22.1 二次函数的图像与性质 讲义- 2024-2025学年人教版九年级数学上册

22.1二次函数的图像与性质讲义-数学九年级上册人教版 知识梳理 二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 典例分析 1．已知二次函数y＝（a﹣1）x2+ax﹣1﹣2a（a是实数）． （1）若函数图象经过点A（﹣1，2），求该二次函数的表达式及图象的对称轴． （2）求证：二次函数图象过定点（1，﹣2）． （3）若a＞1时，二次函数的最小值为s，求s的取值范围． 【解答】（1）解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2+ax﹣1﹣2a（a是实数）图象经过点（﹣1，2）， ∴2＝（a﹣1）×（﹣1）2+a×（﹣1）﹣1﹣2a， ∴2＝a﹣1﹣a﹣1﹣2a， 解得：a＝﹣2， ∴y＝﹣3x2﹣2x+3， ∴对称轴为直线x＝． （2）证明：把x＝1代入二次函数y＝（a﹣1）x2+ax﹣1﹣2a， 得y＝a﹣1+a﹣1﹣2a＝﹣2， ∴二次函数图象过定点（1，﹣2）． （3）解：∵y＝（a﹣1）x2+ax﹣1﹣2a ＝ax2﹣x2+ax﹣1﹣2a ＝（x2+x﹣2）a﹣x2﹣1， 又∵x2+x﹣2＝0时，x1＝1，x2＝﹣2， 当x＝1时，y＝﹣2；当x＝﹣2时，y＝﹣5， ∴二次函数过定点（1，﹣2），（﹣2，﹣5）． ∵a＞1， ∴a﹣1＞0， 如图所示，抛物线开口向上，且（﹣2，﹣5）为纵坐标最大的点， ∴s≤﹣5． 2．已知二次函数的图象经过原点O和点A（8+t，0），其中t≥0． （1）当t＝0时． ①求y关于x的函数解析式；求出当x为何值时，y有最大值？最大值为多少？ ②当x＝a和x＝b时（a≠b），函数值相等，求a的值． （2）当t＞0时，在0≤x≤8范围内，y有最大值18，求相应的t和x的值． 【解答】解：（1）①当t＝0时，A（8，0）， 把A（8，0）、O（0，0）代入得， ， ∴， ∴二次函数为， ∵， ∴当x＝4时，y有最大值，最大值为4； ②∵x＝a和x＝b时（a≠b），函数值相等， ∴， 整理得，a2﹣8a+12＝0， 解得a＝2（不合题意，舍去）或a＝6， ∴a的值为6； （2）∵二次函数的图象经过原点O， ∴c＝0， ∴二次函数， ∴对称轴为直线x＝2b， ∵二次函数的图象经过原点O和点A（8+t，0）， ∴， 当t≤8时，对称轴x＝2b≤8， ∵0≤x≤8， ∴x＝2b时，y有最大值18， 即， 整理得，b2＝18， ∴或， ∵4＜2b≤8 ∴2＜b≤4， ∴或不合，舍去； 当t＞8时，对称轴x＝2b＞8， ∵， ∴在对称轴的左侧，y的值随x的增大而增大， ∵0≤x≤8， ∴当x＝8时，y有最大值18， 即， 解得， ∴， ∴t＝9； 综上，t＝9，x＝8． 3．已知抛物线y＝ax2（a≠0）与直线y＝2x﹣4交于点（1，b）． （1）求抛物线的解析式，并写出它的对称轴和顶点坐标． （2）对于二次函数y＝ax2，当x＞0时，y随x的增大而 　减小　． （3）求二次函数y＝ax2的最大值或最小值． 【解答】解：（1）把点（1，b）代入y＝2x﹣4得到，b＝2﹣4＝﹣2， ∴（1，﹣2）， 把点（1，﹣2）代入y＝ax2（a≠0）得到，﹣2＝a×12，解得a＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2， 则它的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）． （2）对于二次函数y＝﹣2x2， ∵它的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），抛物线开口向下， ∴当x＞0时，y随x的增大而减小， 故答案为：减小； （3）对于二次函数y＝﹣2x2， ∵它的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），抛物线开口向下， 当x＝0时，y＝﹣2x2的最大值为0． 4．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，点A关于x轴的对称点为点B， （1）抛物线的对称轴是 　x＝0　，顶点坐标 　（0，﹣）　，B点坐标（用含a的式子表示） 　（0，）　； （2）已知点，Q（3，0），若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图像，求a的取值范围． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝0； ∵抛物线y＝ax2﹣与y轴交于点A， ∴A（0，﹣）， ∵点A关于x轴的对称点为点B， ∴B（0，）； 故答案为：x＝0；（0，﹣）；B（0，）； （2）当a＞0时，如图1： 抛物线经过点P时，a﹣＝， 解得a＝或a＝﹣（舍去）； 抛物线经过点Q时，9a﹣＝0， 解得a＝或a＝﹣（舍去）； ∴≤a≤时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点； 当a＜0时，如图2： 抛物线经过点P时，a﹣＝， 解得a＝﹣或a＝（舍去）； 抛物线经过点Q时，9a﹣＝0， 解得a＝﹣或a＝（舍去）； ∴﹣≤a≤﹣时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点； 综上所述：≤a≤或﹣≤a≤﹣时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点． 