第四单元多边形的面积（讲义）2024-2025学年五年级上册数学北师大版

多边形的面积 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话:同学们,恭喜你已经开启了本单元的求知之旅,相信你已经正确规划了自己的学习任务,本套资料为课前预习,课中巩固,课后提升而设计,对单元知识点进行全面精讲,易错点逐个分解,强化练习常考易错真题,答案解析非常通俗易懂,可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题! 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分:思维导图:单元知识简单且高效的发散性思维呈现,是一种实用性的知识小结。 第二部分:知识精讲:把握知识要点,掌握方法技巧,理解数学本质,提升数学思维。 第三部分:典型例题:选题典型、高频易错、考试母题,具有理解一题,掌握一类的优势。 第四部分:高频真题:精选近两年统考真题,助您学习有方向,做好题,达到事半功倍的效果。 第五部分:答案解析:重点、难点题精细化解析,犹如名师讲解,可以轻松理解。 第一部分 思维导图 第二部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 1.长方形、正方形的面积 【知识点归纳】 长方形面积=长 宽,用字母表示:S=ab 正方形面积=边长 边长,用字母表示:S=a2. 【解题思路点拨】 (1)常规题求正方形面积,先求出边长,代入公式即可求得;求长方形面积,分别求出长和宽,代入公式即可求得,面积公式要记牢. (2)其他求法可通过分割补,灵活性高. 2.平行四边形的面积 【知识点归纳】 平行四边形面积=底 高,用字母表示:S=ah.(a表示底,h表示高) 【解题思路点拨】 (1)常规题求平行四边形面积,从已知中求出平行四边形的底,以及底相对应的高,代入公式即可求得. 3.梯形的面积 【知识点归纳】 梯形面积=(上底+下底) 高 2. 4.三角形的周长和面积 【知识点归纳】 三角形的周长等于三边长度之和. 三角形面积=底 高 2. 第三部分 典型例题 例题1:一块黑板的长是4.5米,宽是1.2米。如果每平方米黑板的造价是40元,那么这块黑板的造价是多少元? 【考点】长方形、正方形的面积. 【答案】216元。 【分析】先依据长方形的面积公式计算出黑板的面积,再乘每平方米需要的钱数,即可得解。 【解答】解:4.5 1.2 40 =5.4 40 =216(元) 答:这块黑板的造价是216元。 【点评】此题主要考查长方形的面积的计算方法在实际生活中的应用。 例题2:如图,一面靠墙,其余面用80米长的篱笆围了一个梯形养鸡场。求养鸡场的占地面积? 【考点】梯形的面积. 【答案】600平方米。 【分析】由图形可知:养鸡场的形状是一个直角梯形,首先求出梯形上、下底的和,再根据梯形的面积公式:S=(a+b) h 2,把数据代入公式解答。 【解答】解:(80﹣20) 20 2 =60 20 2 =1200 2 =600(平方米) 答:养鸡场的占地面积是600平方米。 【点评】此题主要考查梯形面积公式的灵活运用。 例题3:如图,李阿姨用儿童专用防护栏围了一个边长是12m的正方形游乐园,如果用这些防护栏改围成一个长方形游乐园,游乐园一面靠墙,长是30m,前后哪种围法所围成的游乐园面积大? 【考点】长方形、正方形的面积. 【答案】围成一面靠墙的长方形的游乐园。 【分析】先用边长乘4求出防护栏的总长度,再用总长度减去30米,除以2求出长方形的宽;再分别计算出长方形和正方形的面积,最后比较大小即可。 【解答】解:12 4=48(米) (48﹣30) 2 =18 2 =9(米) 12 12=144(平方米) 30 9=270(平方米) 144<270 答:围成一面靠墙的长方形的游乐园的面积大。 