精品解析：北师大版2023-2024学年八年级数学下册期中复习试卷

2023-2024学年北师大新版八年级下册数学期中复习试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后与点重合，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 等腰三角形的底角为，则这个等腰三角形的顶角是（　　） A. B. C. D. 3. 设，，，都是整数，且，，，，则的最大值是（　　） A. 207 B. 208 C. 209 D. 239 4. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. 5. 若一条长为31cm细线能围成一边长等于7cm的等腰三角形，该等腰三角形的腰长为（ ） A. 7cm B. 9cm C. 12cm D. 7cm或12cm 6. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 7. 已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 多项式的公因式是（　　） A. a B. C. D. 9. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，使点落在点处，点落在点处，则两点间的距离为（ ） A B. C. D. 10. 若一个等腰三角形的两边长分别为5和12，则该三角形的周长是（ ） A. 5 B. 5或12 C. 22或29 D. 29 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 要使二次根式有意义，则x应满足条件是__________． 12. 已知（k－3）x|k|－2＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则k＝_____． 13. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则______________． 14. 多项式各项的公因式是___． 15. 在△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，∠BAC的平分线交BC于D，且BD∶DC=5∶3，则D到AB的距离为__________． 三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分） 16. 小明解不等式﹣≤1的过程如下．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母，得：3（1+x）﹣2（2x+1）≤1…① 去括号，得：3+3x﹣4x+1≤1…② 移项，得：3x﹣4x≤1﹣3﹣1…③ 合并同类项，得：﹣x≤﹣3…④ 两边都除以﹣1，得：x≤3…⑤ （1）错误的步骤有 　 　处，分别为 　 　．（填序号） （2）请写出正确解答过程． 17. 如图，沿直线l向右平移，得到，且，． （1）求的长． （2）求的度数． 18. 把下列各式分解因式： （1）； （2）x（x﹣1）﹣3x+4； （3）； （4）． 四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分） 19. 如图，在△ABC中，，BE平分∠ABC，交AC于点E，过点E作ED⊥AB于点． （1）求证：△BCE≌△BDE； （2）若，CE=1，求AE的长． 20. 已知△A1B1C1是由△ABC经过平移得到的，其中，A、B、C三点的对应点分别是A1、B1、C1．它们在平面直角坐标系中的坐标如表所示： △ABC A(a，0) B(3，0) C(5，5) △A1B1C1 A1(﹣3，2) B1(﹣1，b) C1(c，7) （1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）在如图的平面直角坐标系中画出△ABC； （3）求△A1B1C1的面积． 21. 盛夏来临，电风扇开始热销，某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的两种型号的电风扇，销售3台种型号和5台种型号的电风扇销售收入为1800元，销售4台种型号和10台种型号的电风扇销售收入为3100元． （1）求两种型号的电风扇的销售单价各为多少元； （2）若超市准备再采购这两种型号的电风扇共30台，超市销售完这30台电风扇后，使这30台电风扇的利润能超过1410元，求种型号的电风扇最少采购多少台？ 五．解答题（共4小题，满分36分） 22. 如图，中，，于D，平分交于F，交于E，请判断与相等吗？为什么？ 23. 解不等式组：． 24 关于函数和函数有如下信息：①当时，；当时，.②当时，.根据信息解答下列问题： （1）①求函数的表达式； ②在平面直角坐标系中，画出，的图象. （2）设，试求3条直线，，围成的图形面积. 25. 在平面直角坐标系中，点A（1，2），点B（a，b），且，点E（6，0），将线段AB向下平移m个单位（m＞0）得到线段CD，其中A、B的对应点分别为C、D． （1）求点的坐标及三角形ABE的面积； （2）当线段CD与轴有公共点时，求的取值范围； （3）设三角形CDE面积为，当时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年北师大新版八年级下册数学期中复习试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后与点重合，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点的坐标平移方式“左减右加，上加下减”可直接进行求解． 【详解】解：将点向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后与点重合， 则点的坐标是，即（2，-3）； 故选A． 【点睛】本题主要考查点的坐标平移，熟练掌握点的坐标平移方式是解题的关键． 2. 等腰三角形的底角为，则这个等腰三角形的顶角是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和直接求出顶角即可． 【详解】解：如图，在等腰中， ∵，， ∴， ， ； 故选：A． 3. 