精品解析：北师大版2023-2024学年八年级数学下册期末达标测试卷(五)

期末达标测试卷(五) 时间：120分钟满分：120分 一、选择题(本大题共12个小题，1—6小题，每小题2分；7—12小题，每小题3分，共30分) 1. 下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知一个正多边形的每个外角等于，则这个正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. b﹣6b+9b=b（﹣6a+9） B. ﹣x+= C. ﹣2x+4= D. 4﹣=（4x+y）（4x﹣y） 4. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为( ) A. 12 B. 14 C. 24 D. 21 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，P是面积为S的内任意一点，的面积为，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 大小与P点位置有关 7. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 0或3 8. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是（　　） A. B. C. 3 D. 9. 如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，．添加一个条件使四边形是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知是的角平分线，是的垂直平分线，，，则的长为（ ） A 6 B. 5 C. 4 D. 11. 定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（　　） A. [x]=x（x为整数） B. 0≤x﹣[x]＜1 C. [x+y]≤[x]+[y] D. [n+x]=n+[x]（n为整数） 12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 13. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_____． 14. 若a，b，c是的三边长，则代数式的值_________0(填“”“”或“”)． 15. 如图，中，是中线，是角平分线，于F，，则的长为________ ． 16. 如图，平分于点D，，，则 _______． 17. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得△EDC，点D在AB边上，斜边DE交AC于点F，则图中阴影部分面积为__________． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ＝2QC，BC＝3，则平行四边形ABCD周长为_____． 三、解答题(本大题共8个小题，共72分) 19. 先化简，然后从中选出一个合适的整数作为的值代入求值． 20. 已知是方程的解. （1）求的值； （2）求关于的不等式的解集，并将解集在如图所示的数轴上表示出来. 21. 我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后，可以进行进一步研究，请根据示例图形，完成下表． 图形的变化 示例图形 与对应线段有关的结论 与对应点有关结论 平移 （1）__________． 轴对称 （2）__________． （3）__________． 旋转 ；对应线段和所在的直线相交所成的角与旋转角相等或互补 （4）__________． 22. 已知在中，E、F是对角线上的两点，，点G、H分别在和的延长线上，且，连接．求证：四边形是平行四边形． 23. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点分别为A(-1，4)，B(-3，1)，C(-3，4)，△A1B1C1是由△ABC绕某一点旋转得到. (1)请直接写出旋转中心的坐标是________，旋转角是_____°； (2)将△ABC平移得到△A2B2C2，使得点A2的坐标为(0，-1)，请画出平移后的△A2B2C2，并求出平移的距离. 24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E． （1）求∠CBE的度数； （2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数． 25. 2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元． （1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？ （2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？ 26. 如图1，在中，，，，点D、E分别在边，上，，连接，点M、P、N分别为，，中点． （1）图1中，线段与的数量关系是_____，位置关系是_____． （2）把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由． （3）把绕点A逆时针方向旋转的过程中，如果（D在内部，如图3），，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末达标测试卷(五) 时间：120分钟满分：120分 一、选择题(本大题共12个小题，1—6小题，每小题2分；7—12小题，每小题3分，共30分) 1. 下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由解集在数轴上的表示可知， 该不等式组为， 故选：D． 【点睛】本题重点考查学生对于在数轴上表示不等式的解集的掌握程度，不等式组的解集的表示方法：大小小大取中间是解题关键． 2. 已知一个正多边形的每个外角等于，则这个正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 【答案】B 【解析】 【详解】解：外角和为360°，每个外角为60°，可得有6个外角，故为正六边形．． 故选B． 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. b﹣6b+9b=b（﹣6a+9） B. ﹣x+= C. ﹣2x+4= D. 4﹣=（4x+y）（4x﹣y） 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：A、原式=b（﹣6a+9）=，错误；B、原式=，正确；C、原式不能分解，错误；D、原式=（2x+y）（2x﹣y），错误． 考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法 4. