专题01 数的整除（考点清单，新教材补充，知识导图+6个考点清单+10种题型解读）-2024-2025学年六年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版2024）

专题01 数的整除（考点清单，知识导图+6个考点清单+10种题型解读） 【清单01】整数和整除的意义 1.； 2.整除：整数a除以整数b，若除得的商是整数且余数为零. 即称：a能被b整除；或b能整除a. 整除的条件： 整除与除尽的关系 【清单02】因数和倍数 因数与倍数：整数a能被整数b整除，a就叫b的倍数，b就叫a的因数（约数）. 因数与倍数的特征： 【清单03】能被2、5整除的数 能被2整除的数， 能5整除的数的特征：个位上数字是0，5； 能同时被2、5整除的数：个位上数字是0. *能被3整除的数：一个整数的各个数位上数字之和能被3整除，这个整数就能被3整除. *能同时被2、3和5整除的数：个位数是0，且各个数位上数字之和能被3整除. 【清单04】素数、合数与分解素因数 1. 2. 【清单05】公因数与最大公因数 1. 2. 【清单06】公倍数与最小公倍数 重要结论： 【考点题型一】数的整除（共4小题） 【例1】（2023秋•闵行区期中）在下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．6和3 B．3和6 C．0.4和2 D．2和0.4 【变式1-1】（2023秋•黄浦区期中）下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是　　 A．32和8 B．0.2和4 C．11和44 D．49和14 【变式1-2】（2023秋•杨浦区期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．5和20 B．7和2 C．34和17 D．1.2和3 【变式1-3】（2023秋•崇明区期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．4和8 B．3.9和1.3 C．54和9 D．6和4 【考点题型二】因数（共6小题） 【例2】．（2023秋•黄浦区期中）36的全部因数的个数有　　 A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【变式2-1】（2023秋•崇明区期中）24的因数有 　 　． 【变式2-2】（2022秋•长宁区校级期中）12和20的公因数有 　 　． 【变式2-3】（2023秋•青浦区校级期中）规定一种新运算：对于不小于3的正整数，表示不是的因数的最小正整数，如5的因数是1和5，所以（5）；再如（8）的因数是1、2、4和8，所以（8）等等，请你在理解这种新运算的基础上，求（9）　　． 【变式2-4】（2022秋•青浦区期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”．所以，16的“完美指标”是 　　． 【变式2-5】（2021秋•长宁区校级期中）规定用表示数的因数的个数，例如，计算　　． 【考点题型三】倍数（共5小题） 【例3】（2022秋•青浦区期中）下列数中，既是3的倍数，又是60的因数的数是　　 A．9 B．15 C．20 D．45 【变式3-1】（2023秋•普陀区期中）如果一个数是13的倍数，又是26的因数，这个数　　 A．只有一个 B．有两个 C．有无数个 D．不存在 【变式3-2】（2023秋•金山区期中）一个电子钟，每到整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯，中午12时整，它既响铃又亮灯，下一次既响铃又亮灯是　　 A． B． C． D． 【变式3-3】（2022秋•宝山区期中）在正整数18、4、3中，　　是 　　的倍数． 【变式3-4】（2023秋•长宁区校级期中）20以内的正整数中，2和3的公倍数有 　 　． 【考点题型四】能被2、5、3整除的数（共9小题） 【例4】（2023秋•普陀区期中）能同时被2、3、5整除的最大三位数和最小的三位数是　　 A．996、120 B．990、102 C．990、120 D．995、105 【变式4-1】（2023秋•杨浦区校级期中）既能被6整除，又能被9整除的数，它 　 　能被54整除（填“一定”或“不一定”或“一定不” ． 【变式4-2】（2022秋•宝山区期中）在能够同时被2和5整除的所有两位数中，最大的是 　　． 【变式4-3】（2022秋•黄浦区期中）身边的数学：110是报警电话，120是急救电话，114是查询电话，96315是投诉电话，119是火警电话，在这些电话号码中，能同时被2和5整除的是 　 　（填电话号码） 【变式4-4】（2023秋•奉贤区期中）45、20、25、32四个数中能被2、5整除的数是 　　． 【变式4-5】（2023秋•普陀区期中）在数14，20，32，45，230中，既能被2整除，又能被5整除的数有 　 　． 【变式4-6】（2023秋•闵行区期中）一个三位数2□□能同时被2、3、5整除，那么后两位数最小应该是 　　． 【变式4-7】（2023秋•长宁区校级期中）能同时被3和5整除的最大两位奇数是 　　． 