2024年中国科学技术大学少年创新科学营二试笔面试数学、物理考题

中科大创新科学营次轮学习能力测试数学试题 2024年4月20日上午 9:00-10:00播放学习视频10：00-11：30周试 解答题（共5题.每小题20分，计100分） 1.在n维数组空间Rm中，可以定义距离d2(xy)=√2”(x-y下 (1)对n=2的情形.证明d2是R”上的距离 (2)定义距离d,-x-yl,dm=maxx-l,证明d,d,dm是等价距离 2.设有限集A=(1,2,91.定义集合X=A"。在集合X上定义两个元素x=(:,,xn)和 y=y,,n汉明距离为d(x,y)=#teAx≠y}. (1证明：已知正整数r≤n.则集合{y∈X1d(x,y)≤r}的元素个数为-o(q一1)'Cm (2证明恒等式q”=∑”(g-1)'C.只允许使用第(1)问的结论。 (3)设X的子集C有M个元素.满足条件，()C中任意两个元素的距离不小于T,()C是满 足条件的最大子集，证明不等式 g" M≥q-1)C 3.证明以下结论 (1)单点集{xo是闭集 (2任意个开集的并仍是开集 (3)有限个开集的交仍是开集 (4在有理数集Q上定义？进距离，则Z二Q不是闭集。 4.回答下列问题 (1)写出柯西序列的定义 (2)已知x)和y是距离空间R上的柯西序列.求证：{xm也是R上的柯西序列 (3)设{xn是汉明空间上的柯西序列.求证：N∈Z,使得n>N,xn=w。 5.在有理数集Q上，定义p-进距离d,(x,y)=x-y川p (1)证明：不同的p-进距离互不等价。 (②证明：在p-进距离下，im(1+p)P”=1 中科大创新科学营次轮学习能力测试物理试题 2024年4月20日下午 15:00-1600播放学习视频16：00-17：30测试 解答题（共4题，计100分） 1.写出波的相速与群速的物理意义，并给出用频谱计算相速与群速的方法。(5分) 2一雏单原子链，每个原子的质量为M.在最邻近近似下，相邻原子间用劲度系数为K,原 长为a的洋簧连接。 (1)解释简谐近似的物理意义，(5分) ②在最邻近近似下求解一维单原子链的频谱。并在第一步里渊区q【:内画出频 请纵轴单位取为妃侣6分州 (3)计算格波的相速与群速和波数的关系，并在第一步里沫区内画出图像。(5分) (4)说明入1=6a和2=a对应的振动情况完全相同。(5分) (⑤)解释周期性边界条件，并求出波数q的所有可能取值。(5分) 6)解释长波极限的含义，并求出一维单原子链的声速。当q=土时，指出各原子的振 动模式并解释其产生原因，(5分) ()考虑次临近作用，设相邻原子间用劲度系数为K,的弹簧连接，间隔一个原子的两个 原子间用劲度系数为2的弹簧连接，求解此时的色敞关系，相速，群速和声速(5分) 8)单原子链中混入一个质量为m<M的杂质原子，求解色散关系：(5分) ⑨)预测声速最大的固体单质.并给出理由。(5分) 3.一个全同原子组成的平面方格子，品格常数为，原子质量为M,最邻近原子的作用力楷 数为K。记第行，第m列原子编离平衡位置的位移为山m (1)列出第行，第m列原子的动力学方程，(5分) 2)设解的形式为山m=u(0)exp(wt-qxa-mq,a引.求出色散关系。(5分) (3)确定q:和4，可取的值：(5分》 (4)证明此介质中声波的角频率正比于波数ql.(5分) 4.一维双原子链，由质量为M和2的原子用劲度系数为K的弹簧交替连接而成，晶格常数 为a.质量为M1的原子平衡位置位于2na处.质量为M2的原子平衡位置位于(2n+1)a处 (1)该体系有两支色散关系，分别用仙，和仙表示.试求之.(5分) (2)分别带入M1=2M2和M1=M2计算并画出M1=2M时的频谱.并指出M1=M2时一 雏双原子链和一维单原子链的关系。(5分) (3)我们将仙和仙分别称为声学支和光学支，试描还两支色散关系对应的振动图景，（⑤ 分) (4)设M1=5×1.67×1024g.M1:M2=4.k=15N/m.求出声学支和光学支的最大 和最小角频率。(5分) (⑤)量子力学中，声子是格波的量子，反映了格波能量的量子化.声子的能量为：=仙 取h=1.05×10~35。试在(4)的条件下.求出声学支和光学支声子的最大和最小 能量。(5分) (6)在有正负离子的离子品体中，光学支格波和远红外波段的光可以发生强烈耦合。试 解释其原因并指出耦合的条件(5分)