6.3正弦型函数的图像和性质 教案 - 2023-2024学年高二下学期高教版(2021)中职数学拓展模块一(下册)

授课 题目 6.3 正弦型函数的图像和性质 选用教材 高等教育出版社《数学》 （拓展模块一下册） 授课 时长 2 课时 授课类型 新授课 教学 提示 本课以生活中摩天轮的实例作为引例，抽象出正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)模 型，将其与学生已有的物理知识联系起来，引入函数y=Asin(ωx+φ)的图像，然后 并说明参数 A ，ω , φ 的实际意义，引出周期、频率、初相概念，既结合了实际， 又体现了学以致用的思想；教学中通过简单到复杂，从特殊到一般,从具体到抽 象的探究过程，研究函数 y=Asin(ωx+φ)的图像与正弦曲线之间的关系，教给学 生用“五点法”画正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)在一个周期上的简图，从而会求函 数 y=Asin(ωx+φ)的最大值、最小值、周期和单调区间等，在解决问题中培养学 生整体代换的思想. 教学 目标 理解函数y=Asin(ωx+φ)中A，ω,φ 对图像的影响，知道y=Asin(ωx+φ)与y=sinx 之间的关系，会用“五点法 ”画正弦型函数在一个周期上的简图；通过具体实 例，初步掌握在一个周期上画正弦型函数简图的“五点法”，了解正弦型函数与 正弦函数之间的关系，培养观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力等，体会 从特殊到一般的归纳推理方法；通过学习，逐步提升直观想象和逻辑推理等核心 素养. 教学 重点 正弦函数y=sinx 图像到正弦型函数y=Asin(ωx+φ)图像的变换过程. 教学 难点 用“五点法 ”画正弦型函数在一个周期上的简图；正弦型函数的图像和性 质及其应用. 教学 环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图 引言 在物理学、电工和工程技术中，经常会遇到形如 y=Asin(ωx+φ) (其中A ，ω , φ 都是常数)的函数，它与和角 公式、二倍角公式以及正弦函数y=sinx 等三角知识有着密 切的联系.下面来研究这类函数的作图方法和性质. 讲述 启发 体会 思考 引出 课题 情境 导入 匀速转动的摩天轮的半径为 R，转动的角速度为 ω . 以 摩天轮的中心为坐标原点建立坐标系，如图 所示．若点 P0 表示座椅的初始位置， ∠MOP0=φ , 问点 P 的纵坐标 y 与 时间 t 之间有怎样的函数关系？ 提出 问题 引发 思考 观察 思考 讨论 交流 以生 活中 实例 作为 引例 体现 数学 应用 新知 探索 由正弦函数数的定义，得点 P 的纵坐标y 与时间 t 的 函数关系为 y=Rsin(ωt+φ) . 形如y=Asin(ωx+φ) (其中A，ω , φ 都是常数)的函数称 启发 引导 思考 交流 已有 的物 理知 识联 为正弦型函数.在物理学中，正弦型函数被用来表示简谐 振动、正弦式电流等．习惯上，A 称为振幅，ωx+φ 称为相 位，φ 称为初相， 称为周期 称为频率. 当 A=1，ω=1，φ=0 时，函数y=Asin(ωx+φ)就是y=sinx . 因此，正弦函数是正弦型函数的特殊情况．类比作正弦函 数y=sinx 图像的方法，可作正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图 像，从而研究它的性质. 讲解 描述 领会 要点 系起 来体 现学 以致 用 典型 例题 例 1 用“五点法”作出下列各函数在一个周期内的简图. 提问 引导 讲解 强调 指导 学习 提问 引导 讲解 强调 思考 分析 解决 交流 主动 求解 思考 分析 解决 交流 通过 简单 到复 杂， 从特 殊到 一 般 , 从具 体到 抽象 的探 究过 程， 来研 究正 弦型 函数 的图 像与 正弦 曲线 之间 的关 系 引导 学生 观 察、 比较 和归 纳， 让学 生理 解函 数这 (1) y=sinx； 解 (1) 列表 (2) y=sin2x； 描点作图，得到函数y=sinx，x∈[0,2π]的简图. 因为 T= 所以函数y=sin2x 的周期为 π . 我们作函数y=sin2x 在[0,π]上的简图. 令 2x=0, ，π , , 2π , 并列表. 描点作图，得到函数y=sin2x，x∈[0,π]的简图. 因为 T= 所以函数y = sin 的周 期是 π .我们作函数y= sin 在 上的简图. 令 ， ，π , , 2π , 并列表. 