设，，，都是整数，且，，，，则的最大值是（　　） A. 207 B. 208 C. 209 D. 239 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，利用不等式的基本性质求得，，，的值即可，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变． 【详解】解：，是整数， 的最大值为； ，是整数，， 的最大值为； ，为整数， 的最大值为； ，为整数，， 的最大值为， 故选：A． 4. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式即可求解． 【详解】解：A．从左到右不符合因式分解定义，故本选项不符合题意． B．从左到右不符合因式分解定义，故本选项不符合题意． C．从左到右不符合因式分解定义，故本选项不符合题意． D．从左到右符合因式分解定义，故本选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解题关键．注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解． 5. 若一条长为31cm细线能围成一边长等于7cm的等腰三角形，该等腰三角形的腰长为（ ） A. 7cm B. 9cm C. 12cm D. 7cm或12cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可分当腰长为7cm时和当底边长为7cm时，然后利用三角形三边关系进行判断求解即可． 【详解】解：由题意易得： ①当腰长为7cm时，则底边为17cm，17＞7+7，根据三角形三边关系可知不符合题意； ②当底边长为7cm时，则腰长为：，由三角形三边关系可知符合题意； ∴该等腰三角形的腰长为12cm； 故选：C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形的三边关系是解题的关键． 6. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 7. 已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察数轴，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 本题考查了不等式组的解集，不等式组中各个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．解一元一次不等式组．遵循的原则是：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了．掌握不等式组的解集的概念是解题的关键． 【详解】由图知两个不等式的解集分别为和，它们的公共部分为， ∴这个不等式组的解集为：， 故选：B． 8. 多项式的公因式是（　　） A. a B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了公因式的定义，根据公因式的定义判断即可．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．掌握确定公因式的方法是解题的关键． 【详解】解：的公因式是a． 故选：A． 9. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，使点落在点处，点落在点处，则两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长BE和CA交于点F，根据旋转的性质可知∠CAE=，证明∠BAE=∠ABC，即可证得AE∥BC，得出，即可求出BE． 【详解】延长BE和CA交于点F ∵绕点逆时针旋转得到△AED ∴∠CAE= ∴∠CAB+∠BAE= 又∵∠CAB+∠ABC= ∴∠BAE=∠ABC ∴AE∥BC ∴ ∴AF=AC=2，FC=4 ∴BF= ∴BE=EF=BF= 故选：B 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质． 10. 若一个等腰三角形的两边长分别为5和12，则该三角形的周长是（ ） A. 5 B. 5或12 C. 22或29 D. 29 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分12为腰和底边两种情况分类讨论，根据三角形三条边的关系确定第三边的长，进而即可求解． 【详解】解：等腰三角形的两边长分别为5和12， ①当12为底边时，第三边为，∵，不能构成三角形， ②当12为腰时，第三边长为5，三角形的周长为 故选D 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，掌握以上知识是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 要使二次根式有意义，则x应满足的条件是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义需被开方数大于等于0是解题的关键． 12. 已知（k－3）x|k|－2＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则k＝_____． 【答案】-3 【解析】 【详解】∵(k-3)x|k|-2+1>0是关于x的一元一次不等式, ∴k-3≠0且|k|-2=1, 解得k=-3. 13. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称点的坐标特征，求解即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， 则， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键． 14. 多项式各项的公因式是___． 【答案】6xyz 【解析】 【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后确定公因式即可． 【详解】解：多项式的系数的最大公约数是6， 相同字母的最低指数次幂是xyz， 故公因式是6xyz． 故答案为：6xyz． 【点睛】本题考查公因式的定义，多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． 15. 在△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，∠BAC的平分线交BC于D，且BD∶DC=5∶3，则D到AB的距离为__________． 