精品解析：北师大版2023-2024学年八年级数学下册期末复习试题

北师大版数学八年级下期末复习试题 一．选择题（共10小题） 1. 图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ） A. 区域①处 B. 区域②处 C. 区域③处 D. 区域④处 2. 下列各式，，，，，，，其中分式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 已知点在第二象限，则a取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 4. 如图，小明从O点出发，前进6米后向右转，再前进6米后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（ ） A. 72米 B. 108米 C. 144米 D. 120米 5. 下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，点M从点A出发以每秒的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是（ ） A. B. C. D. 7. 在平行四边形中，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 2023年我市在创建全国文明典范城市的进程中，为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，cm，，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为10cm时点E的运动时间是（ ） A. 6s B. 6s或10s C. 8s D. 8s或12s 二．填空题（共8小题） 11. 若分式的值为0，则x的值为__________． 12. 若，，则的值为______． 13. 不改变分式的值，把分式的分子和分母各项系数都化成整数：=______． 14. 已知关于的不等式组，下列说法正确的有____________． ①如果它的解集是，那么；②当时，它无解；③如果它的整数解只有3，4，5，那么；④如果它有解，那么． 15. 某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余10人无宿舍住：若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，该班住宿生有___________人． 16. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，则S2=________． 17. 如图，点P是对角线上一点，过点P作，分别交于点E，F，连接，若，则图中阴影部分面积为__________． 18. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长是_______． 三．解答题（共10小题） 19. 因式分解： （1） （2） 20. 解不等式组并写出它的正整数解． 21. 如图，在△ABC中，O为∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D，E，F． （1）OD与OE是否相等．请说明理由； （2）若△ABC的周长是30，且OF=3，求△ABC的面积． 22. 今年杭州亚运会期间，某商店用3000元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，第二次购进时，每个吉祥物的进价提高了，同样用3000元购进的数量比第一次少了10个． （1）求第一次购进的每个吉祥物的进价为多少元？ （2）若两次购进吉祥物售价均为96元，且全部售出，则该商店两次购进吉祥物的总利润为多少元？ 23. 如图，中，的垂直平分线分别交，于点D，E，的垂直平分线分别交，于点F，G，连接． （1）若的周长为，求线段的长； （2）若，求的度数． 24. 习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”某企业扶贫小组准备在春节前夕慰问贫困户，为贫困户送去温暖，该扶贫小组购买了一批慰问物资并安排两种货车运送．据调查得知，辆大货车与辆小货车一次可以满载运输件；辆大货车与辆小货车一次可以满载运输件． （1）求辆大货车和辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？ （2）计划租用两种货车共辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用元，每辆小货车一次需费用元．若运输物资不少于件，且总费用不超过46000 元．请你计算该扶贫小组共有几种运输方案？ 25. 已知：如图，四边形为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，． （1）求证：； （2）连接、，求证：四边形为平行四边形． 26. 骑行电动自行车时佩戴安全头盔非常重要．某商店销售甲、乙两种不同型号的头盔，已知甲种型号头盔的单价比乙种型号头盔贵10元，且用120元购买的甲种型号头盔的数量与用90元购买的乙种型号头盔数量相同． （1）求甲、乙两种型号头盔的单价； （2）某企业计划购进甲、乙两种头盔共300个，若购买的甲种型号的头盔的数量不少于乙种型号的，为使购买头盔的总费用最小，那么应购买甲、乙两种型号头盔各多少个？最少费用为多少元？ 27. 如图，在平行四边形中，点G，H分别是的中点，在对角线上，且． （1）求证：四边形平行四边形． （2）连接交于点O，若，，求的长． 28. 已知：在中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． （1）如图1，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数． （2）如图2，另一动点Q在边上，以每秒速度从点C出发，在间往返运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版数学八年级下期末复习试题 一．选择题（共10小题） 1. 图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ） A. 区域①处 B. 区域②处 C. 区域③处 D. 区域④处 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义求解可得． 【详解】如图所示的图形是中心对称图形， 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是利用中心对称的性质设计图案，掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 2. 下列各式，，，，，，，其中分式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的定义看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，即可得出答案． 