第二单元多边形的面积（讲义）-2024-2025学年五年级上册数学苏教版

第二单元多边形的面积（单元讲义） 五年级数学上册苏教版 知识梳理 精讲例题 专项练习 思维导图 答案详解 思维导图 知识梳理 知识点一、平行四边形的面积 1.运用转化法计算图形的面积 一转化:通过切割、平移等方法把不规则图形转化成规则的长方形、正方形等图形。二计算 计算规则图形的面积，也就是原来不规则图形的面积。 2 把平行四边形转化成长方形的方法 沿着平行四边形的任意一条边上的任意一条高剪成两个图形后,通过平移都可以把平行四边形转化成一个长方形。 3. 平行四边形的面积计算公式 平行四边形的面积=底x高 用字母表示为 S=a×h。 知识点二、三角形的面积 1.三角形和平行四边形之间的关系 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是两个完全一样的三角形所拼成的平行四边形的面积的一半，即三角形的面积=平行四边形的面积÷2,或平行四边形的面积=三角形的面积x2 2 三角形的面积计算公式 三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。三角形的面积=底x高÷2， 用字母表示为 s=a×h÷2。 知识点三、梯形的面积 1. 梯形面积计算中的“转化” 2. 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形,梯形的面积是两个完全一样的梯形所拼成的平行四边形的面积的一半，也就是:梯形的面积=平行四边形的面积÷2或平行四边形的面积=梯形的面积x2。 2 梯形的面积 梯形的面积=(上底+下底)x高÷2。用字母表示:S=(a+b）×h÷2。 知识点四、认认公顷和平方千米 1.公顷的认识 测量或计量土地面积，通常用公顷作单位。边长100米的正方形土地，面 积是1公顷。公顷和平方米之间的进率是 10000，1公顷=10000平方米。 2 平方千米的认识 测量或计量大面积的土地，通常用平方千米作单位。边长 1000 米的正方形土地，面积是1平方千米。平方千米和平方米之间的进率是 1000000，平方千米和公顷 之间的进率是 100。即:1平方千米=1000000平方米=100公顷。 知识点五、组合图形的面积及面积的估算 1.组合图形面积的计算方法 运用“分割”“添补”求组合图形的面积:计算组合图形的面积，一般是先把它分割成已学过的简单图形，分别计算出各个简单图形的面积，然后把它们加起来;也可以把整个图形补成一 长方形、正方形等图形，再用补成的图形的面积减去缺少部分图形的面积。 2 面积的估算 不规则图形的面积估算方法:求不规则图形的面积，可以用数方格的方法进行估算。估算时， 先数整格的，再数不满整格的，不满整格的按半格计算。 知识点六、综合与实践校园绿地面积 1.可以用查找资料、测量等方法收集数据。 2.测量和计算绿地面积时，要灵活运用学过的面积计算方法， 3.要爱护校园里的一草一木。 精讲例题 【例题一】．一个梯形的上底和下底同时扩大到原来的6倍，高缩小为原来的一半，面积会（    ）。 A．扩大到原来的4倍 B．扩大到原来的2倍 C．扩大到原来的3倍 D．缩小为原来的一半 【答案】．C 【分析】梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，若上底和下底同时扩大到原来的6倍，则上底和下底的和也扩大到原来的6倍，即面积扩大6倍；高缩小为原来的一半，则面积会缩小原来的一半，据此求解即可。 【详解】6÷2＝3 即一个梯形的上底和下底同时扩大到原来的6倍，高缩小为原来的一半，面积会扩大到原来的3倍。 故答案为：C 【点睛】此题主要考查梯形面积公式的灵活应用。 【例题二】．如图，靠墙边用篱笆围成了一个花坛，花坛的面积是200平方米，围成这个花坛的篱笆长多少米？ 【答案】．40米 【分析】根据题意，可知篱笆围了梯形的高是20米，梯形的面积等于上底与下底的和乘高除以2，因此上下底之和就是：200×2÷20＝20（米）那么用20加上高即是这个花坛的篱笆长，列式解答即可得到答案。 