【变式4-8】（2022秋•长宁区校级期中）在30、17、25、47、45、54、81、90中，能同时被3，5整除的数有 　 　． 【考点题型五】质数（素数）（共6小题） 【例5】（2022秋•静安区期中）两个奇数的和是　　 A．奇数 B．素数 C．偶数 D．素因数 【变式5-1】（2022秋•宝山区期中）由式子，我们说2和3都是6的　　 A．素数 B．素因数 C．互素 D．公因数 【变式5-2】（2023秋•青浦区校级期中）在下列各组数中，三个数是两两互素的是　　 A．1，2，6 B．4，6，7 C．7，29，87 D．3，26，49 【变式5-3】（2022秋•嘉定区期中）著名的“哥德巴赫猜想”被喻为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都是两个素数之和，下列4个算式中，符合这个猜想的是　　 A． B． C． D． 【变式5-5】（2023秋•普陀区期中）若，，则和共有的素因数有 　 　． 【考点题型六】合数（共5小题） 【例6】（2023秋•崇明区期中）下面各数中，与6互素的合数是　　 A．5 B．10 C．25 D．30 【变式6-1】（2023秋•闵行区期中）最小的素数与最小的合数的和是 　　． 【变式6-2】（2023秋•宝山区期中）在2、18、37中，合数是 　　． 【变式6-3】（2023秋•杨浦区期中）一个两位数，十位数是最小的合数，个位数是最小的素数，则这个两位数是 　　． 【变式6-4】（2023秋•长宁区校级期中）一个数的千位数是最小奇数，百位数是最小合数，十位数是最小素数，个位数是最小自然数，这个数是 　 　． 【考点题型七】最大公因数（共5小题） 【例7】（2023秋•闵行区期中）55和56的最大公因数是 　　． 【变式7-1】（2022秋•嘉定区期中）甲数，乙数，甲数和乙数的最大公因数是 　　． 【变式7-2】（2022秋•奉贤区校级期中）在中填入适当的数，并填空： 　　，　　，和的最大公因数是 　　． 【变式7-3】（2022秋•宝山区期中）已知自然数，，则、的最大公因数是 　　． 【变式7-4】（2023秋•杨浦区期中）一个正整数，若它的所有因数中最小的两个因数的和是4，最大的两个因数的和是100，则的值为 　　． 【考点题型八】最大公因数的应用（共5小题） 【例8】（2023秋•松江区校级期中）有一张长方形纸片，长为36厘米，宽为24厘米，如果要把这张纸片裁剪成大小相等的正方形纸片，而且没有剩余，裁出的正方形纸片的张数最少为 　　张． 【变式8-1】（2023秋•黄浦区期中）上海作为2024年奥运会资格系列赛主办城市之一，为提升城市形象，计划增加绿化覆盖率．如图，上海某街道在处拐弯，米，米，沿街道一侧等距离种植梧桐树，要求在，，处各种植一棵梧桐树，请问这条街最少要种植多少棵梧桐树？ 【变式8-2】（2023秋•奉贤区期中）要用边长为整数分米的同一种正方形地砖铺满长为48分米，宽为60分米的长方形储藏室，请问可以选用边长为多少分米的地砖？如果要求地砖的边长超过5分米，那么地砖最少需要多少块？ 【变式8-3】（2023秋•青浦区校级期中）一个长方形操场，长90米，宽70米，在四角和四周种上树苗，使得相邻的两棵树苗间的距离都相等，问最远应每隔多少米种一棵？一共需要多少棵树苗． 【变式8-4】（2023秋•金山区期中）有两根铁丝，一根长18米，一根长24米．现在要把它们截成同样长的小段，每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？ 【考点题型九】最小公倍数（共5小题） 【例9】（2023秋•青浦区校级期中）一个数的最小倍数是24，这个数的素因数有 　 　． 【变式9-1】（2023秋•闵行区期中），，则、两数的最小公倍数是 　　． 【变式9-2】（2023秋•普陀区期中）有一对互素数的最小公倍数是20，则这两个数是 　 　． 【变式9-3】（2023秋•金山区期中）用短除法求36和60的最大公因数和最小公倍数． 【变式9-4】（2023秋•崇明区期中）已知某校六年级学生人数超过170人，而不足180人，将他们按照每组12人分组，多3人，将他们按照每组8人分组，也多3人，问：该校六年级学生有多少人？ 【考点题型十】最小公倍数的应用（共5小题） 【例10】（2022秋•青浦区期中）学校组织六年级部分学生参加春季植树活动，规定参加此活动的人数在30至50人之间．实际参加植树的学生，如果分成4人一组；或者6人一组；或者8人一组，都恰好分完，那么实际参加植树的学生共有 　　人． 【变式10-1】（2022秋•奉贤区校级期中）一箱苹果估计约有50个，如果每次拿3个和每次拿4个都正好拿完没有剩余，那么这箱苹果有 　　个． 【变式10-2】（2022秋•徐汇区校级期中）21个学生横向排成一行，规定：从左面第一个人开始发蓝旗子，然后每隔3人发一个，再从右面第一个人开始发红旗子，然后每隔4人发一个，则既拿到蓝旗子又拿到红旗子的学生有 　　． 【变式10-3】（2023秋•杨浦区期中）在1.5千米长的公路两侧等距离种树（两端都种树），原来每隔10米一棵，后来市政调整，改成每隔12米一棵，那么不用移动的树有几棵？ 【变式10-4】（2023秋•浦东新区期中）有一块长48厘米，宽28厘米的长方形地砖， （1）若把它截成边长是整数厘米且面积都相等的小正方形地砖，恰无剩余，至少能截多少块？ （2）如果用这个长方形地砖铺成一个大的正方形地面，那么至少需要这样的长方形地砖多少块？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数的整除（考点清单，知识导图+6个考点清单+10种题型解读） 【清单01】整数和整除的意义 1.； 2.整除：整数a除以整数b，若除得的商是整数且余数为零. 即称：a能被b整除；或b能整除a. 整除的条件： 整除与除尽的关系 【清单02】因数和倍数 因数与倍数：整数a能被整数b整除，a就叫b的倍数，b就叫a的因数（约数）. 因数与倍数的特征： 【清单03】能被2、5整除的数 能被2整除的数， 能5整除的数的特征：个位上数字是0，5； 能同时被2、5整除的数：个位上数字是0. *能被3整除的数：一个整数的各个数位上数字之和能被3整除，这个整数就能被3整除. *能同时被2、3和5整除的数：个位数是0，且各个数位上数字之和能被3整除. 【清单04】素数、合数与分解素因数 1. 2. 【清单05】公因数与最大公因数 1. 2. 【清单06】公倍数与最小公倍数 重要结论： 【考点题型一】数的整除（共4小题） 【例1】（2023秋•闵行区期中）在下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．6和3 B．3和6 C．0.4和2 D．2和0.4 【分析】根据有理数的除法法则即可求出答案． 【解答】解：，故此选项符合题意； ，故此选项不符合题意； ．由于0.4不是整数，故此选项不符合题意． ．由于0.4不是整数，故此选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查整除的性质及应用，解题的关键是正确理解整除的定义，本题属于基础题型． 【变式1-1】（2023秋•黄浦区期中）下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是　　 A．32和8 B．0.2和4 C．11和44 D．49和14 【分析】用第一个数去除第二个数，看结果是否符合整除的要求即可． 【解答】解：中，故第一个数不能整除第二个数； 中0.2不是整数，故第一个数不能整除第二个数； 中，故第一个数能整除第二个数； 中，故第一个数不能整除第二个数； 故答案为：． 【点评】本题主要考查了整除的定义，解题关键是根据整除的定义逐一判断． 【变式1-2】（2023秋•杨浦区期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．5和20 B．7和2 C．34和17 D．1.2和3 【分析】掌握数的整除定义，再逐项判断即可． 【解答】解：，0.25不是整数，5不能被20整除， 故选项不符合题意； ，3.5不是整数，7不能被2整除， 故选项不符合题意； ，34能被17整除， 故选项符合题意； 1.2不是整数，不能说1.2能被3整除， 故选项不符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了数的整除，熟练掌数的整除的定义是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． 【变式1-3】（2023秋•崇明区期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．4和8 B．3.9和1.3 C．54和9 D．6和4 【分析】根据数的整除的定义，直接判断即可． 【解答】解：．，不符合定义，故选项不正确； ．3.9和1.3不是整数，不符合定义，故选项不正确； ，符合定义，故选项正确； ，不符合定义，故选项不正确； 故选：． 【点评】本题考查了数的整除的定义：若整数除以大于0的整数，商为整数，且余数为零．我们就说能被整除（或说能整除，记作，读作“整除”或“能被整除”． 【考点题型二】因数（共6小题） 【例2】．（2023秋•黄浦区期中）36的全部因数的个数有　　 A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【分析】根据因数的意义即可求出36的不同因数的个数． 【解答】解：根据因数的定义，可得36的全部因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36，共9个． 故选：． 【点评】考查了因数的意义，关键是得出36的不同因数． 【变式2-1】（2023秋•崇明区期中）24的因数有 　1，2，3，4，6，8，12，24　． 【分析】两个正整数相乘，那么这两个数都叫做积的因数因数，根据定义直接写出即可． 【解答】解：24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24． 故答案为：1，2，3，4，6，8，12，24． 【点评】本题考查了因数，解题的关键是掌握因数的定义． 【变式2-2】（2022秋•长宁区校级期中）12和20的公因数有 　1，2，4　． 【分析】分别求出12和20的公因数，然后求解即可． 【解答】解：的因数有：1，2，3，4，6，12； 20的因数有：1，2，4，5，10，20； 和20的公因数有1，2，4． 