新课预习衔接:第二单元分数混合运算(讲义)-2024-2025学年六年级上册数学北师大版
2024-09-20
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特供
内容正文:
分数混合运算
【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话:同学们,恭喜你已经开启了本单元的求知之旅,相信你已经正确规划了自己的学习任务,本套资料为课前预习,课中巩固,课后提升而设计,对单元知识点进行全面精讲,易错点逐个分解,强化练习常考易错真题,答案解析非常通俗易懂,可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题! 2024年9月
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资料说明
第一部分:思维导图:单元知识简单且高效的发散性思维呈现,是一种实用性的知识小结。
第二部分:知识精讲:把握知识要点,掌握方法技巧,理解数学本质,提升数学思维。
第三部分:典型例题:选题典型、高频易错、考试母题,具有理解一题,掌握一类的优势。
第四部分:高频真题:精选近两年统考真题,助您学习有方向,做好题,达到事半功倍的效果。
第五部分:答案解析:重点、难点题精细化解析,犹如名师讲解,可以轻松理解。
第一部分
思维导图
第二部分
知识精讲
知识清单 方法技巧
一、仔细审题
1、明确已知条件:认真阅读题目,确定题目中给出的具体数值以及它们所对应的分数。
2、确定所求问题:清楚地知道题目要求的是什么,是求部分量还是总量,是求剩余量还是已经完成的量等。
二、找关键句和单位 “1”
1、关键句:通常包含分数的句子是关键句,它能帮助你确定数量关系。
2、单位 “1”:一般来说,“是”“比”“占” 后面的量通常是单位 “1”。确定单位 “1” 很重要,因为它是计算分数的基础。如果单位 “1” 已知,通常用乘法计算与之相关的量;如果单位 “1” 未知,通常用除法或列方程求解。
三、分析数量关系
1、画线段图:对于较复杂的问题,可以通过画线段图来直观地表示数量关系。比如,把单位 “1” 的量用一条线段表示,再根据分数关系画出与之相关的其他量的线段。
2、确定运算方法:单位 “1” 已知时:如果求部分量,用单位 “1” 的量乘以对应的分数;如果求剩余量,用单位 “1” 的量减去部分量。
3、单位 “1” 未知时:如果已知部分量和它对应的分数,可以用部分量除以对应的分数来求出单位 “1” 的量;也可以通过列方程,设单位 “1” 的量为,根据数量关系列出方程求解。
四、准确计算
1、分数运算:进行分数乘法时,分子乘分子,分母乘分母;进行分数除法时,除以一个分数等于乘以它的倒数。在计算过程中,要注意约分,使计算简便。
2、混合运算顺序:按照先乘除后加减的顺序进行计算,如果有括号,先算括号里面的。
【方法总结】
分数混合运算顺序是:混合计算,先算乘除法再算加减法;
如果有括号,先算括号里面的(先算小括号,再算中括号);
同一级运算,一般从左往右计算。
分数混合运算应用题解题技巧:
五、检验答案
1、代入法检验:将求出的答案代入原题中,看是否符合所有的已知条件。
2、合理性检验:从实际情况出发,检查答案是否合理。
第三部分
典型例题
例题1:心率是指心脏每分钟跳动的次数。
运动心率是人体在运动时保持的心率状态,它是一个正常波动范围。保持最佳运动心率对于运动效果和运动安全都很重要。
我了解到,年轻人和无基础疾病者,他们的最佳运动心率的计算公式为:
(220﹣现在年龄)×=最大运动心率
(220﹣现在年龄)×=最小运动心率
(1)小明的哥哥今年20岁,身体健康无基础疾病,他的最大运动心率和最小运动心率分别是多少?(单位:次/分)
(2)王老师身体健康无基础疾病且喜欢运动,她按此公式计算出自己的最大运动心率是153.6次/分,王老师的年龄是多少岁?
【考点】分数四则复合应用题.
