内容正文:
小数除法
(思维导图+知识梳理+典例分析+高频考题+答案解析)
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思维导图
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知识梳理
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知识点一、循环小数及其分类
1.概念:一个数的小数部分从某一位起,一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数.循环小数是无限小数.
2.分类:纯循环小数和混循环小数.
(1)纯循环小数指从小数第一位开始循环的小数如3.666…
(2)混循环小数指不是从小数第一位循环的小数.
知识点二、小数除法
1、意义:小数除法的意义与整数除法的意义相同,就是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算.小数除法的法则与整数除法的法则基本相同
2、当除数是整数时,可以直接按照整数除法的法则进行计算,商的小数点要与被除数的小数点对齐.如果有余数,就在余数的右边补上0,再继续除.商的整数部分或小数部分哪一位不够1时,要写上0,补足位数.如果需要求商的近似值时,要比需要保留的小数位数多商一位,再按照四舍五入法取近似商.
3、当除数是小数时,要根据“被除数和除数同时乘相同的数商不变”的规律,先把除数的小数点去掉,使它变成整数,再看原来的除数有几位小数,被除数的小数点也向右移动相同的位数.如果位数不够,要添0补足,然后,按照除数是整数的小数除法法则进行计算.
知识点三、小数除法的近似数
1、取商的近似值的一般方法:求商的近似数,要比需要保留的小数位数多除出一位,然后再“四舍五入”。
2、解决实际应用的问题时会出现四不舍、五不入的情况,应根据题目的特点去求出近似数。
3、方法总结:
(1)相同点都是按“四舍五入法”取近似值。
(2)不同点是取商的近似值只要计算时比要保留的小数位数多除出一位就可以了;而取积的近似值时则要计算出整个积的值以后再取近似值。
知识点四、小数除以整数
1、整数除法和小数除法的方法是一样的,只是商中间多了一个小数点。而商的小数点与被除数的小数点对齐。
2、方法总结:
(1)、都是按照整数除法的法则去除,除到哪一位商就写在那一位的上面。简单地说,商的小数点要和被除数的小数点对齐。
(2)、遇到整数部分不够商“1”就商“0”。
(3)、如果除到被除数的末尾仍有余数,添0继续除。
知识点五、除数是小数的除法
1、小数除以小数
(1)、除数是几位小数,被除数和除数的小数点就同时向右移动几位,使除数变成整数。
(2)、如果被除数的位数不够时,在被除数的末尾用“0”补足。
(3)、按除数是整数的小数除法的方法进行计算。
(4)、验算用乘法计算原来的算式。
知识点六、小数四则混合运算
1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。
2、在没有括号的算式里,如果只有加、减法或者只有乘、除法,都要从左往右按顺序计算。
3、在没有括号的算式里,既有乘、除法又有加、减法的,要先算乘除法,再算加减法。
4、算式有括号,要先算括号里面的,再算括号外面的。
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典例分析
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【典例1】果农在葡萄园采摘了380千克葡萄,要装箱以后运往市场,每箱能装7.5千克。至少要准备多少个箱子才能把这批葡萄全部运走?
【答案】51。
【思路分析】每箱能装7.5千克,380千克里面有几个7.5千克,就需要准备几个这样的箱子,即380÷7.5,注意运用进一法求近似数。
【解答】解:380÷7.5≈51(个)
答:至少要准备51个箱子才能把这批葡萄全部运走。
【名师点评】本题考查了运用小数除法解决实际问题的能力,注意运用进一法求近似数。
【典例2】为探究蒜苗的生长情况,丁乐乐每天坚持记录蒜苗生长的高度。蒜苗七天共生长了35.5厘米,前3天平均每天生长3.5厘米,后4天平均每天生长多少厘米?
【答案】6.25厘米。
【思路分析】根据题意,先求出前3天生长多少厘米,再用七天生长的总长度减去前3天生产的长度,求出后4天生长的厘米数,再除以4;即可解答。
【解答】解:( 35.5﹣3.5×3 )÷4
=(35.5﹣10.5)÷4
=25÷4
=6.25(厘米)
答:后4天平均每天生长6.25厘米。
【名师点评】解决本题先求出后4天生长的厘米数,再根据平均数=总数量÷总份数解答。
【典例3】王老师去文具店买彩带,甲种彩带每米3.55元,乙种彩带每米6.45元。
(1)如果两种彩带各买5.6米,一共需要多少钱?
