11.1与三角形有关的线段讲义 2024-2025学年人教版八年级数学上册

11.1与三角形有关的线段讲义-数学八年级上册人教版 高频考点梳理 1．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 2．三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 3．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 清易错 1．已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为偶数．求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|． 【解答】解：（1）∵a＝2，b＝5， ∴5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7， ∵c为偶数， ∴c＝4或6， 当c＝4时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+4＝11； 当c＝6时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+6＝13， 综上所述，△ABC的周长为11或13； （2）∵△ABC的边长为a，b，c， ∴a+c＞b， ∴|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c| ＝a+c﹣b﹣（a+c﹣b）+a+b+c ＝a+c﹣b﹣a﹣c+b+a+b+c ＝a+b+c． 2．如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB边上的中线，若AE＝5，BF＝6，且△ABC的周长为32，求BC的长． 【解答】解：∵△ABC的周长为32， ∴AB+AC+BC＝32， ∵BE、CF分别是AC、AB边上的中线，AE＝5，BF＝6， ∴AC＝2AE＝10，AB＝2BF＝12， ∴BC＝32﹣10﹣12＝10． 3．已知△ABC的周长是20，三边分别为a、b、c， （1）若b是最大边，求b的取值范围； （2）若△ABC是不等边三角形，b是最大边，c是最小边，且b＝3c，a、b、c均为整数，求△ABC的三边长． 【解答】解：（1）依题意有b≥a，b≥c，又a+c＞b， 则a+b+c≤3b且a+b+c＞2b， 得2b＜20≤3b， 得≤b＜10； （2）∵≤b＜10，b为整数， ∴b＝7，8，9， ∵b＝3c，c为整数， ∴b＝9，c＝3， ∴a＝20﹣b﹣c＝8． 故△ABC的三边长为c＝3，a＝8，b＝9． 精选好题 一、单选题 1．下列图形中关于的边上的高画法正确的是（    ） A．B． C． D． 2．已知三角形的两边分别为4和9，则此三角形的第三边可能是（    ） A．9 B．5 C．4 D．14 3．如图，被木板遮住了一部分，其中，则的值可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．的三边分别为a，b，c，若，，c的长为偶数，则的周长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 6．如图，在人字梯的中间有一“拉杆”，这样做的数学原理是（    ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．两点之间，线段最短 7．在平面直角坐标系中，A，B，C，且，并且．则的面积的最大值为（     ） A．6 B．13 C．15 D．16 8．已知点F是的重心，连接并延长交于G点，过点F作直线分别交于D点、E点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，边上的高是 ，边上的高是 ；在中，边上的高是 ． 10．已知中，，，过点A作的高，则 ． 11．已知a、b、c是的三边，，，c为整数，则c的最小值为 ． 12．已知a，b，c是的三边长，化简 ． 13．如图，五根木条钉成一个五边形框架，要使框架稳固且不活动，至少还需要添 根木条． 14．如图，是边上的中线，的面积是1，则的面积是 ． 15．给出如下定义：点是内部一点，如果存在过点的直线可以将分成面积相等的两部分，则称该点为的“中立点”，下列四个结论中: ①当点在的一条中线上时，该点为的“中立点”； ②的“中立点”的个数为有限个； ③的“中立点”有无数个，但不是内部所有的点； ④内部所有的点都是的“中立点”． 所有正确结论的序号是 ． 16．我们规定：满足（1）各边互不相等且均为整数：（2）最短边上的高与最长边上的高的比值为整数，这样的三角形称为“倍高三角形”，其中叫做“倍高系数”．如果是周长为13的“倍高三角形”，其“倍高系数” ；如果是“倍高三角形”，且，则周长最小值为 ． 三、解答题 17．如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 18．如图，在中，，为边上的高． (1)求斜边的长； (2)求的长． 19．已知，，是的三边长，、满足，且边长的值为偶数，则的周长为多少？ 20．如图，中，，D为的中点，的周长比的周长大2，且的边长是方程的解，求三边的长． 21．如图，，点在轴正半轴上，且．    (1)直接写出点的坐标： (2)画出，直接写出的面积 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D A C A C A 1．B 【分析】本题考查的是作图基本作图，三角形的高的概念，掌握从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解题的关键．根据三角形的高的概念判断即可． 【详解】解：A、图中所画不是的边上的高，不符合题意； B、图中所画是的高，画法正确，符合题意； C、图中所画不是的边上的高，不符合题意； D、图中所画不是的边上的高，不符合题意； 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了三角形的三边关系．根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和求得第三边的取值范围，再进一步选择． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得 第三边大于5，而小于13． 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 3．D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边即可得出答案． 【详解】解：∵中， ∴，ABC不满足条件，D满足条件． 故选：D． 4．A 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．根据三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴，，能构成三角形； B、∵， ∴，，不能构成三角形； C、∵， ∴，，不能构成三角形； D、∵， ∴，，不能构成三角形． 