【答案】(1)最大运动心率是160次/分,最小运动心率是120次/分。
(2)28岁。
【分析】(1)仔细审题,根据最大运动心率和最小运动心率的计算方法,把小明的哥哥的年龄代入到公式中进行计算即可;
(2)由题意可知,设王老师的年龄是x岁,根据(220﹣现在年龄)×=最大运动心率,据此列方程解答即可。
【解答】解:(1)根据题意,小明哥哥的最大运动心率:
(220﹣20)×
=200×
=160(次/分)
最小运动心率:
(220﹣20)×
=200×
=120(次/分)
答:小明的哥哥的最大运动心率是160次/分,最小运动心率是120次/分。
(2)设王老师的年龄是x岁。
(220﹣x)×=153.6
(220﹣x)××=153.6×
220﹣x=192
220﹣x+x=192+x
192+x=220
192+x﹣192=220﹣192
x=28
答:王老师的年龄是28岁。
【点评】本题考查用方程解决实际问题,明确最大运动心率和最小运动心率的计算方法是解题的关键。
例题2:为了更好地落实“课后服务”,实验小学开展了丰富多彩的社团活动,六年级参与活动的情况如表。
活动项目
人数
唱歌
20人
象棋
比学唱歌的多3人
跳舞
比学唱歌的少
(1)学象棋的有多少人?
(2)学跳舞的有多少人?
【考点】分数四则复合应用题.
【答案】(1)8人。
(2)16人。
【分析】(1)把唱歌的人数看作单位“1”,用唱歌的人数乘,再加上3人,即可计算出学象棋的有多少人。
(2)把唱歌的人数看作单位“1”,则学跳舞的人数是学唱歌人数的(1),根据分数乘法的意义,即可计算出学跳舞的有多少人。
【解答】解:(1)
=5+3
=8(人)
答:学象棋的有8人。
(2)
=
=16(人)
答:学跳舞的有16人。
【点评】本题考查分数乘法应用题,解题关键是先找出题目中的单位“1”是哪个量,再根据一个数乘分数的意义,列式计算。
例题3:果园里有苹果树和梨树一共800棵,其中苹果树占总棵数的。后来又栽种了一些梨树后,这时苹果树占总棵数的。后来又栽种了多少棵梨树?
【考点】分数四则复合应用题.
【答案】400棵。
【分析】用原来的总棵数乘,求出苹果树的棵数,再除以求出现在总棵数,减去原来苹果树和梨树的总棵数,求又栽梨树的棵数即可。
【解答】解:800×﹣800
=1200﹣800
=400(棵)
答:后来又栽种了400棵梨树。
【点评】本题主要考查分数四则运算的应用,关键理由苹果树棵数不变解答。
例题4:甲、乙两辆汽车以相同速度从A地驶往B地,甲车先行驶到24km处,乙车才出发。甲车到达B地后立即按原路返回,行驶到A、B两地全程的处与乙车相遇。A、B两地的距离是多少千米?
【考点】分数四则复合应用题.
【答案】96千米。
【分析】因为甲、乙两辆汽车速度相同,所以甲车到达B地后立即按原路返回,行驶到A、B两地全程的处与乙车相遇时,甲车比乙车多走24km,把A、B两地的距离看作单位“1”,两车相遇时甲车走了全程的(1+),乙车走了全程的(1﹣),甲车比乙车多走全程的[(1+)﹣(1﹣)],用除法计算,即可得解。
【解答】解:24÷[(1+)﹣(1﹣)]
=24÷[﹣]
=24÷
=96(千米)
答:A、B两地的距离是96千米。
【点评】本题主要考查了分数四则复合应用题,关键是得出两车相遇时甲车比乙车多走全程的[(1+)﹣(1﹣)]。
第四部分
高频真题
1.一种服装先提价后,又降价,结果( )
A.比原价低 B.比原价高 C.价钱不变
2.小丽读一本160页的故事书,第一天读了这本书的,第二天从第( )页开始读起。
A.20 B.21 C.140
3.一根3米长的绳子,先截下它的,再截下米,这时还剩( )米。
A. B.1 C.1
4.有一批水泥,第一次用去总数的,第二次用去余下的,那么( )
A.第一次用去的多 B.第二次用去的多
C.两次用去的一样多 D.无法比较
E..