(2)如果只买9米乙种彩带,70元够吗?
【答案】(1)56元;(2)够。
【思路分析】(1)用甲种彩带的单价加上乙种彩带的单价,得到两种彩带的单价和,再乘数量5.6米就是一共需要的钱数;
(2)用乙种彩带的单价乘米数,求出买9米乙种彩带的钱数,再和70元进行比较即可判断。
【解答】解:(1)(3.55+6.45)×5.6
=10×5.6
=56(元)
答:一共需要56元。
(2)6.45×9=58.05(元)
58.05<70
答:70元够。
【名师点评】熟练掌握单价、数量、总价之间的关系是解题的关键。
【典例4】王老师要用80元买一些文具作为奖品。他先花33.2元买了8本笔记本,并准备用剩下的钱买一些笔,每支笔2.6元。还可以买多少支同样的笔?
【答案】18支。
【思路分析】首先用总钱数减去买笔记本的钱求出买笔的钱是多少;然后根据数量=总价÷单价,用买笔的钱除以笔的单价,求出王老师还可以买几支笔即可。
【解答】解:(80﹣33.2)÷2.6
=46.8÷2.6
=18(支)
答:可以买18支同样的笔。
【名师点评】此题主要考查了减法、除法的意义的应用,解答此题的关键是熟练掌握单价、总价、数量的关系。
【典例5】某玩具厂原来做一个毛绒兔需要9.9元的材料费,改进了制作方法后,每个只需要6.6元的材料费。原来准备做180个毛绒兔的材料,现在可以多做多少个毛绒兔?
【答案】90。
【思路分析】先依据总价=数量×单价,求出买材料需要的钱数,再根据数量=总价÷单价,求出现在可做毛绒兔的个数,最后用现在可做个数减原来可做个数即可解答。
【解答】解:9.9×180÷6.6﹣180
=1782÷6.6﹣180
=270﹣180
=90(个)
答:现在可以多做90个。
【名师点评】解答本题的关键是求出现在可做毛绒兔的个数,依据是单价,数量以及总价之间数量关系。
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高频考题
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1.斑马每小时跑70千米,是狮子速度的1.4倍,猎豹的速度是斑马的1.6倍。猎豹每小时跑多少千米?
2.有一批香蕉要包装成箱,如果每箱装15.4千克,可以装12箱,如果每箱多装2.1千克,可以装几箱?
3.王爷爷买了3千克苹果花了15.06元,每千克苹果多少元?
4.一个小数,如果把它的小数部分扩大到原来的2倍,这个数是2.6,如果把它的小数部分扩大到原来的8倍,这个数是7.4.这个小数原来是多少?
5.甲、乙、丙三个数的和是9.6,甲、乙两个数的和是7.4,甲、丙两个数的和是3.6,求甲、乙、丙三个数各是多少。
6.安安的爸爸在超市选购了如图的两种饮料各10瓶,一共需要多少钱?
7.小薇家订的牛奶零售价每袋1.30元,小薇家9月份每天预订3袋,按批发价共付94.5元,这样每袋比零售价便宜多少元?
8.王阿姨用一根25米长的红丝带包装礼盒.每个礼盒要用1.5米长的丝带,这些红丝带最多可以包装几个礼盒?
9.下面是妈妈去某超市购物后的小票,不慎撕掉了一部分。请你帮忙算一算,妈妈买鲜牛奶共花了多少元?
10.铺一段长64千米的铁轨,前12天铺了38.4千米,中途因雨停工4天,要在预定时间内完成,每天应多铺多少米?
11.王老师用800元为希望小学的孩子购买学习用品.先用去379.6元购买了26个书包,余下的钱购买文具盒.每个文具盒6.5元,最多可以买多少个文具盒?
12.一个小数,如果把它的小数部分扩大到原来的5倍,这个数是3.3,如果把它的小数部分扩大到原来的7倍,这个数是3.82.这个小数原来是多少?
13.某公司在电视台黄金档插播一条15秒的广告,每天播出一次,连播两周,共付人民币18.48万元,平均每秒多少元?
14.中秋节,爸爸带100元钱去买月饼,好利来月饼每盒46.5元,他一共能买多少盒?
