新课预习衔接：组合图形的面积(讲义)-2024-2025学年五年级上册数学北师大版

组合图形的面积 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：思维导图：单元知识简单且高效的发散性思维呈现，是一种实用性的知识小结。 第二部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第三部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第四部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第五部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 思维导图 第二部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 1．大面积单位间的进率及单位换算 【知识点归纳】 1平方千米＝100公顷＝1000000平方米 1公顷＝10000平方米 2．长方形、正方形的面积 【知识点归纳】 长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab 正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2． 【解题思路点拨】 （1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢． （2）其他求法可通过分割补，灵活性高． 3．平行四边形的面积 【知识点归纳】 平行四边形面积＝底×高，用字母表示：S＝ah．（a表示底，h表示高） 【解题思路点拨】 （1）常规题求平行四边形面积，从已知中求出平行四边形的底，以及底相对应的高，代入公式即可求得． 4．组合图形的面积 【知识点归纳】 方法： ①“割法”：观察图形，把图形进行分割成容易求得的图形，再进行相加减． ②“补法”：观察图形，给图形补上一部分，形成一个容易求得的图形，再进行相加减． ③“割补结合”：观察图形，把图形分割，再进行移补，形成一个容易求得的图形． 第三部分 典型例题 例题1：王伯伯在一块梯形果园里修了一条底长为1 米、高为12米的平行四边形小路（如图）。阴影部分的果园种桃树，求桃树的面积是多少平方米？ 【考点】组合图形的面积． 【答案】324平方米。 【分析】阴影部分的面积等于梯形面积减去平行四边形的面积。利用梯形面积公式：S＝（a+b）h÷2，平行四边形的面积：S＝ah。 【解答】解：（22+34）×12÷2﹣1×12 ＝336﹣12 ＝324（平方米） 答：桃树的面积是324平方米。 【点评】本题主要考查组合图形的面积，关键利用规则图形的面积公式计算。 例题2：阳光小学有一块劳动基地（如图），今年学校计划A地种萝卜，B地种白菜，C地种青椒。 （1）如果种青椒的面积是20平方米，那么种萝卜的面积是多少平方米？ （2）如果每平方米能收白菜27kg，那么B地能收白菜多少千克？ 【考点】组合图形的面积． 【答案】（1）48平方米，（2）1296千克。 【分析】对于（1），依据C地青椒的面积和底求出C地的高即A地的高，即三角形高＝面积×2÷底，再利用梯形面积＝（上底+下底）×高÷2计算即可； 对于（2），先利用平行四边形面积＝底×高求出B地面积，再乘27即可解答。 【解答】解：（1）20×2÷5 ＝40÷5 ＝8（m） （3+9）×8÷2 ＝12×8÷2 ＝96÷2 ＝48（m2） 答：种萝卜的面积是48平方米。 （2 ）6×8＝48（m2） 48×27＝1296（kg） 答：B地收白菜1296千克。 【点评】本题主要考查了三角形、梯形、平行四边形面积公式的应用，熟练掌握三角形、梯形、平行四边形面积公式是解答本题的关键。 例题3：某小区物业要在小区规划一些停车位，以其中一块长方形用地规划为例，为了方便车辆进出，每个停车位都设计为大小相同的平行四边形。左右空余部分作为绿地，如图所示。 （1）每个停车位的面积是多少平方米？ （2）铺设绿地面积的总和是多少平方米？ 【考点】组合图形的面积． 【答案】（1）18平方米； （2）20平方米。 【分析】（1）利用平行四边形面积公式：S＝ah计算其面积。 （2）求绿地面积的和，就是求三角形面积和梯形面积的和。利用三角形面积公式：S＝ah，梯形面积公式：S＝（a+b）h÷2，计算即可。 【解答】解：（1）3×6＝18（平方米） 答：每个停车位的面积是18平方米。 （2）6×2÷2+（4+6+4）×2÷2 ＝6+14×2÷2 ＝6+14 ＝20（平方米） 答：铺设绿地面积的总和是20平方米。 