江西省赣州立德虔州高级中学2023-2024学年高三上学期数学周练试卷（10.9）

立德高级中学2023-2024学年第一学期数学高三周练试卷（10.9） 命题人：刘明春 审题人：高三数学组 总分120分 一、单选题（共40分，每小题5分） 1．设全集为，集合，则（    ） A． B． C．或 D． 2．复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．下列三个结论中正确的个数是（    ） ①若，则 ②“已知直线和平面，若∥，则”为真命题 ③是直线与直线互相垂直的充要条件 A．1 B．2 C．3 D．0 4．已知数列的前项和为，若，，则有（    ） A．为等差数列 B．为等比数列 C．为等差数列 D．为等比数列 5．如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．在处取得极大值 B．是函数的极值点 C．是函数的极小值点 D．函数在区间上单调递减 6．若函数为定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．设，则（   ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数满足，当时，，若，其中，则当取最小值时，（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充要条件 C．命题“，”的否定是“，使得” D．已知函数的定义域为，则“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件 10．若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（    ） A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的极大值点为 C．存在实数使得函数在定义域上单调递增 D．若恒成立，则实数的取值范围为 12．是定义在R上的奇函数，对任意，均有，当时，，则下列结论正确的是（    ） A．4是函数的一个周期 B．当时， C．当时，的最大值为 D．函数在上有1011个零点 三、填空题（共20分，每小题5分） 13．曲线过原点的切线方程为 . 14．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为．在2021年3月13日下午，江西鹰潭余江区发生里氏3.1级地震，2020年1月1日，四川自贡发生里氏级地震，若自贡地震所散发出来的相对能量程度是余江地震所散发出来的相对能量程度的100倍，则 ． 15．已知，则 ． 16．已知函数，若关于的方程有个不同的实根，则实数的取值范围是 ． 四、解答题（共40分，第17题12分，第18，19题各14分） 17．已知指数函数在其定义域内单调递增． (1)求函数的解析式； (2)设函数，当时．求函数的值域． 18．已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求的解析式及的值； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 19．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有且仅有3个零点，求实数的取值范围. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】先化简集合，再利用集合并集和补集的定义求解即可. 【详解】由可得，由可得， 所以，， 所以，， 故选：B 2．D 【分析】根据已知化简得出，即可根据复数的几何意义得出答案. 【详解】由， 可知复数在复平面内所对应的点为，该点位于第四象限． 故选：D． 3．A 【分析】对于①，由不等式的性质即可判断；对于②，由线面、线线垂直、平行的位置关系即可判断；对于③，由两直线垂直，求出的值，即可判断. 【详解】解：对于①，因为，所以， ，由不等式的性质可得，故正确； 对于②，因为，所以或∥，又因为∥，所以∥或与相交(不一定垂直)，故错误； 对于③，由直线与直线互相垂直，可得，解得或， 所以是直线与直线互相垂直的充分不必要条件，故错误. 所以说法正确的只有①. 故选：A. 4．D 【分析】根据得到，即可判断AB选项；根据，得到即可判断CD选项. 【详解】由题意，数列的前项和满足， 当时，，两式相减，可得， 可得，即，又由，当时，，所以， 所以数列的通项公式为，故数列既不是等差数列也不是等比数列，所以AB错. 当时，，又由时，，适合上式， 所以数列的前项和为；又由，所以数列为公比为3的等比数列，故D正确，C错. 故选：D. 5．C 【分析】根据导函数的正负即可求解的单调性，即可结合选项逐一求解. 【详解】由图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增， 故是函数的极小值点，无极大值. 故选：C 6．D 【分析】根据不等式的结构，构造函数，判断其奇偶性及单调性，解不等式即可. 【详解】令， 因为为偶函数，即， 故，为偶函数，当时，，则在上单调递增， 因为，即， 所以，故，解， 所以不等式的解集为. 故选：D 7．D 【分析】构造函数，根据三角函数的性质、利用导数判断单调性，作商比较大小即可得解. 【详解】解：由题意， ∵，∴， ∴，即有. 又因为，设，， 则， 当且仅当时等号成立； ∴函数在上单调递增， ∴当时，即有，当且仅当时等号成立；. ∴，即有. 又因为，设，， 则，当且仅当时等号成立； ∴函数在上单调递减， ∴当时，即有，当且仅当时等号成立；. ∴，即有. 综上知，. 故选：D. 8．D 【分析】根据已知可得周期，利用周期性和对称性，结合可得，然后妙用“1”求最值，根据最值取得条件即可得a，然后可得答案. 【详解】根据可得的图象关于对称， 因为，所以， 的周期为4， ，，， ，， ，即， ， 当且仅当，即时，等号成立， ． 故选：D． 