15.新丰煤矿一号井去年产煤35.1万吨,比二号井去年产煤量的2倍少9.9万吨,二号井去年产煤多少万吨?
16.服装店做一套服装需3.2米布,50米布最多可以做多少套这样的服装?
17.儿童节这天,爸爸给亮亮买了3盒泥人,每盒中有2个泥人,付给售货员20元,找回3.5元,平均每个泥人多少元?
18.一个房间长8.1m,宽5.2m.现在要铺上边长为0.6m的正方形地砖,100块够吗?
19.一种电线12.5元一米,李叔叔买了2.7米,一共需要多少元?(得数保留一位小数)
20.冲咖啡和泡茶用水情况如图.
东东的妈妈将一壶2.85千克的开水全部用来冲咖啡,可以冲多少杯咖啡?如果全部用来泡茶,那么最多可以泡多少杯茶?
21.一瓶眼药水的净含量是12mL,5滴大约是1mL。笑笑每天早晚要在双眼各滴1滴,这瓶眼药水大约可以使用多少天?
22.一个剧场楼下有560个座位,是楼上座位的1.6倍。这个剧场楼上有多少个座位?
23.一个篮球的售价是40.5元,一个足球的售价是篮球的1.5倍。一个足球的售价比一个篮球贵多少元?
24.地球的直径约是1.28万千米,是月球直径的3.65倍,月球直径约有多少万千米?(得数保留两位小数)
25.小华查阅资料,了解到几种小动物的爬行速度,结果如下表:
动物名称
蜗牛
陆龟
蜘蛛
爬行速度/(千米/时)
0.045
0.315
0.9
(1)蜘蛛的爬行速度是蜗牛的多少倍?
(2)陆龟的爬行速度是蜗牛的多少倍?
26.熊猫妈妈的体重是81.9kg,熊猫宝宝的体重是12.6kg,熊猫妈妈的是熊猫宝宝的多少倍?
27.工程队要完成76.8千米的修理任务,第一天修了34.3千米,第二天修了25.7千米,还有多少千米没修?
28.一支钢笔的售价为18.6元,是一支圆珠笔售价的3倍.一支圆珠笔的售价是多少元?
29.一幢10层的楼房,底楼层高4米,其余每层高3.8米.这幢楼房高多少米?
30.为奖励考试优秀的学生,学校买了100支钢笔和50个文具盒作为奖品。已知每支钢笔6.5元,每个文具盒12.5元,买钢笔和文具盒共花了多少元?
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答案解析
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1.【答案】112。
【思路分析】斑马每小时跑70千米,猎豹的速度是斑马的1.6倍,也就是70的1.6倍,即70×1.6。
【解答】解:70×1.6=112(千米)
答:猎豹每小时跑112千米。
【名师点评】求一个数的几倍是多少,用乘法进行解答。
2.【答案】见试题解答内容
【思路分析】根据题意,先用每箱装15.4千克乘装的12箱求出这批香蕉有多少千克,如果每箱多装2.1千克,求可以装多少箱,用香蕉的重量除以现在每箱装的香蕉重量即可解答.
【解答】解:15.4×12÷(15.4+2.1)
=184.8÷17.5
≈11(箱)
答:可以装11箱.
【名师点评】应用题要认真分析题意,找出数量关系,第一步用乘法计算,第二步用除法计算,结果要采用进一法取值.
3.【答案】见试题解答内容
【思路分析】根据单价=总价÷数量,列出算式计算即可求解.
【解答】解:15.06÷3=5.02(元)
答:每千克苹果5.02元.
【名师点评】考查了小数除法,关是熟悉单价=总价÷数量的知识点.
4.【答案】见试题解答内容
【思路分析】一个一位小数,把它的小数部分扩大2倍,这个数是2.6;把它的小数部分扩大8倍,这个数是7.4,因这个小数的整数部分没有变,所以这个小数的小数部分就是由2倍扩大到8倍,就增加了(7.4﹣2.6),小数部分就是(7.4﹣2.6)÷(8﹣2),求出小数部分,用2.6减去小数部分乘上2的积就是整数部分.据此解答.
【解答】解:小数部分是:
(7.4﹣2.6)÷(8﹣2)
=4.8÷6
=0.8
整数部分是:
2.6﹣0.8×2
=2.6﹣1.6
=1
1+0.8=1.8
答:这个数原来是1.8.