【点评】本题主要考查组合图形的面积，关键是利用规则图形面积计算。 第四部分 高频真题 1．图是两个完全相同的平行四边形，图中阴影部分的面积相比，（　　） A．①＞② B．①＜② C．①＝② D．无法确定 2．从长方形纸上剪掉一个正方形（如图）。则（　　） A．周长不变，面积变小 B．周长变短，面积变大 C．周长变长，面积变小 3．如图，4个完全相同的平行四边形中阴影部分的面积相比较，（　　） A．甲的阴影部分面积最大 B．丙的阴影部分面积最大 C．丁的阴影部分面积最大 D．甲、乙、丙、丁阴影部分面积一样大 4．用三根同样长的绳子，分别围成一个长方形、正方形和圆形，面积最大的是（　　） A．长方形 B．正方形 C．圆形 D．平行四边形 5．用3段一样长的铁丝，分别围成一个正三角形、一个正方形、一个圆．在围成的图形中，（　　）的面积最大． A．圆 B．正方形 C．三角形 D．不确定 6．如图中阴影甲、阴影乙是梯形中的两个三角形，它两的面积（　　） A．相等 B．甲大 C．乙大 D．不确定 7．比较如图中平行线间的两个图形的面积（　　） A．它们的面积相等 B．梯形的面积大些 C．平行四边形的面积大些 8．数一数，填一填。 图A的面积是　 　平方厘米，图B的面积是　 　平方厘米，图C的面积是　 　平方厘米。 9．在图中标出割补方法后，再求面积。 10．如图是李爷爷家的菜地，请你帮李爷爷算出这块菜地的面积。 11．求图中彩色部分的面积（单位：厘米）。 12．求阴影部分的面积（单位：厘米） 13．求下面各图形的面积。（单位：厘米） （1）求平行四边形的面积。 （2）求组合图形的面积。 14．求出下面阴影部分的面积。（单位：分米） 15．算一算下面组合图形的面积。（单位：厘米） 16．如图，一块长方形草地，长方形的长未知，宽是12米，中间铺了一条石子路，路的面积是40平方米．那么草地部分面积有多大？ 17．压路机依靠前面圆柱形大滚筒压路，已知滚筒底面圆的直径是1m，每分钟转10圈，那么1小时压路机压的路有多长？ 参考答案与试题解析 1．图是两个完全相同的平行四边形，图中阴影部分的面积相比，（　　） A．①＞② B．①＜② C．①＝② D．无法确定 【考点】组合图形的面积． 【答案】C 【分析】这两个平行四边形中，阴影部分面积都是平行四边形面积的一半，由此即可判断它们面积的大小。 【解答】解：两图中，阴影部分均为平行四边形面积的一半，而两个平行四边形的面积相等，由此可得：阴影部分的面积都相等。 故选：C。 【点评】此题主要考查三角形面积是与它等底等高的平行四边形的面积的一半，及平行四边形的特点，结合题意分析解答即可。 2．从长方形纸上剪掉一个正方形（如图）。则（　　） A．周长不变，面积变小 B．周长变短，面积变大 C．周长变长，面积变小 【考点】组合图形的面积；长方形、正方形的面积． 【答案】C 【分析】剪下正方形前后，图形的面积少了正方形的面积，周长少正方形的一条边的同时，增加了三条边长。据此解答。 【解答】解：从长方形纸上剪掉一个正方形如图），则周长变长，面积变小。 故选：C。 【点评】本题主要考查图形的剪拼，关键培养学生的观察能力。 3．如图，4个完全相同的平行四边形中阴影部分的面积相比较，（　　） A．甲的阴影部分面积最大 B．丙的阴影部分面积最大 C．丁的阴影部分面积最大 D．甲、乙、丙、丁阴影部分面积一样大 【考点】组合图形的面积． 【答案】D 【分析】由图可知，图形甲、乙、丁中阴影部分的底等于平行四边形的底，高等于平行四边形的高，则阴影部分面积都为平行四边形面积的一半；图形丙中，两个阴影部分的高都等于平行四边形的高，对应的底边之和等于平行四边形的底，则阴影部分面积为平行四边形面积的一半，据此解答。 【解答】解：由分析可知，各个图形中阴影部分的面积都等于平行四边形面积的一半，4个平行四边形完全相同，所以各图中阴影部分的面积一样大。 故选：D。 【点评】解答本题需明确阴影部分与平行四边形之间的关系。 4．用三根同样长的绳子，分别围成一个长方形、正方形和圆形，面积最大的是（　　） A．长方形 B．正方形 C．圆形 D．平行四边形 【考点】组合图形的面积． 【答案】C 【分析】假设绳子的长度是4，这个4就是长方形、正方形和圆的周长， 利用正方形的周长公式，求出正方形的边长，就是4÷4＝1，再利用正方形的面积公式求出正方形的面积； 利用长方形的周长公式，求出长方形的长与宽的和就是4÷2＝2，然后求出长方形的面积； 运用圆的周长公式求出半径，进一步求出圆的面积，通过面积的比较再作出选择． 【解答】解：假设绳子的长度是4，长方形、正方形和圆的周长都是4， 正方形的面积： 4÷4＝1 1×1＝1 长方形的面积： 4÷2＝2 假设长是1.6，宽是0.4， 1.6×0.4＝0.64 圆的面积是： 3.14×（4÷3.14÷2）2 ＝3.14× ＝ ＝ ＝ ， 因此，圆的面积最大． 