故答案为：1，2，4． 【点评】此题考查了求两个公因数的方法，熟练掌握求公因数的方法是解题的关键． 【变式2-3】（2023秋•青浦区校级期中）规定一种新运算：对于不小于3的正整数，表示不是的因数的最小正整数，如5的因数是1和5，所以（5）；再如（8）的因数是1、2、4和8，所以（8）等等，请你在理解这种新运算的基础上，求（9）　7　． 【分析】直接利用新定义得出（9），，进而得出答案． 【解答】解：对于不小于3的正整数，表示不是的因数的最小正整数， 的因数有：1，3，9， （9）， 的因数有：1，2，3，4，6，12， ， （9）． 故答案为：7． 【点评】此题主要考查了一个数的因数的个数，正确理解题意是解题关键． 【变式2-4】（2022秋•青浦区期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”．所以，16的“完美指标”是 　　． 【分析】先确定16的真因数，然后根据新定义求解即可． 【解答】解：的因数为1，2，4，8，16， 的真因数为1，2，4，8， 的“完美指标”是． 故答案为：． 【点评】本题考查了因数，解题的关键掌握因数的定义确定的因数． 【变式2-5】（2021秋•长宁区校级期中）规定用表示数的因数的个数，例如，计算　2　． 【分析】先求出84，51，91的因数，分别确定、、的值，再计算即可． 【解答】解：，84的因数的个数为12， ； ，51的因数的个数为4， ； ，91的因数的个数为4， ； ， 故答案为：2． 【点评】此题考查了有理数的混合运算、新定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【考点题型三】倍数（共5小题） 【例3】（2022秋•青浦区期中）下列数中，既是3的倍数，又是60的因数的数是　　 A．9 B．15 C．20 D．45 【分析】根据倍数和因数的定义解答即可． 【解答】解：、9是3的倍数，但不是60的因数，故本选项不符合题意； 、15是3的倍数，也是60的因数，故本选项符合题意； 、20不是3的倍数，是60的因数，故本选项不符合题意； 、45是3的倍数，但不是60的因数，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了因数和倍数，解题的关键是掌握因数和倍数的定义．一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数倍数． 【变式3-1】（2023秋•普陀区期中）如果一个数是13的倍数，又是26的因数，这个数　　 A．只有一个 B．有两个 C．有无数个 D．不存在 【分析】先找出26的所有因数，再找到这些因数中是13的倍数的数即可得到答案． 【解答】解：26的因数有1，2，13，26，其中只有13，26是13的倍数， 所以如果一个数是13的倍数，又是26的因数，这个数是13或26， 故选：． 【点评】本题主要考查了因数与倍数，正确找出同时是26的因数，13的倍数的所有数是解题的关键． 【变式3-2】（2023秋•金山区期中）一个电子钟，每到整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯，中午12时整，它既响铃又亮灯，下一次既响铃又亮灯是　　 A． B． C． D． 【分析】先将1小时化成分钟，再求出它们的最小公倍数，然后再解答即可． 【解答】解：1小时分钟， 9和60的最小公倍数是180， （小时）， （时． 故答案为：． 【点评】本题主要考查倍数，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式3-3】（2022秋•宝山区期中）在正整数18、4、3中，　18　是 　　的倍数． 【分析】一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数倍数，根据倍数的概念判断即可． 【解答】解：在正整数18、4、3中，18是3的6倍， 所以18是3的倍数． 故答案为：18，3． 【点评】本题考查了倍数，解题的关键是掌握倍数的定义并灵活运用． 【变式3-4】（2023秋•长宁区校级期中）20以内的正整数中，2和3的公倍数有 　6，12，18　． 【分析】先找到2和3的最小公倍数；再用这个最小公倍数乘2、乘3、乘，在20以内的就是答案． 【解答】解：2和3的最小公倍数是：6， ， ， ， 故答案为：6，12，18． 【点评】本题考查了倍数的问题，解题的关键是找到两个数的最小公倍数． 【考点题型四】能被2、5、3整除的数（共9小题） 【例4】（2023秋•普陀区期中）能同时被2、3、5整除的最大三位数和最小的三位数是　　 A．996、120 B．990、102 C．990、120 D．995、105 【分析】能同时被2，3，5整除的数一定是30的倍数，据此求解即可． 【解答】解：能同时被2，3，5整除的数一定是的倍数， 所以能同时被2、3、5整除的最大三位数和最小的三位数分别是990、120， 故选：． 【点评】本题主要考查了能同时被2，3，5整除的数的特点，解题的关键在于熟知能同时被2，3，5整除的数一定是30的倍数． 