展开图的特征，折叠成正方体后：1号面对应6号面，2号面对应3号面，4号面对应5号面；据此解答即可。 【详解】将下图的纸片折起来可以做成一个正方体。这个正方体2号面的对面是3号面。 故答案为：A 【点睛】本题是考查正方体的展开图，培养学生的观察能力和空间想象能力。 7．C 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，长方体的底面积是30平方厘米，也就是长方体的长×宽＝30（平方厘米），用长方体的底面积乘它的高，所得结果即为长方体的体积。 【详解】30×9＝270（立方厘米） 因此这个长方体的体积是270立方厘米。 故答案为：C 8．A 【详解】试题分析：根据长方体的体积公式：v=sh，那么h=v÷s，把数据代入公式解答． 解：80÷4=20（分米）， 答：木料的长是20分米． 故选A． 【点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 9． 8 600 1000 【分析】用最少的小正方体拼成大正方体，则大正方体的棱长用2个小正方体的棱长拼成。根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，需要用2×2×2＝8个；这个大正方体的棱长是5×2＝10厘米，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，即可解答。 【详解】2×2×2＝8（个） 5×2＝10（厘米） 表面积：10×10×6＝600（平方厘米） 体积：10×10×10＝1000（立方厘米） 【点睛】本题考查正方体的表面积和体积，明确大正方体的棱长最少用2个小正方体的棱长拼成，所以大正方体需要8个小正方体拼成是解题的关键。 10． 64 1.44 【分析】根据题意可知，盒子的棱长是4分米，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长代入计算即可；原来正方形铁皮的边长为4×3＝12（分米），根据正方形的面积＝边长×边长，代入计算即可。 【详解】4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米）； 4×3＝12（分米） 12×12＝144（平方分米） 144平方分米＝1.44平方米 这个铁皮盒的体积是64立方分米；原来正方铁形皮的面积是1.44平方米。 【点睛】此题考查了正方体体积的计算，找出正方体的棱长以及正方形的边长是解题关键。通过画图可以帮助理解。 11．24 【分析】根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，高＝棱长总和÷4－长－宽；代入数据，求出长方体的高，再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】36÷4－4－2 ＝9－4－2 ＝5－2 ＝3（dm） 4×2×3 ＝8×3 ＝24（dm3） 如果一个长方体的棱长之和是36dm，它的长是4dm，宽是2dm，那么它的体积是24dm3。 【点睛】熟练掌握长方体棱长总和公式、长方体体积公式是解答本题的关键。 12．(1)平方米/m2 (2)立方厘米/cm3 (3)毫升/mL (4)升/L 【分析】（1）教学楼的占地面积比较大，日常用平方米来描述； （2）数学书的长、宽、高一般用厘米作单位，那么体积用立方厘米作单位； （3）根据生活实际，一瓶果汁的净含量一般用毫升作单位； （4）根据生活实际，汽车油箱的容积一般用升作单位。 【详解】（1）一幢教学楼的占地面积大约是480平方米。 （2）一本数学书的体积大约是240立方厘米。 （3）一瓶果汁的净含量大约是500毫升。 （4）一辆汽车油箱的容积是40升。 【点睛】本题考查了单位的选择，掌握常见面积单位、体积单位和容积单位的大小，有一定生活经验是解题的关键。 13． 0.84 42 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，即可求出木材的体积；涂油漆的面积等于客厅的地面面积，据此解答。 【详解】2厘米＝0.02米 12×3.5×0.02 ＝42×0.02 ＝0.84（立方米）； 至少需要0.84立方米的木材； 12×3.5＝42（平方米） 油漆的面积是42平方米。 【点睛】此题考查了有关长方体的实际应用，能够把实际问题转换成数学问题，解答即可。 14．16 【详解】根据题意，要把长、宽、高分别是8厘米、2厘米、2厘米的小长方体拼成一个正方体，拼成的正方体的棱长最小是长、宽、高的最小公倍数．8和2的最小公倍数是8，根据长方体和正方体的体积公式：v=abh、v=a3  ， 用正方体的体积除以长方体的体积就可以求出需要的个数．解答此题首先根据求几个数的最小公倍数的方法，求出拼成的正方体的棱长，再根据长方体和正方体的体积公式解答． 解：拼成的正方体的棱长最小是8厘米，8×8×8÷（8×2×2）=512÷32=16（个） 15． 1小时 6 课间休息 1 【分析】根据单位“1”的意义，可知小时，是1小时看作单位“1”，平均分成6份，每份占1小时的，根据分数的意义，可知分子是几，就有几份，由此可知，课件休息的时间是这样的1份，据此解答。 【详解】根据分析可知，“一次课间休息的时间是小时”，是把1小时看作单位“1”，平均分成6份，课间休息的时间是这样的1份。 【点睛】熟练掌握分数的意义是解答本题的关键。 16．64 【详解】正方体的棱长：48÷12=4（分米） 正方体的体积：4×4×4 =16×4 =64（立方分米） 则这个正方体的体积是64立方分米. 故答案为64. 17．√ 18．× 【分析】8个棱长是1厘米的小正方体拼成一个正方体，拼成长是2厘米，宽是2厘米，高是2厘米的正方体，2厘米＝0.2分米，再进行比较，据此解答。 