故选：C． 【点评】本题运用长方形、正方形、圆的面积公式进行解答即可．以后记住周长相同的所有图形中，圆的面积最大． 5．用3段一样长的铁丝，分别围成一个正三角形、一个正方形、一个圆．在围成的图形中，（　　）的面积最大． A．圆 B．正方形 C．三角形 D．不确定 【考点】组合图形的面积． 【答案】A 【分析】用3段一样长的铁丝，分别围成一个正多边形，越接近圆形，面积越大，当围成的图形是圆时，面积最大；据此选择即可． 【解答】解：由分析可知：周长相等的正方形、正三角形和圆形，圆面积最大； 故选：A． 【点评】解答此题应明确：周长相等的正方形、长方形、正三角形和圆形，圆面积最大． 6．如图中阴影甲、阴影乙是梯形中的两个三角形，它两的面积（　　） A．相等 B．甲大 C．乙大 D．不确定 【考点】组合图形的面积． 【答案】A 【分析】由图可知，两个阴影三角形分别加上顶部的空白三角形后组成两个新的三角形，由于这两个新三角形是等底等高的，面积相等，所以两个阴影三角形的面积是相等的． 【解答】解：把各顶点加上字母如图： 由于△ABD和△ADC是等底等高的， 所以S△ABD＝S△ADC， 又由于S△ABD＝S△ABO+S△AOD，S△ADC＝S△DCO+S△AOD， 所以S△ABO＝S△DCO； 故选：A． 【点评】此类题目可借助“等底等高的三角形面积相等”来解答． 7．比较如图中平行线间的两个图形的面积（　　） A．它们的面积相等 B．梯形的面积大些 C．平行四边形的面积大些 【考点】组合图形的面积． 【答案】A 【分析】由于平行线间的距离处处相等，即平行四边形、梯形等高，设高为h．根据梯形的面积计算公式可求出梯形的面积是（2+6）×h÷2＝4h（平方厘米），根据平行四边形的面积计算公式求出平行四边形的面积是4h平方厘米．由此可见，它们的面积相等． 【解答】解：由于平行四边形、梯形等高，设高为h厘米 梯形的面积为（2+6）×h÷2＝4h（平方厘米） 平行四边形的面积为4×h＝4h（平方厘米） 答：它们的面积相等． 故选：A． 【点评】由于平行四边形与梯形等高，根据平行四形的面积计算公式“S＝ah”、梯形的面积计算公式“S＝（a+b）h÷2”，只梯形的上、下底的平均数与梯形的底相等，梯形与平行四边形的面积就相等． 8．数一数，填一填。 图A的面积是　6　平方厘米，图B的面积是　7　平方厘米，图C的面积是　8　平方厘米。 【考点】组合图形的面积． 【答案】6，7，8。 【分析】观察上图可知，方格的面积为1平方厘米，图A有4格加4个半格，即共有6格，面积为6平方厘米；图B有5格加4个半格，即共有7格，面积为7平方厘米；图C有7格加2个半格，即共有8格，面积为8平方厘米。 【解答】解：根据分析可知，图A的面积是6平方厘米，图B的面积是7平方厘米，图C的面积是8平方厘米。 故答案为：6，7，8。 【点评】本题主要考查学生对面积的认识，数清楚涂色部分所占的格数是解答本题的关键。 9．在图中标出割补方法后，再求面积。 【考点】组合图形的面积． 【答案】67.5平方厘米。 【分析】从图中可知，该图形的面积＝梯形面积+长方形面积。根据梯形面积＝（上底+下底）×高÷2，长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求解。 【解答】解：（10+5）×5÷2 ＝75÷2 ＝37.5（平方厘米） 37.5+6×5＝67.5（平方厘米） 答：该图形的面积是67.5平方厘米。 【点评】把不规则的图形切割成两个规则的图形再计算。 10．如图是李爷爷家的菜地，请你帮李爷爷算出这块菜地的面积。 【考点】组合图形的面积． 【答案】1260平方米。 【分析】该组合图形的面积等于大长方形的面积减去小长方形的面积。利用长方形面积公式：S＝ab，计算即可。 【解答】解：（18+34）×36﹣34×（36﹣18） ＝52×36﹣34×18 ＝1872﹣612 ＝1260（平方米） 答：这块菜地的面积1260平方米。 【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可。 11．求图中彩色部分的面积（单位：厘米）。 【考点】组合图形的面积． 【答案】30平方厘米。 【分析】根据长方形的面积＝长×宽，用10×6即可求出长方形的面积；再根据三角形的面积＝底×高÷2，用10×6÷2即可求出三角形的面积，最后用长方形的面积减去三角形的面积即可。 【解答】解：10×6＝60（平方厘米） 60÷2＝30（平方厘米） 60﹣30＝30（平方厘米） 答：彩色部分的面积是30平方厘米。 【点评】本题主要考查组合图形的面积的计算，关键利用转化思想解答。 