精品解析：北师大版2023-2024学年八年级数学下册期中测试题

北师大版八年级下册数学期中测试（1） 考试时间:120分钟 满分150分 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，总分40分） 1. 下列各组数据中的三个数，分别作为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，， C. 8，24，25 D. 9，12，15 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理，勾股定理的逆定理的计算判断即可． 【详解】∵ 1+2=3， ∴构不成三角形，不符合题意； ∵ ， ∴构不成直角三角形，不符合题意； ∵ ， ∴构不成直角三角形，不符合题意； ∵ ， ∴构成直角三角形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 2. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，分别对选项进行分析，即可得出结果。 本题考查了不等式的性质，解本题的关键是熟练掌握不等式的性质．不等式的性质：性质1、不等式两边都加上或减去同一个数或式子，不等号方向不发生改变；性质2、不等式两边都乘或除以同一个正数，不等号方向不发生改变；性质3、不等式两边都乘或除以同一个负数，不等号方向要发生改变． 【详解】解：A选项：不等式两边同时乘，不等号方向改变，故A错误，不符合题意； B选项：无法确定大小关系，故B错误，不符合题意； C选项：不等式两边同时除以3，不等号方向不变，C错误，不符合题意； D选项：不等式两边同时乘2，不等号方向不变，故D正确，符合题意， 故选：． 3. 随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟知定义． 4. 如图，中，，分别以为边作正方形与正方形，已知边，正方形的面积是1，则正方形的面积是（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积公式，因为，则根据勾股定理列式，代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，分别以为边作正方形与正方形， ∴ 则则正方形的面积是5 故选：A 5. 运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察所给程序的运算过程，根据前两次运算结果小于或等于95、第三次运算结果大于95，列出关于x的不等式组；先求出不等式组中三个不等式的解集，再取三个不等式的解集的公共部分，即为不等式组的解集. 【详解】由题意可得 ， 解不等式①得，x≤47， 解不等式②得，x≤23， 解不等式③得，x＞11， 故不等式组的解集为11＜x≤23． 故选B 【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，关键是根据“操作进行了三次才停止”列出满足题意的不等式组； 6. 把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，则新图形与原图形的形状和大小关系为（ ） A. 形状相同，大小不一样 B. 大小相同，形状不同 C. 形状和大小完全相同 D. 形状和大小完全不相同 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形的平移，根据平移前后图形的形状和大小完全相同，进行判断即可． 【详解】解：由题意，平移前后图形的形状和大小完全相同， 故选C． 7. 如图，在数轴上，以单位长度为边长画正方形，以正方形对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据勾股定理的公式算出正方形的对角线的长即可解答． 【详解】解：数轴上正方形的边长为1， 则正方形的对角线长为：， 则点A表示的数为． 故答案B． 【点睛】本题主要考查勾股定理、在数轴上表示实数等知识点，熟记勾股定理的公式是解题的关键． 8. 若不等式组无解，求的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不等式组无解就是两个不等式的解集没有公共部分． 【详解】由题意，得, 解得． ∴不等式组无解时，． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 9. 如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，分如图，当点在上时，当点在延长线上时，两种情况种又分当时，当时，过点作，证明，得到，再通过角之间的关系建立方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， ∵由平移得到， ， ∵，， ， ， 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在延长线上时，过点作， 同理可得， 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 由于，则这种情况不存在； 综上所述，的度数可以为18度或36度或108度， 故选：C． 10. 在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，AD、BE相交于点F，过点D作DG∥AB，过点B作BG⊥DG交DG于点G．下列结论：①∠AFB＝135°；②∠BDG＝2∠CBE；③BC平分∠ABG；④∠BEC＝∠FBG．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线性质、三角形内角和定理以及平行线的性质，即可判定①②正确；根据等角的余角相等，即可判定④正确． 【详解】∵AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E， ∴∠BAF＝∠BAC，∠ABF＝∠ABC， 又∵∠C＝90°， ∴∠ABC+∠BAC＝90°， ∴∠BAF+∠ABF＝45°， ∴∠AFB＝135°，故①正确； ∵DG∥AB， ∴∠BDG＝∠ABC＝2∠CBE，故②正确； ∵∠ABC的度数不确定， ∴BC平分∠ABG不一定成立，故③错误； ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBE， 又∵∠C＝∠ABG＝90°， ∴∠BEC+∠CBE＝90°，∠ABF+∠FBG＝90°， ∴∠BEC＝∠FBG，故④正确． 