第二单元线与角（讲义）2024-2025学年四年级数学上册北师大版

第二单元线与角（单元讲义） 四年级数学上册北师大版 知识梳理 精讲例题 专项练习 思维导图 答案详解 思维导图 知识梳理 一、线 1.直线、射线、线段： 直线没有端点，可以向两个方向无限延伸; 射线有一个端点，只能向一个方向无限延伸; 线段有端点，不能向两个方向无限延伸。 2. 过一点可以画无数条直线，过两点只能画一条直线，两点之间线段最短。 3. 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 4. 一条直线的平行线有无数条，过线外一点作平行线，只能画一条。 5. 两条平行线之间的距离处处相等，两条平行线之间的垂线段就是他们的距离。 6. 相交：如果两条直线只有一个公共点，这两条直线叫相交直线。 7. 垂直：两条直线相交成直角时，叫做两条直线相互垂直。两条直线互称为对方的垂线。 8. 一条直线的垂线有无数条，过线外一点作已知直线的垂线只能画一条。 9. 从直线外一点到这条直线所画的垂直线最短，它的长度叫作这点到直线的距离。 10. 当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。其中一条线是另一条线的垂线，这时两条直线的交点叫作垂足。 二、角 11. 由一个顶点引出的两条射线所组成的图形叫做角，角也可以看成是一条射线围绕它的端点旋转而成的。 12. 当角的两边旋转成一条直线时，这时所形成的角叫做平角;当角的两边经过旋转重合时，这时所形成的角叫做周角。 13. 角有一个尖尖的顶点两条直直的边，角的大小与张口有关，张口越大角就越大，张口越小角就越小，角的大小与边的长短无关。 14. 小于90度的角是锐角，等于90度的角是直角，大于90度小于180度的角是钝角，等于180度的角是平角，等于360度的角是周角。 15．认识度。将圆平均分成360份，把其中的1份所对的角叫做1度，记作1°，通常用1°作为度量角的单位。 16.认识量角器。量角器是把半圆平均分成180份，一份表示1度。量角器上有中心点、0刻度线、内刻度线、外刻度线。 17.量角器的使用方法。“两合一看”,“两合”是指中心点与角的顶点重合；0刻度线与角的一边重合。“一看”就是要看角的另一边所对的量角器的刻度。 18.看角的度数时要注意是看外刻度还是内刻度。角的开口向左看外刻度线，角的开口向右看内刻度线。 精讲例题 【例题一】．如图，点A到直线的所有连线中，（    ）最短。 A．AE B．AD C．AB 【答案】B 【分析】本题主要考查点到直线的距离：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 【详解】AD是该直线的垂直线段，则点A到直线的所有连线中，AD最短。 故答案为：B 【点睛】熟练掌握垂直的性质是解答此题的关键。 【例题二】．我认为，过一点可以画（    ）条直线，过两点可以画（    ）条直线。我可以作图证明。 【答案】无数；1；图见详解 【分析】因为直线无端点，所以过一点可以画无数条直线；两点确定一条直线，所以两点可以画一条直线；进而得出结论。 【详解】我认为，过一点可以画无数条直线，过两点可以画1条直线。我可以作图证明。 【点睛】此题考查的是直线的初步知识，平时应注意基础知识的积累。 【例题三】．．如图所示，∠1＝∠2，你能说明∠3和∠4相等吗？      【答案】．∠3＝∠4 【分析】根据直角的定义，可知∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°，因为∠1＝∠2，则∠4＝∠3。 【详解】因为∠2＋∠4＝90° ∠1＋∠3＝90° 所以∠4＝90°－∠2 ∠3＝90°－∠1 因为∠1＝∠2 所以∠3＝∠4 【点睛】解答本题的关键是明确直角的定义。 专项练习 一、选择题 1．下列图形中，（    ）是周角。 A． B． C． D．以上答案都对 2．军军晚上开始做作业时，钟面上时针在7和8之间，分针刚好指向5。完成作业时，分针正好走了1个平角，那么军军是在（    ）完成作业的。 A．7：55 B．7：50 C．8：25 3．下图中，过O点的最短的一条线段是(    )． A．线段OD B．线段OB C．线段OC 4．如果直线m平行于直线n（如图），那么线段AB和CD的大小关系是（    ）。 A．AB＞CD B．AB＝CD C．AB＜CD 5．汽车车灯发射出去的光线，给我们的形象是（     ）. A．线段 B．直线 C．射线 二、填空题 6．