12．求阴影部分的面积（单位：厘米） 【考点】组合图形的面积． 【答案】75平方厘米。 【分析】观察图形可知，空白部分的三角形是一个等腰直角三角形，所以梯形的高是10厘米；阴影部分的面积＝梯形面积﹣空白部分的三角形的面积，根据“梯形面积＝（上底+下底）×高÷2、三角形面积＝底×高÷2”，即可求出阴影部分的面积。 【解答】解：（10+15）×10÷2 ＝25×10÷2 ＝250÷2 ＝125（平方厘米） 10×10÷2 ＝100÷2 ＝50（平方厘米） 125﹣50＝75（平方厘米） 答：阴影部分的面积是75平方厘米。 【点评】此题主要考查的是梯形的面积公式（上底+下底）×高÷2、三角形的面积公式底×高÷2的灵活应用，结合题意分析解答即可。 13．求下面各图形的面积。（单位：厘米） （1）求平行四边形的面积。 （2）求组合图形的面积。 【考点】组合图形的面积；平行四边形的面积． 【答案】（1）150平方厘米；（2）98平方厘米。 【分析】（1）根据平行四边形的面积公式：S＝ah，把数据代入公式解答。 （2）组合图形的面积等于以长为8厘米，宽为4厘米的长方形的面积加上以8厘米为上底，14厘米为下底，高为（10﹣4）厘米的梯形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2，代入数据解答即可。 【解答】解：（1）15×10＝150（平方厘米） 答：平行四边形的面积是150平方厘米。 （2）8×4+（8+14）×（10﹣4）÷2 ＝32+22×6÷2 ＝32+66 ＝98（平方厘米） 答：组合图形的面积是98平方厘米。 【点评】此题主要考查平行四边形的面积公式、长方形的面积公式、梯形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 14．求出下面阴影部分的面积。（单位：分米） 【考点】组合图形的面积． 【答案】154.5平方分米。 【分析】阴影部分的面积等于梯形面积减去三角形面积。 【解答】解：（8.5+14）×16÷2﹣8.5×6÷2 ＝22.5×16÷2﹣25.5 ＝180﹣25.5 ＝154.5（平方分米） 答：阴影部分的面积是154.5平方分米。 【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可。 15．算一算下面组合图形的面积。（单位：厘米） 【考点】组合图形的面积． 【答案】65平方厘米。 【分析】组合图形是由一个底边长为6厘米，高为5厘米的平行四边形和另一个上底为8厘米，下底为6厘米，高为5厘米的梯形组成，根据平行四边形的面积＝底×高和梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2，代入分别求出平行四边形和梯形的面积，继而计算出组合图形的面积。 【解答】解：6×5+（8+6）×5÷2 ＝30+14×5÷2 ＝30+35 ＝65（平方厘米） 答：组合图形的面积是65平方厘米。 【点评】本题考查了组合图形的面积，结合题意分析解答即可。 16．如图，一块长方形草地，长方形的长未知，宽是12米，中间铺了一条石子路，路的面积是40平方米．那么草地部分面积有多大？ 【考点】组合图形的面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】由图可知，路的高度（平行四边形的高）和长方形的长度相等，利用平行四边形面积公式，路长为：40÷2＝20（米），然后利用平移方法，把草地拼成一个长方形：长20米，宽12﹣2＝10（米），则面积为：20×10＝200（平方米）． 【解答】解：40÷2×（12﹣2） ＝20×10 ＝200（平方米） 答：草地部分的面积为200平方米． 【点评】本题主要考查组合图形的面积，关键利用平行四边形、长方形面积公式做题． 17．压路机依靠前面圆柱形大滚筒压路，已知滚筒底面圆的直径是1m，每分钟转10圈，那么1小时压路机压的路有多长？ 【考点】组合图形的面积． 【答案】1884米。 【分析】根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式求出前轮的周长再乘10就是每分钟前进的米数，再乘60就是1小时压路机压的路有多长。 【解答】解：3.14×1×10×60 ＝3.14×600 ＝1884（米） 答：1小时压路机压的路有1884米。 【点评】此题主要考查圆的周长公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式C＝πd。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$