【详解】200×2÷20＋20 ＝400÷20＋20 ＝20＋20 ＝40（米） 答：围成这个花坛的篱笆长40米。 【点睛】解答此题的关键是可直接利用面积乘2除以高计算梯形的上下底之和，不要计算具体的上底与下底。 【例题三】．徐州—沛县快速通道的路基全长大约54.5千米，宽约26米。这条快速通道大约占地多少公顷？ 【答案】．141.7公顷 【分析】长方形的面积＝长×宽，代入数据求出快速通道的面积（占地面积），再将单位换算成公顷数即可。 【详解】54.5千米＝54500米 54500×26＝1417000（平方米） 1417000平方米＝141.7公顷 答：这条快速通道大约占地141.7公顷。 【点睛】本题主要考查面积单位的换算，解题时注意单位的变化。 专项练习 一、选择题 1．一个平行四边形相邻两条边分别是5分米和6分米，其中一条边上的高是5.5分米，它的面积是（    ）平方分米。 A．27.5 B．30 C．33 D．60 2．下图小正方形的边长是1厘米，在给定的正方形方格的顶点上找出一点C，使得连接A、B、C三点所成三角形的面积是2平方厘米，点C一共有（    ）种不同的画法。 A．7 B．8 C．12 D．14 3．把一个底面半径是3分米，高5分米的圆锥形木料，如果沿着高垂直切成相等的两半，表面积增加了（    ）平方分米。 A．20 B．10 C．5 D．30 4．下图中，面积等于左边平行四边形面积一半的是（    ）。    A．a、b B．a、b、c C． a、b、c、d D．没有 5．图中，甲三角形的面积是40平方厘米，乙三角形的面积是（    ）平方厘米。 A．10 B．16 C．30 D．40 二、填空题 6．一个三角形的底是8厘米，高是6厘米，这个三角形的面积是( )平方厘米，与它等底等高的平行四边形的面积是( )平方厘米． 7．如图，用篱笆围成一个梯形菜园，梯形一边利用的是房屋墙壁，篱笆长14米，菜园的面积是( )平方米． 8．一块直角梯形的地，它的下底是40米，如果上底增加38米，这块地就变成了正方形，原梯形的面积是( )平方米． 9．一个平行四边形的面积是120平方米，高50分米，底是( )． 10．等腰三角形相邻两条边分别是5.6厘米和13.5厘米，它的周长是( )厘米． 11．一个长方形和一个三角形面积相等．三角形的一条边和这条边上的高与长方形的长都是8厘米．长方形的宽是( )厘米．在这个长方形里画一个最大的圆，面积是( )． 12．填上合适的单位名称。 （1）一张银行卡的面积大约是40( )； （2）台湾日月潭的面积大约是827( )； （3）九寨沟的面积大约是720( )；    （4）学校计算机房的占地面积是60( )。 13．如图，一个平行四边形被分为3块，三角形面积是30平方厘米，梯形面积是( )，大平行四边形面积是( )。 14．三角形的底是5厘米，高是2厘米，它的面积是( )，和它等底等高的平行四边形的面积是( )． 15．用一块长2米，宽1.5米的长方形红布做等腰直角三角形的小旗，小旗的直角边长3分米。这块红布最多可以做( )面小旗。 16．一家商店把火腿肠堆成一个梯形体，已知最底层有20根香肠，以后每往上一层依次少一根，一共堆了10层．这堆香肠共有( )根． 三、判断题 17．两个等腰三角形的底相等，底边上的高也相等，则面积一定相等．( ) 18．图中阴影部分的面积是平行四边形面积的一半。( ) 19．一个三角形的底扩大2倍，要使面积不变，高应缩小为原来的 。( ) 20．下图中，两条平行线之间的两个图形的面积相等。( ) 21．一个三角形和一个平行四边形的高相等，面积也相等，如果平行四边形的底是8厘米，那么三角形的底是4厘米。( ) 22．将一个平行四边形任意剪成两个梯形，那么这两个梯形面积一定相等。( ) 四、作图题 23．在下面平行线之间画一个平行四边形和一个三角形，使它们的面积相等。 五、解答题 24．一块三角形草坪，底是20米，高是14.5米，如果每平方米草坪每天需浇水600克，这块草坪每天需用水多少千克？ 