【名师点评】本题的关键是小数部分从2扩大到8倍增加了(7.4﹣2.6),而整数部分没变,求出小数部分,再根据数量关系求出整数部分.
5.【答案】甲数是1.4,乙数是6,丙数是2.2。
【思路分析】根据题意,把甲、乙、丙三个数的和减去甲、乙两个数的和,就是丙数,把甲、乙、丙三个数的和减去甲、丙两个数的和即可求出乙数是多少,同理可以求出甲数。
【解答】解:丙:9.6﹣7.4=2.2
乙:9.6﹣3.6=6
甲:7.4﹣6=1.4
答:甲数是1.4,乙数是6,丙数是2.2。
【名师点评】解答此题的关键是灵活运用甲、乙、丙三数的和减去其中两个数的和得到另外一个数。
6.【答案】48元。
【思路分析】根据题意,两种饮料的单价都是2.4元,根据单价×数量=总价,分别求出买两种饮料的总价,然后再相加即可。
【解答】解:2.4×10+2.4×10
=24+24
=48(元)
答:一共需要48元钱。
【名师点评】考查了单价、数量和总价之间的关系,根据单价×数量=总价进行解答。
7.【答案】见试题解答内容
【思路分析】9月份每天预订3袋,按批发价共付94.5元,用总钱数除以总袋数,求出批发价每袋的钱数,再用零售的单价减去批发的单价即可求解.
【解答】解:1.30﹣94.5÷(3×30)
=1.30﹣94.5÷90
=1.30﹣1.05
=0.25(元)
答:这样每袋比零售价便宜0.25元.
【名师点评】先根据单价=总价÷数量,求出批发的单价,进而求解.
8.【答案】见试题解答内容
【思路分析】根据除法的意义,用丝带的总长度除以包装每个礼盒需要的长度,即可求得这些红丝带可以包装几个礼盒.
【解答】解:25÷1.5=16(个)…1米.
答:这些红丝带可以包装16个礼盒.
【名师点评】完成本题要注意,由于最后余下的1米不够包装一个的,所以只能包装16个.
9.【答案】19.6元。
【思路分析】根据题意,用应收的35.2元减去买火腿的总价15.6元,就是买鲜牛奶的总价。
【解答】解:35.2﹣15.6=19.6(元)
答:妈妈买鲜牛奶共花了19.6元。
【名师点评】本题关键是明确应收的钱数就是买火腿和鲜牛奶的钱数,减去火腿的总价,就是买鲜牛奶的钱数。
10.【答案】每天应铺3200米。
【思路分析】根据工程总量÷工作时间=工作效率,先求出实际每天修的路程,用总路程除以实际每天修的路程,求出计划需要的天数。用计划的天数减去12天和停工的4天,求出还剩几天。再用总路程减去修完的路程,求出还剩的路程。用还剩的路程除以还剩的时间,即可求出每天应铺多少千米,再用每天实际铺的路程减去计划每天铺的路程,即可求出每天应多铺多少米,再转换成以米作单位的数,即可解答。
【解答】解:38.4÷12=3.2(千米)
64÷3.2=20(天)
20﹣12﹣4=4(天)
64﹣38.4=25.6(千米)
25.6÷4=6.4(千米)
6.4﹣3.2=3.2(千米)
3.2千米=3200米
答:每天应铺3200米。
【名师点评】本题考查小数四则运算的计算及应用,理解工程总量、工作时间、工作效率三者之间的关系是解决本题的关键。注意计算的准确性。
11.【答案】见试题解答内容
【思路分析】首先用购买学习用品的钱数减去购买书包的钱数,求出购买文具盒用了多少钱;然后用它除以每个文具盒的价格,求出最多可以买多少个文具盒即可.
【解答】解:(800﹣379.6)÷6.5
=420.4÷6.5
≈64(个)
答:最多可以买64个文具盒.
【名师点评】此题主要考查了小数四则混合运算,解答此题的关键是熟练掌握单价、总价、数量的关系.