【变式4-1】（2023秋•杨浦区校级期中）既能被6整除，又能被9整除的数，它 　不一定　能被54整除（填“一定”或“不一定”或“一定不” ． 【分析】求出6和9的最小公倍数可得答案． 【解答】解：既能被6整除，又能被9整除的数可以是18，36等，但36不能被54整除， 既能被6整除，又能被9整除的数，它不一定能被54整除． 故答案为：不一定． 【点评】本题考查数的整除性问题．解决本题的关键是掌握整除的定义． 【变式4-2】（2022秋•宝山区期中）在能够同时被2和5整除的所有两位数中，最大的是 　90　． 【分析】先确定能够同时被2和5整除的所有两位数，然后作出判断即可． 【解答】解：能够同时被2和5整除的所有两位数是10，20，30，40，50，60，70，80，90． 故最大的是90． 故答案为：90． 【点评】本题考查了数的整除，若整数除以非零整数，商为整数，且余数 为零，我们就说能被整除整除（或说能整除整除，为被除数，为除数． 【变式4-3】（2022秋•黄浦区期中）身边的数学：110是报警电话，120是急救电话，114是查询电话，96315是投诉电话，119是火警电话，在这些电话号码中，能同时被2和5整除的是 　110，120　（填电话号码） 【分析】根据能被2和被5整除的数的特征：该数的个位数字是0，进行选择即可． 【解答】解：110是报警电话，120是急救电话，114是查询电话，96315是投诉电话，119是火警电话， 在这些电话号码中，能被2整除的有110，120，114， 能被5整除的有110，120，96315， 能同时被2和5整除的是 110，120． 故答案为：110，120． 【点评】本题主要考查了数的整除，解答此题的关键是明确能被2和被5整除的数的特征． 【变式4-4】（2023秋•奉贤区期中）45、20、25、32四个数中能被2、5整除的数是 　20　． 【分析】根据若整数“”除以大于0的整数“”，商为整数，且余数为零．我们就说能被整除（或说能整除，记作，读作“整除”或“能被整除”解答即可． 【解答】解：能同时被2和5整除的数的特征是个位的数字是0，然后根据题目中的数据，即可得到能同时被2、5整除的数是20． 故答案为：20． 【点评】本题考查整数的除法，解答本题的关键是明确能同时被2和5整除的数的特征．能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数；能被5整除的数的特征：个位上是0或5的数． 【变式4-5】（2023秋•普陀区期中）在数14，20，32，45，230中，既能被2整除，又能被5整除的数有 　20，230　． 【分析】能被2整除，个位数是偶数．能被5整除，个位数是0和5．既能被2整除，又能被5整除的数，个位数是0． 【解答】解：既能被2整除，又能被5整除的数有20，230． 故答案为：20，230． 【点评】本题主要考查了2、5倍数的特征，记准能被2整除，又能被5整除的数的特征很重要． 【变式4-6】（2023秋•闵行区期中）一个三位数2□□能同时被2、3、5整除，那么后两位数最小应该是 　10　． 【分析】由能被2、3、5整除数的特点，即可得到答案． 【解答】解：三位数2□□能同时被2、3、5整除， 三位数的个位数是0，各数位上数的和能被3整除， 后两位数最小应该是10． 故答案为：10． 【点评】本题考查数的整除，关键是掌握能被2、3、5整除数的特点． 【变式4-7】（2023秋•长宁区校级期中）能同时被3和5整除的最大两位奇数是 　75　． 【分析】先找到3和5的最小公倍数；再去乘2、乘，找到符合条件的数． 【解答】解：3和5的最小公倍数：15， ； ； ； ； ； ， 故答案为：75． 【点评】本题考查了数的整除，解题的关键是运用最小公倍数来解答． 【变式4-8】（2022秋•长宁区校级期中）在30、17、25、47、45、54、81、90中，能同时被3，5整除的数有 　30，45，90　． 【分析】能被3整除的数的特点为各个数位上的和能被3整除；能被5整除的数的特点为个位上的数字为0或5；然后找出同时满足两个条件的数即可． 【解答】解：能被3整除的数有：30，45，54，81，90， 能被5整除的数有：30，25，45，90， 能同时被3，5整除的数有：30，45，90， 故答案为：30，45，90． 【点评】题目主要考查整除的定义及特点，理解能被3整除与能被5整除的数的特点是解题关键． 【考点题型五】质数（素数）（共6小题） 【例5】（2022秋•静安区期中）两个奇数的和是　　 A．奇数 B．素数 C．偶数 D．素因数 【分析】根据奇数，偶数的性质求解． 【解答】解：奇数奇数偶数． 故选：． 【点评】本题考查了有理数的加法，理解奇数和偶数的性质是解题的关键． 【变式5-1】（2022秋•宝山区期中）由式子，我们说2和3都是6的　　 A．素数 B．素因数 C．互素 D．公因数 【分析】由，可得出2和3都是6的因数，结合2，3均为素数，即可得出2和3都是6的素因数． 【解答】解：， 和3都是6的因数； 又，3均为素数， 我们说2和3都是6的素因数． 故选：． 【点评】本题考查了质数（素数）以及因数，牢记质因数（素因数）的定义是解题的关键． 【变式5-2】（2023秋•青浦区校级期中）在下列各组数中，三个数是两两互素的是　　 A．1，2，6 B．4，6，7 C．7，29，87 D．