点的运动形成( )。 7．如下图，量角器量的这个角的度数是( )°。 8．6时整，钟面上时针与分针所成的角是( )角，是( )度。 9．钟面上1时，时针、分针成( )度，3时成( )度，8时成( )度． 10．如下图，过点A向直线画四条线段，长度分别是3、4、5、6厘米，长度为3厘米的是线段( )。 11．图中是( )，( )（填“有”或“没有”）端点，可以向( )（填“一端”或“两端”）无限延伸，读作( )或( )。 12．从4时到4时半，钟面上的分钟转过了( )度，时针转过了( )度． 13．下面图形中各有几组互相平行的线段？           ( )组      ( )组            ( )组      ( )组 14．折角中的问题，想一想，填一填。 ∠l＝( )°   ∠2＝( )° 三、判断题 15．用一副三角尺可以画出15°，135°，105°的角。( ) 16．长方形的邻边互相垂直，对边互相平行。( ) 17．下面的图形中既有互相平行的线段，又有互相垂直的线段。( ) 18．角的大小与两边叉开的大小有关，两边叉开得越大，角就越大。( ) 19．淘气画了一条长6厘米的射线。( ) 20．钟面上3时15分，时针和分针组成的是锐角。( ) 四、作图题 21．一只小鹿沿着离小河岸边不远的草地上行走着（如图）。 （1）小鹿所行走的路线经过P点并且与河岸平行。请在如图中画出它的行走路线。 （2）小鹿到达P点时若去河边喝水。请在如图中画出它去喝水的最短路线。 五、解答题 22．下面的图形是经过怎样的变化得到的？ 23．把一张长方形纸按下图所示折叠。已知∠1＋∠2十∠3＝205°，则∠1、∠2、∠3各是多少度？ 24．画一画，想一想，填一填。 PA＝（    ），PB＝（    ），PC＝（    ），PD＝（    ） 我发现：（                            ） 25．画一画，填一填 如下图． (1)小鸡要向________走________格才能走进鸡舍里． (2)画出轴对称图形A的对称轴． (3)将图C围绕O点顺时针旋转180°，即可得到图 ，请在方格纸上画出图 ． (4)将图形A向左平移10格，画出平移后的图形 ． 26．下面每幅图的图案是由哪些个图形平移或旋转得到的？把这个图形涂上颜色． 27．量一量每个角的度数，并说一说这些角各是什么角． 28．把直线外一点A与直线上任意一点连接起来，可以画出很多条线段，哪一条最短呢?如图所示，我们可以画好多条这样的线段，不过，最短的只有一条哦! 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 29 答案 C A C B C B 1．C 【分析】周角是指一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，周角为360°；据此解答。 【详解】根据分析： A．没有端点，是一条直线，不是周角； B．有一个端点，是一条射线，看不出是绕着它的端点旋转一周所形成的角； C．一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，是周角； D．只有C选项是周角，原题说法错误。 故答案为：C 2．A 【分析】钟面分成12个大格，时针每走一个大格是1小时，分针每过一个大格是5分钟，时针指向7与8之间，说明7时多，分针指向5，说明是5×5＝25分钟，分针刚好走了1个180°角，6×30°＝180°，分针走了6大格，刚好走到11，5×11＝55分钟，由此得解。 【详解】5×5＝25（分）；时针指向7与8之间，分针指向5，此时的时刻为7时25分；完成作业时分针刚好走了1个180°角，分针刚好走到11，5×11＝55（分），军军是7时55分完成作业的。 故答案为：A 【点睛】本题考查的是熟练掌握钟面的认识，关键是明确每一大格的度数是30°。 3．C 【详解】略 4．B 【分析】由图可知，线段AB垂直于直线n，线段CD垂直于直线n，因为直线m平行于直线n，所以线段AB平行且等于线段CD。 【详解】由分析可知，线段AB的长度等于线段CD的长度。 故答案为：B 【点睛】平行线间的距离（垂线段）处处相等。 5．C 【详解】试题分析：根据直线、射线和线段的含义：线段有2个端点，有限长，可以度量；射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长；进而解答即可． 解：车灯可以看成是一个点，光可以看成一条线，则汽车车灯发射出去的光线，给我们的形象是射线. 