24.1旋转(5知识点+9题型+强化练习）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（沪科版）

24.1 旋转 学习目标 1.理解旋转及旋转对称图形的概念，会判断一个图形是否为旋转对称图形。 2.理解中心对称和中心对称图形的概念，会判断一个图形是否为中心对称图形。 3.探索并理解旋转的基本性质，能够运用这些基本性质解决旋转前后对应点的坐标变化问题。 知识点01 旋转的概念 概念：在平面内，一个图形绕着一个定点,旋转一定的角度,得到另一个图形的变换，叫做旋转。 【即学即练1】下列运动属于数学上的旋转的是（   ） A．乘坐升降电梯 B．地球绕太阳转动 C．钟表上的时针运动 D．将等腰三角形沿着底边上的高对折 知识点02 旋转的性质 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等； 【即学即练2】如图是中国共产主义青年团团旗上的图案（图案本身没有字母），则至少旋转（    ）度后能与原来图形重合． A．36 B．54 C．72 D．108 【即学即练3】如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【即学即练4】（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角度（）得到，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 知识点03 中心对称的概念及性质 ·中心对称的概念：一个图形绕一个定点旋转 180°,得到另一个图形，这时，这两个图形关于这个定点的对称叫做中心对称，这个定点就是対称中心。 ·中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 【即学即练5】若两个图形成中心对称，则下列说法：①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点04 作一个图形关于某一点成中心对称（旋转180°）的图形 【即学即练6】（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)将向右平移6个单位长度，得到，请画出． (2)画出关于原点O成中心对称的图形． 知识点05 中心对称图形 把一个图形绕某一个定点旋转180°,如果旋转后的图形能和原来图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形,这个定点就是对称中心. 【即学即练7】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   模型总结——图形的旋转&辅助线构造全等 ·旋转中的半角模型 半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半 思想方法 通过旋转构造全等三角形，实现线段的转化 基本模型 正方形含半角（结合正方形性质解题） 等腰直角三角形含半角 ·旋转中的对角互补模型 对角互补模型概念：四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。 方法 辅助线：旋转构造全等三角形和过顶点作两边的垂线 基本模型 90° 夹角 60°（120°）夹角 ·共点旋转模型（手拉手全等模型） 共点旋转模型概念： 两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。 思想方法：通过旋转构造全等三角形，实现线段的转化 基本模型 双等边类型 双等腰直角类型 【题型一：求旋转中心（坐标）】 例1．如图，在平面直角坐标系中，绕某点逆时针旋转得到，则旋转中心是点（    ） A． B． C． D．无法确定 变式1.（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称． 观察应用： (1)如图，若点，的对称中心是点，则点的坐标为 ． (2)在（1）的基础上另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次关于点，，作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，… ①则点，，的坐标分别为 ， ， ． ②点的坐标为 ． 【题型二：求旋转后的点坐标】 例2．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）平面直角坐标系中，点绕坐标原点逆时针方向旋转得到的点的坐标是 . 变式2.（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）如图将绕点旋转得到，设点的坐标为，则A的坐标为 ． 【方法技巧与总结】 对称中心是对应点连线的中点，在坐标系中找到两个对应点，利用中点公式求解。 【题型三：根据旋转角和旋转性质求其他角】 例3．（23-24九年级下·安徽合肥·期中）如图，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，若经过点与相交于，，则（    ）    A． B． C． D． 变式3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，将菱形绕点A按逆时针方向旋转得到菱形，当平分时，则与之间的数量关系是（    ）    A． B． C． D． 【方法技巧与总结】①正确找出旋转角；②灵活运用三角形的相关性质进行角度等量代换。 【题型四：在坐标系中根据旋转变换作图】 例4．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，已知格点（顶点是网格线的交点）和格点. (1)以点为位似中心，在和点的另一侧画出，使与位似，且位似比为； (2)将（1）中的绕点逆时针旋转得到，画出. 变式4-1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)以为旋转中心，将顺时针旋转得到，并写出点的坐标； (2)以为位似中心，在第一象限内作出的位似图形，且与的位似比为． 变式4-2．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，请你分别完成下面的作图． (1)以O为位似中心，在第三象限内作出，使与 的位似比为； (2)以O为旋转中心，将沿顺时针方向旋转得到． 【题型五：旋转与全等三角形】 例5．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是等边内的一点，连接，，，将绕点顺时针旋转得，连接，若，则的度数为 ． 变式5-1．