5.奇奇读了一本184页的故事书,第一天读了46页,第二天读的比第一天多,第二天读了( )页。
A.14 B.56 C.60 D.106
6.食堂新买来一批大米,第一周吃了总数的,后来又吃了总数的,现在还剩130kg,食堂新买来的这批大米有( )kg。
A.360 B.290 C.450 D.440
7.2022年冬季疫情期间,确山县某超市为解决邻近小区物资短缺问题,捐赠了15吨大白菜。捐赠的大白菜是土豆的,捐赠的萝卜是土豆的,捐赠的萝卜有多少?下面列式( )是正确的。
A. B.
C. D.
8.一杯牛奶,第一次喝了全杯的,第二次喝了余下的,第二次喝了全杯牛奶的( )
A. B. C. D.
9.一块长方形菜地的面积是m2,宽是m,要给这块菜地四周围上栅栏,需要多长的栅栏( )
A. B.6m C. D.
10.一本故事书180页,小蕊第一天看了全书的,第二天看了全书的,第三天应从第 页开始看起。
11.一杯牛奶,小明喝了半杯后,觉得有些凉,就兑满了热水.他又喝了半杯,就出去玩了.小明喝了 杯纯牛奶, 杯水.
12.服装店购进一批衬衫,其中女式衬衫120件,男式衬衫比女式衬衫的多20件。购进男式衬衫 件。
13.300米的环形跑道,第一分钟跑了全部的,第二分钟又跑了110米,一共跑了 米,是跑道总长的 。
14.一桶油重5kg,第一天用去,第二天用去千克,还剩 kg,剩下的占这桶油总重的 %。
15.你知道动物的牙齿数吗?猫有30颗,马有36颗,狗的牙齿数比猫多,大象的牙齿数只相当于马的。算一算,狗的牙齿有 颗,大象的牙齿有 颗。
16.计算下面各题。
(1)
(2)
(3)
(4)
17.计算下面各题。
18.脱式计算。
÷× ×÷ ÷÷
19.一块长方形菜地长为米,比宽长米,这块菜地的周长是多少米?
20.实验小学五年级学生有96人,占全校总人数的,四年级学生人数占全校总人数的,这个学校四年级有多少学生?
21.图书室有600本故事书,科技书的本数是故事书的,文学书的本数是科技书的,图书室有多少本文学书?
22.有甲、乙两个志愿者服务队,甲队有42人,把甲队的调入乙队,这时两队人数一样多.原来甲乙两队共有多少人?
23.2024年4月30日,神舟十七号载人飞船采用5圈快速返回方案,整个返程用时约比神舟十二号飞船返回缩短。神舟十二号载人飞船返回地球时,整个降落过程用了近28小时。神舟十七号载人飞船返回地球用时约多少小时?
参考答案与试题解析
1.一种服装先提价后,又降价,结果( )
A.比原价低 B.比原价高 C.价钱不变
【考点】分数四则复合应用题.
【答案】A
【分析】先把原价看成单位“1”,提价后的价格是原价的(1+);再把提价后的价格看成单位“1”,现价是提价后的(1﹣),用乘法求出现价是原价的多少,即可判断
【解答】解:(1+)×(1﹣后)
=1.1×0.9
=0.99
现价是原价的0.99,所以现价与原价比较是降价了.
故选:A.
【点评】本题关键是找出两个不同的单位“1”,根据分数乘法的意义求出现价是原价的多少即可.
2.小丽读一本160页的故事书,第一天读了这本书的,第二天从第( )页开始读起。
A.20 B.21 C.140
【考点】分数四则复合应用题.
【答案】B
【分析】把这本书的总页数看作单位“1”,用这本书的总页数乘,即可计算出小丽第一天看的页数,再加上1页,即可计算出第二天从第几页开始读起。
【解答】解:160×
=20+1
=21(页)
答:第二天从第21页开始读起。
故选:B。
【点评】本题解题的关键是根据分数乘法的意义与加法的意义,列式计算。
3.一根3米长的绳子,先截下它的,再截下米,这时还剩( )米。
A. B.1 C.1
【考点】分数四则复合应用题.
【答案】B
【分析】先截下它的,表示把这根绳子的长度看作单位“1”,把这绳子平均分成两份,截去一份,即截去3×=1.5(米),再截下米,用3=1(米),即可求得。
【解答】解:3×=1.5(米)
3﹣1.5﹣=1(米)
答:这时还剩1米。
故选:B。
【点评】完成本题要注意前一个分数表示占全长的分率,后一个表示具体长度。
4.有一批水泥,第一次用去总数的,第二次用去余下的,那么( )
A.第一次用去的多 B.第二次用去的多
C.两次用去的一样多 D.无法比较
E..