故选C． 6．线 【详解】点的运动成线。 如：流星落下时在天空留下充满幻想的线； 笔尖在纸上移动能画出一条线。 7．160 【分析】用量角器的圆点和角的顶点重合，0刻度线和角的一条边重合，另一条边在量角器上的刻度就是该角的度数，据此解答。 【详解】根据图示可得，用量角器测量角的度数是160°。 【点睛】本题考查了学生测量角的能力，注意测量中的两个重合，并分清内圈和外圈的区别。 8． 平 180 【分析】因为钟面上12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，把12个数字平均分成12份，每一份也就是两数之间夹角是30°；当钟面上6时整，时针与分针之间有6个大格，因此时针和分针所成的角是180°，是平角；据此解答即可。 【详解】据分析得出： 6时整，钟面上时针与分针之间有6个大格是180°，是平角。 故答案为：平；180 【点睛】解答此题应结合题意，根据角的概念和分类进行解答；关键是能正确判断钟面上6时整，时针和分针所成的角度。 9．30，90，120 【详解】试题分析：因为钟面上12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12份，每一份也就是两数之间夹角是30°． （1）1时整，时针指着1，分针指着12，时针与分针之间有1个大格是30°； （2）当钟面上3时整，时针指着3，分针指12，时针与分针之间有3个大格是90°； （3）8时整，时针指着8，分针指12，时针与分针之间有4个大格是120°． 解：钟面上1时，时针、分针成30×1=30度，3时成30×3=90度，8时成30×4=120度． 故答案为30，90，120． 点评：在学习角的时候，渗透了钟表的认识，解答此题的关键是看钟面上12个时刻将钟面分成了12份，每份是30度，再看要求的是什么时刻，用时刻数乘30度即可． 10．AC/CA 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离，依此即可解答。 【详解】3厘米＜4厘米＜5厘米＜6厘米，因此长度为3厘米的是线段AC。 11． 直线 没有 两端 直线AB 直线BA 【分析】根据题意，是一条直线，直线没有端点，可以向两端无限延伸；用直线上任意两点的大写字母表示这条直线，由此读作读作直线AB或直线BA。 【详解】 是直线，没有端点，可以向两端无限延伸，读作直线AB或直线BA。 12．180，15 【详解】试题分析：在钟面上共有60个小格，每个小格是360°÷60=6°； （1）分针从4时到4时半，正好走了钟面的一半即30个小格，转过的角度是：30×6°=180°； （2）时针从4时到4时半，正好走了钟面的2.5个小格，转过的角度是：2.5×6°=15°． 解：在钟面上共有60个小格，每个小格是360°÷60=6°； （1）分针转过的角度是：30×6°=180°； （2）时针转过的角度是：2.5×6°=15°； 故答案为180，15． 点评：本题考查了根据钟面知识求角度，知道每个小格子是6°是本题的关键． 13． 2 2 3 1 【分析】在同一平面内永不相交的两条直线互相平行，据此解答 【详解】长方形有2组互相平行的线段； 平行四边形有2组互相平行的线段； 正六边形有3组互相平行的线段； 梯形有1组互相平行的线段。 【点睛】本题考查了平行的特征和性质。 14． 90 30 【分析】通过观察图形，我们可知，∠1是一个直角，它的度数是90°；∠2是由∠1所在的角经过折叠得到的角，通过观察可知，经过折叠两次，得到的角重合在一起，得到∠2，也就是把∠1用两次折叠的线平均分成了三份，其中的一份就是∠2的大小。 【详解】由题意得： 90°÷3＝30° 所以∠l＝90°   ∠2＝30° 【点睛】本题主要考查了角的认识及应用。 15．√ 【分析】一副三角板，一个三角板的角有30°、60°、90°，等腰直角三角板的角有45°、45°、90°，用它们进行拼组，看是否能得出这几个角度即可。 【详解】60°－45°＝15° 90°＋45°＝135° 60°＋45°＝105° 故答案为：√ 【点睛】解决本题的关键是正确记忆三角板上各个角的度数。 16．√ 【分析】根据长方形的特征，对边平行且相等，4个角都是直角，可知，长方形相邻的两条边互相垂直，相对的两边互相平行，据此即可解答。 【详解】长方形的邻边互相垂直，对边互相平行。 故答案为：√ 【点睛】此题主要考查长方形的特征，注意平时基础知识的积累。 17．√ 【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。