9．AC 【分析】对于A：探求“”的充要条件即可判断；对于B：探求“”的充要条件即可判断；对于C：由全称量词命题的否定即可判断；对于D：由奇偶函数的定义即可判断. 【详解】对于A：“”等价于“或”，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B：当且时若，则这等价于，即， 解不等式得，所以“”的充要条件且，故B错误； 对于C：由全称量词命题的否定法则可知，命题“，”的否定是“，使得”，故C正确； 对于D：一方面设，它满足但不是奇函数， 另一方面若函数为上的奇函数，则有，即， 所以“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件，故D错误. 故选：AC. 10．ACD 【分析】分别根据基本不等式即可求出． 【详解】，当且仅当时取等号，故A成立； 假设，则，则，与已知矛盾，故B不成立； ，当且仅当时取等号，故C成立； ，由A可得，当且仅当时取等号，故D成立. 故选：ACD． 11．AD 【分析】由函数极值的求解以及极值点的辨析即可判断AB，由在上恒成立即可判断C，分离参数，构造函数求得其最小值，即可判断D. 【详解】因为函数，则，其中， 当时，则，令，可得， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 当时，有极小值，即最小值，故A正确； 当时，则，令，可得， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 当时，函数有极小值，则为极小值点，故B错误； 假设存在实数使得函数在定义域上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，因为的值域为， 所以函数无最小值， 故不存在实数使得函数在定义域上单调递增，故C错误； 若恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，令，则， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 当时，有极小值，即最小值，所以，故D正确； 故选：AD 12．AC 【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再结合给定区间上的函数式逐一计算判断得解. 【详解】由对任意，均有，得，即， 函数的图象关于直线对称，而是定义在R上的奇函数， 则，于是，因此4是函数的一个周期，A正确； 当时，，而当时，， 因此，B错误； 当时，，， 求导得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 于是，C正确； 当时，由，得，由，得，且， 显然函数在上递减，在上递增，结合对称性得函数在上只有0和2两个零点， 由知，函数在上只有2和4两个零点， 因此函数在上只有2个零点，在上有个零点，D错误. 故选：AC 13．或. 【分析】利用导数的几何意义计算即可. 【详解】由题意可得， 设切点为，则， 所以函数过原点的切线方程为， 解之得，则， 此时切线方程为， 若切点为原点，则，此时切线方程为. 故答案为：或. 14．4.3/ 【分析】设里氏3.1级地震以及里氏级地震所散发出来的能量分别为，，则，根据已知得出，根据对数的运算性质，化简即可得出答案. 【详解】设里氏3.1级地震所散发出来的能量为，里氏级地震所散发出来的能量为，则. 由已知可得. 所以，. 故答案为：． 15． 【分析】由指对互化可表示出，根据对数换底公式可得，加和即可求得结果. 【详解】由得：，，，， . 故答案为： 16． 【分析】作出图象，令，可知方程有个不等实根，采用数形结合的方式可确定的取值范围，结合二次函数零点的分布可构造不等式组求得结果. 【详解】作出函数的图象如下图所示，    令， 关于的方程有个不同的实根， 方程有个不同的实根， ，解得：或； 与与共有个交点， 不妨令，又， 或， 设， 当时，，解得：； 当时，，不等式组无解； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，解题的基本思路是通过换元法和数形结合的方式，将问题转化为一元二次方程根的分布的问题，通过两根的范围，结合二次函数零点分布的知识来构造不等式组求解. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数定义和单调性可解； （2）令，利用二次函数的单调性求解可得. 【详解】（1）是指数函数， ， 解得或， 又因为在其定义域内单调递增，所以， ； （2） ， ，令， ， ， ， 的值域为． 18．(1)； (2) 【分析】（1）利用换元法求出函数的解析式即可，再根据导数的几何意义即可求出的值； （2）当时，恒成立，等价于恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可得解. 【详解】（1），令，则， ， ， ，直线的斜率为，切线与此直线垂直， ，且， 解得； （2）依题意，则， ， ，等价于恒成立， 令， 且， 可得函数在上单调递增，， ， 即的取值范围为． 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 19．(1)见详解； (2) 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，注意分类讨论即可； （2）结合（1）的结论及零点存在性定理计算即可. 【详解】（1）由题意可得， ①若，则，即函数在R上单调递增， ②若，令，即， 令或， 即函数在上单调递减，在和上单调递增， 综上：时，函数在R上单调递增；时，函数在上单调递减，在和上单调递增. （2）由（1）知，欲满足题意则需： ， 当时， 当时，， 即函数存在三个零点从小到大分布在区间上， 故实数的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$