精选好题 一、单选题 1．二次函数的图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 3．若二次函数 的最大值是2， 则（   ） A．4 B． C．4或 D．4 4．点，均在抛物线上，若，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 5．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线为（    ） A． B． C． D． 6．对于函数，下列说法正确的是（　　） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而减小 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 7．二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，过点作线段轴交于点，过点作线段轴于点，当为等腰直角三角形时，的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．若抛物线与抛物线关于轴对称，则 ， ． 10．二次函数与的图像关于 对称． 11．已知抛物线 经过点，它的对称轴是直线，则这条抛物线的函数表达式是 ． 12．已知点都在二次函数的图像上，那么的大小关系是： ．（填“”、“”或“”） 13．已知某抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 那么该抛物线的顶点坐标是 ；当时，总有，则的取值范围是 14．下列关于二次函数 (为常数)的结论：①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数图象的顶点在函数的图象上；③当＞0时，随的增大而减小；④该函数的图象一定经过点．其中所有正确结论的序号是 ． 15．如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是 ，它是 函数． 16．如图，抛物线交轴正半轴于点，过点作轴交抛物线于另一点，点在轴上，点在抛物线上．当四边形是菱形时，则的值为 ． 三、解答题 17．已知抛物线过点，求m的值． 18．已知抛物线经过点． (1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标； (2)已知点，在该抛物线上，若，直接写出的取值范围； (3)直线l交抛物线于点，（点B在点A的左侧），若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围． 19．已知二次函数图像的顶点坐标为，且经过点． (1)求该二次函数解析式． (2)将该二次函数的图像向左平移几个单位能使平移后所得图像经过坐标原点？并求平移后图像对应的二次函数解析式． 20．如图，四边形为矩形，，，动点、分别从、同时出发，都以/秒的速度运动，点沿向点终点A运动，点沿向终点运动，过点作，交于点，连接．已知动点运动的时间为秒（）． (1)当时，求出的长． (2)若四边形的面积为，试求与的函数关系式．在运动过程中，是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． (3)在点、运动过程中，能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有的可能值；若不能，试说明理由． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线的对称轴是，且经过两点，与轴的另一交点为点． (1)求抛物线解析式． (2)若点为直线上方的抛物线上的一点，连接．求的面积的最大值，并求出此时点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B D C B D C 1．B 【分析】本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键． 【详解】解：的顶点坐标为， 故选：． 2．D 【分析】本题考查二次函数的识别，根据二次函数的一般形式：形如（a，b，c为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，是二次函数，故A不符合题意； B、，不是二次函数，故B不符合题意； C、，是一次函数，故C不符合题意； D、，是二次函数，故D符合题意； 故选：D． 3．B 【分析】本题主要考查二次函数的最值，因式分解法解一元二次方程，根据题意可得出，， 解关于m的方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数 的最大值是2， ∴， 即， 整理得：， 即， ∴（舍去），， 故二次函数 的最大值是2， 则， 故选：B 4．D 【分析】本题考查二次函数性质，绝对值意义，解题关键是掌握二次函数开口向上时，点离对称轴越远，函数值越大，根据即可求得，从而解题． 