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为( ) A. 12 B. 14 C. 24 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3， ∴BC＝， ∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点， ∴EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD， ∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC， 又∵AD＝7， ∴四边形EFGH的周长＝7+5＝12. 故选A. 【点睛】此题考查三角形中位线定理，勾股定理，解题关键在于求出BC的值 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的除法运算法则，把除法化成乘法，然后约分化简即可． 本题考查了分式的除法运算，掌握分式的除法运算法则是解题的关键． 【详解】 ． 故选：B． 6. 如图，P是面积为S的内任意一点，的面积为，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 的大小与P点位置有关 【答案】C 【解析】 【分析】过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E，表示出S1+ S2，得到即可． 【详解】解：如图，过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E， 根据平行四边形的性质可知PE⊥BC，AD=BC， ∴S1=AD×PF，S2=BC×PE， ∴S1+ S2 =AD×PF+BC×PE =AD×（PE+PE） =AD×EF =S， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的面积和平行四边形的性质，解题的关键是作出平行四边形过点P的高． 7. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 0或3 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了分式方程增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，把增根代入整式方程，即可求得相关字母的值． 【详解】解：分式方程， 去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：， 故选：A． 8. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是（　　） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 详解】∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2， ∴∠A=90°﹣∠ABC=60°，AB=4，BC=， ∵CA=CA1， ∴△ACA1是等边三角形， ∴AA1=AC=BA1=2， ∴∠BCB1=∠ACA1=60°， ∵CB=CB1， ∴△BCB1是等边三角形， ∴BB1= ，BA1=2，∠A1BB1=90°， ∴BD=DB1=， ∴A1D==． 故选D． 考点：旋转的性质；含30度角的直角三角形． 9. 如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，．添加一个条件使四边形是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证，D为正确选项．添加D选项，即可证明△DEC≌△FEB，从而进一步证明DC＝BF＝AB，且DCAB． 【详解】添加A、，无法得到ADBC或CD=BA，故错误； 添加B、，无法得到CDBA或，故错误； 添加C、，无法得到，故错误； 添加D、 ∵，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 故选D． 【点睛】本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 10. 如图，已知是的角平分线，是的垂直平分线，，，则的长为（ ） A 6 B. 5 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据ED是BC的垂直平分线、BD是角平分线以及∠A=90°可求得∠C=∠DBC=∠ABD=30°，从而可得CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得. 【详解】∵ED是BC的垂直平分线， ∴DB=DC， ∴∠C=∠DBC， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD=∠DBC， ∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°， ∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°， ∴BD=2AD=6， ∴CD=6， ∴CE =3， 故选D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键. 11. 定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（　　） A. [x]=x（x为整数） B. 0≤x﹣[x]＜1 C. [x+y]≤[x]+[y] D. [n+x]=n+[x]（n为整数） 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：解决本题的关键就是理解新定义的含义.当x=5.5，y=4.6时，[x+y]=[10.1]=10，[x]+[y]=5+4=9，则[x+y]＞[x]+[y]，则C选项错误. 考点：新定义型. 12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【详解】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形； ②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形； ③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形； ④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形； ⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形； ⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI都是等腰三角形． ⑦作AC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI都是等腰三角形． 