3，26，49 【分析】互素的意思是公因数只有1的两个整数，根据这一概念逐一分析选项即可． 【解答】解：、2和6公因数有1，2，三个数不是两两互素，故选项不符合题意， 、4和6的公因数有1，2，三个数不是两两互素，故选项不符合题意， 、29和87的公因数有1，29，三个数不是两两互素，故选项不符合题意， 、的三个数中任意两个数的公因数只有1，三个数是两两互素，故选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了两两互素的概念，解题的关键在于正确分析两个数之间的公因数． 【变式5-3】（2022秋•嘉定区期中）著名的“哥德巴赫猜想”被喻为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都是两个素数之和，下列4个算式中，符合这个猜想的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据质数的概念和任何大于2的偶数的概念得出答案即可． 【解答】解：在4个算式中，符合这个猜想的是， 故选：． 【点评】此题考查质数的概念．解题的关键是了解素数、合数的定义，难度较小． 【变式5-4】（2023秋•杨浦区校级期中）写出大于80小于90的正整数中的所有素数 　83，89　． 【分析】根据素数的定义“除了1和该数本身以外不再有其他的因数的数被称为素数”进行解答． 【解答】解：大于80小于90的正整数中的素数有：83，89． 故答案为：83，89． 【点评】本题考查了素数，掌握素数的定义除了1和该数本身以外不再有其他的因数的数被称为素数是解题的关键． 【变式5-5】（2023秋•普陀区期中）若，，则和共有的素因数有 　2、2、3　． 【分析】根据素因数的定义进行解题即可． 【解答】解：素因数也叫质因数或质因子，是指能整除给定正整数的质数． 由题意知，， 则和共有的素因数有2、2、3． 故答案为：2、2、3． 【点评】本题考查素因数的定义，熟练掌握素因数的定义是解题的关键． 【考点题型六】合数（共5小题） 【例6】（2023秋•崇明区期中）下面各数中，与6互素的合数是　　 A．5 B．10 C．25 D．30 【分析】在自然数中，只有公因数1的两个数为互质数，据此解答即可． 【解答】解：在5，10，25，30中，与6互素的合数是25， 故选：． 【点评】本题考查了互质数的意义，熟练掌握互质数的意义是解题的关键． 【变式6-1】（2023秋•闵行区期中）最小的素数与最小的合数的和是 　6　． 【分析】根据素数、合数的含义，可得：最小的素数是2，最小的合数是4，用2加上4，求出它们的和是多少即可． 【解答】解：最小的素数是2，最小的合数是4， 它们的和是：． 故答案为：6． 【点评】此题主要考查了合数和质数的认识，要熟练掌握． 【变式6-2】（2023秋•宝山区期中）在2、18、37中，合数是 　18　． 【分析】合数：至少有3个因数． 【解答】解：2的因数有：1，2．故不是合数； 18的因数有：1，2，3，6，9，18，故是合数； 37的因数有：1，37，故不是合数． 故答案为：18． 【点评】本题考查合数，掌握合数的定义是解题的关键． 【变式6-3】（2023秋•杨浦区期中）一个两位数，十位数是最小的合数，个位数是最小的素数，则这个两位数是 　42　． 【分析】根据合数和素数的定义解答即可． 【解答】解：十位数是最小的合数， 十位数是4； 个位数是最小的素数， 个位数是2， 这个两位数是42． 故答案为：42． 【点评】此题主要考查了合数与质数的初步认识，正确把握相关定义是解题关键． 【变式6-4】（2023秋•长宁区校级期中）一个数的千位数是最小奇数，百位数是最小合数，十位数是最小素数，个位数是最小自然数，这个数是 　1420　． 【分析】根据奇数、合数、素数和自然数的定义来解答． 【解答】解：最小奇数是1， 最小合数是4， 最小素数是2， 最小自然数是0， 这个数是1420， 故答案为：1420． 【点评】本题考查了合数和质数、奇数和自然数的问题，解题的关键是根据它们的定义来解答． 【考点题型七】最大公因数（共5小题） 【例7】（2023秋•闵行区期中）55和56的最大公因数是 　1　． 【分析】根据最大公因数的定义进行解题即可． 【解答】解：55的公因数有：1，5，11，55， 56的公因数有：1，2，4，7，8，14，28，56． 故55和56的最大公因数是1． 故答案为：1． 【点评】本题考查最大公因数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【变式7-1】（2022秋•嘉定区期中）甲数，乙数，甲数和乙数的最大公因数是 　6　． 【分析】求最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，由此解决问题即可． 【解答】解：甲数，乙数， 根据最大公因数的定义，可得甲数和乙数的最大公因数是：； 故答案为：6． 【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数． 【变式7-2】（2022秋•奉贤区校级期中）在中填入适当的数，并填空： 　30　，　　，和的最大公因数是 　　． 【分析】根据短除法的定义可得，的值． 