【点评】本题考查了长方形和正方形的周长和面积公式的灵活运用。 例题4:一块长方形花圃扩建时,将花圃的宽增加17米,长不变,这时花圃交成了正方形,面积增加了731平方米,原来花圃的面积是多少平方米? 【考点】长方形、正方形的面积. 【答案】1118平方米。 【分析】用增加的面积除以17米,算出原来长方形的长,再根据长方形的面积=长 宽,求出原来花圃的面积即可。 【解答】解:731 17=43(米) 43 (43﹣17) =43 26 =1118(平方米) 答:原来花圃的面积是1118平方米。 【点评】熟练掌握长方形的面积公式,是解答此题的关键。 第四部分 高频真题 1.下面说法正确的是( ) A.两个长方形的周长相等,面积也一定会相等。 B.边长是4米的正方形,它的周长和面积相等。 C.当周长相等时,正方形的面积比长方形大。 2.边长为4厘米的正方形,关于它的周长和面积,说法正确的是( ) A.周长和面积一样大 B.面积更大,周长更小 C.周长更大,面积更小 D.无法比较 3.小明在数学课上探究三角形的特征,用长6、8、9cm的小棒摆三角形,他摆了又撤,撤了又摆。发现这些三角形( ) A.形状不同,周长不等。 B.形状不同,周长相等。 C.形状相同,周长不等。 D.形状相同,周长相等。 4.一个正方形的面积是121平方厘米,它的边长是( ) A.11厘米 B.12厘米 C.10厘米 D.13厘米 5.正方形的边长扩大到原来的3倍,它的面积就扩大到原来的( )倍。 A.3 B.6 C.9 D.不变 6.一个正方形的边长是6cm,如果把它的边长增加2cm,则面积增加( )cm2. A.28 B.12 C.4 7.周长是16厘米的正方形,它的面积是( ) A.16厘米 B.16平方厘米 C.4平方厘米 8.一摞书(如图),从前面看是一个长方形,把它均匀地斜放,从前面看变成了近似的平行四边形,那么现在的平行四边形与原来的长方形相比,( ) A.周长不变,面积不变。 B.周长变大,面积不变。 C.周长不变,面积变小。 D.周长变大,面积变小。 9.一个正方形的周长是24厘米,它的面积是 平方厘米. 10.一个直角梯形,如果把它的下底缩短3厘米,就成为一个边长为12厘米的正方形,这个直角梯形的面积是 平方厘米。 11.一块正方形木板,一边截去15cm,另一边截去10cm,剩下的木板的面积比原来的面积减少了1750cm2,那么原来正方形木板的边长是 cm。 12.从一张长28厘米,宽23厘米的长方形纸上剪下一个最大的正方形,这个正方形的面积是 平方厘米,剩下图形的面积是 平方厘米。 13.在一个长是18分米、宽是15分米的长方形纸中剪下一个最大的正方形,剩余纸的面积是 平方分米。 14.边长10厘米的正方形,面积是 平方分米. 15.一个等腰三角形两条边长分别为5厘米和10厘米,则这个三角形的周长是 厘米。 16.计算下面各图形的面积。(单位:dm) 17.求下面图形的面积。 18.计算下面各图形的面积。(单位:cm) 19.一块菜地长12米,宽8米。在菜地的一端要留出一块最大的正方形地种土豆,其余的种辣椒。种土豆的面积是多少?种辣椒的面积是多少? 20.如图,王大伯用篱笆靠墙围了一块长18米,宽12米的长方形菜地。篱笆长多少米?如果用菜地的种辣椒,辣椒地的种植面积是多少平方米? 21.一块等腰三角形的绿地,它的周长是185米,底是81米,它的一条腰是多少米? 22.建新街小学校有一块长15米,宽6米的长方形空地,用边长是2分米的正方形地砖铺满这块空地,需要多少块地砖? 23.有一面墙壁,中间是一个正方形电子屏,四周用4平方分米的大理石方砖来铺,需要多少块方砖? 参考答案与试题解析 1.下面说法正确的是( ) A.两个长方形的周长相等,面积也一定会相等。 B.边长是4米的正方形,它的周长和面积相等。 