【答案】1.5cm 【解析】 【分析】作出图形，过点D作DE⊥AB于E，先求出CD的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD解答． 【详解】如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵BC=4cm，BD:DC=5:3， ∴CD=35+3×4=1.5cm， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴DE=CD=1.5cm. 故答案为1.5cm. 【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是灵活运用角平分线的性质解决问题. 三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分） 16. 小明解不等式﹣≤1的过程如下．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母，得：3（1+x）﹣2（2x+1）≤1…① 去括号，得：3+3x﹣4x+1≤1…② 移项，得：3x﹣4x≤1﹣3﹣1…③ 合并同类项，得：﹣x≤﹣3…④ 两边都除以﹣1，得：x≤3…⑤ （1）错误的步骤有 　 　处，分别为 　 　．（填序号） （2）请写出正确解答过程． 【答案】（1）3，①②⑤；（2）过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据小明的解题步骤找出错误的步骤即可； （2）根据解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1依次计算可得． 【详解】解：（1）3，①②⑤， 故答案为：3，①②⑤； （2）正确的解答过程： 去分母，得：3（1+x）−2（2x+1）≤6①， 去括号，得：3+3x−4x−2≤6②， 移项，得：3x−4x≤6−3+2③， 合并同类项，得：−x≤5④， 两边都除以−1，得：x≥﹣5⑤． 【点睛】本题主要考查的是解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤和依据是解题的关键． 17. 如图，沿直线l向右平移，得到，且，． （1）求的长． （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质：平移前后的两个图形的对应线段平行且相等，即可得到结论； （2）根据平移的性质：对应角相等得到答案即可． 【小问1详解】 解：∵沿直线l向右平移，得到， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵沿直线l向右平移，得到，且， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是能够了解平移的性质，属于基础题，比较简单． 18 把下列各式分解因式： （1）； （2）x（x﹣1）﹣3x+4； （3）； （4）． 【答案】（1）3（a﹣b）（2a﹣2b+1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用提公因式法分解； （2）先利用乘法法则化简整式，再利用完全平方公式因式分解； （3）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解； （4）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解． 【小问1详解】 解： ＝3（a﹣b）[2（a﹣b）+1] ＝3（a﹣b）（2a﹣2b+1） 【小问2详解】 解：x（x﹣1）﹣3x+4 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键． 四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分） 19. 如图，在△ABC中，，BE平分∠ABC，交AC于点E，过点E作ED⊥AB于点． （1）求证：△BCE≌△BDE； （2）若，CE=1，求AE的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）先根据角平分线的性质可得，再根据定理即可得证； （2）先根据直角三角形的性质、角平分线的定义可得，则，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得． 【小问1详解】 证明：平分，，， ， 在和中，， ． 【小问2详解】 解：， ， 平分， ， ， ， 又在中，， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定、角平分线的性质、等腰三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定和等腰三角形的判定是解题关键． 20. 已知△A1B1C1是由△ABC经过平移得到的，其中，A、B、C三点的对应点分别是A1、B1、C1．它们在平面直角坐标系中的坐标如表所示： △ABC A(a，0) B(3，0) C(5，5) △A1B1C1 A1(﹣3，2) B1(﹣1，b) C1(c，7) （1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）在如图的平面直角坐标系中画出△ABC； （3）求△A1B1C1的面积． 【答案】（1）1，2，1；（2）见解析；（3）5 【解析】 【分析】（1）根据点横坐标的变化求出向左平移的距离，根据点纵坐标的变化得出向上平移的距离即可； （2）在坐标系内描出各点，再画出及△即可； （3）矩形的面积减去两个顶点上三角形的面积即可． 【详解】解：（1），， 向左平移的距离， ，解得， ，解得； ，， 向上平移的距离， ． 故答案：1，2，1； （2）如图即为所求； （3）由图可知，△AB1C1的面积=． 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是作图平移变换，先根据题意得出图形平移的方向，再根据图形平移不变性的性质求解是解答此题的关键． 21. 