25．（如图）北海公园里有两块空地，计划分别种玫瑰和牡丹。                                    玫瑰 每棵占地1m2 每棵6元 牡丹 每棵占地2m2 每棵10元 （1）玫瑰园占地多少平方米？        （2）种牡丹一共需要多少钱？ 26．王爷爷家有一块长方形的红薯地，长60米，宽25米，红薯地中间有一条2米宽的小路。如果每平方米土地能收获红薯6千克，这块地一共能收获多少千克红薯？ 27．先画出平行四边形的另外两条边，再算出它的面积（方格的边长为1厘米）． 28．如图，把一个底长15厘米、高5厘米的平行四边形拉伸成长方形后，面积增加了45平方厘米。求原平行四边形的周长。 29．如图，三角形ABC是直角三角形，AB是圆的半径，且AB=20厘米．阴影甲比乙大64平方厘米，求CD的长． 30．有一块梯形菜地，上底长40米，下底长70米，高40米（如图）．赵大叔要在这块地中划出最大的一块正方形种油菜，其余的种白菜，种白菜的土地面积是多少平方米？ 31．在方格纸上画一个三角形和一个梯形，通过剪、拼分别把它们转化成平行四边形。你能根据转化成的平行四边形与原来图形的关系，推导出三角形和梯形的面积公式吗？ 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 32 答案 A D D B D C 1．A 【分析】一个平行四边形相邻两条边分别为5分米和6分米，根据高一定要比它对应底边的邻边短，可知高5.5分米对应的底是5分米，根据平行四边形的面积公式：S＝ah可求出它的面积。 【详解】5×5.5＝27.5（平方分米） 故答案为：A 【点睛】本题的重点是确定5.5分米的高对应的底边，再根据平行四边形的面积公式进行计算。 2．D 【分析】观察图形可知，小正方形边长是1厘米，AB的长是2厘米；根据三角形面积公式：底×高÷2，三角形面积是2平方厘米，底是2厘米，求出高，高＝三角形面积×2÷2，再根据高的长度，确定三角形点C的位置，即可解答。 【详解】高：2×2÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 因为三角形的高是2厘米，点C 在大正方形的上边7种，下边7种； 7＋7＝14（种） 故答案选：D 【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，关键是熟记公式，灵活运用。 3．D 【分析】圆锥沿直径切开，则表面积比原圆锥表面积增加了两个以底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形面的面积，由此利用三角形的面积公式即可解答。 【详解】2×3×5÷2×2 ＝30÷2×2 ＝30（平方分米） 故答案为：D 【点睛】解答此题要明确：增加的面积是两个以圆锥的底面直径和高分别为底和高的三角形面的面积。 4．B 【分析】根据平行四边形的面积＝底×高、三角形的面积＝底×高÷2，则等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半；或者三角形的高等于平行四边形的底、三角形的底等于平行四边形的高，三角形面积也是平行四边形面积的一半。据此解答。 【详解】已知平行四边形的底有5格、高有6格；三角形a的底有5格、高有6格；三角形b的底有5格、高有6格；三角形c的底有6格、高有5格；三角形d的底有5格、高有4格，据此可知，三角形a、b、c面积都是平行四边形面积的一半； 三角形d的面积：5×4÷2＝10 平行四边形的面积：5×6＝30 10×2＝20 20≠30 所以三角形d的面积不是平行四边形面积的一半。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查了三角形面积、平行四边形面积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。 5．D 【分析】可以根据等底等高的两个三角形的面积相等来解答此题。 