【解答】解：由题意，得； ； 故和的最大公因数是30． 故答案为：30；60；30． 【点评】考查了求两个数的最大公因数的方法的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；数字大的可以用短除法解答． 【变式7-3】（2022秋•宝山区期中）已知自然数，，则、的最大公因数是 　6　． 【分析】找出与的最大公因数即可． 【解答】解：，， 与的最大公因数为． 故答案为：6． 【点评】本题考查了最大公因数，掌握找最大公因数的方法是关键． 【变式7-4】（2023秋•杨浦区期中）一个正整数，若它的所有因数中最小的两个因数的和是4，最大的两个因数的和是100，则的值为 　75　． 【分析】最小的两个因数中一定有一个是1，因此另一个是3，说明最大的因数是第二大的因数的3倍，而最大的两个因数之和为100，，所以最大的两个约数是25和75，这个正整数就是75． 【解答】解：最小的两个因数中一定有一个是1，因此另一个是，最大的两个因数是： ， ． 所以最大的两个因数是25和75，这个正整数就是75． 答：的值为75． 故答案为：75． 【点评】此题考查了有理数的加法，此题解答的关键是先求出最小的两个因数，根据最大的因数是第二大的因数的3倍，求出最大的两个因数，进而得出这个正整数． 【考点题型八】最大公因数的应用（共5小题） 【例8】（2023秋•松江区校级期中）有一张长方形纸片，长为36厘米，宽为24厘米，如果要把这张纸片裁剪成大小相等的正方形纸片，而且没有剩余，裁出的正方形纸片的张数最少为 　6　张． 【分析】求出36和24的最大公因数，再以这个数为正方形的边长即可解答． 【解答】解：36和24的最大公因数：12， ， ， ， 故答案为：6． 【点评】本题考查了最大公因数的应用，关键找到36和24的最大公因数． 【变式8-1】（2023秋•黄浦区期中）上海作为2024年奥运会资格系列赛主办城市之一，为提升城市形象，计划增加绿化覆盖率．如图，上海某街道在处拐弯，米，米，沿街道一侧等距离种植梧桐树，要求在，，处各种植一棵梧桐树，请问这条街最少要种植多少棵梧桐树？ 【分析】由题中“等距离种植梧桐树”可知，相邻两棵树之间的距离必为800（米与750（米的公因数，又由“最少要种植多少棵梧桐树”可知，总的棵数最少，则相邻两树之间的距离要最大，于是问题转化为求800与750的最大公约数． 【解答】解：，， ，且， 最少需要种植（棵． 答：最少要种植32棵梧桐树． 【点评】本题考查最大公因数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． 【变式8-2】（2023秋•奉贤区期中）要用边长为整数分米的同一种正方形地砖铺满长为48分米，宽为60分米的长方形储藏室，请问可以选用边长为多少分米的地砖？如果要求地砖的边长超过5分米，那么地砖最少需要多少块？ 【分析】本题考查了公因数与求公因数的方法，会找几个数的公因数，熟记：“几个数公有的因数叫做这几个数的公因数”是解题的关键． 【解答】解：48、60的公因数为：1，2，3，4，6，12． 则可以选用边长为1分米，2分米，3分米，4分米，6分米，12分米的地砖， 要求最少，取最大公因数： ， ， （块， 答：可以选用边长为1分米，2分米，3分米，4分米，6分米，12分米的地砖，地砖最少需要20块． 【点评】本题考查最大公因数的应用，正确找到公因数是解题关键． 【变式8-3】（2023秋•青浦区校级期中）一个长方形操场，长90米，宽70米，在四角和四周种上树苗，使得相邻的两棵树苗间的距离都相等，问最远应每隔多少米种一棵？一共需要多少棵树苗． 【分析】每相邻两棵树之间的最大距离为90和70的最大公因数，求出90和70的最大公因数，然后列式即可求出需要的树苗数． 【解答】解：，， 和70的最大公因数为：， 最远应每隔10米种一棵， 一共需要树苗棵树为： （棵， 答：最远应每隔10米种一棵，一共需要32棵树苗． 【点评】本题主要考查了最大公因数的应用，正确记忆相关知识点是解题关键． 【变式8-4】（2023秋•金山区期中）有两根铁丝，一根长18米，一根长24米．现在要把它们截成同样长的小段，每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？ 【分析】求铁丝每段最长是多少米，即求18和24的最大公约数，先把18和24进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数；由此解答即可． 【解答】解：，， 和24的最大公因数是：． 所以每段最长是6米，一共可以截成段． 答：每段最长可以是6米，一共可以截成7段． 【点评】本题考查了最大公因数应用题，解答此题的关键是利用求最大公约数的方法计算出每小段的最长． 【考点题型九】最小公倍数（共5小题） 【例9】（2023秋•青浦区校级期中）一个数的最小倍数是24，这个数的素因数有 　2，2，2，3　． 【分析】利用分解质因数的方法解答即可． 【解答】解：把24分解质因数为：， 故这个数的素因数有：2，2，2，3． 故答案为：2，2，2，3． 【点评】本题主要考查了有最小公倍数，素因数，把这个数表示出素因数乘积的形式是解题的关键． 【变式9-1】（2023秋•闵行区期中），，则、两数的最小公倍数是 　180　． 