盛夏来临，电风扇开始热销，某电器超市销售每台进价分别为200元、170元两种型号的电风扇，销售3台种型号和5台种型号的电风扇销售收入为1800元，销售4台种型号和10台种型号的电风扇销售收入为3100元． （1）求两种型号的电风扇的销售单价各为多少元； （2）若超市准备再采购这两种型号的电风扇共30台，超市销售完这30台电风扇后，使这30台电风扇的利润能超过1410元，求种型号的电风扇最少采购多少台？ 【答案】（1）两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元 （2）超市最少采购种型号电风扇22台，才能使利润能超过1410元 【解析】 【分析】（1）设两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，根据“销售3台种型号和5台种型号的电风扇销售收入为1800元，销售4台种型号和10台种型号的电风扇销售收入为3100元”，列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据“30台电风扇的利润能超过1410元”，列出不等式，解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设两种型号电风扇的销售单价分别为元、元， 依题意得：， 解得：， 答：两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元； 【小问2详解】 解：设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台， ， 解得：， 为整数， 的最小值取22， 答：超市最少采购种型号电风扇22台，才能使利润能超过1410元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 五．解答题（共4小题，满分36分） 22. 如图，中，，于D，平分交于F，交于E，请判断与相等吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，直角三角形的性质，角平分线的定义，余角的性质，确定角之间的关系是解题的关键． 根据直角三角形的性质和余角的性质可证，根据角平分线的定义和外角性质可证，根据等角对等边可证． 【详解】解：．理由如下： ∵（已知）， ∴（已知）， ∴（直角三角形的两个锐角互余）， （直角三角形的两个锐角互余）， ∴（同角的余角相等）． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∵，，（三角形的外角性质） ∴（等量代换）， ∴（等角对等边）． 23. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键在于能够准确求出每一个一元一次不等式的解集. 先分别求出两个一元一次不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可得到答案. 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：． 24. 关于函数和函数有如下信息：①当时，；当时，.②当时，.根据信息解答下列问题： （1）①求函数的表达式； ②在平面直角坐标系中，画出，的图象. （2）设，试求3条直线，，围成的图形面积. 【答案】（1）①②见解析；（2）9. 【解析】 【分析】（1）由题意可知的图像经过和，用待定系数法求解即可； （2）用两点法画出函数图像即可； （3）先画出的图像，然后用割补法求解即可. 【详解】解：（1）①由已知得：，的交点坐标为， 与轴的交点坐标为， 将两点坐标代入的表达式， 得， ∴， ∴； ②，的图象如图， （2）∵， ∴，关于轴对称，图象如图， ∴，的交点坐标为， ∴3条直线围成的三角形面积为. 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的交点，一次函数的轴对称变化以及割补法求图形的面积，求出的解析式是解答本题的关键. 25. 在平面直角坐标系中，点A（1，2），点B（a，b），且，点E（6，0），将线段AB向下平移m个单位（m＞0）得到线段CD，其中A、B的对应点分别为C、D． （1）求点的坐标及三角形ABE的面积； （2）当线段CD与轴有公共点时，求的取值范围； （3）设三角形CDE面积为，当时，求的取值范围． 【答案】（1）B（3，4），7；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）由算术平方根的意义可求出a，b的值，可求出B点的坐标，过点B作BH⊥x轴于点H，过点A作AM⊥BH于点M，过点E作EN⊥AM于点N，连接EM，由三角形面积公式可得出答案； （2）当点C在x轴上时，此时m=2，当点D在x轴上时，m=4，由题意可得出答案； （3）根据点C和点D不同的位置，由坐标与图形的性质及三角形面积公式可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴b=4， ∴=0， ∴a-3=0， ∴a=3， ∴B（3，4）， ∴过点B作BH⊥x轴于点H，过点A作AM⊥BH于点M，过点E作EN⊥AM于点N，连接EM， 则S△ABE=S△ABM+S△EBM+S△AME =×2×2+×2×3+×2×2 =7； （2）当点C在x轴上时，此时m=2， 当点D在x轴上时，m=4， ∴2≤m≤4时，线段CD与x轴有公共点； （3）当点C在x轴上时，此时m=2，C（1，0），D（3，2），S△CDE=5， 当点D在x轴上时，此时m=4，C（1，-2），D（3，0），S△CDE=3， 当点C在x轴下方时，点D在x轴上方时，且S△CDE=4，如图2， 分别过点C，D作x轴，y轴平行线交于点G，连接GE，过点E作EH⊥CG于点H， ∵C（1，2-m），D（3，4-m）， ∴CG=2，DG=2，EH=m-2， ∴S△CDE=S△CDG+S△EDG-S△CEG， ∴4=×2×2+×2×3−×2•(m−2)， ∴m=3． ∴当2≤m≤3时，4≤S≤5； 当C，D均x轴下方时，如图3， ∵CG=DG=2，GH=3，EH=m-2， ∴S△CDE=S△ECG-S△CDG-S△EDG， ∴S△CDE=×2•(m−2)-×2×2−×2×3=m-7， 当m-7=4时，m=11，当m-7=5时，m=12， ∴当11≤m≤12时，4≤S≤5． 综合以上可得，当2≤m≤3或11≤m≤12时，4≤S≤5． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，平移的性质，正确进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$