【详解】解：分式有：，，，共3个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数；不是分式，是整式． 3. 已知点在第二象限，则a的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据点所在的象限求参数的范围，根据点在第二象限的符号特征：，列出不等式组，求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴； 故选B． 4. 如图，小明从O点出发，前进6米后向右转，再前进6米后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（ ） A. 72米 B. 108米 C. 144米 D. 120米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角和，根据题意得到走过的轨迹为一正多边形，根据正多边形的外角和为360度，求出边数，即可． 【详解】解：按照题意可知小明走一圈回到O点，他走过的轨迹为一正多边形，设此多边形为正n边形， ∵此正n边形的一个外角为， ∴， ∴． 即他走过的正多边形为正18边形． ∵正多边形的边长为6米， ∴正多边形的周长为（米）． 即他第一次回到出发点时一共走了米． 故选B． 5. 下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的意义和方法，即提公因式法、公式法等方法进行分解判断即可. 【详解】，此选项为单项式的变形，非因式分解，故本选项错误； ，此选项是整式乘法运算，非因式分解，故本选项错误； 此选项为公式法因式分解，属于因式分解，故本选项正确； 此选项未将一个多项式化成几个整式乘积的形式，故本选项错误； 故本题选项为：C. 【点睛】本题考查了因式分解的意义和方法，解决本题的关键是熟练掌握因式分解的方法，区分因式分解与整式乘法运算的不同. 6. 如图，在中，，，点M从点A出发以每秒的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要求运动后得到的等腰三角形的腰长，首先要求出动点所运动的时间．我们可以设M、N运动的时间为x秒． 【详解】设M、N运动的时间为x秒． 当是以为底的等腰三角形时， 即，解得． ∴腰长为 故选D． 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度． 7. 在平行四边形中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出，再由已知条件得到，则． 【详解】解；∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选；D． 8. 若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据求不等式组解集规律得出答案即可． 【详解】解：关于的不等式组，即有解， ∴， 解得：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了不等式组的解集，能熟记求不等式组的解集的规律是解此题的关键． 9. 2023年我市在创建全国文明典范城市的进程中，为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列分式方程解决实际问题．设原计划每天植树x万棵，则实际每天植树万棵，根据“提前2天完成任务”即可列出方程． 【详解】解：设原计划每天植树x万棵，由题意得 ． 故选：A 10. 如图，中，cm，，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为10cm时点E的运动时间是（ ） A. 6s B. 6s或10s C. 8s D. 8s或12s 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作于点G，由，可得是等腰直角三角形，过点F作于点H，得矩形，利用勾股定理得，由题意可得，，然后列方程求出t的值即可． 【详解】解：在中，cm， 如图，过点D作于点G， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点F作于点H，则：四边形为矩形， ∴， ∵cm， ∴， 由题意可知：， ∴， ∴cm， ∴， 解得， ∴的长为10cm时，点E的运动时间是8s， 由题意可知，点E运动最大时间为11s. 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关性质，构造直角三角形，是解题的关键． 二．填空题（共8小题） 11. 若分式的值为0，则x的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分式的值为0时分母≠0，且分子＝0两个条件求出x的值即可． 【详解】由x2-9=0，得 x=±3． 又∵x+3≠0， ∴x≠-3， 因此x=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了分式值为0时求字母的值．分式值为0时分子=0，分母≠0，两个条件缺一不可，掌握以上知识是解题的关键． 12. 若，，则的值为______． 【答案】15 【解析】 【分析】先提取公因式分解因式，在把，，代入原式计算即可． 【详解】解： ， 把，，代入， 原式， 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，掌握取公因式分解因式的方法是解题关键． 13. 不改变分式的值，把分式的分子和分母各项系数都化成整数：=______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的基本性质本分子分母都乘以10即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不为0的数，分式的值不变． 14. 已知关于的不等式组，下列说法正确的有____________． ①如果它的解集是，那么；②当时，它无解；③如果它的整数解只有3，4，5，那么；④如果它有解，那么． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】先求出各不等式的解集，然后再逐项判断即可． 【详解】解：由得， 由得， ①如果它的解集是，那么，此结论正确； ②当时，它无解，此结论正确； ③如果它整数解只有3，4，5，那么，此结论正确； ④如果它有解，那么，此结论错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了求不等式组的解集、由不等式组的解集情况求参数等知识点，掌握求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键． 15. 某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余10人无宿舍住：若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，该班住宿生有___________人． 