21.3实际问题与一元二次方程讲义-2024-2025学年人教版数学九年级上册

21.3实际问题与一元二次方程讲义-数学九年级上册人教版 知识梳理 由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 典例分析 1．2022年11月29日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 【解答】解：（1）20+2×4 ＝20+8 ＝28（个）； （40﹣4）×28 ＝36×28 ＝1008（元）． 答：若每个模型降价4元，平均每天可以售出28个模型，此时每天获利1008元； （2）设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）个， 根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200， 整理得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20， 又∵每个模型盈利不少于25元， ∴x＝10． 答：每个模型应降价10元． 2．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【解答】解：（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：256（1+x）2＝400， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%； （2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）件， 根据题意得：（y﹣35）（1560﹣20y）＝8400， 整理得：y2﹣113y+3150＝0， 解得：y1＝50，y2＝63（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 3．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）． （1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长（AB）和宽（BC）； （2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 【解答】解：（1）设BC＝x m，则AB＝（33﹣3x）m， 依题意，得：x（33﹣3x）＝90， 解得：x1＝6，x2＝5． 当x＝6时，33﹣3x＝15，符合题意， 当x＝5时，33﹣3x＝18，18＞15，不合题意，舍去． 答：鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m． （2）不能，理由如下： 设BC＝y m，则AB＝（33﹣3y）m， 依题意，得：y（33﹣3y）＝100， 整理，得：3y2﹣33y+100＝0． ∵△＝（﹣33）2﹣4×3×100＝﹣111＜0， ∴该方程无实数根，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场． 4．如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动 （1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？ （2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？ 【解答】解：当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm． （1）依题意，得：×（16﹣3t+2t）×6＝33， 解得：t＝5． 答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2． （2）过点Q作QM⊥AB于点M，如图所示． ∵PM＝PB﹣CQ＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm， ∴PQ2＝PM2+QM2，即102＝（16﹣5t）2+62， 解得：t1＝，t2＝（不合题意，舍去）． 答：P，Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm． 精选好题 一、单选题 1．某工厂一月份生产机器100台，计划三月份生产机器225台，设二、三月份的平均增长率为x，则根据题意列出方程是（    ） A． B． C． D． 2．新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年月份一品牌的新能源车单台的生产成本是万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降， 月份的生产成本为 万元．假设该公司今年一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为，则根据题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．电影《热辣滚烫》讲述了宅家多年的女孩杜乐莹（由贾玲饰演）在遇到拳击教练昊坤（由雷佳音饰演）后，如何克服生活挑战，重拾自我，开启全新人生的故事．2024年春节（2月10日）一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约4亿元，以后每月票房按相同的增长率增长，历时2个月，至4月10最后一天公映，累计票房收入达34.6亿元，若把平均每月的增长率记作，则方程正确的为（    ） A． B． C． D． 4．古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”聪明的你认为竿长为（　　） A．2尺 B．10尺 C．2尺或10尺 D．无法确定 5．股市每天的涨、跌幅均不超过，即当上涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当下跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 6．在一幅长70cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 7．为了测一个矿井的深度，将一块石头从井口丢下去，6.5秒后听到它落地的声音，已知音速为330米/秒，石头从井口落下的距离s与时间t的关系式为（g为10米秒）．若设石头从井口落到并底用了x秒，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．某连锁超市购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为元时，每天可售出盒，每盒的售价每降低元，每天的销量增加盒，要使该款大礼包每天的销售额达到元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息条，则可列方程 ． 10．某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），若比赛共进行了28场，则参赛的班级有 个． 11．某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率为x，则根据题意可列方程为： ． 12．镇江香醋甲天下，为开拓醋的养生功能，某醋厂开发出樱桃醋．为打开市场，该樱桃醋经过两次降价，售价由原来的每瓶25元降至每瓶16元，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为，则可列方程 ． 13．如图，在矩形中，，，点E在边上，且．连接，将沿折叠，若点B的对应点落在矩形的边上，则m的值为 ． 14．《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．例如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元．某科研所三位技术人员甲、乙、丙攻关成功，共获得奖金175万元，甲、乙、丙按照一定的“衰分比”分配奖金，若甲分得奖金100万元，则“衰分比”是 ． 15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．书中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何?译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图，则门的高度是 尺． 16．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为 ． 三、解答题 17．“爱在烟台，难以离开”，醉美所城里在2024年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年“五一”小长假期间，接待游客万人次，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖10元，平均每天将销售60碗；若价格每提高1元，则平均每天少销售4碗． (1)求出2024至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率； (2)为了更好地维护烟台形象，物价局规定每碗售价不得超过15元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润360元？ 18．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，售价为40万元时，年销售量为600台；经过市场调研发现，这种设备每涨价1万元，年销量就会减少10台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元/台）成一次函数关系． (1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元/台，如果该公司想获得10000万元的年利润，那么该设备的销售单价应是多少万元/台？ 19．某校有一个两面有围墙的空地，如图1，墙长为米，墙长为米，现计划用长米的栅栏围出一块矩形基地给八年级的学生进行劳动实践． (1)当围成的矩形基地如图1所示，在边开一道米宽的门，若此时的矩形面积为米，求围成的矩形基地边的长． (2)当围成的矩形基地如图2所示，中间用栅栏分成两块基地用于种植不同的植物，在两块基地边上各开道米宽的门，若此时的矩形总面积为米，求围成的矩形基地边的长． 20．