故选：A． 5．C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，这是判断第三边范围的主要依据．先根据已知两边求得第三边的范围，再根据第三边为偶数求得第三边的长，最后计算三角形的周长即可． 【详解】解：，， ，即， c的长为偶数， ， 的周长为， 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了三角形的性质根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了坐标与图形性质，解不等式，三角形的面积，关键是得到的长和边上高的最大值． 观察三个点的坐标可知，再由，并且可得，可得边上高的最大值，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：，，， ， ， ∴， ∴ ， 边上高的最大值是， 面积的最大值为． 故选：C． 8．A 【分析】本题考查的是重心的概念，掌握重心的定义是解题关键，根据定义直接判断即可． 【详解】解：点F是的重心， 是的中线， ， 故选：A． 9． / / / 【分析】本题主要考查三角形高线的概念，掌握这个知识点即可求解．确定某一边的高，首先明确是哪个三角形的高，在这个三角形内，先看这边相对的顶点，然后寻找这个顶点向这条边作的垂线段即可． 【详解】解：在中，边上的高是，边上的高是；在中，边上的高是． 故答案为：；； 10．或 【分析】本题考查锐角三角形和钝角三角形高的画法，尤其注意钝角三角形在钝角的两条边用虚线作延长线，过顶点作垂直高线，根据已知三角形内角度数，结合正确画出三角形高是本题的解题关键．根据题意画出，分别讨论三角形为锐角和钝角三角形时的角，根据，可得答案． 【详解】解：∵中，，， 如图1，当是锐角三角形时， ； 如图2，当是钝角三角形时， ， 故答案为：或． 11．5 【分析】本题考查三角形三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．掌握三角形三边的关系是解题的关键． 根据已知的两边确定第三边的取值范围，再根据为整数，即可得出答案． 【详解】解：∵、、是的三边，，， ∴，即， 又∵为整数， ∴的最小值为， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，化简绝对值，根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到，据此化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：∵a，b，c是的三边长， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13．2 【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用．根据三角形的稳定性，只要使六边形框架变成三角形的组合体即可． 【详解】解：从图中可以看出，要使框架稳固且不活动，至少还需要添2根木条． 故答案为：2． 14．2 【分析】本题考查三角形的中线性质，根据三角形的中线平分该三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线，的面积是1， ∴， 故答案为：2． 15．①③/③① 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，线与点的关系，根据定义，“中立点”在三角形中线上，线是由无数点组成，由此即可求解，理解“中立点”的概念，掌握中位线平分该三角形的面积的知识是解题的关键 【详解】解：根据题意，“中立点”在三角形中线上，三角形的中线有三条，中线是有无数个中立点组成， ∴①当点在的一条中线上时，该点为的“中立点”，正确； ②的“中立点”的个数为无限个，原命题错误； ③的“中立点”有无数个，但不是内部所有的点，正确； ④内部中线上的点都是的“中立点”，不是三角形内部所有的，原命题错误． ∴正确的结论有：①③， 故答案为：①③． 16． 2或3 36 【分析】本题主要考查三角形三边关系的知识点，解答本题的关键是理解题干条件：倍高三角形的概念， 根据定义结合三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析；设，，，得，，，得出即当时的周长有最小值，据此求出即可得到答案． 【详解】根据倍高三角形的定义和三角形的三边关系得： 是周长为13， 最长边小于， 各边互不相等且均为整数， 最长边为6，较短两边为2和5或3和4， 最短边上的高与最长边上的高的比值为整数， ，或即或3； 设，，， ， ，，， ，， 分子的变化比分母的变化要快， 随着k的增大则随着k的增大周长在增大，周长在增大， 最短边上的高与最长边上的高的比值为整数， 当时的周长有最小值， ∴， 周长最小值为， 故答案为： 2或3；36． 17．(1)的长度为； (2) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线的性质，熟练掌握三角形面积公式和三角形中线的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形的面积公式即可计算出的长； （2）根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分即可求出的面积． 【详解】（1）解：，是边上的高， ， ， 答：的长度为； （2）解： 是直角三角形，， ， 又是边的中线， ． 答：． 18．(1)10 (2)4.8 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，掌握勾股定理是解本题的关键． （1）由勾股定理可求解； （2）由面积法可求解． 【详解】（1）在中，， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 19．的周长为或 【分析】本题考查了绝对值，偶次幂的非负性，三角形三边数量关系，根据题意，，求出的值，根据三角形三边数量关系，确定的值，分类讨论，由此即可求解． 【详解】解：已知，， ∴， 解得，， ∴，即， ∵的值为偶数， ∴或， 当时，三角形三边长分别为：， ∴的周长为：； 当时，三角形三边长分别为：， ∴的周长为：； 综上所述，的周长为或． 20． 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，三角形的中线等知识点，根据题意得出，结合的周长,的周长即可求解； 【详解】解：解方程得： ∴ ∵的周长,的周长 又∵ ∴ ∴ 21．(1) (2)8 【分析】本题主要考查了基本作图，数轴上两点之间的距离，利用网格求三角形的面积的知识． （1）利用数轴上两点之间的距离以及已知条件可得出． （2）描点，连线即可画出，利用网格求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵，且点在轴正半轴上， ∴． （2）解：画出如下：    ∴ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$