C.当周长相等时,正方形的面积比长方形大。 【考点】长方形、正方形的面积;长方形的周长;正方形的周长. 【答案】C 【分析】正方形的面积=边长 边长,正方形的周长=边长 4,长方形的周长=(长+宽) 2;长方形的面积=长 宽,依此通过假设法进行计算并判断即可。 【解答】解:A.假设一个长方形的长是6厘米、宽是2厘米,另一个长方形的长是5厘米、宽是3厘米,可得:(6+2) 2=8 2=16(厘米),6 2=12(平方厘米);(5+3) 2=8 2=16(厘米),5 3=15(平方厘米),16厘米=16厘米,12平方厘米<15平方厘米,由此可知,长为6厘米、宽为2厘米的长方形,与长5厘米、宽3厘米的长方形的周长相等,但面积不相等,因此两个长方形的周长相等,面积不一定会相等;即原说法错误。 B.4 4=16(米),4 4=16(平方米),16米与16平方米无法比较,即原说法错误。 C.当长方形和正方形的周长相等时,正方形的边长差是0,小于长方形的长与宽的差,所以正方形的边长 边长>长方形的长 宽;举例:3 4=12(厘米)、(4+2) 2=6 2=12(厘米),3 3=9(平方厘米)、4 2=8(平方厘米),12厘米=12厘米,9平方厘米>8平方厘米,边长3厘米的正方形和长是4厘米、宽是2厘米的长方形的周长相等,正方形的面积比长方形的大。 故选:C。 【点评】两个长方形的周长相等,是它们长与宽的和相等,但是积不一定相等;两个长方形的面积相等,是它们长与宽的积相等,但是长与宽的和不一定相等。 2.边长为4厘米的正方形,关于它的周长和面积,说法正确的是( ) A.周长和面积一样大 B.面积更大,周长更小 C.周长更大,面积更小 D.无法比较 【考点】长方形、正方形的面积;正方形的周长. 【答案】D 【分析】面积和周长是两个不同的定义,它们的计算公式不同,所用的单位不同,所以无法比较,据此解答即可。 【解答】解:边长为4厘米的正方形的周长为4 4=16(厘米),面积为4 4=16(平方厘米); 因为它们的单位不一样,所以无法比较。 故选:D。 【点评】本题考查了正方形的周长和面积的定义。 3.小明在数学课上探究三角形的特征,用长6、8、9cm的小棒摆三角形,他摆了又撤,撤了又摆。发现这些三角形( ) A.形状不同,周长不等。 B.形状不同,周长相等。 C.形状相同,周长不等。 D.形状相同,周长相等。 【考点】三角形的周长和面积. 【答案】D 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,因为三边都相等,所以围成的图形形状相同,大小也相等;由此解答即可。 【解答】解:因为6+8>9,所以能摆成三角形,且形状相同,周长相等。 故选:D。 【点评】本题考查了任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,根据题意解答即可。 4.一个正方形的面积是121平方厘米,它的边长是( ) A.11厘米 B.12厘米 C.10厘米 D.13厘米 【考点】长方形、正方形的面积. 【答案】A 【分析】依据正方形的面积S=a2,代入数据即可求解。 【解答】解:因为11 11=121, 所以它的边长是11厘米。 故选:A。 【点评】此题主要考查正方形的面积的计算方法的灵活应用。 5.正方形的边长扩大到原来的3倍,它的面积就扩大到原来的( )倍。 A.3 B.6 C.9 D.不变 【考点】长方形、正方形的面积. 【答案】C 【分析】正方形的面积:S=a2,设原来的边长为a,则扩大后的边长为3a,求出扩大后的面积进行比较即可。 【解答】解:设原来的边长为a 原正方形的面积:S=a2 扩大后正方形的面积:S=3a 3a=9a2 9a2 a2=9 答:它的面积就扩大到原来的9倍。 故选:C。 【点评】本题主要考查了学生对正方形面积公式的掌握。 