描点作图，得到函数y= sin 的 简图. 因为 T= 所以函数 y=2 sin 的 周期是 π .我们作函数 y=2 sin 在 上的简 图. 令 ， ，π , , 2π , 并列表. 提问 引导 讲解 强调 指导 学习 提问 引导 讲解 强调 思考 分析 解决 交流 主动 求解 思考 分析 解决 交流 组函 数的 关 系， 帮助 学生 理解 A ， ω , φ 的意 义以 及它 们对 函数 图像 的影 响. 归纳 得到 出由 正弦 函数 图像 得到 正弦 型函 数图 像的 步 骤. 这一 过程 体现 了由 简单 到复 杂， 由特 殊到 一般 的化 归思 想， 实现 描点作图，得到函数 y=2 sin 的简图. 将例 1 中作出的四条曲线画在同一个平面直角坐标系 中，如图所示.可以看出，把函数y=sinx 图像上所有点的横 坐标变为原来的 (纵坐标不变)，就得到函数y=sin2x 的图 像；把函数 y=sin2x 的图像沿 x 轴向左平移 个单位，就 得到函数y= sin 的图像；把函数y= sin 图 像上所有点的纵坐标变为原来的 2 倍(横坐标不变) ，就得 到函数y=2 sin 的图像. 感性 到理 性的 升华 综合 比 较， 体验 函数 与图 像与 参数 的关 系 新知 探索 一般地，将函数y=sinx 图像上所有点的横坐标变为原 来的 必(纵坐标不变)，就得到函数 y=sinωx 的图像；将 两数 y=sinωx 的图像沿 x 轴向左(φ>0)或者向右(φ<0)平移 启发 引导 讲解 描述 思考 交流 领会 要点 根据 实例 适时 总 结， 从图 像体 现的 现象 抽象 出数 学本 质 提示 学生 换一 种方 式看 待这 个问 题 ( φ w )个 单 位 ， 就 得 到 函 数 y=sin(ωx+φ) 的 图 像 ； 将 y=sin(ωx+φ)图像上各点的纵坐标变为原 来的 A 倍(横坐标 不变) ，就得到函数y=Asin(ωx+φ)的图像，这里 A>0, ω>0. 因此，正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像可用五点法作 出，也可由函数 y=sinx 的图像经过平移、伸缩得到. 利用 正弦函数的性质及正弦型函数的图像，可以得到关于正弦 型函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0, ω>0)的一些结论. 定义域：实数集 R . 值域：[-A,A]. 周期： . 探究与发现 ( )如何从函数y= 的图像得到函数 y=2 sin 的图像? 典型 例题 例 2 求函数y= sin 2x + cos 2x 的周期、最大值和最小值， 并指出当 x 取何值时，函数取得最大值和最小值. ( ) ( )解 因为y= sin 2x + cos 2x = = 所以函数的周期为 T= =π . 当,即 (k∈Z)时，函 数y=取得最大值，最大值为 2； 当,即(k∈Z)时，函 数y=取得最小值，最大值为-2. 提问 引导 讲解 强调 思考 分析 解决 交流 求正 弦型 函数 的最 大 值、 最小 值、 周期 和单 调区 间是 本节 的又 一教 学要 求 新知 探索 拓展延伸 启发 引导 讲解 描述 思考 交流 领会 要点 介绍 辅助 角公 式， 该公 式的 主要 作用 是将 多个 三角 函数 的和 化成 单个 函数 一般地，函数y=asinx+bcosx(其中 a、b 不全为零)可以 化成y=Asin(x+θ)的形式. 如图所示，点 P 的坐标为(a,b)，以 OP 为终边的角为 θ . 由三角函数的定义，可知 于是，y=asinx+bcosx ( 2 ) 巩固 练习 练习 6.3 1. 用“五点法”作出下列函数在一个周期的简图. 2. 说明怎样由函数 y=sinx 的图像得到下列函数的图 像. (1) sin x ； (2) y= sin (3) y = 2 sin (4) 3.求下列函数的周期、最大值和最小值以及取得最值 时 x 的集合. 提问 巡视 指导 思考 动手 求解 交流 及时 掌握 学生 情况 查漏 补缺 (1) sin 2x ； (3) y = 3si (2) y = 2 sin (4) y=sinx+cosx. 归纳 总结 引导 提问 回忆 反思 培养 学生 总结 学习 过程 能力 布置 作业 1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾; 3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. 说明 记录 继续 探究 延伸 学习 学科网（北京）股份有限公司 $$