（22-23九年级上·安徽·期末）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长． 变式5-2.如图，点分别在正方形的边上，且．把绕点顺时针旋转得到． (1)求证：． (2)若，求正方形的边长． 【题型六：旋转的性质与图形综合——面积问题】 例6．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，其中是直角，点A坐标为，将绕O点顺时针旋转得到，B点的对应点恰好落在y轴上，求的面积． 【题型七：旋转的性质与图形性质综合】 例7．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，是的边上的中线，是的中点，绕点按顺时针方向旋转，得到，连结．求证：． 【题型八：旋转的性质与图形综合——辅助线】 ·作垂线 例8.（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图1，把两个完全相同且有一个角为的直角三角板重合在一起，将固定，将绕直角顶点C顺时针方向旋转．        (1)如图2，当B，D，E三点在同一条直线上时，求旋转角α的度数； (2)在（1）的条件下，连接，请判断和的面积的数量关系，并说明理由． 变式8．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，抛物线与轴交于两点且，与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴和解析式； (2)抛物线的对称轴上有一点，连接，以为旋转中心顺时针旋转后，点的对应点恰好落在抛物线上，求点坐标． ·利用旋转构造全等三角形（半角模型、手拉手模型等）例9．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图1，若内一点P满足，则点P为的布洛卡点，三角形的布洛卡点是法国数学教育家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．问题：如图2，已知在等腰直角三角形中，，若点Q为的布洛卡点，即，，则 ． 变式9．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接，则线段长的最小值为 ． 【题型九：旋转与动角问题】 例10．（2023九年级上·全国·专题练习）将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转． (1)如图2，当为的角平分线时，求此时t的值； (2)当旋转至的内部时，求与的数量关系； (3)在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时t等于 　 　（直接写出答案即可）． 【方法技巧与总结】①根据题意进行分类讨论；②分析几何关系，用含t的式子表示相关角度的大小。 一、选择题 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点D恰好落在边上，交于点F，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，若，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D． 4.已知坐标原点为O，点，将绕原点O顺时针旋转后的坐标是（　　） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，若M是边上任意一点，将绕点A逆时针旋转得到，点M的对应点为点N，连接，则下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C．平分 D．若，则M是的中点 二、填空题 6.已知点A的坐标为，则点A关于原点对称的点的坐标为 7.（2023·福建龙岩·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 8.（2023·宁夏石嘴山·九年级校考期中）若点关于坐标原点的对称点是，则点的坐标为 ． 三、解答题 9．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，在等边中，D是边上的一点，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接．若，求的周长． 10．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点（顶点在网格线的交点上）的顶点的坐标分别为    (1)在网格所在的平面内，请画出平面直角坐标系； (2)将绕着原点顺时针旋转得，画出． 11．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，在坐标系中的位置如图所示． (1)将向右平移8个单位长度后得到，请画出． (2)请画出关于原点O的中心对称图形． (3)若将绕某一点旋转可得，则旋转中心的坐标为______． 12.如图，已知矩形的两个顶点A，B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线垂直于x轴．垂足为E，已知点A的坐标为．      (1)求反比例函数的解析式； (2)求矩形的面积． 1．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）正方形中，，点为边上一动点（不与点重合），将绕点逆时针旋转得到，过作交于点．则的最小值为（    ）    A． B．4 C． D．5 2.如图，边长为的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 3.如图， 中，，，点M，N在底边上，若，，那么线段与之间的数量关系为 ．    4．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，，将绕点逆时针旋转后得到，其中，点、B、三点在同一条直线上．    （1） ；（2） ． 5.如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若和关于原点O成中心对称图形，画出图形并写出的各顶点的坐标； (2)将绕着点O按顺时针方向旋转得到，画出图形并写出的各顶点的坐标； (3)在轴上找一点，使得的值最小，请直接写出点的坐标． 1．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）阅读与理解： 如图是腰长不同的两个等腰直角三角形纸片叠放在一起的图形（和重合），其中且． 