某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售，其销售单价不低于成本．按照物价部门规定，销售利润率不高于，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）（x为整数）符合一次函数关系，如图所示． (1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 21．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知空地长，宽，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为640． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10000元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D B C A C D 1．A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设二、三月份的平均增长率为x，则二月份生产机器台，三月份生产机器台，据此列出方程即可． 【详解】解：设二、三月份的平均增长率为x， 由题意得，， 故选：A． 2．A 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设每个月生产成本的下降率为，由题意可列方程，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每个月生产成本的下降率为， 由题意得：， 故选：． 3．D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设平均每天票房的增长率为，根据一元二次方程增长率问题，列出方程即可求解． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为， 根据题意得：， 故选：D． 4．B 【分析】设竿长为尺，根据题意可得，则房门的宽为尺，高为尺，对角线长为尺，然后根据勾股定理列出方程．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是根据题意表示出各个边的长度以及勾股定理的应用． 【详解】解：设竿长为尺， 由题意得，． 解这个方程，得，， 当时，，（舍去） ． 答：竹竿有10尺． 故选：B 5．C 【分析】设某天跌停前的价格为a元，根据题意列方程即可求解． 【详解】解：设某天跌停前的价格为a元， 由题意得，， 即， ∴， 故选：C． 6．A 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是找出题目中的等量关系．根据题意可得整个挂图的长为，宽为，根据矩形的面积公式可得，然后再整理即可． 【详解】解：由题意得： ， 整理得：， 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据石头从井口落下的距离与时间的关系式列方程即可． 【详解】解：根据题意得，． 故选：C． 8．D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设该款大礼包每盒降价元，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为 故选：D． 9． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意可得一个人发送信息条，则人发送信息条，即可求解. 【详解】解：∵每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息， ∴一个人发送信息条， 则人发送信息条， ∴ 故答案为：. 10．8 【分析】本题考查一元二次方程的实际运用，设参赛的班级有个，根据“每两班之间都赛一场，比赛共进行了28场，”列式求解，即可解题． 【详解】解：设参赛的班级有个， 由题意可得，， 整理得，解得，（不合题意，舍去）， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台，列出方程即可． 【详解】解：设二、三月份每月的平均增长率为x，由题意，得：； 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设每次降价的百分率为，根据经过两次降价后的价格原价（每次降价的百分率）2，即可得出关于的一元二次方程，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程；设， 由已知得，，由勾股定理得及，即可求解；掌握性质，能将已知条件转化到直角三角形中用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：如图， 设， ， ，， 由折叠得：， ， 四边形是矩形， ， ， 在中， ， ， 在中 ， 解得：，（舍去）， ； 故答案：． 14． 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设“衰分比”为x，则乙获得奖金，丙获得奖金，根据甲、乙、丙共获得奖金175万元，列出方程求解，根据实际选择适合的值即可． 【详解】解：设“衰分比”为x，则乙获得奖金，丙获得奖金， 根据题意得：， 解得：或（舍去，不符合实际）， “衰分比”是， 故答案为：． 15．8 【分析】本题考查勾股定理的应用及一元二次方程应用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高． 【详解】解：设门对角线的长为尺，则门高为尺，门宽为尺， 根据勾股定理可得： ， 即， 解得：（不合题意舍去），， （尺， 答：门高8尺． 故答案为：8 16． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是， 依题意，得：， 化简，得：， 解得：，． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 答：纸盒的底面积是时，纸盒的高为． 故答案为：． 17．(1)年平均增长率为 (2)当每碗售价定为15元时，店家才能实现每天利润360元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设年平均增长率为，则2025年接待游客万人，2026年接待游客万人，据此列出方程求解即可； （2）设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润600元，根据利润（售价成本价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设年平均增长率为， 依题意有． 解得，（舍去）． 答：年平均增长率为； （2）解：设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润600元， 依题意得：， 解得，， 每碗售价不得超过15元， 当每碗售价定为15元时，店家才能实现每天利润360元． 18．(1) (2)该公可若想获得10000万元的年利润，此设备的销售单价应是50万元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用， （1）利根据题意可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）设此设备的销售单价为万元台，则每台设备的利润为万元，销售数量为台，根据总利润单台利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解方程，取其小于的值即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意， （2）解：设此设备的销售单价为万元台，则每台设备的利润为万元，销售数量为台， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，． 此设备的销售单价不得高于万元， ． 答：该设备的销售单价应是万元台． 19．(1)米 (2)米或米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设围成的矩形基地边的长为米，则点和点之间栅栏的长度为米，故的长为米，根据此时的矩形面积为米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设围成的矩形基地边的长为米，则点和点之间栅栏的长度为米，则点和点之间栅栏的长度为米，的长为米，根据此时的矩形面积为米，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设围成的矩形基地边的长为米，则点和点之间栅栏的长度为米，故的长为米， 由题意得：，且， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 故围成的矩形基地边的长为米． （2）解：设围成的矩形基地边的长为米，则点和点之间栅栏的长度为米，则点和点之间栅栏的长度为米，的长为米， 由题意得：，且， 整理得：， 解得：，， 故围成的矩形基地边的长为米或米． 20．(1) (2)80元 【分析】本题考查一次函数、一元二次方程的实际应用： （1）由待定系数法可得函数的解析式； （2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列一元二次方程可解． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 将，代入，得：， 解得， 销售单价不低于成本，销售利润率不高于， ， ， y与x的函数关系式为； （2）解：由题意列方程：， 整理得， 解得或， 由（1）得， ， 即销售单价应定为80元． 21．(1)米 (2)50元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可； 【详解】（1）解：根据道路的宽为米， ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． （2）解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为10000元， 根据题意得：， 解得， 答：每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入为10000元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$