据此解答即可。 【详解】     如图所示，图形中既有互相平行的线段，例如线段a和线段e；又有互相垂直的线段，例如线段f和线段e。题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】找互相平行的线段就是找不相交的线段，找互相垂直的线段就是找夹角是直角的线段。 18．√ 【分析】根据角的定义：从一点引出两条射线所组成的图形叫作角。因此角的大小与边的长度没有关系，与两边叉开的大小有关，两边叉开得越大，角越大。据此判断即可。 【详解】根据分析如下图所示：        因为＜，所以角的大小与两边叉开的大小有关，两边叉开得越大，角就越大。 故答案为：√ 19．× 【分析】根据射线的特征，直接进行判断即可。 【详解】射线有一个端点，能向没有端点的那一边无限延长，所以射线是无限长的，无法度量； 因此淘气画了一条长6厘米的射线，故此说法不正确。 故答案为：× 【点睛】解答此题应根据射线的含义进行解答。 20．√ 【分析】时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格是30°。钟面上3时15分，时针在3和4之间，分针指向3，则时针和分针之间不足一大格，夹角小于30°，是一个锐角。 【详解】由分析得： 钟面上3时15分，时针和分针组成的角小于30°，是锐角。 故答案为：√ 【点睛】本题是一个钟表问题，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，借助图形，更容易解决。 21．（1）（2）见详解 【分析】（1）过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线即小鹿的行走路线。 （2）过直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短，过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，从P点作河边的垂线段即为小鹿到河边的最短路线。 【详解】 如图： 22．解：图(1)是由原图对称所得；图(2)由原图向下平移1格，又向右平移6格所得． 【详解】此题是考查作轴对称图形、作平移的图形．关键是确定对称点（对应点）的位置．图形的平移，图形平移后形状、大小都不变，只是位置的变化． 23．25°；155°；25° 【分析】根据长方形的边所在的线是直线，则有，，与已知，即可求出∠1、∠2和∠3的度数。 【详解】因为， 所以 因为 所以 因为 所以 答：∠1是25度，∠2是155度，∠3是25度。 24．3.2厘米；2.9厘米；2.6厘米；2.9厘米； 直线外一点到直线上各点的连线段中，垂线段最短。 【分析】先连接线段PA、PB、PC、PD，再利用刻度尺测量出这四条线段的长度，经过比较即可得出：点P到直线AD上各点的连线段中，垂线段最短。 【详解】画图如下： 通过测量可以得到：PA＝3.2厘米；PB＝2.9厘米；PC＝2.6厘米；PD＝2.9厘米； 经过测量可知：点P到直线AD上各点的连线段中，垂线段最短。 据此可得结论：直线外一点到直线上各点的连线段中，垂线段最短。 【点睛】本题考查了点到直线的距离。直线外一点到直线上各点的连线段中，垂线段最短；直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 25．（1）左；10 （2）解：如下图． （3）解：如下图． （4）解：如下图． 【详解】略 26．解：如图所示 【详解】略 27． ∠1=145°,钝角 ∠2=50°,锐角 ∠3=55°,锐角；∠4=90°,直角；∠5=35°,锐角 【分析】考查量角器的使用及角的分类． 【详解】用量角器量角的方法：把量角器放在角的上面，使量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所指的量角器上的刻度就是这个角的度数；角的分类：0°＜锐角＜90°，直角=90°，90°＜钝角＜180°，平角=180°，周角=360°，据此解答. 28．解：用直尺量一量这些线段的长度，可以发现第3条线段最短．用三角尺上的直角量量它们与已知直线相交组成的角，会发现第3条线段与已知直线是垂直的，第3条线段的长度就是点A到这条直线的距离． 【详解】把直线外一点A与直线上任意一点连接起来，可以画出很多条线段,最短的是经过A点，与直线垂直的线段． 学科网（北京）股份有限公司 $$