【答案】或 【解析】 【分析】设安排住宿的房间有间，则学生有人，根据“每间住4人，则还余10人无宿舍住和；每间住6人，则有一间宿舍不空也不满”列不等式组解答即可． 【详解】解：设安排住宿的房间有间，则学生有人， 根据题意，得， 解得. 又因只能取正整数，所以或 当时，. 当时， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系式正确列出一元一次不等式组是解决本题的关键． 16. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形四条边为边向外作四个正方形，若，，则S2=________． 【答案】86 【解析】 【分析】利用勾股定理的几何意义解答． 【详解】解：由题意可知：，，，， 连接，如下图： 在直角和中， ， 即， 因此， 故答案为：86． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解题的关键是利用两个直角三角形公共的斜边． 17. 如图，点P是的对角线上一点，过点P作，分别交于点E，F，连接，若，则图中阴影部分面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和直角三角形的性质，计算出的高，从而得出的面积，再根据相似三角形的性质，计算出的面积，从而完成求解． 【详解】 过点B作，交EF于点N；过点D作，交EF于点M ∵平行四边形ABCD ∴，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴平行四边形AEFD ∴DF=AE=2 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴平行四边形EBCF ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴图中阴影部分面积 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线、平行四边形、相似三角形和直角三角形的知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解． 18. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，由平行四边形的性质可得，，进而得，又由角平分线的定义可得，即可得，得到，即得，同理可得，最后根据线段的和差关系即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共10小题） 19 因式分解： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． （2） 直接提取公因式（a-b），再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法则是解题关键. 20. 解不等式组并写出它的正整数解． 【答案】不等式组的解集是，不等式组的正整数解是1，2 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出解集的公共部分，根据不等式组的解集即可确定正整数解． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集是， ∴不等式组的正整数解是1，2． 【点睛】本题考查了解不等式组，求不等式组的正整数解等知识，正确求出不等式组的解集是关键． 21. 如图，在△ABC中，O为∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D，E，F． （1）OD与OE是否相等．请说明理由； （2）若△ABC的周长是30，且OF=3，求△ABC的面积． 【答案】（1）OD=OE，理由见解析； （2）45． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线性质求出OD=OF，OF=OE，即可得出结论； （2）连接OA，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：OD=OE， 理由：∵O为∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC， ∴OD=OF，OF=OE， ∴OD=OE； 【小问2详解】 解：连接OA， ∴△ABC的面积=S△AOB+S△BOC+S△AOC =AB•OD+BC•OF+AC•OE， ∵OE=OD=OF， ∴△ABC的面积=（AB+BC+AC）•OF=×30×3=45． 【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，能正确运用角平分线性质进行推理是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 22. 今年杭州亚运会期间，某商店用3000元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，第二次购进时，每个吉祥物的进价提高了，同样用3000元购进的数量比第一次少了10个． （1）求第一次购进的每个吉祥物的进价为多少元？ （2）若两次购进的吉祥物售价均为96元，且全部售出，则该商店两次购进吉祥物的总利润为多少元？ 【答案】（1）50 （2）4560 【解析】 【分析】此题考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键． （1）设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为元，根据题意，第二次比第一次少了10件，列出分式方程，解方程即可求解． （2）根据总利润=总售价-总成本，列出算式，即可求解． 【小问1详解】 设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是方程的解，且符合题意， 答：第一次每件的进价为50元； 【小问2详解】 （元）， ∴该商店两次购进吉祥物的总利润为4560元． 23. 如图，中，的垂直平分线分别交，于点D，E，的垂直平分线分别交，于点F，G，连接． （1）若的周长为，求线段的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识．熟练掌握垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由垂直平分，垂直平分，可得，由的周长为，可得，根据，求解作答即可； （2）由，可求，由，可得，则，根据，求解作答即可． 【小问1详解】 解：∵垂直平分，垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴线段的长为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 24. 