6.一个正方形的边长是6cm,如果把它的边长增加2cm,则面积增加( )cm2. A.28 B.12 C.4 【考点】长方形、正方形的面积. 【答案】A 【分析】正方形的边长是6cm,根据正方形面积公式,其面积是6 6平方厘米,边长增加2cm,则边长变为6+2厘米,面积变为(6+2) (6+2)平方厘米,再相减即可求解. 【解答】解:(6+2) (6+2)﹣6 6 =8 8﹣36 =64﹣36 =28(平方厘米) 答:面积增加28cm2. 故选:A. 【点评】首先根据正方形的面积公式求出原面积及边长增加后的面积是完成本题的关键. 7.周长是16厘米的正方形,它的面积是( ) A.16厘米 B.16平方厘米 C.4平方厘米 【考点】长方形、正方形的面积;正方形的周长. 【答案】B 【分析】根据正方形的周长公式C=4a,可知a=C 4,求出正方形的边长,再根据正方形的面积公式S=a a,即可求出正方形的面积,列式解答即可. 【解答】解:16 4=4(厘米) 4 4=16(平方厘米) 答:它的面积是16平方厘米. 故选:B. 【点评】本题主要是灵活利用正方形的周长公式与正方形的面积公式解决问题. 8.一摞书(如图),从前面看是一个长方形,把它均匀地斜放,从前面看变成了近似的平行四边形,那么现在的平行四边形与原来的长方形相比,( ) A.周长不变,面积不变。 B.周长变大,面积不变。 C.周长不变,面积变小。 D.周长变大,面积变小。 【考点】平行四边形的面积. 【答案】B 【分析】观察图可知,把一摞书先摆成长方体,再均匀地斜放,则前面由长方形变成一个近似平行四边形,有两条边长度变长了,所以这个长方形和近似平行四边形相比,周长变大了,底与长方形的长相等,高与长方形的宽相等,所以面积不变。 【解答】解:由分析可知: 从前面看是一个长方形,把它均匀地斜放,从前面看变成了近似的平行四边形,那么现在的平行四边形与原来的长方形相比,周长变大,面积不变。 故选:B。 【点评】本题主要考查了周长的定义以及平行四边形和长方形的面积公式,找出不变的量是本题解题的关键。 9.一个正方形的周长是24厘米,它的面积是 36 平方厘米. 【考点】长方形、正方形的面积;正方形的周长. 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据正方形的周长公式求出这个正方形的边长是24 4=6(厘米),再利用正方形的面积=边长 边长计算即可解答. 【解答】解:24 4=6(厘米), 6 6=36(平方厘米). 答:正方形的面积是36平方厘米. 故答案为:36. 【点评】此题考查了正方形的周长与面积公式的计算应用. 10.一个直角梯形,如果把它的下底缩短3厘米,就成为一个边长为12厘米的正方形,这个直角梯形的面积是 162 平方厘米。 【考点】梯形的面积. 【答案】162。 【分析】根据题意可知,梯形的高等于上底,梯形的下底比上底长3厘米,根据梯形的面积公式:S=(a+b)h 2,把数据代入公式解答。 【解答】解:12+3=15(厘米) (12+15) 12 2 =27 12 2 =324 2 =162(平方厘米) 答:这个梯形的面积是162平方厘米。 故答案为:162。 【点评】此题主要考查梯形面积公式的灵活运用,关键是熟记公式。 11.一块正方形木板,一边截去15cm,另一边截去10cm,剩下的木板的面积比原来的面积减少了1750cm2,那么原来正方形木板的边长是 76 cm。 【考点】长方形、正方形的面积. 【答案】76。 【分析】如下图,设正方形的边长为xcm,剩下的木板的面积比原来的面积减少了1750cm2,正好就是两个被剪掉的长方形的面积和。则数量关系式为:长为xcm、宽为15cm的长方形的面积+长为(x﹣15)cm、宽为10cm的长方形的面积=1750cm2,据此列出方程求出正方形的边长。 