【考点】分数四则复合应用题.
【答案】C
【分析】把这批水泥的重量看作单位“1”,先求出用去第一天次后剩余的水泥量,再依据分数乘法意义,求出第二次用去的水泥占总重量的分率,最后根据分数大小比较方法即可解答.
【解答】解:(1﹣)×,
=,
=,
,
答:两次用去的一样多,
故选:C.
【点评】解答本题的关键是求出第二次用去水泥占水泥总重量的分率.
5.奇奇读了一本184页的故事书,第一天读了46页,第二天读的比第一天多,第二天读了( )页。
A.14 B.56 C.60 D.106
【考点】分数四则复合应用题.
【答案】C
【分析】首先根据题意,把第一天读的页数看作单位“1”,则第二天读的页数是第一天的(1+);然后根据分数乘法的意义,用乘法求出第二天读了多少页即可。
【解答】解:46×(1+)
=46×
=60(页)
答:第二天读了60页。
故选:C。
【点评】此题主要考查了分数乘法的意义的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:求一个数的几分之几是多少,用乘法解答。
6.食堂新买来一批大米,第一周吃了总数的,后来又吃了总数的,现在还剩130kg,食堂新买来的这批大米有( )kg。
A.360 B.290 C.450 D.440
【考点】分数四则复合应用题.
【答案】C
【分析】第一周吃了总数的,后来又吃了总数的,则剩下的大米所占的分率为1﹣﹣,将大米总数量看作单位“1”,根据分数除法的意义,已知剩下大米所占的分率,也知道剩下大米的具体数值,求单位“1”用除法,即用剩下大米的具体数值除以其所占的分率,即可求出这批大米的总数量。
【解答】解:130÷(1﹣﹣)
=130÷(﹣)
=130÷(﹣)
=130÷
=130×
=450(kg)
答:食堂新买来的这批大米有450kg。
故选:C。
【点评】本题解题的关键是把食堂原来有大米的质量看作单位“1”,根据分数除法的意义,列式计算。
7.2022年冬季疫情期间,确山县某超市为解决邻近小区物资短缺问题,捐赠了15吨大白菜。捐赠的大白菜是土豆的,捐赠的萝卜是土豆的,捐赠的萝卜有多少?下面列式( )是正确的。
A. B.
C. D.
【考点】分数四则复合应用题.
【答案】B
【分析】将土豆看作单位“1”,单位“1”未知,将大白菜的重量除以,求出土豆重量。再将土豆重量乘萝卜的分率,求出捐赠的萝卜有多少。据此解题。
【解答】解:求捐赠的萝卜有多少,正确的列式是。
故选:B。
【点评】本题考查分数应用题的解题方法,解题关键是先找出题目中的单位“1”是哪个量,再根据分数乘、除法的意义,列式计算。
8.一杯牛奶,第一次喝了全杯的,第二次喝了余下的,第二次喝了全杯牛奶的( )
A. B. C. D.
【考点】分数四则复合应用题.
【答案】A
【分析】第一次喝完剩下的是全杯的,第二次喝了余下的,也就是的,用分数乘法解答。
【解答】解:
=
=
答:第二次喝了全杯牛奶的。
故选:A。
【点评】此题主要考查了分数乘法的意义的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:求一个数的几分之几是多少,用乘法解答。
9.一块长方形菜地的面积是m2,宽是m,要给这块菜地四周围上栅栏,需要多长的栅栏( )
A. B.6m C. D.
【考点】分数四则复合应用题;长方形的周长;长方形、正方形的面积.
【答案】C
【分析】根据长方形的面积公式S=ab,求出长方形的长,然后根据长方形的周长=(长+宽)×2,解答即可。
【解答】解:÷=6(米)
(6+)×2
=×2
=(米)
答:需要米的栅栏。
故选:C。
【点评】本题考查了长方形面积公式和周长公式的灵活运用,结合题意分析解答即可。
10.一本故事书180页,小蕊第一天看了全书的,第二天看了全书的,第三天应从第 141 页开始看起。
【考点】分数四则复合应用题.