操作与证明： （1）如图，连结，点是的中点，连接，解决下列问题： ①证明：； ②判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 猜想与探索： （2）如图，固定不动，与此同时将绕点顺时针旋转角，其中，即，点是的中点，其他条件不变．判断与的关系是否不变？若不变，请说明理由；若改变，请求出相应的正确结论． 2．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴交于点，，过点作x轴的垂线，与直线交于点D．    (1)求点D的坐标； (2)点E是线段上一动点，直线与x轴交于点F． （i）若的面积为8，求点F的坐标； （ii）如图2，当点F在x轴正半轴上时，将直线绕点B逆时针旋转后的直线与线段交于点M，连接，若，求线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.1 旋转 学习目标 1.理解旋转及旋转对称图形的概念，会判断一个图形是否为旋转对称图形。 2.理解中心对称和中心对称图形的概念，会判断一个图形是否为中心对称图形。 3.探索并理解旋转的基本性质，能够运用这些基本性质解决旋转前后对应点的坐标变化问题。 知识点01 旋转的概念 概念：在平面内，一个图形绕着一个定点,旋转一定的角度,得到另一个图形的变换，叫做旋转。 【即学即练1】下列运动属于数学上的旋转的是（   ） A．乘坐升降电梯 B．地球绕太阳转动 C．钟表上的时针运动 D．将等腰三角形沿着底边上的高对折 【答案】C 【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，根据旋转的定义，在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，进而分别判断得出答案，正确把握定义是解题的关键． 【详解】、乘坐升降电梯属于平移，不符合题意； 、地球绕太阳转动不属于旋转，不符合题意； 、钟表上的时针运动属于旋转，符合题意； 、将等腰三角形沿着底边上的高对折属于轴对称，不符合题意； 故选：． 知识点02 旋转的性质 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等； 【即学即练2】如图是中国共产主义青年团团旗上的图案（图案本身没有字母），则至少旋转（    ）度后能与原来图形重合． A．36 B．54 C．72 D．108 【答案】C 【分析】本题考查了图形的旋转，根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答． 【详解】解：∵， ∴该图形绕中心至少旋转度后能和原来的图案互相重合． 故选C． 【即学即练3】如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质和等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．由旋转的性质及，可得是等边三角形，从而，则由．计算即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点A按顺时针旋转一定角度得到， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 【即学即练4】（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角度（）得到，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了旋转的性质，平行线的性质，根据旋转的性质可得，再由平行线的性质可得，从而可得，求得的值，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 知识点03 中心对称的概念及性质 ·中心对称的概念：一个图形绕一个定点旋转 180°,得到另一个图形，这时，这两个图形关于这个定点的对称叫做中心对称，这个定点就是対称中心。 ·中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 【即学即练5】若两个图形成中心对称，则下列说法：①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据中心对称的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：∵两个图形成中心对称， ∴①对应点的连线必经过对称中心，正确； ②这两个图形的形状和大小完全相同，正确； ③这两个图形的对应线段一定相等，正确； ④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合，正确． 综上所述：正确共4个，故D正确． 故选：D． 知识点04 作一个图形关于某一点成中心对称（旋转180°）的图形 【即学即练6】（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)将向右平移6个单位长度，得到，请画出． (2)画出关于原点O成中心对称的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要是考查了利用中心对称和平移的性质作图，解题的关键是熟练掌握中心对称和平移的性质． （1）分别确定A，B，C三点向右平移6个单位长度的坐标，然后顺次连接三点，从而得到正确的图形； （2）分别确定A，B，C三点关于原点O的中心对称点的坐标，然后顺次连接三点，从而得到正确的图形； 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； 知识点05 中心对称图形 把一个图形绕某一个定点旋转180°,如果旋转后的图形能和原来图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形,这个定点就是对称中心. 【即学即练7】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A中既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求； B中不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求； C中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； D中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； 故选：A． 模型总结——图形的旋转&辅助线构造全等 ·旋转中的半角模型 半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半 思想方法 通过旋转构造全等三角形，实现线段的转化 基本模型 正方形含半角（结合正方形性质解题） 等腰直角三角形含半角 ·旋转中的对角互补模型 对角互补模型概念：四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。 