【解答】解:设原正方形的边长为xcm。 15x+(x﹣15) 10=1750 15x+10x﹣15 10=1750 25x﹣150=1750 25x=1900 x=76 答:原来正方形木板的边长是76cm。 故答案为:76。 【点评】本题考查长方形、正方形面积公式的应用,灵活应用公式是解题的关键。 12.从一张长28厘米,宽23厘米的长方形纸上剪下一个最大的正方形,这个正方形的面积是 529 平方厘米,剩下图形的面积是 115 平方厘米。 【考点】长方形、正方形的面积. 【答案】529,115。 【分析】根据题意,在一张长28厘米,宽23厘米的长方形纸上剪下一个最大的正方形,这个正方形的边长应为23厘米,然后根据正方形的面积=边长 边长求出它的面积;剩下的部分是一个长为23厘米,宽为(28﹣23)厘米的长方形,再根据长方形的面积=长 宽,即可求出剩下部分的面积。 【解答】解:23 23=529(平方厘米) 23 (28﹣23) =23 5 =115(平方厘米) 答:这个正方形的面积是529平方厘米,剩下图形的面积是115平方厘米。 故答案为:529,115。 【点评】此题考查的是长方形与正方形的面积计算,需牢记长方形和正方形的面积公式。 13.在一个长是18分米、宽是15分米的长方形纸中剪下一个最大的正方形,剩余纸的面积是 45 平方分米。 【考点】长方形、正方形的面积. 【答案】45。 【分析】根据题意可知,在这个长方形中剪去一个最大的正方形,这个正方形的边长等于长方形的宽,剩余部分的长是15分米,宽是(18﹣15)分米,根据长方形的面积=长 宽,把数据代入公式解答。 【解答】解:15 (18﹣15) =15 3 =45(平方分米) 答:剩余纸的面积是45平方分米。 故答案为:45。 【点评】此题主要考查长方形面积公式的灵活运用,关键是熟记公式。 14.边长10厘米的正方形,面积是 1 平方分米. 【考点】长方形、正方形的面积. 【答案】见试题解答内容 【分析】根据正方形的面积=边长 边长,把数据代入公式解答。 【解答】解:10 10=100(平方厘米) 100平方厘米=1平方分米 答:面积是1平方分米。 故答案为:1。 【点评】此题主要考查正方形面积公式的灵活运用,关键是熟记公式。 15.一个等腰三角形两条边长分别为5厘米和10厘米,则这个三角形的周长是 25 厘米。 【考点】三角形的周长和面积. 【答案】25。 【分析】根据三角形的特性:两边之和大于第三边,三角形的两边的差一定小于第三边;判断出该三角形的腰为10厘米,进而根据三角形的周长计算方法解答即可。 【解答】解:5+10+10=25(厘米) 答:这个三角形的周长是25厘米。 故答案为:25。 【点评】此题主要考查了三角形的特性和三角形周长的计算方法。 16.计算下面各图形的面积。(单位:dm) 【考点】长方形、正方形的面积. 【答案】45dm2;36dm2。 【分析】长方形面积=长 宽,正方形的面积=边长 边长,据此即可求解。 【解答】解:9 5=45(dm2) 答:图形的面积是45dm2; 6 6=36(dm2) 答:图形的面积是36dm2。 【点评】此题主要考查正方形、长方形的面积公式的计算应用。 17.求下面图形的面积。 【考点】三角形的周长和面积;平行四边形的面积;梯形的面积. 【答案】17.5平方厘米;60平方分米;55平方厘米。 【分析】利用三角形面积公式:S=ah 2,平行四边形面积公式:S=ah,梯形面积公式:S=(a+b)h 2计算即可。 【解答】解:5 7 2=17.5(平方厘米) 答:三角形的面积是17.5平方厘米。 8 7.5=60(平方分米) 答:平行四边形的面积是60平方分米。 (7.4+3.6) 10 2 =11 10 2 =55(平方厘米) 答:梯形的面积是55平方厘米。 【点评】本题主要考查规则图形的面积公式的应用。 