【详解】由图可知：甲三角形和乙三角形等底等高，所以乙三角形的面积等于甲三角形的面积等于40平方厘米。 故答案选：D 【点睛】本题重点考查三角形的面积，需要熟练掌握三角形的面积公式。 6．24、48 【详解】试题分析：三角形的面积=底×高÷2，平行四边形的面积=底×高，若三角形和平行四边形等底等高，则三角形的面积是平行四边形的面积的一半，据此即可进行解答． 解：三角形的面积： 8×6÷2， =48÷2， =24（平方厘米）； 平行四边形的面积：24×2=48（平方厘米）； 答：这个三角形的面积是24平方厘米，与它等底等高的平行四边形的面积是48平方厘米． 故答案为24、48． 点评：解答此题的主要依据是：三角形的面积是与其等底等高的平行四边形面积的一半． 7．16.5 【详解】试题分析：篱笆的长减去梯形的高就是梯形的上底与下底的和．再根据梯形的面积公式解答即可． 解：（14﹣3）×3÷2， =33÷2， =16.5（平方米）； 答：梯形的面积是16.5平方米． 故答案为；16.5 点评：此题主要考查梯形的面积公式，解答关键是先求出梯形的上底与下底的和． 8．840 【分析】因为正方形的边长都相等，所以梯形的高和下底都等于正方形的边长，即为40米，上底为40－38＝2米，于是即可利用梯形的面积公式s＝（a＋b）h÷2求解。 【解答】解：（40－38＋40）×40÷2 ＝42×40÷2 ＝1680÷2 ＝840（m2）。 答：原来这块直角梯形地的面积是840m2。 故答案为：840。 【点评】由题意得出梯形的上底和高，是解答本题的关键。 9．24米 【解析】略 10．32.6 【详解】试题分析：题目给出等腰三角形有两条边长为5.6cm和13.5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 解：因为等腰三角形的两边长分别是5.6厘米和13.5厘米， 所以三角形的另一边为5.6厘米和13.5厘米， 当另一边为5.6厘米时，5.6+5.6＜13.5，故不成立， 当另一边为13.5厘米时，13.5﹣5.6＜13.5＜13.5+5.6符合三角形三边关系，故成立． 因此三角形的周长=5.6+13.5+13.5=32.6厘米． 故答案为32.6． 点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 11．4，12.56平方厘米 【详解】试题分析：根据题意，长方形的面积为长乘宽，三角形的面积等于底乘高除以2，可利用三角形的面积公式计算出三角形的面积，然后再利用长方形的面积除以长方形的长即可得到长方形的宽；长方形里面最大圆的直径为长方形的宽，然后根据圆的面积公式解答即可． 解：长方形的宽为：8×8÷2÷8 =64÷2÷8， =32÷8， =4（厘米）； 最大圆的直径为4厘米，半径为2厘米， 最大圆的面积为：3.14×22=12.56（平方厘米）， 答：长方形的宽是4厘米，里面最大圆的面积是12.56平方厘米． 故答案为4，12.56平方厘米． 点评：解答此题的关键是计算出长方形的宽，再根据圆的面积公式计算出圆的面积． 12． 平方厘米 公顷 平方千米 平方米 【分析】根据生活经验、对面积单位和数据大小的认识，选择合适的面积单位即可。 【详解】（1）一张银行卡的面积大约是40平方厘米； （2）台湾日月潭的面积大约是827公顷； （3）九寨沟的面积大约是720平方千米；    （4）学校计算机房的占地面积是60平方米。 【点睛】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择。 13． 54 174 【分析】由图可知：大平行四边形的高等于三角形、梯形的高；根据三角形的面积＝底×高÷2，可得：三角形的高＝面积×2÷底，由此求出三角形的高（大平行四边形、梯形的高）；又平行四边形的对边平行且相等，所以梯形的上底是10＋15＋4－15＝14厘米；将数据带入梯形的面积公式即可求出梯形的面积，再将数据代入平行四边形的面积公式求出大平行四边形的面积即可。 