方法 辅助线：旋转构造全等三角形和过顶点作两边的垂线 基本模型 90° 夹角 60°（120°）夹角 ·共点旋转模型（手拉手全等模型） 共点旋转模型概念： 两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。 思想方法：通过旋转构造全等三角形，实现线段的转化 基本模型 双等边类型 双等腰直角类型 【题型一：求旋转中心（坐标）】 例1．如图，在平面直角坐标系中，绕某点逆时针旋转得到，则旋转中心是点（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转：理解旋转中心为对应点的垂直平分线的交点是解决问题的关键．作和的垂直平分线，它们的交点为O点，从而可判断旋转中心为点O． 【详解】解：如图，绕O点逆时针旋转得到． 故选：A． 变式1.（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称． 观察应用： (1)如图，若点，的对称中心是点，则点的坐标为 ． (2)在（1）的基础上另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次关于点，，作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，… ①则点，，的坐标分别为 ， ， ． ②点的坐标为 ． 【答案】(1) (2)①；；；② 【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）设，利用中点坐标公式分别计算出x和y的值即可； （2）①利用中心对称的性质画图可得到点，从而得到它们的坐标． ②观察点坐标的递变规律，可得出点与点的坐标相同． 【详解】（1）设， ∵点的对称中心是点A， ∴A点坐标为， 故答案为：； （2）①点的坐标分别为．（见下图） 故答案为：． ②点关于点C的对称点，与点重合，依次类推，点与点重合，点与点重合……， 探索规律可知：设n为正整数，则点与点重合，点与点重合，点与点重合， ∵， ∴点与点的坐标相同，即， 故答案为： 【题型二：求旋转后的点坐标】 例2．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）平面直角坐标系中，点绕坐标原点逆时针方向旋转得到的点的坐标是 . 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及点的坐标，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；如图，由题意易得，然后可证，进而问题可求解． 【详解】解：如图，过A作轴于C，过B作轴于D，则，，    由点绕坐标原点逆时针方向旋转得到点可知：， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 变式2.（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）如图将绕点旋转得到，设点的坐标为，则A的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点、关于点成中心对称是解题的关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方．设点的坐标是，根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可． 【详解】解：根据题意，点、关于点对称， 设点的坐标是， 则，， 解得，， 点的坐标是． 故答案为：． 【方法技巧与总结】 对称中心是对应点连线的中点，在坐标系中找到两个对应点，利用中点公式求解。 【题型三：根据旋转角和旋转性质求其他角】 例3．（23-24九年级下·安徽合肥·期中）如图，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，若经过点与相交于，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，旋转的性质，三角形外角定理，掌握相关定理与性质是解题的关键． 【详解】解：四边形为菱形，， ， 菱形绕点逆时针旋转得到菱形， ， ． 故选：B． 变式3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，将菱形绕点A按逆时针方向旋转得到菱形，当平分时，则与之间的数量关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质及菱形的性质，根据菱形代入性质可得，根据等腰三角形的性质可得，根据旋转的性质可得，根据平分，可得，即可得到答案，熟练掌握相关性质并正确找出旋转角是解题的关键． 【详解】解：∵是菱形， ∴， ∴， ∵菱形绕点A按逆时针方向旋转得到菱形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 根据三角形内角和定理可得：， 即， 故选：D． 【方法技巧与总结】①正确找出旋转角；②灵活运用三角形的相关性质进行角度等量代换。 【题型四：在坐标系中根据旋转变换作图】 例4．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，已知格点（顶点是网格线的交点）和格点. (1)以点为位似中心，在和点的另一侧画出，使与位似，且位似比为； (2)将（1）中的绕点逆时针旋转得到，画出. 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 【分析】本题主要考查位似图形及旋转的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键； （1）根据位似可进行作图； （2）由（1）及旋转的性质可进行求解． 【详解】（1）解：所作如图所示； （2）解：所作如图所示； 变式4-1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)以为旋转中心，将顺时针旋转得到，并写出点的坐标； (2)以为位似中心，在第一象限内作出的位似图形，且与的位似比为． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析 【分析】本题考查了作旋转图形，旋转的性质，作位似图形．熟练掌握作旋转图形，旋转的性质，作位似图形是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图求解即可； （2）根据位似的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图1，即为所求，由旋转的性质可得，点的坐标为； （2）解：如图1，即为所求． 