12.【答案】见试题解答内容
【思路分析】一个数,把它的小数部分扩大5倍,这个数是3.3;把它的小数部分扩大7倍,这个数是3.82,因这个小数的整数部分没有变,所以这个小数的小数部分就是由5倍扩大到7倍,就增加了(3.82﹣3.3),小数部分就是(3.82﹣3.3)÷(7﹣5),求出小数部分;用3.3减去小数部分乘上5的积就是整数部分.据此解答.
【解答】解:小数部分是:
(3.82﹣3.3)÷(7﹣5)
=0.52÷2
=0.26
整数部分是:
3.3﹣0.26×5
=3.3﹣1.3
=2
0.26+2=2.26
答:这个数原来是2.26.
【名师点评】本题的关键是小数部分从5扩大到7倍增加了(3.82﹣3.3),而整数部分没变,求出小数部分,再根据数量关系求出整数部分.
13.【答案】见试题解答内容
【思路分析】先计算出这条广告播出的总的时间,即15×7=105秒,再用总钱数除以总时间,就是问题的答案.
【解答】解:18.48÷(15×14)
=18.48÷210
=0.088(万元)
0.088万元=880元
答:平均每秒880元.
【名师点评】本题考查了整数,小数复合应用题,先计算出这条广告播出的总的时间,是解答本题的关键.
14.【答案】见试题解答内容
【思路分析】根据数量=总价÷单价,列出算式计算即可求解.
【解答】解:100÷46.5≈2(盒)
答:他一共能买2盒.
【名师点评】熟练掌握数量、总价和单价之间的关系是解题的关键,注意去尾法取近似数.
15.【答案】见试题解答内容
【思路分析】由一号井去年采煤35.1万吨,比二号井的2倍少9.9万吨,可知二号井去年采煤×2﹣9.9=一号井去年的采煤量,二号井去年采煤又是所求的问题,因此用方程解决比较简单.
【解答】解:设二号井去年采煤x吨,由题意得:
2x﹣9.9=35.1
2x=45
x=22.5
答:二号井去年采煤22.5万吨.
【名师点评】此题考查基本数量的倍比和差问题,这样的问题用列方程比较简单.
16.【答案】15。
【思路分析】根据题意,用50米的布长除以一套服装需要的布的米数,就可以求出可以做多少套这样的服装,算出结果后,对结果采用去尾法。
【解答】解:50÷3.2=15.625(套)
考虑实际情况,小数点后面的数要去掉,保留整数,所以最多可以做15套。
答:50米布最多可以做15套这样的服装。
【名师点评】此题需要学生熟练掌握小数除法的计算并灵活运用。
17.【答案】见试题解答内容
【思路分析】先根据乘法的意义求出3盒泥人有2×3个泥人,再根据单价=总价÷数量,总价是(20﹣3.5)元,数量是6个,列式计算即可解答.
【解答】解:(20﹣3.5)÷(2×3)
=16.5÷6
=2.75(元)
答:平均每个泥人2.75元.
【名师点评】本题主要考查了学生对“单价=总价÷数量”这一数量关系式的掌握情况.
18.【答案】见试题解答内容
【思路分析】先依据长方形的面积公式求出房间的面积,再除以每块地砖的面积,就是需要的地砖的块数,问题即可得解.
【解答】解:8.1×5.2÷(0.6×0.6)
=42.12÷0.36
=117(块)
100<117
答:100块这样的地砖不够.
【名师点评】此题主要考查长方形面积公式S=ab和正方形的面积公式S=a2的理解和灵活应用.
19.【答案】见试题解答内容
【思路分析】电线12.5元一米,李叔叔买了2.7米,求一共多少元,用单价×数量=总价,据出列式解答.
【解答】解:12.5×2.7≈33.8(元)
答:一共需要33.8元.
【名师点评】掌握单价×数量=总价是解题的关键.