【分析】根据最小公倍数的定义进行解题即可． 【解答】解：，， 则、两数的最小公倍数是． 故答案为：180． 【点评】本题考查最小公倍数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【变式9-2】（2023秋•普陀区期中）有一对互素数的最小公倍数是20，则这两个数是 　1和20或4和5　． 【分析】已知两个互素数的最小公倍数是20，求这两个互素数是多少，把20分解成两个数的乘积的形式，找出这两个互素数即可． 【解答】解：， 故答案为：1和20或4和5． 【点评】此题考查了已知最小公倍数，求这两个互素数的方法，要熟练掌握． 【变式9-3】（2023秋•金山区期中）用短除法求36和60的最大公因数和最小公倍数． 【分析】求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可． 【解答】解：计算得： 根据短除法计算过程可知： 36和60的最大公因数是； 36和60的最小公倍数是． 答：36和60的最大公因数是12，最小公倍数是180． 【点评】此题主要考查求两个数的最大公约数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答． 【变式9-4】（2023秋•崇明区期中）已知某校六年级学生人数超过170人，而不足180人，将他们按照每组12人分组，多3人，将他们按照每组8人分组，也多3人，问：该校六年级学生有多少人？ 【分析】根据题意求出12和8的公倍数，选出符合的公倍数，再加上3即可求解． 【解答】解：12和8的最小公倍数是24， 12和8的公倍数是24，48，72，96，120，144，， （人， 答：该校六年级有171人． 【点评】本题考查最小公倍数，掌握最小公倍数的求法是解题的关键． 【考点题型十】最小公倍数的应用（共5小题） 【例10】（2022秋•青浦区期中）学校组织六年级部分学生参加春季植树活动，规定参加此活动的人数在30至50人之间．实际参加植树的学生，如果分成4人一组；或者6人一组；或者8人一组，都恰好分完，那么实际参加植树的学生共有 　48　人． 【分析】找到4、6和8的公倍数，在30至50之间的公倍数就是答案． 【解答】解：4、6和8的公倍数是：24，48，， 48在30至50之间， 故答案为：48． 【点评】本题考查了公倍数的应用，关键找到符合30至50之间的公倍数． 【变式10-1】（2022秋•奉贤区校级期中）一箱苹果估计约有50个，如果每次拿3个和每次拿4个都正好拿完没有剩余，那么这箱苹果有 　48　个． 【分析】根据题意可知，这个数是3和4的公倍数，再结合这箱苹果估计约有50个即可求解． 【解答】解：每次拿3个和每次拿4个都正好拿完没有剩余，可知这个数是3和4的公倍数，可能是12，24，36，， 又因为这箱苹果估计约有50个， 所以这箱苹果有48个， 故答案为：48． 【点评】本题考查了公倍数的应用，正确找公倍数是解题的关键． 【变式10-2】（2022秋•徐汇区校级期中）21个学生横向排成一行，规定：从左面第一个人开始发蓝旗子，然后每隔3人发一个，再从右面第一个人开始发红旗子，然后每隔4人发一个，则既拿到蓝旗子又拿到红旗子的学生有 　2人　． 【分析】将21个人从左向右编号，按题中的要求分别找到拿到蓝旗子和红旗子的同学的编号即可解题． 【解答】解：将21个人从左向右编号为1，2，3，，21， 可知发到蓝旗子的为：1，5，9，13，17，21， 可知发到红旗子的为：21，16，11，6，1， 可知：既拿到蓝旗子又拿到红旗子的学生有1，21两位同学， 故答案为：2人． 【点评】本题考查了数字的变化规律，理解题意，找到数字的重叠部分是解题的关键． 【变式10-3】（2023秋•杨浦区期中）在1.5千米长的公路两侧等距离种树（两端都种树），原来每隔10米一棵，后来市政调整，改成每隔12米一棵，那么不用移动的树有几棵？ 【分析】根据题意找出10和12的最小公倍数，即可确定出所求． 【解答】解：10和12的最小公倍数为60， 千米米， ，， 则两侧共（棵， 则不用移动的树有52棵． 【点评】此题考查了公倍数和最小公倍数，熟练掌握求几个数的最小公倍数的方法是解本题的关键． 【变式10-4】（2023秋•浦东新区期中）有一块长48厘米，宽28厘米的长方形地砖， （1）若把它截成边长是整数厘米且面积都相等的小正方形地砖，恰无剩余，至少能截多少块？ （2）如果用这个长方形地砖铺成一个大的正方形地面，那么至少需要这样的长方形地砖多少块？ 【分析】（1）根据题意求出48和28的最大公因数，再用除法求出长方形的地砖分成几行和几列，最后用乘法求出结果； （2）根据题意求出48和28的最小公倍数，再用除法求出有几个48和28，最后用乘法求出结果． 【解答】解：（1）48和28的最大公因数：4， （块， （块， （块， 答：至少能截48块． （2）48和28的最小公倍数：336， （块， （块， （块， 答：至少要这样长方形地砖84块． 【点评】本题考查了最大公因数和最小公倍数的应用，关键分析出把地砖截成多少块运用最大公因数解答，用多少块地砖铺运用最小公倍数解答． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$