故选：C 【点睛】本题考查了角平分线性质、三角形内角和定理、平行线的性质以及等角的余角相等等知识，熟练运用这些知识点是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总分20分） 11. 已知等腰三角形的两边满足，则此三角形的周长为__________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，构成三角形的条件，先由非负数的性质求出，再分当为腰时，当为腰时，两种情况根据等腰三角形的定义求出的长，再根据构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当为腰时，则， ∵， ∴此时不能构成三角形； 当为腰时，则， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴此三角形的周长为， 故答案为：20． 12. 已知y＞1，x＜﹣1，若x﹣y＝m成立，求x+y的取值范围_____(结果用含m的式子表示)． 【答案】m+2＜x+y＜﹣m﹣2 【解析】 【分析】由x-y=m得x=y+m，由x＜-1得知y＜-m-1，根据y＞1得1＜y＜-m-1，同理得出m+1＜x＜-1，相加即可得出答案． 【详解】由x﹣y＝m得x＝y+m， 由x＜﹣1得y+m＜﹣1，y＜﹣m﹣1， 又∵y＞1， ∴1＜y＜﹣m﹣1， 由x﹣y＝m得y＝x﹣m， 由y＞1得x﹣m＞1，x＞m+1， 又∵x＜﹣1， ∴m+1＜x＜﹣1， ∴m+2＜x+y＜﹣m﹣2， 故答案为m+2＜x+y＜﹣m﹣2． 【点睛】本题主要考查不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 13. 如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为__． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可知空白部分是长方形，再求出其长和宽，结合长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由平移的性质可知空白部分是长方形，且长为，宽为， ∴阴影部分的面积， 故答案为：18． 14. 一辆公交车每月的支出费用为3000元，乘车平均票价为1.5元/人，设每月有x人乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为y元，当每月乘客量达到______人以上时，该公交车才不会亏损． 【答案】2000． 【解析】 【分析】设当每月乘客量达到x人以上时，该公交车才不会亏损，列出不等式1.5x-3000≥0，解不等式即可 【详解】设当每月乘客量达到x人以上时，该公交车才不会亏损， 则1.5x-3000≥0， 解得：x≥2000， 故答案为2000． 【点睛】本题考查不等式的基本应用，能够根据题意列出不等式是解题关键 15. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，取的中点，的中点．则在旋转过程中，线段的最小值________． 【答案】2.5 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，三角形的三边关系，解题的关键是掌握旋转的性质。 连接，根据将绕顶点顺时针旋转得到，可得，， 由为的中点，知，求出，当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，此时． 【详解】解：连接，如图： 将绕顶点顺时针旋转得到， ，， 为的中点， ， ，为中点， ， 在中，， 当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，此时，如图： 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】分别解出两个不等式，再根据解集的规律：大小小大中间找确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是正确计算出两个不等式的解集． 17. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，等边对等角：等边对等角，得到，根据中垂线的性质，得到，得到，再根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到，使点A的对应点D落在边上，点B的对应点为E，求线段，的长． 【答案】； 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，继而即可求解． 【详解】解：由旋转可得， ， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理，得， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质和全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握并运用旋转的性质． 19. 如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且． （1）若，求度数； （2）若周长，，求长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出和，即可得出答案； （2）根据已知能推出，即可得出答案． 【小问1详解】 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 周长，， ， ， ，， ， ， 即， ． 20. 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，利用整体思想建立不等式是解题的关键． 