变式4-2．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，请你分别完成下面的作图． (1)以O为位似中心，在第三象限内作出，使与 的位似比为； (2)以O为旋转中心，将沿顺时针方向旋转得到． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查画位似图象、画旋转图形： （1）利用位似图形的性质以及位似比得出对应点坐标画出图形即可； （2）利用旋转的性质得出对应点、、的坐标进而得出答案． 【详解】（1）解：即为所求三角形；    （2）即为所求三角形 【题型五：旋转与全等三角形】 例5．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是等边内的一点，连接，，，将绕点顺时针旋转得，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】由旋转的性质和全等三角形的性质可得，，，，可证是等边三角形，可得，，由勾股定理的逆定理可求，即可求解． 【详解】解：∵将绕点B顺时针旋转得， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 变式5-1．（22-23九年级上·安徽·期末）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）根据旋转的性质得到，利用等边三角形的性质得到．则，即可得到结论； （2）证明．则．证明是等边三角形．进一步得到．在中，由勾股定理即可得到的长． 【详解】（1）证明：由旋转的性质，知． ∵是等边三角形， ∴． ∴． ∴， 即． （2）解：在和中， ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． 在中， 【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 变式5-2.如图，点分别在正方形的边上，且．把绕点顺时针旋转得到． (1)求证：． (2)若，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，根据证明三角形全等即可． （2）设，则，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得，， ， ， ∴点三点共线， ， ， ， ， ； （2）解：设，则， ， ， ， ， ， ， ， 解得，或（舍弃）， ∴正方形的边长为6． 【题型六：旋转的性质与图形综合——面积问题】 例6．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，其中是直角，点A坐标为，将绕O点顺时针旋转得到，B点的对应点恰好落在y轴上，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，旋转的性质，根据是直角，点A坐标为，得到，且的高为，再利用旋转的性质得到，最后利用三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：是直角，点A坐标为， ，且的高为， 由旋转的性质可知，， 的面积为：． 【题型七：旋转的性质与图形性质综合】 例7．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，是的边上的中线，是的中点，绕点按顺时针方向旋转，得到，连结．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平时四边形的判定以及性质，旋转的性质， 以及全等三角形的性质，根据旋转的性质得出，由全等三角形的性质可得出，则可得出四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得出，，由已知条件可得出，进一步证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得证． 【详解】证明：∵是绕点M按顺时针方向旋转得到的， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵是的边上的中线， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【题型八：旋转的性质与图形综合——辅助线】 ·作垂线 例8.（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图1，把两个完全相同且有一个角为的直角三角板重合在一起，将固定，将绕直角顶点C顺时针方向旋转．        (1)如图2，当B，D，E三点在同一条直线上时，求旋转角α的度数； (2)在（1）的条件下，连接，请判断和的面积的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】本题主要考查旋转的性质、等边对等角以及全等三角形的判定和性质， （1）由题意得，由旋转得，可得．即可求得旋转角； （2）过点D作于点M，延长交于点N，由旋转得和．进一步求得和，可证，则有，结合面积公式即可求得相等． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，． ∴． ∵点B，D，E在同一条直线上， ∴， ∴旋转角． （2）． 理由：过点D作于点M，延长交于点N，如图，      ∵是由绕点C旋转得到， ∴，． 由（1）可得， ∴， ． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，，， ∴． 变式8．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，抛物线与轴交于两点且，与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴和解析式； (2)抛物线的对称轴上有一点，连接，以为旋转中心顺时针旋转后，点的对应点恰好落在抛物线上，求点坐标． 【答案】(1)抛物线的对称轴为，抛物线的解析式为； (2)点坐标为或． 