20.【答案】15,11。
【思路分析】用水的总质量除以每杯咖啡(茶)的质量,就是能冲(泡)的杯数,据此计算。
【解答】解:咖啡:2.85÷0.19=15(杯)
茶:2.85÷0.25=11.4≈11(杯)
答:全部用来冲咖啡,可以冲15杯咖啡;如果全部用来泡茶,那么最多可以泡11杯茶。
【名师点评】本题主要考查了小数除法的应用,注意求最多可以泡多少茶时,用“去尾法”求近似值。
21.【答案】15天。
【思路分析】根据题意,用5乘12,求出这瓶眼药水大约有多少滴;笑笑每天早晚要在双眼各滴1滴,也就是每天滴了2×2=4(滴),然后再除以每天滴的4滴即可。
【解答】解:5×12÷(2×2)
=60÷4
=15(天)
答:这瓶眼药水大约可以使用15天。
【名师点评】本题考查了运用整数乘除法的意义解决实际问题的能力。
22.【答案】350个。
【思路分析】用这个剧场楼下的座位的数量除以1.6,可以计算出这个剧场楼上有多少个座位。
【解答】解:560÷1.6=350(个)
答:这个剧场楼上有350个座位。
【名师点评】本题解题关键是根据除法的意义列式计算,熟练掌握小数除法的计算方法。
23.【答案】20.25元。
【思路分析】根据求一个数的几倍是多少,用乘法计算,用篮球的售价乘上1.5,就是足球的价格.再减去篮球的售价即可解答。
【解答】解:40.5×1.5﹣40.5
=60.75﹣40.5
=20.25(元)
答:一个足球的售价比一个篮球贵20.25元。
【名师点评】本题考查的是乘法、减法意义及运用,解答本题的关键是根据求一个数的几倍是多少,用乘法计算出足球的售价是解答此题的关键。
24.【答案】见试题解答内容
【思路分析】地球直径1.28万千米,地球直径是月球直径的3.65倍,求月球的直径,也就是已知一个数的3.65倍是1.28,求这个数是多少,用除法计算;再根据要求利用“四舍五入法”求出商的近似数.
【解答】解:1.28÷3.65
=0.350684931506849315…
≈0.35(万千米)
答:月球直径约有0.35万千米.
【名师点评】此题属于倍数问题,解答这类问题,用乘法计算;掌握利用“四舍五入法”求商的近似数的方法.
25.【答案】见试题解答内容
【思路分析】(1)(2)题都属于求一个数是另一个数的几倍,用除法解答即可.
【解答】解:(1)0.9÷0.045=20
答:蜘蛛的爬行速度是蜗牛的20倍.
(2)0.315÷0.045=7
答:陆龟的爬行速度是蜗牛的7倍.
【名师点评】此题考查的目的是应用小数除法的知识解决有关的实际问题.
26.【答案】6.5倍。
【思路分析】用熊猫妈妈的体重除以熊猫宝宝的体重即为所求。
【解答】解:81.9÷12.6=6.5
答:熊猫妈妈的是熊猫宝宝的6.5倍。
【名师点评】考查了小数除法的实际应用,求一个数是另一个数的几倍,用除法进行计算。
27.【答案】16.8千米。
【思路分析】用要完成的修理任务76.8千米减去第一天修的34.3千米,再减去第二天修的25.7千米,就是还有多少千米没修。
【解答】解:76.8﹣34.3﹣25.7
=76.8﹣(34.3+25.7)
=76.8﹣60
=16.8(千米)
答:还有16.8千米没修。
【名师点评】这个题目主要考查小数的加法和减法,熟练掌握加法、减法的意义是解题的关键。
28.【答案】见试题解答内容
【思路分析】就是已知一个数的3倍是18.6元,求这个数,用除法计算.
【解答】解:18.6÷3=6.2(元);
答:一支圆珠笔的售价是6.2元.
故答案为:6.2.
【名师点评】本题是考查小数除法的应用,属于基础知识.本题也可以列方程解答.
29.【答案】见试题解答内容
【思路分析】要求这幢楼高多少米,根据题意,应求出其余10﹣1=9层的高度,然后加上4米即可.已知一楼的层高是4米,那么其余10﹣1=9层高为3.8×(10﹣1)=34.2(米),加上4米,解答即可.
【解答】解:4+(10﹣1)×3.8
=4+9×3.8
=4+34.2
=38.2(米);
答:这幢楼高38.2米.
【名师点评】此题解答的关键是求出其余10﹣1=9层的高度,进一步解决问题.
30.【答案】1275元。
【思路分析】根据总价=单价×数量,分别求出买了100支钢笔和50个文具盒的钱数,再相加即可解答。
【解答】解:100×6.5+12.5×50
=650+625
=1275(元)
答:买钢笔和文具盒共花1275元。
【名师点评】此题主要考查了单价、数量和总价之间的关系。
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