3.2.1 函数的单调性 同步练习-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

函数的单调性练习 必备知识基础练 1.函数y=的减区间是( ) A.(-∞,0)∪(0,+∞) B.(-∞,0] C.[0,+∞) D.(-∞,0),(0,+∞) 2.下列函数中,在区间(0,+∞)上是增函数的是( ) A.y=x3 B.y=3-x C.y= D.y=-x2+4 3. (多选)如图是函数y=f(x)的图象,则函数y=f(x)在下列区间单调递减的是( ) A.[-6,-4] B.[-4,-1] C.[-1,2] D.[2,5] 4.函数y=-x2+2x-2的单调递减区间是_. 5.设函数f(x)是R上的减函数,若f(m2+2)>f(2m+5),则实数m的取值范围是_. 关键能力综合练 1.函数f(x)=在( ) A.(-∞,1)∪(1,+∞)上是增函数 B.(-∞,1)∪(1,+∞)上是减函数 C.(-∞,1)和(1,+∞)上是增函数 D.(-∞,1)和(1,+∞)上是减函数 2.定义域为R的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R,有(x1-x2) (f(x1)-f(x2))>0,则有( ) A.f(-2)<f(1)<f(3) B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(3)<f(-2)<f(1) D.f(3)<f(1)<f(-2) 3.已知二次函数y=x2-2ax+1在区间(2,3)上是单调函数,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,2]∪[3,+∞) B.[2,3] C.(-∞,-3]∪[-2,+∞) D.[-3,-2] 4.若函数f(x)是R上的减函数,a>0,则下列不等式一定成立的是( ) A.f(a2)<f(a) B.f(a)<f() C.f(a)<f(2a) D.f(a2)<f(a-1) 5.已知f(x)是定义在[-1,1]上的减函数,且f(2a-3)<f(a-2),则实数a的取值范围是( ) A.(1,2] B.(1,3] C.(1,4] D.(1,+∞) 6.函数的递增区间是( ) A. B. C. D. 7.(多选)已知函数f(x)=是R上的减函数,则实数k的可能取值有( ) A.4 B.5 C.6 D.7 8.若函数f(x)=ax2+2x-1在区间(-∞,6)上单调递增,则实数a的取值范围是_. 9.若定义在上的二次函数在区间上是增函数,且,则实数的取值范围是 10.已知函数是定义在区间上的减函数,则的单调递增区间为 11.函数的单调递减区间是 12.已知函数f(x)=(a∈R),且f(1)=5. (1)求a的值; (2)判断f(x)在区间(0,2)上的单调性,并用单调性的定义证明你的判断. 13.已知函数f(x)=是增函数. (1)求实数a的取值范围; (2)解不等式f(2m2-m-8)>f(m2-3m-5). 14.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对一切m>0,n>0,都有f()=f(m)-f(n)+2,当x>1时,总有f(x)<2. (1)求f(1)的值; (2)证明:f(x)是定义域上的减函数; (3)若f(4)=1,解不等式f(x-2)-f(8-2x)<-1. 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 参考答案 必备知识基础练 1.答案:D 解析:易知函数y=的图象如图所示,所以函数y=的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞). 2.答案:A 解析:对于A,y=x3在(0,+∞)上是增函数,故A正确. 对于B,y=3-x在(0,+∞)上是减函数,故B错误. 对于C,y=在(0,+∞)上是减函数,故C错误. 对于D,y=-x2+4在(0,+∞)上是减函数,故D错误. 3.答案:BD 解析:结合图象易知,函数f(x)在区间[-4,-1],[2,5]上单调递减. 4.答案:(1,+∞) 解析:由题设,二次函数开口向下且对称轴为x=1, ∴y在(-∞,1)上递增,(1,+∞)上递减. 故函数的单调递减区间是(1,+∞). 5.答案:(-1,3) 解析:因为函数f(x)是R上的减函数,则f(m2+2)>f(2m+5)等价于m2+2<2m+5,即m2-2m-3<0,即(m+1)(m-3)<0,解得-1<m<3,即m∈(-1,3). 关键能力综合练 1.答案:D 解析:因为f(x)==1+,定义域为{x|x≠1}, y=在(-∞,1)和(1,+∞)上是减函数, 所以f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上是减函数. 2.答案:A 解析:定义域在R上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R,有(x1-x2) (f(x1)-f(x2))>0, 可得函数f(x)是定义域在R上的增函数, 所以f(-2)<f(1)<f(3). 3.答案:A 解析:由题知,当-≤2或-≥3,即a≤2或a≥3时,满足题意. 4.答案:D 解析:因为函数f(x)是R上的减函数,a>0, A选项,a2-a=a(a-1),当a>1时,a2>a,所以f(a2)<f(a);当0<a<1时,a2<a,所以f(a2)>f(a),即A不一定成立; B选项,当a>1时,a>,所以f(a)<f();当0<a<1时,a<,所以f(a)>f(),即B不一定成立; C选项,a>0时,2a>a,则f(a)>f(2a),所以C不成立; D选项,a2-(a-1)=a2-a+1=(a-)2+>0,则a2>a-1;所以f(a2)<f(a-1),即D一定成立. 5.答案:A 解析:∵f(x)是定义在[-1,1]上的减函数,且f(2a-3)<f(a-2), 则,解得1<a≤2. 6. C 7.答案:ABC 解析:因为函数f(x)是R上的减函数, 所以 2≤k≤6. 8.答案:[-,0] 解析:当a=0时,函数f(x)=2x-1在R上单调递增,即f(x)在(-∞,6)上递增,则a=0成立, 当a≠0时,函数f(x)是二次函数,又f(x)在(-∞,6)上单调递增,由二次函数性质知,a<0成立, 则有,解得-≤a<0, 所以实数a的取值范围是[-,0]. 9.答案: 10.答案: 11.答案: 12.解析:(1)由f(1)=5得1+a=5,解得a=4. (2)f(x)在区间(0,2)内单调递减, 证明:由(1)得f(x)==x+, 对任意x1,x2∈(0,2),且x1<x2, 有f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=, 由x1,x2∈(0,2),得0<x1x2<4,x1x2-4<0,又由x1<x2,得x1-x2<0, 于是>0,即f(x1)>f(x2), 所以f(x)=x+在区间(0,2)上单调递减. 13.解析:(1)因为f(x)在R上是增函数,所以f(x)在[2,+∞),(-∞,2)都单调递增. 当≤2即a≤4时,f(x)在[2,+∞)单调递增; 当a>0时,f(x)在(-∞,2)单调递增; 在x=2处,22-2a+5a≥2a+5,解得a≥1. 综上所述,a的取值范围为[1,4]. (2)因为f(x)在R上是增函数,所以f(2m2-m-8)>f(m2-3m-5)等价于2m2-m-8>m2-3m-5, 化简为m2+2m-3>0,解得m<-3或m>1. 所以不等式的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞). 14.解析:(1)令m=n=1,则f(1)=f(1)-f(1)+2, 解得:f(1)=2. (2)设0<x1<x2,则f(x2)-f(x1)=f()-2, ∵>1,∴f()<2,f(x2)-f(x1)<0,∴f(x)是定义域上的减函数. (3)由f(x-2)-f(8-2x)<-1得:f()-2<-1,即f()<1, 又f(4)=1,∴f()<f(4), ∵f(x)是定义域上的减函数,∴>4,解得:<x<4; 又,∴2<x<4, ∴f(x-2)-f(8-2x)<-1的解集为(,4). $$