【分析】（1）根据点C的坐标得到 c的值，再求出对称轴和点A和点B的坐标，求出a的值，即可得到函数解析式； （2）设，过作轴于，过作于，求出点的横坐标为，纵坐标为，得到，把代入中求出m的值，即可得到答案； 此题考查二次函数的图象和性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，数形结合是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 抛物线的对称轴为， 把代入得：，解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：设， 如图，过作轴于，过作于， 又连接，以为旋转中心顺时针旋转后，点的对应点恰好落在抛物线上， ， ， 在和中， ， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 把代入中， 得：， 解得：， 点坐标为或． ·利用旋转构造全等三角形（半角模型、手拉手模型等） 例9．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图1，若内一点P满足，则点P为的布洛卡点，三角形的布洛卡点是法国数学教育家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．问题：如图2，已知在等腰直角三角形中，，若点Q为的布洛卡点，即，，则 ． 【答案】 【分析】将绕点D顺时针旋转得，根据全等三角形的性质得到，由，推出，得到是等腰直角三角形，求得，由勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：将绕点D顺时针旋转得，如图： ， ∴， ， ∵， ， ∴， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理，得， 又∵， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 变式9．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接，证明，可得，由条件可得，根据，即可得出的最小值． 【详解】解：连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形中，，O是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴线段OF长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，以及三角形三条边的关系．解题的关键是掌握图形旋转的性质． 【题型九：旋转与动角问题】 例10．（2023九年级上·全国·专题练习）将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转． (1)如图2，当为的角平分线时，求此时t的值； (2)当旋转至的内部时，求与的数量关系； (3)在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时t等于 　 　（直接写出答案即可）． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）先计算的度数，再根据角平分线的定义和旋转的速度可得的值； （2）分别表示与的度数，相减可得数量关系； （3）分四种情况讨论：分别和三边平行，还有，计算旋转角并根据速度列方程可得结论． 【详解】（1）解：如图2，，， ， 平分， ， ， 答：此时的值是； （2）当旋转至的内部时，如图3，与的数量关系是：； 理由是：由旋转得：， ，， ； （3）分四种情况： ①当时，如图4，， ； ②当时，如图5，则， ， ； ③当时，如图6，则， ， ； ④当时，如图7， ， ， ； 综上，的值是或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是典型的实际操作问题，将两个三角板按照题意进行摆放，旋转，清楚每一时刻各个角的度数是多少和各角之间的关系． 【方法技巧与总结】①根据题意进行分类讨论；②分析几何关系，用含t的式子表示相关角度的大小。 一、选择题 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可解答． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点D恰好落在边上，交于点F，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转性质得，结合，得到，，，结合旋转性质，三角形内角和定理计算即可，本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转性质，三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】根据旋转性质得， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选C． 3．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，若，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，含角直角三角形性质及勾股定理；由旋转的性质得；由含角直角三角形性质得，再由勾股定理即可求得结果． 【详解】解：由旋转的性质得； ∵，， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得：． 故选：C． 4.已知坐标原点为O，点，将绕原点O顺时针旋转后的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过A作轴于C，过作轴于D，根据旋转求出，证，推出即可．本题考查了点的坐标与旋转变换、全等三角形的判定和性质等，根据条件画出相应的图形、适当添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：过A作轴于C，过作轴于D． ∵， ∴， ∴， 在和中 ∵， ∴， ， ∴的坐标是． 故选：C． 5．（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，若M是边上任意一点，将绕点A逆时针旋转得到，点M的对应点为点N，连接，则下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C．平分 D．若，则M是的中点 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、旋转的性质、三角形内角和定理等知识，设交于点O, 证明，由，得到，即，即可判断A，利用等量代换和等边对等角得到，即，即可判断B，由得到，即可判断C，证明是等腰三角形， 则，得到，由得到是等腰三角形，即可判断D. 