【详解】解：点，均在抛物线上，， 抛物线对称轴为， 开口向上， 点离对称轴越远，函数值越大， ， ， 故选：D． 5．C 【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移个单位所得抛物线的解析式为：； 即， 故选：． 6．B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据抛物线的对称轴及开口方向，即可判断二次函数的增减性． 【详解】解：，对称轴为 抛物线开口向上，当时，随的增大而增大 当时，随的增大而减小 故选：B． 7．D 【分析】本题主要考查二次函数图象，一次函数图象的性质，分和两种情况根据二次函数与一次函数图象分析判断即可得解． 【详解】解：对称轴为直线， 时，抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴正半轴的交于点，一次函数经过第一、二、三象限，与y轴正半轴的交于点， 时，抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴负半轴的交于点，一次函数经过第二、三、四象限，与y轴正半轴的交于点． 故选：D． 8．C 【分析】本题考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，先求出的坐标，然后根据题意求得的坐标，代入解析式得到关于的方程，解方程即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线交轴于点， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵在抛物线上， ∴， 解得，（舍去）， 故选：． 9． ， 【分析】本题主要考查抛物线关于轴对称，熟练掌握抛物线关于轴对称的特征是解题的关键．根据抛物线关于轴对称的特征可知，的符号不变，的符号变为相反数即可得到答案． 【详解】解：根据抛物线关于轴对称的特征可知，的符号不变，的符号变为相反数 抛物线关于轴对称的抛物线为， 即 故答案为：，． 10．轴 【分析】本题考查了二次函数的图像．解题的关键是找出函数图像开口、对称轴与顶点坐标．本题根据二次函数与二次函数的图像回答即可． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向上，对称轴是轴，顶点为， 二次函数的图像开口向下，对称轴是轴，顶点为， ∴二次函数与的图像关于轴对称． 故答案为：轴． 11． 【分析】本题考查了根据二次函数的对称性求函数值，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据“抛物线 经过点”得出，根据“对称轴是直线”得出，解方程组即可求解． 【详解】解∶∵抛物线 经过点，它的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴， 故答案为∶ ． 12． 【分析】本题考查了二次函数的性质：掌握二次函数的增减性成为解题的关键． 先确定抛物线的对称轴和开口方向，然后根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：∵点都在二次函数的图像上， ∴二次函数图像的开口方向向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质进行求解即可，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵当和时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴由表格可知：该抛物线的顶点坐标是， 由表格可知抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 当时，总有， ∴， 故答案为：，． 14．①②④ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质：增减性、图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 能够根据二次函数的解析式得出顶点坐标、系数的值，再结合函数的增减性、图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】二次函数图象的形状由决定，和中均为，故图象形状相同，①正确； 由顶点式可知，二次函数顶点坐标为， 故顶点在函数的图象上，②正确； 二次函数中， 当时，y随x的增大而减小，③错误； 当时，代入二次函数中可得， 故该函数的图象一定经过点，④正确． 故答案为：①②④ 15． 二次 【分析】本题主要考查函数的概念、图形的变化类规律等知识点，由题目图形的变化、发现规律是解题的关键． 先根据题目图形的变化发现规律，然后根据规律确定函数解析式，再判定函数类型即可． 【详解】解：由图可知，从第（2）个图形开始，每个图形除去中间的点，每条分支上的点数比分支数少1，那么第（n）个图形有n条分支，每条分支的点数是，因此，它是二次函数． 故答案为：，二次． 16． 【分析】本题考查了菱形的性质，二次函数的性质，由菱形的性质得，，由二次函数的性质得直线是抛物线的对称轴，由得，即可求解；掌握菱形的性质和二次函数的性质，由性质得到直线是抛物线的对称轴是解题的关键． 