将a看作已知数，求出方程组中，然后代入已知不等式即可求出a的范围． 【详解】解：， 将①-②，可得， ∵ ∴，即，解得， ∴a的取值范围为． 21. 如图，已知，将沿方向平移，点的对应点为．请用尺规作图法，作出点的对应点（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，尺规作角，以为顶点，作一个角等于，再以为圆心，的长为半径化弧，确定的位置即可． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 22. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，且，的周长等于． （1）求的长； （2）若，并且，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，等边对等角，等角对等边： （1）根据中垂线的性质，结合已知条件推出，进而求出的长即可； （2）等边对等角，求出，中垂线的性质，得到，进而得到，角的和差关系求出，再根据三角形的内角和定理，推出，即可得证． 【小问1详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，的周长等于， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 随着某市“灯光秀”展演活动的惊艳开演，该市的游客量逐日递增．某校数学学习小组通过调查了解到，演出地点附近的商铺通过售卖A、B两种品牌的饮料进行盈利，该商铺于“灯光秀”活动前夕购进A品牌饮料20箱，B品牌饮料10箱，一共花费2000元，且购买一箱B品牌饮料比购买一箱A品牌饮料多花20元． （1）问购买一箱A品牌、一箱B品牌的饮料各需多少元？ （2）由于游客量逐步地增加，该商铺决定再次购进A、B两种品牌饮料共20箱，恰逢厂家对两种品牌饮料的售价进行调整，A品牌饮料售价比第一次购买时提高了，B品牌饮料按第一次购买时售价的9折出售．如果该商铺此次购买A、B两种品牌饮料的总费用不超过1350元，那么该商铺此次最多可购买多少箱B品牌饮料？ 【答案】（1）购买一箱A品牌的饮料需元，购买一箱B品牌的饮料需元 （2）最多可购买箱品牌饮料 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用： （1）设购买一箱A品牌的饮料需元，购买一箱B品牌的饮料需元，根据等量关系列出方程组，即可求解； （2）设购买箱品牌饮料，则购买品牌的饮料箱，根据不等关系列出不等式并解不等式即可求解； 【小问1详解】 解：设购买一箱A品牌的饮料需元，购买一箱B品牌的饮料需元， 依题意得：， 解得：， 答：购买一箱A品牌的饮料需元，购买一箱B品牌的饮料需元； 【小问2详解】 解：设购买箱品牌饮料，则购买品牌的饮料箱， 依题意得：， 解得：， 答：最多可购买箱品牌饮料． 24. 在图①中，将线段向右平移1个单位得到线段，从而得到封闭图形（即阴影部分）﹔在图②中，将折线向右平移1个单位得到折线，从而得到封闭图形（即阴影部分）． （1）图①，图②图形中，除去阴影部分后，将剩余部分拼在一起就是如图③的图形，若剩余部分的面积分别是，（图①，图②长方形的长均为a个单位，宽均为b个单位），则______，______，____（填“＞”或“＝”或“＜”）﹔ （2）如图④，一块长方形场地由一条弯曲的小路和草地组成．这条弯曲的小路（即阴影部分）任何地方的水平宽度都是，除去小路部分后，空白部分表示的草地的图形可拼在一起形成一个正方形，若这个正方形的面积是，则原长方形场地的长和宽分别是多少m？ （3）如图⑤，一块长方形场地由两条弯曲的小路（阴影部分）和草地组成．竖直方向小路任何地方的水平宽度都是，水平方向小路任何地方的竖直宽度都是．除去小路部分后，空白部分表示草地的图形拼在一起形成一个长方形，且这个长方形的长是宽的2倍，面积是．计划用不超过5200元的总费用将两条小路改铺成鹅卵石路面，若每路面的铺设费用（人工费材料费）约为200元，请问总预算5200元够吗？并说明理由． 【答案】（1）；； （2）长：，宽 （3）够用；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据长方形面积公式进行解答即可； （2）设除去小路后的图形拼在一起形成的正方形边长为，根据正方形的面积是列出方程，求出x的值即可； （3）设空白部分表示草地的图形拼在一起的长方形宽为，长为，根据这个长方形的面积为，列出方程，解方程得出y的值，然后求出两条小路的总面积，再求出需要的费用，即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：；； ∴， 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：设除去小路后的图形拼在一起形成的正方形边长为，则： ， （负值舍负）， 长方形场地的长， 长方形场地的宽． 【小问3详解】 解：设空白部分表示草地的图形拼在一起的长方形宽为，长为， 则， （负值舍负）， 长方形场地的宽， 长方形场地的长， 则两条小路的总面积为：， 将两条小路改铺成鹅卵石路面的总费用元， ， ． 答：总预算5200元够． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，平方根的应用，无理数的估算，解题的关键是理解题意，熟练掌握平移的性质． 25. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求的过程． 【答案】（1）见解析， （2）， （3），过程见解析． 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． （1）梯形面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【小问1详解】 解：梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即； 【小问2详解】 解：设， ∴， 在中，， 即， 解得， 即， （千米）， 答：新路比原路少千米； 【小问3详解】 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得：． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版八年级下册数学期中测试（1） 考试时间:120分钟 满分150分 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，总分40分） 1. 下列各组数据中的三个数，分别作为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，， C. 8，24，25 D. 9，12，15 2. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（　　） A B. C. D. 4. 如图，中，，分别以为边作正方形与正方形，已知边，正方形面积是1，则正方形的面积是（ ） A. 5 B. 3 C. D. 5. 运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（ ） A B. C. D. 6. 把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，则新图形与原图形的形状和大小关系为（ ） A. 形状相同，大小不一样 B. 大小相同，形状不同 C. 形状和大小完全相同 D. 形状和大小完全不相同 7. 如图，在数轴上，以单位长度为边长画正方形，以正方形对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数为（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式组无解，求的取值范围（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（ ） A. B. C. D. 10. 在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，AD、BE相交于点F，过点D作DG∥AB，过点B作BG⊥DG交DG于点G．下列结论：①∠AFB＝135°；②∠BDG＝2∠CBE；③BC平分∠ABG；④∠BEC＝∠FBG．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总分20分） 11. 已知等腰三角形的两边满足，则此三角形的周长为__________． 12. 已知y＞1，x＜﹣1，若x﹣y＝m成立，求x+y的取值范围_____(结果用含m的式子表示)． 13. 如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为__． 14. 一辆公交车每月的支出费用为3000元，乘车平均票价为1.5元/人，设每月有x人乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为y元，当每月乘客量达到______人以上时，该公交车才不会亏损． 15. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，取的中点，的中点．则在旋转过程中，线段的最小值________． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 17. 如图，在中，垂直平分线交于点D，交于点E，，求的度数． 18. 如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到，使点A的对应点D落在边上，点B的对应点为E，求线段，的长． 19. 如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且． （1）若，求的度数； （2）若周长，，求长． 20. 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围． 21. 如图，已知，将沿方向平移，点对应点为．请用尺规作图法，作出点的对应点（保留作图痕迹，不写作法） 22. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，且，的周长等于． （1）求的长； （2）若，并且，求证：． 23. 随着某市“灯光秀”展演活动的惊艳开演，该市的游客量逐日递增．某校数学学习小组通过调查了解到，演出地点附近的商铺通过售卖A、B两种品牌的饮料进行盈利，该商铺于“灯光秀”活动前夕购进A品牌饮料20箱，B品牌饮料10箱，一共花费2000元，且购买一箱B品牌饮料比购买一箱A品牌饮料多花20元． （1）问购买一箱A品牌、一箱B品牌的饮料各需多少元？ （2）由于游客量逐步地增加，该商铺决定再次购进A、B两种品牌饮料共20箱，恰逢厂家对两种品牌饮料的售价进行调整，A品牌饮料售价比第一次购买时提高了，B品牌饮料按第一次购买时售价的9折出售．如果该商铺此次购买A、B两种品牌饮料的总费用不超过1350元，那么该商铺此次最多可购买多少箱B品牌饮料？ 24. 在图①中，将线段向右平移1个单位得到线段，从而得到封闭图形（即阴影部分）﹔在图②中，将折线向右平移1个单位得到折线，从而得到封闭图形（即阴影部分）． （1）图①，图②图形中，除去阴影部分后，将剩余部分拼在一起就是如图③的图形，若剩余部分的面积分别是，（图①，图②长方形的长均为a个单位，宽均为b个单位），则______，______，____（填“＞”或“＝”或“＜”）﹔ （2）如图④，一块长方形场地由一条弯曲的小路和草地组成．这条弯曲的小路（即阴影部分）任何地方的水平宽度都是，除去小路部分后，空白部分表示的草地的图形可拼在一起形成一个正方形，若这个正方形的面积是，则原长方形场地的长和宽分别是多少m？ （3）如图⑤，一块长方形场地由两条弯曲的小路（阴影部分）和草地组成．竖直方向小路任何地方的水平宽度都是，水平方向小路任何地方的竖直宽度都是．除去小路部分后，空白部分表示草地的图形拼在一起形成一个长方形，且这个长方形的长是宽的2倍，面积是．计划用不超过5200元的总费用将两条小路改铺成鹅卵石路面，若每路面的铺设费用（人工费材料费）约为200元，请问总预算5200元够吗？并说明理由． 25. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求的过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$