故选D． 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 13. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】∵代数式有意义，分母不能为0，可得，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键． 14. 若a，b，c是的三边长，则代数式的值_________0(填“”“”或“”)． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平方差公式，三角形三边关系．首先利用平方差公式分解因式，进而利用三角形三边关系得出即可． 【详解】解：∵，且a，b，c是的三边， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 15. 如图，中，是中线，是角平分线，于F，，则的长为________ ． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义．延长交于G，由对称性判断出是等腰三角形，求出，再求出，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，从而得出结果． 【详解】解：如图， 如图，延长交于G， 是角平分线，， 是等腰三角形， ， ， 中线， ， 是的中位线， ， 故答案为：1． 16. 如图，平分于点D，，，则 _______． 【答案】2 【解析】 【分析】作于E，利用角平分线的性质及含的直角三角形的性质解题即可． 【详解】解：作于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质及含的直角三角形的性质，能够熟练运用性质是解题关键． 17. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得△EDC，点D在AB边上，斜边DE交AC于点F，则图中阴影部分面积为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC， ∴BC=DC， ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠B=90°-∠A=60°， ∴△DBC是等边三角形， ∴n=∠DCB=60°， ∴∠DCA=90°-∠DCB=90°-60°=30°， ∵BC=2， ∴DC=2， ∵∠FDC=∠B=60°， ∴∠DFC=90°， ∴DF=DC=1， ∴FC=， ∴S阴影=S△DFC=DF·FC=×1×=． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理，此题综合性较强，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用. 18. 如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ＝2QC，BC＝3，则平行四边形ABCD周长为_____． 【答案】15． 【解析】 【详解】试题解析：∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线， ∴∠DAQ=∠BAQ． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA， ∴∠DAQ=∠DAQ， ∴△AQD是等腰三角形， ∴DQ=AD=3． ∵DQ=2QC， ∴QC=DQ=， ∴CD=DQ+CQ=3+=， ∴平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2×（+3）=15． 故答案为15． 三、解答题(本大题共8个小题，共72分) 19. 先化简，然后从中选出一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】本题答案不唯一可以为-1或 【解析】 【分析】先化简，再选出一个合适的整数代入即可，要注意a的取值范围. 【详解】解： ， 当时，原式． 当a=-1时，原式= 【点睛】本题考查的是代数式的求值，熟练掌握代数式的化简是解题的关键. 20. 已知是方程的解. （1）求的值； （2）求关于的不等式的解集，并将解集在如图所示的数轴上表示出来. 【答案】（1）；（2），数轴上表示见解析. 【解析】 【分析】(1)将y=-1代入原方程解出a即可. (2)根据不等式的解法解出解集即可. 【详解】解：（1）∵是方程的解. ∴ ， 经检验，是的解； （2）∵， ∴， 即， ∴， 解集在数轴上表示如图所示： 【点睛】本题考查分式方程的解法和不等式的解法,关键在于熟练掌握解题步骤. 21. 我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后，可以进行进一步研究，请根据示例图形，完成下表． 图形的变化 示例图形 与对应线段有关的结论 与对应点有关的结论 平移 （1）__________． 轴对称 （2）__________． （3）__________． 旋转 ；对应线段和所在的直线相交所成的角与旋转角相等或互补 （4）__________． 【答案】（1）AB=A′B′，AB∥A′B′；（2）AB=A′B′；对应线段AB和A′B′所在的直线如果相交，交点在对称轴上；（3）l垂直平分AA′；（4）OA=OA′，∠AOA′=∠BOB′ 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质即可得到结论； （2）根据轴对称的性质即可得到结论； （3）根据轴对称的性质即可得到结论； （4）由旋转的性质即可得到结论． 【详解】（1）平移的性质：平移前后的对应线段相等且平行． 所以与对应线段有关的结论为：AB=A′B′，AB∥A′B′； （2）轴对称的性质：AB=A′B′；对应线段AB和A′B′所在的直线如果相交，交点在对称轴上． （3）轴对称的性质：轴对称图形对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 所以与对应点有关的结论为：垂直平分AA′． （4）OA=OA′，∠AOA′=∠BOB′． 故答案为：（1）AB=A′B′，AB∥A′B′；（2）AB=A′B′；对应线段AB和A′B′所在的直线如果相交，交点在对称轴上；（3）垂直平分AA′；（4）OA=OA′，∠AOA′=∠BOB′． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平移的性质，轴对称的性质，余角和补角的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 22. 