【答案】141。
【分析】要求第三天应从第几页开始看,先求出前两天看的页数,然后加上1即可(因为要从已看页数的下一页看起)。
【解答】解:180×(+)+1
=180×+1
=140+1
=141(页)
答:第三天应从第141页开始看。
故答案为:141。
【点评】此题考查的是分数应用题的列式,要先找准单位“1”,再根据题中的数量关系列式。
11.一杯牛奶,小明喝了半杯后,觉得有些凉,就兑满了热水.他又喝了半杯,就出去玩了.小明喝了 杯纯牛奶, 杯水.
【考点】分数四则复合应用题.
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据分数乘法的意义,求出第二次喝了这杯牛奶的几分之几;然后用它加上,求出一共喝了多少杯牛奶;最后根据分数乘法的意义,用兑水的量乘以,求出喝了多少杯水即可.
【解答】解:(1﹣)×+
=
=(杯),
(1﹣)×
=
=(杯),
答:小明喝了杯纯牛奶,杯水.
故答案为:,.
【点评】此题主要考查了分数加减法的运算,以及分数乘法的意义的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是弄清楚题中的等量关系.
12.服装店购进一批衬衫,其中女式衬衫120件,男式衬衫比女式衬衫的多20件。购进男式衬衫 68 件。
【考点】分数四则复合应用题.
【答案】68。
【分析】女式衬衫120件,则其是120×件,男式衬衫比女式衬衫的多20件,所以购进男式衬衫为(120×+20)件。
【解答】解:
=48+20
=68(件)
故答案为:68。
【点评】首先根据分数乘法的意义求出女式衬衫的是多少是完成本题的关键。
13.300米的环形跑道,第一分钟跑了全部的,第二分钟又跑了110米,一共跑了 290 米,是跑道总长的 。
【考点】分数四则复合应用题.
【答案】290;。
【分析】用跑道的全长乘,即可计算出第一分钟跑的长度,再加上第二分钟跑的长度,即可计算出一共跑了多少米,最后根据分数与除法的关系,计算出一共跑的长度是跑道总长的几分之几。
【解答】解:300×
=180+110
=290(米)
290÷300=
答:一共跑了290米,是跑道总长的。
故答案为:290;。
【点评】本题解题的关键是根据分数乘法的意义和分数与除法的关系,列式计算。
14.一桶油重5kg,第一天用去,第二天用去千克,还剩 kg,剩下的占这桶油总重的 52 %。
【考点】分数四则复合应用题.
【答案】见试题解答内容
【分析】把这桶油的质量看作单位“1”,用这桶油的质量乘,计算出第一天用去的质量,再用这桶油的质量减去两天用去的质量之和,即可计算出还剩多少千克。
用剩下油的质量除以这桶油的总质量,即可计算出剩下的占这桶油总重的百分之几。
【解答】解:
=
=(kg)
答:还剩kg,剩下的占这桶油总重的52%。
故答案为:;52。
【点评】本题解题关键是把这桶油的质量看作单位“1”,再根据分数乘法的意义与分数除法的意义,列式计算。
15.你知道动物的牙齿数吗?猫有30颗,马有36颗,狗的牙齿数比猫多,大象的牙齿数只相当于马的。算一算,狗的牙齿有 42 颗,大象的牙齿有 6 颗。
【考点】分数四则复合应用题.
【答案】42,6。
【分析】把猫的牙齿数量看作单位“1”,狗的牙齿的比猫多,也就是说狗的牙齿数量是猫的(1+),依据分数乘法意义即可求出狗的牙齿数量;大象的牙齿是马的,用分数乘法即可求得。
【解答】解:30×(1+)
=30×
=42(颗)
36×(颗)
答:狗的牙齿有42颗,大象的牙齿有6颗。
故答案为:42,6。
【点评】本题主要考查学生运用分数乘法意义解决问题的能力。
16.计算下面各题。
(1)
(2)
(3)
(4)
【考点】分数乘除混合运算.