习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”某企业扶贫小组准备在春节前夕慰问贫困户，为贫困户送去温暖，该扶贫小组购买了一批慰问物资并安排两种货车运送．据调查得知，辆大货车与辆小货车一次可以满载运输件；辆大货车与辆小货车一次可以满载运输件． （1）求辆大货车和辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？ （2）计划租用两种货车共辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用元，每辆小货车一次需费用元．若运输物资不少于件，且总费用不超过46000 元．请你计算该扶贫小组共有几种运输方案？ 【答案】（1）1辆大货车一次满载运输150件物资，1辆小货车一次满载运输100件物资；（2）该扶贫小组共有3种运输方案 【解析】 【分析】（1）设1辆大货车一次满载运输x件物资，1辆小货车一次满载运输y件物资，根据“2辆大货车与4辆小货车一次可以满载运输700件；1辆大货车与5辆小货车一次可以满载运输650件”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用m辆大货车，则租用（10-m）辆小货车，根据“运输物资不少于1300件，且总费用不超过46000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出运输方案的个数． 【详解】解：（1）设1辆大货车一次满载运输x件物资，1辆小货车一次满载运输y件物资， 依题意得：， 解得：， 答：1辆大货车一次满载运输150件物资，1辆小货车一次满载运输100件物资． （2）设租用m辆大货车，则租用（10-m）辆小货车， 依题意得：， 解得：6≤m≤8． 又∵m为整数， ∴m可以为6，7，8， ∴该扶贫小组共有3种运输方案． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 25. 已知：如图，四边形为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，． （1）求证：； （2）连接、，求证：四边形为平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据四边形为平行四边形，得到，继而得到，结合得到，证明即可． （2）根据，得到，继而得到即可证明四边形为平行四边形．本题考查了三角形全等的判定，平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【小问1详解】 ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． ． 26. 骑行电动自行车时佩戴安全头盔非常重要．某商店销售甲、乙两种不同型号的头盔，已知甲种型号头盔的单价比乙种型号头盔贵10元，且用120元购买的甲种型号头盔的数量与用90元购买的乙种型号头盔数量相同． （1）求甲、乙两种型号头盔的单价； （2）某企业计划购进甲、乙两种头盔共300个，若购买的甲种型号的头盔的数量不少于乙种型号的，为使购买头盔的总费用最小，那么应购买甲、乙两种型号头盔各多少个？最少费用为多少元？ 【答案】（1）甲、乙两种型号头盔的单价分别是40元、30元 （2）购买75个甲种头盔，225个乙种头盔时，总费用最少，最少费用为9750元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用及一次函数的应用，关键是正确列出方程、不等式与函数关系式． （1）设乙种型号头盔的单价是x元，则甲种头盔的单价是元，根据等量关系开出分式方程即可求解； （2）设购买m个甲种头盔，根据不等关系列出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围；设该企业购买甲乙两种头盔共花费w元，根据总价、单价与数量的关系列出函数关系式，利用一次函数的性质即可求解最值． 【小问1详解】 解：设乙种型号头盔的单价是x元，则甲种头盔的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以（元）； 答：甲、乙两种型号头盔的单价分别是40元、30元； 【小问2详解】 解：设购买m个甲种头盔，则购买个乙种头盔， 由题意得：， 解得：； 设该企业购买甲乙两种头盔共花费w元， 则， ，， 随m的增大而增大， 当时，w取得最小值，最小值为（元），此时（个）． 答：当购买75个甲种头盔，225个乙种头盔时，总费用最少，最少费用为9750元． 27. 如图，在平行四边形中，点G，H分别是的中点，在对角线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）连接交于点O，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握平行四边形判定与的性质及三角形中位线定理是解题的关键． （1）证，得，则，得，即可得出结论； （2）先由平行四边形的性质得出，再证出，可得是的中位线，然后利用中位线定理可得的长度． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：连接交于点O，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵点G是的中点， ∴是的中位线， ∴． 28. 已知：在中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． （1）如图1，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数． （2）如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2）0秒或4.8秒或8秒或9.6秒 【解析】 【分析】（1）易证，，得，又，则是等边三角形，即可得出结果； （2）若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则，设运动时间为t秒，然后分类讨论计算t即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，则 ∴； 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则， 设运动时间为t秒， ①当时，，， ∴， 解得：； ②当时，，， ∴， 解得：； ③当时，，， ∴， 解得：； ④当时，，， ∴， 解得：； 综上所述，当运动时间为0秒或4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、角平分线定义、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、分类讨论等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质并进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$