【详解】解：如图，连接交于， 当时，， ， 四边形是菱形， ， ， 轴， 轴， ， ， 直线是抛物线的对称轴， 抛物线 ， ， ， ， 解得：； 故答案：． 17．m的值为 【分析】把点代入得到关于的方程，解方程即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，因式分解法解一元二次方程，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键，注意二次项系数不为0． 【详解】解：抛物线过点， ， 整理得， 解得，， ， ， 的值为3． 18．(1)， (2)或 (3) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、求二次函数解析式、二次函数和一次函数的综合题，熟练掌握二次函数和一次函数交点问题是解题的关键． （1）利用待定系数法求出二次函数解析式，并化成顶点式，写出顶点坐标即可； （2）根据二次函数的图象和性质解答即可； （3）先求出，．抛物线顶点在下方，点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），据此即可写出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴顶点为； （2）由（1）可知，，对称轴为直线，开口向上， ∴关于直线的对称点是， ∵当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大， ∴当或时，； （3）解：把代入得， ∴， 把代入得，， 或 ∵点B在点A的左侧 ∴不合题意，舍去， ∴， ∴，． ∴抛物线顶点在下方， ∴． 19．(1) (2)将二次函数向左平移3个单位后所得图像经过坐标原点，则平移后的二次函数解析式为， 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数图像的平移问题： （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）设将二次函数向左平移m个单位后所得图像经过坐标原点，则平移后的二次函数解析式为，再代入原点坐标求解即可． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：设将二次函数向左平移m个单位后所得图像经过坐标原点，则平移后的二次函数解析式为， ∴， 解得或（舍去）， ∴将二次函数向左平移3个单位后所得图像经过坐标原点，则平移后的二次函数解析式为； 20．(1) (2)， S有最小值，最小值为18 (3)可以为一个等腰三角形，t的值为或或2 【分析】（1）由题知时，，则．然后证明，在可得，进而可求出的长． （2）延长交于E，则可得四边形是矩形．由可得，则可得．由可得S与t的函数关系式，由二次函数的顶点坐标即可得S有最小值． （3）分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时，结合勾股定理，利用勾股定理列方程即可求出t的值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， 当时，， 则， ， ， ， ， ， ， 解得． （2）解：延长交于E，则四边形是矩形， ， 由题意得， ， 由（1）知， ， ， 解得， ， ， ， ， ， ， ∴当时，S有最小值，最小值为18． （3）解：①当时， ，， ， 由得， 解得（舍去），； ②当时 由得， 解得（舍去），； ③当时， ， ， 又， ， 解得． 综上，可以为一个等腰三角形， t的值为或或2． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，以及利用二次函数的解析式求最值．考查的知识点多，综合性强，熟练掌握以上知识，遇到等腰三角形时注意分类讨论是解题的关键． 21．(1) (2)， 【分析】（1）根据题意可得，点与点关于对称，可得，设抛物线解析式为，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，设，如图所示，过点作轴交于点，则，可得，再根据三角形面积的计算方法，二次函数最值的计算方法可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：在直线中，当时，，当时，， ∴， 由抛物线的对称性可知：点与点关于对称， ∴点的坐标为， ∵抛物线过， ∴可设抛物线解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴． （2）解：的解析式为，点为直线上方的抛物线上的一点， 设，如图所示，过点作轴交于点， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值是， ∴， 此时点坐标． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数与一次函数交点问题，几何图形面积的计算方法，图形结合分析的方法是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$