【详解】根据分析可知，用8块棱长是1厘米的正方体木块正好能拼成一个棱长是0.2分米的正方体模型。 原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查小正方体拼成大正方体的特点的灵活应用。 19．√ 【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，当两个正方体的体积相等，则两个正方体的棱长也相等；再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，棱长相等，则两个正方体的表面积也相等。据此判断即可。 【详解】由分析可知： 两个正方体的体积相等，则表面积也相等。说法正确。 故答案为：√ 20．× 21．√ 22．√ 【分析】物体所占空间的大小叫做物体的体积。把一块泥巴捏成正方体或长方体，它的形状改变，但所占空间大小不变，即体积不变。 【详解】根据体积的意义，把一块泥巴捏成正方体或长方体，它的体积不变。 故答案为：√ 【点睛】本题考查体积的等积变形，根据体积的意义即可解答。 23．× 【分析】根据体积的意义，物体所占空间的大小就是物体的体积；把一个长方体锯成两个正方体，表面积增加了，但体积没变，据此判断。 【详解】由分析可知，把一个长方体锯成两个正方体，体积不变，所以原题目说法错误； 故答案为：× 24．× 【分析】把一个棱长为6cm的正方体放入一个高为5cm的装满水的长方体容器中，正方体不能被完全淹没在水中。据此回答问题。 【详解】长方体体积：6×6×6＝216（立方厘米） 216立方厘米＝216毫升 正方体不能被完全淹没在水中，所以排开的水的体积小于正方体的体积。即溢出水的体积小于216毫升水 故答案为：×。 【点睛】正确理解题意，关键是理解溢出的水的体积不等于铁块的体积。 25．铝合金条：740厘米；灯箱布：18300平方厘米 【分析】由于框架是铝合金条制成，需要铝合金条多少厘米，就是求这个长方体的棱长总和，根据长方体的棱长总和公式：（长＋宽＋高）×4，把数代入即可求解；灯箱布就是求长方体的表面积，根据长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数代入即可求解。 【详解】（60＋15＋110）×4 ＝185×4 ＝740（厘米） （60×15＋60×110＋15×110）×2 ＝（900＋6600＋1650）×2 ＝9150×2 ＝18300（平方厘米） 答：至少需要铝合金条740厘米；需要灯箱布18300平方厘米。 【点睛】本题主要考查长方体的棱长总和公式和表面积公式，熟练掌握它的公式并灵活运用。 26．（1） （2）640立方厘米 【分析】（1）根据图形可知，12格表示24厘米，那么用1格表示24÷12＝2（厘米），正方形的边长为4÷2＝2（格），据此画图； （2）这个纸盒的长为24－4－4（厘米），宽为18－4－4（厘米），高为4厘米，长×宽×高即为这个纸盒的容积。 【详解】（1）作图如下： （2）（24－4－4）×（18－4－4）×4 ＝16×10×4 ＝640（立方厘米） 答：做成的纸盒的容积是640立方厘米。 【点睛】考查了长方体的容积，解题的关键是分析出长方体纸盒的长、宽和高是多少。 27．木板：20.25平方分米；硬纸板：101.25平方分米 【分析】棱长×棱长即为要用木板的面积；棱长×棱长×5即为要用硬纸板的面积。 【详解】4.5×4.5＝20.25（平方分米） 20.25×5＝101.25（平方分米） 答：做这个包装盒至少要用20.25平方分米的木板、101.25平方分米的硬纸板。 【点睛】此题考查了正方体表面积公式的灵活应用。 28．(1)0.036立方米 (2)0.048立方米 29．16分米 【分析】先利用正方体的体积V＝a3求出这个正方体的铁块的体积，再依据锻造前后这块铁块的体积不变，利用长方体的体积V＝abh，即可求出这个长方体的长。 【详解】4×4×4÷（2×2） ＝64÷4 ＝16（分米） 答：能锻造16分米长。 【点睛】此题主要考查正方体和长方体的体积的计算方法，关键要明白：锻造前后这块铁块的体积不变。 30．4800平方厘米；5.76平方米 【分析】通风管没有上下两个面，先求出一节需要多少铁皮，然后再求出12节需要多少铁皮． 【详解】120×10×2＋120×10×2=4800（平方厘米），4800×12=57600（平方厘米） 57600平方厘米=5.76平方米 答：至少需要铁皮4800平方厘米，做12节这样的通风管需要5.76平方米铁皮。 31．（1）264平方分米； （2）3分米 【分析】（1）由题意可知：玻璃鱼缸只有下、左、右、前、后5个面，带入长方体表面积公式计算即可。 （2）180升＝180立方分米，用水的体积÷鱼缸的底面积即可。 【详解】（1）12×5＋12×6×2＋5×6×2 ＝60＋144＋60 ＝264（平方分米） 答：制作这个玻璃鱼缸至少需要264平方分米的玻璃。 （2）180升＝180立方分米 180÷（12×5） ＝180÷60 ＝3（分米） 答：在里面放180升水，这时水面高3分米。 【点睛】本题主要考查长方体表面积、体积公式的实际应用。 32．240平方厘米 【分析】根据题意，用20－2×2求出纸盒的长，已知纸盒的容积是256立方厘米，高是2厘米，根据长方体体积＝长×宽×高，即可求出宽，然后用宽＋2×2求出纸板的宽，再根据长方形面积＝长×宽即可解答。 【详解】256÷2÷（20－2×2） ＝128÷16 ＝8（厘米） 20×（8＋2×2） ＝20×12 ＝240（平方厘米） 答：原来长方形硬纸板的面积是240平方厘米。 【点睛】此题主要考查学生对长方体体积公式和长方形面积公式的灵活应用。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$