【详解】解：设交于点O, ∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 即， 故选项A正确，不符合题意； ∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， 即， 故选项B正确，不符合题意； ∵ ∴， ∴不平分， 故选项C错误，符合题意； 若， ∵， ∴是等腰三角形， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ， 即M是的中点 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 6.已知点A的坐标为，则点A关于原点对称的点的坐标为 【答案】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，利用平面内两点关于原点对称，横坐标与纵坐标都互为相反数即可求得． 【详解】解：∵点A的坐标是， ∴它关于原点对称的点的坐标是 故答案为：． 7.（2023·福建龙岩·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称，关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，熟记相关结论即可． 【详解】解：由题意得：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为： 8.（2023·宁夏石嘴山·九年级校考期中）若点关于坐标原点的对称点是，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了在平面直角坐标系中，点关于原点对称时横纵坐标的符号，关于原点对称时，横纵坐标都为相反数，即可解答本题． 【详解】解：∵点关于坐标原点的对称， ∴点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题 9．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，在等边中，D是边上的一点，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接．若，求的周长． 【答案】13 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用旋转的性质成为解题的关键． 根据旋转的性质得，可判断为等边三角形，则有，所以的周长，再根据等边三角形的性质得，最后根据三角形的周长公式即可解答． 【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长， ∵为等边三角形， ∴， ∴的周长=． 10．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点（顶点在网格线的交点上）的顶点的坐标分别为    (1)在网格所在的平面内，请画出平面直角坐标系； (2)将绕着原点顺时针旋转得，画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查建立平面直角坐标系和作旋转图形． （1）由 A和C点的坐标即可确定原点的位置，从而建立坐标系； （2）先根据旋转的性质求出每个点绕原点顺时针旋转之后的对应点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：坐标系如图：    （2） 解：如图： 11．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，在坐标系中的位置如图所示． (1)将向右平移8个单位长度后得到，请画出． (2)请画出关于原点O的中心对称图形． (3)若将绕某一点旋转可得，则旋转中心的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了利用平移、中心对称作图，求旋转中心的坐标，利用平移变换作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）根据平移的性质分别作出A、B、C的对应点、、，再顺次连接、、，即可； （2）根据中心对称的定义分别作出点、、的对应点、、，再顺次连接、、即可； （3）连接，，，根据对应点连线的交点即为旋转中心，进而写出旋转中心的坐标． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：所作如图所示： （3）解：连接，，如图所示： 这三条线段的交点即是旋转中心， 旋转中心的坐标为． 12.如图，已知矩形的两个顶点A，B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线垂直于x轴．垂足为E，已知点A的坐标为．      (1)求反比例函数的解析式； (2)求矩形的面积． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）把代入，即可求解； （2）根据中心对称的性质得，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质和矩形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：把代入得， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：点的坐标为， 根据中心对称可得， ， 对角线垂直于轴， ∴， ∵， ， ， ， ， 矩形的面积为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的面积的计算，中心对称图形的性质，相似三角形的判定与性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 1．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）正方形中，，点为边上一动点（不与点重合），将绕点逆时针旋转得到，过作交于点．则的最小值为（    ）    A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】通过证明，可得，由二次函数的性质可求的最大值，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∵， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ，即， 当时，有最大值， ∴的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，证明三角形相似是解题的关键． 2.