已知在中，E、F是对角线上两点，，点G、H分别在和的延长线上，且，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由条件可证明，可得到，可证得，可证得结论． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴（SAS）， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线的判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点分别为A(-1，4)，B(-3，1)，C(-3，4)，△A1B1C1是由△ABC绕某一点旋转得到的. (1)请直接写出旋转中心的坐标是________，旋转角是_____°； (2)将△ABC平移得到△A2B2C2，使得点A2的坐标为(0，-1)，请画出平移后的△A2B2C2，并求出平移的距离. 【答案】（1）（0，0）；90；（2）画图见解析；平移距离为. 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质可知，旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，分别画AA1、BB1的垂直平分线，交点即为旋转中心；进而可得旋转角；（2）根据A2坐标可知，△ABC向右平移1个单位，向下平移5个单位，据此画出△A2B2C2即可，根据勾股定理求出AA1的长即可得平移距离. 【详解】(1)如图：分别连接AA1、BB1，作AA1、BB1的垂直平分线，交点为（0，0）， ∴旋转中心为（0，0），∠AOA1为旋转角， 由图像可得∠AOA1=90°， 故答案为（0，0）；90； (2)∵A(-1，4)，A2(0，-1)， ∴△ABC向右平移1个单位，向下平移5个单位， ∴△A2B2C2如图所示， ∴AA2==. 【点睛】本题考查旋转、平移的变换，熟练掌握旋转和平移的性质是解题关键. 24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E． （1）求∠CBE的度数； （2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数． 【答案】(1) 65°；(2) 25° 【解析】 【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°； （2）先根据直角三角形两锐角互余的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°． 【详解】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°， ∴∠ABC=90°﹣∠A=50°， ∴∠CBD=130°． ∵BE是∠CBD的平分线， ∴∠CBE=∠CBD=65°； （2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°， ∴∠CEB=90°﹣65°=25°． ∵DF∥BE， ∴∠F=∠CEB=25°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键． 25. 2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元． （1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？ （2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？ 【答案】（1）A型风扇、B型风扇进货的单价各是10元和16元；（2）丹4种进货方案分别是：①进A型风扇72台，B型风扇28台；②进A型风扇73台，B型风扇27台；③进A型风扇74台，B型风扇26台；①进A型风扇75台，B型风扇24台． 【解析】 【分析】（1）设A型风扇、B型风扇进货的单价各是x元和y元，再根据“2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元”和“ 3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元”两个等量关系列二元一次方程组解答即可； （2）设购进A型风扇a台、则B型风扇购进（100-a）台，再根据 “购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元”和“A型风扇不超过B型风扇数量的3倍”两个不等关系列不等式组求出a的整数解的个数即可． 【详解】解：（1）设A型风扇、B型风扇进货的单价各是x元和y元 由题意得： ，解得 答：A型风扇、B型风扇进货的单价各是10元和16元； （2）设购进A型风扇a台、则B型风扇购进（100-a）台 有题意得，解得： ∴a可以取72、73、74、75 ∴小丹4种进货方案分别是：①进A型风扇72台，B型风扇28台；②进A型风扇73台，B型风扇27台；③进A型风扇74台，B型风扇26台；①进A型风扇75台，B型风扇24台． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意确定等量关系和不等关系是解答本题的关键． 26. 如图1，在中，，，，点D、E分别在边，上，，连接，点M、P、N分别为，，的中点． （1）图1中，线段与的数量关系是_____，位置关系是_____． （2）把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由． （3）把绕点A逆时针方向旋转的过程中，如果（D在内部，如图3），，求证：． 【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN （2）△PMN是等腰直角三角形，理由见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用； （1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出、得出、，最后用互余即可得出结论； （2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出结论； （3）过点A作于G，过点D作于H，则，，证明，得到，则，即可证明． 【小问1详解】 解：点N，分别是，的中点， ∴，， 点，是，的中点， ∴，， ∵，， ， ， ∵， ， ∵， ， ， ， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形．理由如下： 由旋转知，， ∵，， ， ，， 利用三角形的中位线得，，， ， 是等腰三角形， 同（1）的方法得，， ， 同（1）的方法得，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：如图3，过点A作于G，过点D作于H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$