【答案】(1)48;(2);(3)49;(4)。
【分析】(1)约分求解;
(2)(4)按照从左到右的顺序依次计算;
(3)先把除法变成乘法,再约分求解。
【解答】解:(1)
=
=48
(2)
=×
=
(3)
=
=49
(4)
=×
=
【点评】本题考查了简单的分数乘除法的计算,计算时要细心,注意把结果化成最简分数。
17.计算下面各题。
【考点】分数乘除混合运算.
【答案】3;;;;;2。
【分析】利用分数乘法、分数除法的计算方法,结合各个算式,分别计算即可。
【解答】解:
=
=3
=
=
=
=
××=
×÷
=××5
=
8××=2
【点评】本题考查的是分数乘法、分数除法的应用。
18.脱式计算。
÷×
×÷
÷÷
【考点】分数乘除混合运算.
【答案】;;。
【分析】利用分数乘法、分数除法的计算方法,结合各个算式,分别计算即可。
【解答】解:÷×
=××
=
×÷
=××
=
÷÷
=××
=
【点评】本题考查的是分数乘法、分数除法的应用。
19.一块长方形菜地长为米,比宽长米,这块菜地的周长是多少米?
【考点】分数四则复合应用题;长方形的周长.
【答案】米。
【分析】由题意可知,一块长方形菜地长为米,比宽长米,则宽为(﹣)米,再根据长方形的周长公式:C=(a+b)×2,据此计算即可。
【解答】解:[+(﹣)]×2
=[+]×2
=×2
=(米)
答:这块菜地的周长是米。
【点评】本题解题的关键是根据分数减法的意义和长方形周长的计算方法,列式计算。
20.实验小学五年级学生有96人,占全校总人数的,四年级学生人数占全校总人数的,这个学校四年级有多少学生?
【考点】分数四则复合应用题;分数除法应用题.
【答案】120人。
【分析】用五年级学生人数除以,即可计算出全校的总人数,再用全校总人数乘,即可计算出这个学校四年级有多少学生。
【解答】解:
=480×
=120(人)
答:这个学校四年级有120人。
【点评】本题解题的关键是根据分数乘法的意义与分数除法的意义列式计算,熟练掌握分数乘、除法的计算方法。
21.图书室有600本故事书,科技书的本数是故事书的,文学书的本数是科技书的,图书室有多少本文学书?
【考点】分数四则复合应用题.
【答案】350本。
【分析】用图书室有故事书的总本数乘,即可计算出科技书的本数,再乘,即可计算出图书室有多少本文学书。
【解答】解:
=500×
=350(本)
答:图书室有350本文学书。
【点评】本题解题的关键是根据分数乘法的意义列式计算,熟练掌握分数乘法的计算方法。
22.有甲、乙两个志愿者服务队,甲队有42人,把甲队的调入乙队,这时两队人数一样多.原来甲乙两队共有多少人?
【考点】分数四则复合应用题.
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意,甲队有42人,把甲队的调入乙队,这时两队人数一样多,由此可知,乙队的人数相对于甲队人数(12),根据一个数乘分数的意义,用乘法求出乙队的人数,然后把甲、乙两队的人数合并起来即可.
【解答】解:42+42×(1)
=42+42×
=42+30
=72(人)
答:原来甲乙两队共有72人.
【点评】此题考查的目的是理解掌握一个数乘分数的意义及应用,关键是求出乙队人数相对于甲队人数的几分之几.
23.2024年4月30日,神舟十七号载人飞船采用5圈快速返回方案,整个返程用时约比神舟十二号飞船返回缩短。神舟十二号载人飞船返回地球时,整个降落过程用了近28小时。神舟十七号载人飞船返回地球用时约多少小时?
【考点】分数四则复合应用题.
【答案】8小时。
【分析】把神舟十二号载人飞船返回地球所用的时间看作单位“1”,则神舟十七号载人飞船返回地球用时是神舟十二号载人飞船返回地球用时的(),根据分数乘法的意义,即可计算出神舟十七号载人飞船返回地球用时约多少小时。
【解答】解:
=28×
=8(小时)
答:神舟十七号载人飞船返回地球用时约8小时。
【点评】本题考查分数乘法应用题,解题关键是先找出题目中的单位“1”是哪个量,再根据一个数乘分数的意义,列式计算。
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