【详解】30×2÷10 ＝60÷10 ＝6（厘米） 梯形的面积：（10＋15＋4－15＋4）×6÷2 ＝18×6÷2 ＝54（平方厘米） 大平行四边形的面积：（10＋15＋4）×6 ＝29×6 ＝174（平方厘米） 【点睛】本题主要考查平行四边形、三角形、梯形面积公式的灵活应用。 14． 5平方厘米 10平方厘米 【分析】根据三角形的面积=底×高÷2，把底5厘米，高2厘米代入公式即可求得三角形的面积；再根据等底等高的平行四边形的面积是三角形面积的2倍，进而求得平行四边形的面积． 【详解】三角形的面积：5×2÷2=5（平方厘米）； 和它等底等高的平行四边形的面积是：5×2=10（平方厘米）． 答：它的面积是5平方厘米，和它等底等高的平行四边形的面积是10平方厘米． 故答案为5平方厘米，10平方厘米． 15．60 【详解】略 16．155 【解析】略 17．√ 【解析】略 18．√ 【分析】根据平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，来判断。 【详解】由图可知，阴影部分三角形与平行四边形是同底等高，所以阴影部分的面积是平行四边形面积的一半。 故答案为：√ 【点睛】此题主要考查三角形和平行四边形的面积计算，找出它们底与底、高与高之间的关系是解题关键。 19．√ 【分析】三角形的面积＝底×高÷2，面积不变，底扩大2倍，高就缩小为原来的。 【详解】一个三角形的底扩大2倍，要使面积不变，高应缩小为原来的 。说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题考查了三角形面积的计算，需牢记公式并能灵活运用。 20．√ 【分析】设平行四边形、三角形的高均为2厘米，根据平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，别表示出平行四边形、三角形的面积，比较即可判断。 【详解】设平行四边形、三角形的高均为2厘米， 平行四边形的面积为2×2＝4（平方厘米） 三角形的面积为4×2÷2＝4（平方厘米） 4平方厘米＝4平方厘米，所以两个图形的面积相等。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查平行四边形、三角形的面积公式的灵活运用。 21．× 【分析】平行四边形面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2，那么如果一个三角形和一个平行四边形的高相等，面积也相等，那么三角形的底是这个平行四边形底的2倍。 【详解】8×2＝16（厘米） 一个三角形和一个平行四边形的高相等，面积也相等，如果平行四边形的底是8厘米，那么三角形的底是16厘米。 故答案为：× 【点睛】本题考查了三角形和平行四边形的面积，熟记公式是解题的关键。 22．× 【分析】画出平行四边形，进行分割即可。 【详解】切割如下平行四边形： 当切割成相同的两个梯形时，两个梯形的面积相等；当切割成不相同的两个梯形时，两个梯形的面积不相等。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查对梯形面积的认识，理解题意是解题的关键。 23．见详解 【分析】平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，在平行线间所画图形的高相等，使三角形的底是平行四边形底的2倍即可满足条件；据此解答。 【详解】根据分析画图如下： （答案不唯一） 【点睛】面积相等、高相等的三角形的底是平行四边形底的2倍。 24．87千克 【分析】根据三角形面积＝底×高÷2，求出草坪面积，草坪面积×每平方米浇水质量＝需要的水的总质量，根据1千克＝1000克，统一单位。 【详解】20×14.5÷2＝145（平方米） 600克＝0.6千克 145×0.6＝87（千克） 答：这块草坪每天需用水87千克。 25．（1）600平方米（2）1500元 【分析】（1）玫瑰园是一个三角形，底是60米，高是20米，根据三角形的面积＝底×高÷2即可解答。 （2）先根据三角形的面积公式求出牡丹园的面积，再除以每棵牡丹的占地面积求出棵树，最后乘每棵的单价求出总价钱。 【详解】（1）60×20÷2＝600（平方米） 答：玫瑰园占地600平方米。 （2）30×20÷2＝300（平方米） 300÷2×10 ＝150×10 ＝1500（元） 答：种牡丹一共需要1500元。 【点睛】根据三角形的面积公式求出牡丹园的面积，再用除法求出牡丹的棵树是解题的关键。 26．8700千克 【分析】先利用长方形的面积＝长×宽，求出整个长方形的红薯地的面积，中间小路是一个平行四边形，底为2米，高为25米，根据平行四边形的面积公式，求出小路的面积，用长方形的面积减去平行四边形的面积，即是种红薯的面积，再乘每平方米土地能收获红薯的质量，即可求出这块地一共能收获多少千克红薯。 【详解】（60×25－2×25）×6 ＝（1500－50）×6 ＝1450×6 ＝8700（千克） 答：这块地一共能收获8700千克红薯。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用长方形和平行四边形的面积公式解决实际的问题。 27．如图 面积32平方厘米 【详解】8×4=32（平方厘米） 答：平行四边形的面积是32平方厘米． 28．46厘米 【分析】平行四边形的底＝长方形的长，平行四边形的周长＝长方形的周长，根据平行四边形面积＝底×高，求出平行四边形面积，平行四边形面积＋45平方厘米＝长方形面积，长方形面积÷长＝宽，根据长方形周长＝（长＋宽）×2，求出长方形周长就是平行四边形的周长。 【详解】15×5＋45 ＝75＋45 ＝120（平方厘米） 120÷15＝8（厘米） （15＋8）×2 ＝23×2 ＝46（厘米） 答：原平行四边形的周长是46厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方形和平行四边形周长及面积公式。 29．5厘米 【详解】试题分析：由题意可知：阴影甲比乙大64平方厘米，若二者都加上公共部分（空白部分），则其面积差仍然是64平方厘米，即以AB为半径的圆的面积﹣三角形ABC的面积=64平方厘米，将数据代入此等式即可求解． 解：设BC的长度为x， ×3.14×202﹣20x÷2=64， 314﹣10x=64， 10x=250， x=25； 25﹣20=5（厘米）； 答：CD长5厘米． 点评：解答此题的关键是：由题意得出，扇形的面积﹣三角形的面积=64，从而问题得解． 30．600平方米 【详解】试题分析：根据题意可知，在这块地中划出最大的一块正方形，这个正方形的边长就是40米，根据梯形的表面公式：s=（a+b）×2，正方形的面积公式：s=a2，把数据分别代入公式，求出梯形的面积与正方形的面积之差就是种白菜的面积． 解：（40+70）×40÷2﹣40×40， =110×40÷2﹣1600， =2200﹣1600， =600（平方米）， 答：种白菜的土地面积是600平方米． 点评：此题主要考查梯形、正方形的面积公式的灵活运用． 31．见详解 【分析】将三角形拼成平行四边形时，可以在高的一半处，将其裁剪成一个小三角形和一个梯形，再将小三角形反过来和梯形拼接起来，即可得到一个平行四边形；将梯形拼成平行四边形时，可以在高的一半处，将其裁剪成两个梯形，再将其中一个梯形反过来进行拼接，即可得到一个平行四边形。 【详解】三角形的面积＝平行四边形的面积＝底×高，转化成平行四边形后，平行四边形的底＝三角形的底，平行四边形的高＝三角形的高的一半，推导得出：转化成的平行四边形的面积＝三角形的底×（三角形的高÷2），即三角形的面积＝底×高÷2。 梯形的面积＝平行四边形的面积＝底×高，转化成平行四边形后，平行四边形的底＝梯形的上底＋梯形的下底；平行四边形的高＝梯形的高的一半。推导得出：转化成的平行四边形的面积＝（上底＋下底）×（梯形的高÷2），即梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。 学科网（北京）股份有限公司 $$