如图，边长为的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转与正方形的相关知识，根据旋转的性质以及正方形的性质可得到的度数，根据三角函数求得的长，则的面积即可求得，然后利用正方形的面积减去和的面积即可求解，熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，将与的交点记为，连接，    解：在和中，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：． 3.如图， 中，，，点M，N在底边上，若，，那么线段与之间的数量关系为 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的性质、含角的直角三角形、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，先根据已知条件求出各个角度，然后构造全等三角形，找到边长之间的关系，其中构造出全等三角形是解答本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 如图，将绕点A顺时针旋转，得到，   ， ∴，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，，将绕点逆时针旋转后得到，其中，点、B、三点在同一条直线上．    （1） ；（2） ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定及性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，解题关键是掌握相关概念与性质并能够灵活应用． （1）由旋转可知，，，由、、在同一条直线上，可得，再利用三角形内角和定理求得，即可求解； （2）由旋转的性质及含的直角三角形的性质可知，结合（1）中，，可知，得，利用含的直角三角形的性质可知，延长交于点，则，，进而可知，利用含的直角三角形的性质可知，则，，在中，，即可求解． 【详解】解：（1）由旋转知，，，， ∵、、在同一条直线上，， ∴， ∴， 即：绕点逆时针旋转后得到， 故答案为：120； （2）由旋转可知，由旋转知，，，，， 则， 由（1）可知，，，则， ∴， ∴， ∵， ∴，则， 延长交于点，则，，    又∵，则， ∴， ∴，则， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 5.如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若和关于原点O成中心对称图形，画出图形并写出的各顶点的坐标； (2)将绕着点O按顺时针方向旋转得到，画出图形并写出的各顶点的坐标； (3)在轴上找一点，使得的值最小，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)图形见解析，，， (2)图形见解析，，， (3)画图见解析， 【分析】本题主要考查图形的旋转以及图形的中心对称，求一次函数解析式， （1）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可． （2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可． （3）过点A作y的对称点，连接交y轴于点P，即为所求，然后求出所在直线的表达式为，将代入求解即可． 掌握图形的旋转以及图形的中心对称是解决本题的关键， 【详解】（1） ∵的三个顶点的坐标分别为，，， ∴的各顶点的坐标为：，， （2）作绕着点O顺时针方向旋转得到的的图形如下图所示： ∵的三个顶点的坐标分别为，，， ∴的三个顶点的坐标分别为：，， （3）如图所示，过点A作y的对称点，与y轴的交点P即为所求； ∵ ∴ ∴当点，P，B三点共线时，有最小值，即的长度． ∵， ∴ ∵ ∴设所在直线的表达式为 ∴ 解得 ∴所在直线的表达式为， ∴当时，， ∴． 1．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）阅读与理解： 如图是腰长不同的两个等腰直角三角形纸片叠放在一起的图形（和重合），其中且． 操作与证明： （1）如图，连结，点是的中点，连接，解决下列问题： ①证明：； ②判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 猜想与探索： （2）如图，固定不动，与此同时将绕点顺时针旋转角，其中，即，点是的中点，其他条件不变．判断与的关系是否不变？若不变，请说明理由；若改变，请求出相应的正确结论． 【答案】（1）详见解析； （2）依然成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形，旋转等．熟练掌握全等三角形的判定和性质，旋转的性质，是解题的关键． （1）①根据，，，可证得 ；②根据①结论得到，根据 F为的中点，得到，根据，，得到 ，得到，即得． （2）延长，得到四边形为平行四边形，得到，，根据，，得到 ，得到，，得到，得到，即得． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形， ， ，， 在与中，    ，          ； 结论：，， 理由：， ，， F为的中点， ， ， ， ， ∴． （2）旋转一个锐角后，关系依然成立． 理由：如图，延长， 又，四边形AMEC为平行四边形， ， ， ∵， ∴， 与中， ， ， ，， ， ， 即． 2．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴交于点，，过点作x轴的垂线，与直线交于点D．    (1)求点D的坐标； (2)点E是线段上一动点，直线与x轴交于点F． （i）若的面积为8，求点F的坐标； （ii）如图2，当点F在x轴正半轴上时，将直线绕点B逆时针旋转后的直线与线段交于点M，连接，若，求线段的长． 【答案】(1) (2)（i）或；（ii） 【分析】（1）将，代入求出解析式即可； （2）（i）设点，分类讨论当点在x轴的正半轴和负半轴的情况，根据即可求解；（ii）作轴，交轴于点，证、即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： 解得： ∴ 当时， ∴ （2）解：设点 （i）①当点在x轴的正半轴时，如图所示：   ， ∴， 解得： ∴ ②当点在x轴的负半轴时，如图所示：   ， ∴， 解得： ∴ 综上所述：或 （ii）作轴，交轴于点，如图所示：    ∵轴 ∴ ， ∵将直线绕点B逆时针旋转后的直线与线段交于点M， ∴ 设，则 在中， ∴ 解得：， ∴ 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题．正确作出辅助线，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！47 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$