18.计算下面各图形的面积。(单位:cm) 【考点】平行四边形的面积;梯形的面积;三角形的周长和面积. 【答案】(1)40平方厘米; (2)24.5平方厘米; (3)450平方厘米。 【分析】根据平行四边形的面积=底 高,三角形的面积=底 高 2,梯形的面积=(上底+下底) 高 2,解答此题即可。 【解答】解:(1)10 4=40(平方厘米) 答:平行四边形的面积是40平方厘米。 (2)14 3.5 2=24.5(平方厘米) 答:三角形的面积是24.5平方厘米。 (3)(40+20) 15 2 =60 15 2 =450(平方厘米) 答:梯形的面积是450平方厘米。 【点评】熟练掌握平行四边形、三角形、梯形的面积公式,是解答此题的关键。 19.一块菜地长12米,宽8米。在菜地的一端要留出一块最大的正方形地种土豆,其余的种辣椒。种土豆的面积是多少?种辣椒的面积是多少? 【考点】长方形、正方形的面积. 【答案】64平方米,32平方米。 【分析】在这块长方形地中划出一个面积最大的正方形种土豆,这个正方形的边长等于长方形的宽,根据正方形的面积公式:S=a2,把数据代入公式即可求出种土豆的面积,然后用原来的面积减去种土豆的面积就是种辣椒的面积,据此解答。 【解答】解:8 8=64(平方米) 8 12﹣64 =96﹣64 =32(平方米) 答:种土豆的面积是64平方米,种辣椒的面积是32平方米。 【点评】此题主要考查长方形、正方形的面积公式在实际生活中的应用。 20.如图,王大伯用篱笆靠墙围了一块长18米,宽12米的长方形菜地。篱笆长多少米?如果用菜地的种辣椒,辣椒地的种植面积是多少平方米? 【考点】长方形、正方形的面积;长方形的周长. 【答案】48米;162平方米。 【分析】篱笆的长=长方形的两个长+一个宽,根据长方形的面积=长 宽,求出长方形的面积,再乘即可。 【解答】解:18 2+12 =36+12 =48(米) 18 12 =216 =162(平方米) 答:篱笆长48米,辣椒地的种植面积是162平方米。 【点评】熟练掌握长方形的面积公式,是解答此题的关键。 21.一块等腰三角形的绿地,它的周长是185米,底是81米,它的一条腰是多少米? 【考点】三角形的周长和面积. 【答案】52米。 【分析】三角形的周长和底长已知,因为等腰三角形的两条腰相等,所以利用三角形的周长减去底长,再除以2即可解答。 【解答】解:(185﹣81) 2 =104 2 =52(米) 答:它的一条腰是52米。 【点评】此题考查三角形的周长的定义以及等腰三角形两腰相等的性质的灵活应用。 22.建新街小学校有一块长15米,宽6米的长方形空地,用边长是2分米的正方形地砖铺满这块空地,需要多少块地砖? 【考点】长方形、正方形的面积. 【答案】2250块。 【分析】用长方形空地的面积除以正方形地砖的面积即可,注意单位要统一。 【解答】解:15米=150分米 6米=60分米 150 60 (2 2) =9000 4 =2250(块) 答:需要2250块。 【点评】吧net主要考查长方形、正方形面积公式的应用。 23.有一面墙壁,中间是一个正方形电子屏,四周用4平方分米的大理石方砖来铺,需要多少块方砖? 【考点】长方形、正方形的面积. 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据正方形面积公式S=a2求出四周需要铺方砖的面积,再除以一块方砖的面积即可求解.注意单位的换算. 【解答】解:4平方分米=0.04平方米 (8 8﹣6 6) 0.04 =(64﹣36) 0.04 =28 0.04 =700(块) 答:需要700块方砖. 【点评】此题考查了正方形面积公式的实际应用. 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $$